2012-2013学年安徽省安庆市望江中学高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2011•陕西）设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 基本不等式．
专题： 计算题．
分析： 令a=1，b=4代入选项中，分别求得 a， ， ，b的值，进而可比较他们的大小
解答： 解：令a=1，b=4
则 =2， = ，
∵1＜2＜ ＜4
∴ ．
故选B．
点评： 本题主要考查了不等式的基本性质．对于选择题可以用特殊值法，可以简便解题过程．
2．（5分）（2011•江西）若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3}， ，则A∩B=（ ）
A． {x|﹣1≤x＜0} B． {x|0＜x≤1} C． {x|0≤x≤2} D． {x|0≤x≤1}
考点： 交集及其运算．
专题： 计算题．
分析： 根据已知条件我们分别计算出集合A，B，然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值．
解答： 解：∵A={x|﹣1≤2x+1≤3}={x|﹣1≤x≤1}，
={x|0＜x≤2}
故A∩B={x|0＜x≤1}，
故选B
点评： 本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据已知条件求出集合A，B是解答本题的关键．
3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
考点： 余弦定理；等比数列．
专题： 计算题．
分析： 根据等比数列的性质，可得b= a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．
解答： 解：△ABC中，a、b、c成等比数列，且c=2a，
则b= a， = ，
故选B．
点评： 本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．
4．（5分）等差数列{an}的公差d＜0，且a2•a4=12，a2+a4=8，则数列{an}的通项公式是（ ）
A． an=2n﹣2（n∈N*） B． an=2n+4（n∈N*） C． an=﹣2n+12（n∈N*） D． an=﹣2n+10（n∈N*）
考点： 等差数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由题意列式求出公差，然后代入等差数列的通项公式求解．
解答： 解：由a2•a4=12，a2+a4=8，且d＜0，解得a2=6，a4=2．
所以d= ．
则an=a2+（n﹣2）d=6﹣2（n﹣2）=﹣2n+10．
故选D．
点评： 本题考查了等差数列的通项公式，如果给出了等差数列公差和第m项am，则an=am+（n﹣m）d，是基础题．
5．（5分）当x＞1时，不等式x+ 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． （﹣∞，2] B． [2，+∞） C． [3，+∞） D． （﹣∞，3]
考点： 基本不等式．
专题： 计算题．
分析： 由题意当x＞1时，不等式x+ 恒成立，由于x+ 的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．
解答： 解：∵当x＞1时，不等式x+ 恒成立，
∴a≤x+ 对一切非零实数x＞1均成立．
由于x+ =x﹣1+ +1≥2+1=3，
当且仅当x=2时取等号，
故x+ 的最小值等于3，
∴a≤3，
则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．
故选D．
点评： 本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+ 的最小值是解题的关键．
6．（5分）等差数列{an}满足a42+a72+2a4a7=9，则其前10项之和为（ ）
A． ﹣9 B． ﹣15 C． 15 D． ±15
考点： 等差数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由题意可得 =9，由此求得a4+a7 的值，再根据其前10项之和为S10= = ，
运算求得结果．
解答： 解：∵等差数列{an}满足a42+a72+2a4a7=9，则有 =9，∴a4+a7=±3．
故其前10项之和为S10= = =±15，
故选D．
点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．
7．（5分）△ABC中，BC=2，角B= ，当△ABC的面积等于 时，sinC=（ ）
A． B． C． D．
考点： 解三角形．
专题： 计算题．
分析： 先利用三角形面积公式求得AB，进而利用余弦定理求得AC的值，最后利用正弦定理求得sinC．
解答： 解：三角形面积为： sinB•BC•BA= × ×2×AB=
∴AB=1
由余弦定理可知：AC= =
∴由正弦定理可知
∴sinC= •AB=
故选B
点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．在解三角形问题中，正弦定理和余弦定理是常用的方法，应强化训练和记忆．
8．（5分）在△ABC中，若lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，则△ABC的形状是（ ）
A． 直角三角形 B． 等边三角形 C． 不能确定 D． 等腰三角形
考点： 三角函数中的恒等变换应用．
专题： 计算题．
分析： 利用对数的运算法则可求得 =2，利用正弦定理求得cosB，同时根据余弦定理求得cosB的表达式进而建立等式，整理求得b=c，判断出三角形为等腰三角形．
解答： 解：∵lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，
∴ =2，
由正弦定理可知 =
∴ =
∴cosB= ，
∴cosB= = ，
整理得c=b，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
故选D
点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成了边角问题的互化．
9．（5分）对于任意a∈[﹣1，1]，函数f （x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值总大于0，则x的取值范围是（ ）
A． {x|1＜x＜3} B． {x|x＜1或x＞3} C． {x|1＜x＜2} D． {x|x＜1或x＞2}
考点： 二次函数在闭区间上的最值．
专题： 计算题．
分析： 把二次函数的恒成立问题转化为y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈[﹣1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围．
解答： 解：原题可转化为关于a的一次函数y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈[﹣1，1]上恒成立，
只需 ⇒ ⇒x＜1或x＞3．
故选B．
点评： 本题的做题方法的好处在于避免了讨论二次函数的对称轴和变量间的大小关系，而一次函数在闭区间上的最值一定在端点处取得，所以就把解题过程简单化了．
