湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

长沙市2014-2015高二数学上学期期末试卷（文科带解析） ‎ 一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（3分）i为虚数单位，复平面内表示复数z=的点在（）‎ ‎ A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 ‎2．（3分）命题p：•＜0，命题q：∠BAC是钝角．p是q的（）‎ ‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎3．（3分）在如图所示的四个图示中，是结构图的是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．（3分）a，b，c，d四位同学各自对甲、乙两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和（yi﹣）2如下表：‎ ‎ a b c d 散点图 ‎ 残差平方和 115 106 124 103‎ 哪位同学的实验结果体现拟合甲、乙两变量关系的模型拟合精度高？（）‎ ‎ A． a B． b C． c D． d ‎5．（3分）已知过曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）‎ ‎ A． （，） B． C． （，） D． ‎ - 20 -‎ ‎6．（3分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为10，若‎2a=16，则△ABF2的周长是（）‎ ‎ A． 32 B． ‎36 ‎C． 42 D． 52‎ ‎7．（3分）有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）‎ ‎ A． 大前提错误 B． 小前提错误 C． 推理形式错误 D． 非以上错误 ‎8．（3分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （）‎ ‎ A． 46，45，56 B． 46，45，‎53 ‎C． 47，45，56 D． 45，47，53‎ ‎9．（3分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）‎ ‎ A． 假设三内角都不大于60度 ‎ B． 假设三内角都大于60度 ‎ C． 假设三内角至多有一个大于60度 ‎ D． 假设三内角至多有两个大于60度 ‎10．（3分）某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用2×2列联表进行独立性研究，经计算K2=7.069，则至少有（）的把握认为“学生的视力与座位有关”．‎ 附：‎ P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001‎ k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828‎ ‎ A． 95% B． 99% C． 97.5% D． 90%‎ ‎11．（3分）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：‎ x 1.99 3 4 5.1 6.12‎ y 1.5 4.04 7.5 12 18.01‎ 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（）‎ ‎ A． y=2x﹣2 B． y=（）x C． y=log2x D． y=（x2﹣1）‎ ‎12．（3分）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ - 20 -‎ ‎13．（3分）设函数fn（x）=n2x2（1﹣x）n（n为正整数），则fn（x）在上的最大值为（）‎ ‎ A． 0 B． ‎1 ‎C． （1﹣）n D． 4（）n+2‎ ‎14．（3分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）‎ ‎ A． （0，1） B． （0，] C． （0，） D． =5．x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个根，则x0所在区间为（）‎ ‎ A． （1，2） B． （2，3） C． （3，4） D． （4，5）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．‎ ‎16．（3分）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为．‎ ‎17．（3分）已知A是曲线ρ=4cosθ上任一点，则点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为．‎ ‎18．（3分）曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为．‎ ‎19．（3分）已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的左、右两焦点，若△PF‎1F2的内切圆的半径为，则=．‎ ‎20．（3分）已知f（x）是定义在上的函数，g（x），h（x）是定义在R上的可导函数，且g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），并且f（x）满足以下三个条件：‎ ‎①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）．‎ 则f（）+f（）=．‎ 三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎21．（8分）某医院眼科某天测量300名求医者的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列．‎ ‎（1）求出最大频率；‎ ‎（2）求出视力在4.6﹣5.0的人数．‎ - 20 -‎ ‎22．（8分）小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y．‎ ‎（1）在直角坐标系xOy中，以（x，y）为坐标的点共有几个？求点（x，y）落在直线x+y=7上的概率；‎ ‎（2）规定：若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个规定公平吗？请说明理由．‎ ‎23．（8分）命题p：已知f（x）=x2+（m2﹣1）x+（m﹣2）的一个零点比1大，一个零点比1小．‎ 命题q：﹣‎4m2‎≤﹣﹣+1在x∈‎ 解答： 解：∵z==，‎ ‎∴复平面内表示复数z=的点的坐标为（），位于第四象限．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎2．（3分）命题p：•＜0，命题q：∠BAC是钝角．p是q的（）‎ ‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 平面向量及应用；简易逻辑．‎ 分析： 根据充分条件和必要条件的定义结合向量数量积的应用进行判断即可．‎ 解答： 解：若•＜0，即||•||cos∠BAC＜0，‎ 即﹣1≤cos∠BAC＜0，则＜∠BAC≤π，则∠BAC是钝角不一定成立，‎ 反之若∠BAC是钝角，则cos∠BAC＜0，即•=||•||cos∠BAC＜0，‎ 则•＜0成立，‎ - 20 -‎ 即p是q的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量数量积的定义是解决本题的关键．‎ ‎3．（3分）在如图所示的四个图示中，是结构图的是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 结构图． ‎ 专题： 算法和程序框图．‎ 分析： 根据结构图的定义，对四个框图进行判断即可得到结论．‎ 解答： 解：A中，，是流程图；‎ B中，，是知识结构图；‎ C中，，是直方图，‎ D中，，是韦恩图，‎ 故选：B 点评： 本题考查了结构图的分析与判断问题，是基础题目．‎ ‎4．（3分）a，b，c，d四位同学各自对甲、乙两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和（yi﹣）2如下表：‎ ‎ a b c d - 20 -‎ 散点图 ‎ 残差平方和 115 106 124 103‎ 哪位同学的实验结果体现拟合甲、乙两变量关系的模型拟合精度高？（）‎ ‎ A． a B． b C． c D． d 考点： 散点图． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： 根据散点图以及残差平方和的大小进行判断即可．‎ 解答： 解：由散点图可知D的残差平方和最小，此时图象和回归方程拟合精度高，‎ 故选：D 点评： 本题主要考查散点图和残差平方和的应用，比较基础．‎ ‎5．（3分）已知过曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）‎ ‎ A． （，） B． C． （，） D． ‎ 考点： 直线的倾斜角；圆的参数方程． ‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： 先将曲线的极坐标方程化为普通方程并求出直线的方程，再将二者联立即可解出．‎ 解答： 解：将曲线（θ为参数，0≤θ≤π）消去参数θ，化为普通方程为（y≥0）．‎ ‎∵直线PO的倾斜角为，∴=1，∴直线po的方程为：y=x，‎ 联立（y≥0），解得，即P．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了将曲线的极坐标方程化为普通方程及直线与曲线相交的问题，熟练的计算是解决问题的关键》‎ ‎6．（3分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为10，若‎2a=16，则△ABF2的周长是（）‎ ‎ A． 32 B． ‎36 ‎C． 42 D． 52‎ 考点： 双曲线的简单性质． ‎ - 20 -‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 由双曲线的定义可得AF2+BF2 =42，△ABF2的周长是（ AF1 +AF2 ）+（ BF1+BF2 ）=（AF2+BF2 ）+AB，计算可得答案．‎ 解答： 解：由双曲线的定义可得 AF2﹣AF1=‎2a，BF2 ﹣BF1=‎2a，‎ ‎∴AF2+BF2 ﹣AB=‎4a=32，即AF2+BF2 ﹣10=32，AF2+BF2 =42．‎ ‎△ABF2（F2为右焦点）的周长是 （ AF1 +AF2 ）+（ BF1+BF2 ）=（AF2+BF2 ）+AB=42+10=52．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出AF2+BF2 =42是解题的关键．‎ ‎7．（3分）有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）‎ ‎ A． 大前提错误 B． 小前提错误 C． 推理形式错误 D． 非以上错误 考点： 进行简单的演绎推理． ‎ 专题： 阅读型．‎ 分析： 本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些…”，不难得到结论．‎ 解答： 解：∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，‎ ‎∴不符合三段论推理形式，‎ ‎∴推理形式错误，‎ 故选C．‎ 点评： 演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．‎ ‎8．（3分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （）‎ ‎ A． 46，45，56 B． 46，45，‎53 ‎C． 47，45，56 D． 45，47，53‎ 考点： 茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．‎ - 20 -‎ 解答： 解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：=46．‎ 众数是45，极差为：68﹣12=56．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．‎ ‎9．（3分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）‎ ‎ A． 假设三内角都不大于60度 ‎ B． 假设三内角都大于60度 ‎ C． 假设三内角至多有一个大于60度 ‎ D． 假设三内角至多有两个大于60度 考点： 反证法与放缩法． ‎ 专题： 常规题型．‎ 分析： 一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；‎ ‎“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；‎ ‎“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．‎ 解答： 解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．‎ 故选B 点评： 本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．‎ ‎10．（3分）某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用2×2列联表进行独立性研究，经计算K2=7.069，则至少有（）的把握认为“学生的视力与座位有关”．‎ 附：‎ P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001‎ k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828‎ ‎ A． 95% B． 99% C． 97.5% D． 90%‎ 考点： 独立性检验的应用． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： 把观测值同临界值进行比较．得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系 - 20 -‎ 解答： 解：∵K2=7.069＞6.635，对照表格：‎ P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001‎ k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828‎ ‎∴有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查独立性检验，解题时注意利用表格数据与观测值比较，这是一个基础题 ‎11．