10．（5分）（2009•山东）设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D． 4
考点： 基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域．
专题： 压轴题．
分析： 已知2a+3b=6，求 的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．
解答： 解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）
过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，即2a+3b=6，而 = ，
故选A．
点评： 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）．
11．（5分）（2006•咸安区模拟）数列{an}中，Sn是前n项和，若a1=1，an+1= （n≥1，n∈N），则an= ．
考点： 数列递推式．
专题： 计算题．
分析： 由题设条件可知a1=1， ，化简可得，4an=3an+1，即 ，由此可知答案．
解答： 解：a1=1， ，
当n≥2时，Sn=3an+1，Sn﹣1=3an，
∴an=Sn﹣Sn﹣1=3an+1﹣3an，
∴4an=3an+1，
∴ ，
∴an= ．
故答案： ．
点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
12．（5分）（2013•铁岭模拟）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a=csinA，则 的最大值为 ．
考点： 正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．
专题： 计算题．
分析： 根据正弦定理及a=csinA求得C．进而根据勾股定理可知c2=a2+b2，对 化简整理得1+ 根据基本不等式得到 的范围，进而得出答案．
解答： 解：a=csinA，得到 = =sinA．所以sinC=1，即C=90°．
所以c2=a2+b2．
= =1+ =1+ =1+ ≤1+ =2
所以 得最大值为
故答案为 ．
点评： 本题主要考查正弦定理和基本不等式在解三角形中的应用．
13．（5分）2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为 米，则旗杆的高度为 30 米．
考点： 解三角形的实际应用．
专题： 计算题．
分析： 先画出示意图，根据题意可求得∠NBA和∠BAN，则∠BNA可求，然后利用正弦定理求得AN，最后在Rt△AMN中利用MN=AN•sin∠NAM求得答案．
解答： 解：如图所示，依题意可知∠NBA=45°，
∠BAN=180°﹣60°﹣15°=105°
∴∠BNA=180°﹣45°﹣105°=30°
由正弦定理可知 CEsin∠EAC=ACsin∠CEA，
∴AN= =20 米
∴在Rt△AMN中，
MN=AN•sin∠NAM=20 × =30米
所以：旗杆的高度为30米
故答案为：30．
点评： 本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决．
14．（5分）若数列{an}满足a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，an﹣an﹣1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于 2n﹣1 ．
考点： 等比数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 直接把数列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，an﹣an﹣1，…的前n项求和即可得到答案．
解答： 解：由题意可知，an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）
= ．
故答案为2n﹣1
点评： 本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了学生的灵活变形能力，是基础题．
15．（5分）若 ，已知下列不等式：①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④ ；⑤a2＞b2；⑥2a＞2b，其中正确的不等式的序号为 ①④⑥ ．
考点： 不等关系与不等式；命题的真假判断与应用．
专题： 常规题型．
分析： 若 ，则a＜0，b＜0，且a＞b
则①a+b为负数，ab为正数；
②③⑤赋值来处理；
④借助于均值不等式来处理；
⑥由于a＞b，且y=2x为增函数，则2a＞2b
解答： 解：若 ，则a＜0，b＜0，且a＞b
则①a+b＜0，ab＞0，故①正确；
②令a=﹣2，b=﹣3，则显然 ，但|a|=2，|b|=3，故②错误；
③由②得a＞b，故③错；
④由于a＜0，b＜0，故 则 （当且仅当 即a=b时取“=”）
又a＞b，则 ，故④正确；
⑤由②知，a2＜b2，故⑤错；
⑥由于a＜0，b＜0，且a＞b，则2a＞2b，故⑥正确
故答案为 ①④⑥
点评： 本题考查不等式的性质，属于基础题．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC，且 ，求△ABC的面积S．
考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．
专题： 计算题．
分析： 由已知条件利用正弦定理可得 b2+c2=a2+bc，再利用余弦定理求出cosA= ，故sinA= ，由 求得，bc=8，由S= 求出结果．
解答： 解：由已知条件利用正弦定理可得 b2+c2=a2+bc，∴bc=b2+c2﹣a2=2bc•cosA，
∴cosA= ，∴sinA= ，由 得 bc•cosA=4，bc=8．
∴S= =2 ．
点评： 本题主要考查正弦定理、余弦定理，两个向量的数量积的定义，求得cosA= ，是解题的关键．
17．（12分）某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400小时和500小时．如何安排生产可使月收入最大？
考点： 简单线性规划．
专题： 应用题．
分析： 先设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，写出约束条件、目标函数，欲求生产收入最大值，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．
解答： 解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，
约束条件是
目标函数是z=0.3x+0.2y
由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分
由z=0.3x+0.2y可得5z为直线z=0.3x+0.2y在y轴上的截距，截距最大时z最大．
结合图象可知，z=0.3x+0.2y在A处取得最大值
由 可得A（200，100），此时z=80万
故安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大．
点评： 在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件②由约束条件画出可行域③分析目标函数Z与直线截距之间的关系④使用平移直线法求出最优解⑤还原到现实问题中．
18．（12分）（1）已知x＜ ，求函数y=4x﹣2+ 的最大值
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，求证： ．
考点： 综合法与分析法(选修）；基本不等式．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： （1）化简可得函数y=3﹣（5﹣4x+ ），而由基本不等式可得5﹣4x+ 的最小值为2，从而求得函数y=3﹣（5﹣4x+ ） 的最大值．
（2）由条件利用基本不等式可得 ， ， ，把这三个不等式相加在同时除以2，即可正得不等式成立．
解答： 解：（1）∵已知x＜ ，函数y=4x﹣2+ =4x﹣5+ +3=3﹣（5﹣4x+ ），
而由基本不等式可得 （5﹣4x）+ ≥2，当且仅当 5﹣4x= ，即x=1时，等号成立，
故5﹣4x+ 的最小值为2，
故函数y=3﹣（5﹣4x+ ） 的最大值为 3﹣2=1．
（2）∵已知a＞0，b＞0，c＞0，∴ ， ， ，当且仅当a=b=c时，取等号．
把这三个不等式相加可得 ，
∴ 成立．
点评： 本题主要考查利用基本不等式求函数的最值，利用基本不等式证明不等式，注意检验等号成立的条件以及不等式的使用条件，属于中档题．
19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*），在数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，求Tn．
考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： （1）由Sn=2an﹣2得：Sn﹣1=2an﹣1﹣2（n≥2），两式相减可得an=2an﹣1（n≥2），再求得a1=2，可知数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可求an=2n；点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，可知bn+1﹣bn=2，又b1=1，从而可求得{bn}的通项公式；
（2））Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n①，2Tn=1×22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1②，错位相减即可求得Tn．
解答： 解：（1）由Sn=2an﹣2得：Sn﹣1=2an﹣1﹣2（n≥2），
两式相减得：an=2an﹣2an﹣1，即 =2（n≥2），
又a1=2a1﹣2，
∴a1=2，
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n．
∵点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，
∴bn+1﹣bn=2，
∴数列{bn}是等差数列，
∵b1=1，
∴bn=2n﹣1；
（2）Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n①
∴2Tn=1×22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1②
①﹣②得：﹣Tn=1×2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1
=2+2× ﹣（2n﹣1）×2n+1
=2+2×2n+1﹣8﹣（2n﹣1）×2n+1
=（3﹣2n）2n+1﹣6，
∴Tn=（2n﹣3）2n+1+6．
点评： 本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查等比关系的确定与错位相减法求和，属于中档题．
20．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．
考点： 一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： （1）直接因式分解后求解不等式的解集；
（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．
解答： 解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，
即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．
所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；
（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，
当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，
则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，
即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．
所以对一切x＞2，均有不等式 成立．
而 （当x=3时等号成立）．
所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．
点评： 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是基础题．
21．（14分）（2011•山东）等比数列{an}中．a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且a1•a2•a3中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）如数列{bn}满足bn=an+（﹣1）lnan，求数列bn的前n项和sn．
考点： 等比数列的通项公式；数列的求和．
专题： 计算题．
分析： （Ⅰ）由表格可看出a1，a2，a3分别是2，6，18，由此可求出{an}的首项和公比，继而可求通项公式
（Ⅱ）先写出bn发现bn由一个等比数列、一个等差数列乘（﹣1）n的和构成，故可分组求和．
解答： 解：（Ⅰ）当a1=3时，不合题意
当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时符合题意
当a1=10时，不合题意
因此a1=2，a2=6，a3=18，所以q=3，
所以an=2•3n﹣1．
（Ⅱ）bn=an+（﹣1）nlnan
=2•3n﹣1+（﹣1）n[（n﹣1）ln3+ln2]
=2•3n﹣1+（﹣1）n（ln2﹣ln3）+（﹣1）nnln3
所以sn=2（1+3+…+3n﹣1）+[﹣1+1﹣1+1+…+（﹣1）n]（ln2﹣ln3）+[﹣1+2﹣3+4﹣…+（﹣1）nn]ln3
所以当n为偶数时，sn= =
当n为奇数时，sn= =
综上所述sn=
点评： 本题考查了等比数列的通项公式，以及数列求和的方法，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个中档题．
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