（3分）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：‎ x 1.99 3 4 5.1 6.12‎ y 1.5 4.04 7.5 12 18.01‎ 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（）‎ ‎ A． y=2x﹣2 B． y=（）x C． y=log2x D． y=（x2﹣1）‎ 考点： 回归分析． ‎ 专题： 常规题型．‎ 分析： 根据所给的五组数据，在平面直角坐标系中画出五个点，观察这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增，递增的速度比较快，排除B，C两个选项，当x=4时，不符合A选项，得到结果．‎ 解答： 解：在直角坐标系中画出这几对数据的散点图，‎ 观察图形的变化趋势，‎ 这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增，‎ 递增的速度比较快，排除B，C两个选项，‎ 当x=4时，不符合A选项，‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查选择合适的模型来拟合一组数据，考查作图法解题，考查四种函数的性质，本题是一个比较简单的综合题目．‎ - 20 -‎ ‎12．（3分）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 等可能事件的概率． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： 由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．‎ 解答： 解：由题意知本题是一个古典概型，‎ ‎∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，‎ 而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，‎ ‎∴由古典概型公式得到P==，‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查离散型随机变量的概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．‎ ‎13．（3分）设函数fn（x）=n2x2（1﹣x）n（n为正整数），则fn（x）在上的最大值为（）‎ ‎ A． 0 B． ‎1 ‎C． （1﹣）n D． 4（）n+2‎ 考点： 函数的最值及其几何意义． ‎ 专题： 计算题；导数的综合应用．‎ 分析： 对函数求导，令导数f′（x）=0，解得x的值，分析导函数的符号，确定函数在点x=取极大值，即函数的最大值，代入函数解析式即可求得结果．‎ 解答： 解：f′（x）=2n2x（1﹣x）n﹣n×n2x2（1﹣x）n﹣1‎ ‎=n2x（1﹣x）n﹣1（2﹣2x﹣nx）=﹣n2x（1﹣x）n﹣1=0‎ 得x=0，或x=1，或x=‎ f（x）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，‎ ‎∴f（x）在上的最大值为4（）n+2．‎ 故选：D．‎ 点评： 此题考查利用函数的导数研究函数的最值问题，注意导数的运算法则的应用是正确解题的关键，考查运算能力，属中档题．‎ ‎14．（3分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）‎ - 20 -‎ ‎ A． （0，1） B． （0，] C． （0，） D． =5．x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个根，则x0所在区间为（）‎ ‎ A． （1，2） B． （2，3） C． （3，4） D． （4，5）‎ 考点： 根的存在性及根的个数判断；对数的运算性质． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 利用换元法设f（x）﹣log4x=t，求出函数f（x）的表达式，利用导数化简方程，利用根的存在性定理进行判断即可．‎ 解答： 解：设f（x）﹣log4x=t，‎ 则f（t）=5，‎ 即f（x）=log4x+t，‎ 当x=t时，f（t）=log4t+t=5，‎ 解得t=4，‎ ‎∵在（0，+∞）的函数f（x）为单调函数，‎ ‎∴f（x）=log4x+4，‎ 则f′（x）=，‎ 则方程f（x）﹣f′（x）=4等价为log4x+4﹣=4，‎ 即log4x﹣=0，‎ 即lnx4•log4x﹣=0，‎ 则lgx﹣=0，‎ 设h（x）=lgx﹣，则函数h（x）在（0，+∞）上为增函数，‎ 则h（1）=lg1﹣1=﹣1＜0，‎ h（2）=lg2﹣=lg＜0，‎ h（3）=lg3﹣=lg＞0，‎ 即在（2，3）内函数h（x）存在一个零点，‎ 即x0所在区间为（2，3），‎ 故选：B - 20 -‎ 点评： 本题主要考查函数解析式的求解，以及函数零点的判断，利用函数零点的判断条件，将函数与方程进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．‎ ‎16．（3分）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为．‎ 考点： 几何概型． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出事件：“劣弧的长度小于‎1”‎对应的弧长大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解．‎ 解答： 解：如图所示，‎ ‎∵劣弧=1，‎ ‎∴劣弧=1，‎ 则劣弧的长度小于1的概率为P=‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．‎ ‎17．（ 3分）已知A是曲线ρ=4cosθ上任一点，则点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为5．‎ - 20 -‎ 考点： 简单曲线的极坐标方程． ‎ 专题： 坐标系和参数方程．‎ 分析： 把极坐标化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，即可得出点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为d+r．‎ 解答： 解：曲线ρ=4cosθ化为ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4，‎ 直线ρcosθ=﹣1化为x=﹣1．‎ ‎∴圆心（2，0）到直线x=﹣1的距离d=3，‎ ‎∴点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为d+r=3+2=5．‎ 故答案为：5．‎ 点评： 本题把极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎18．（3分）曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．‎ 考点： 导数的几何意义． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；‎ 解答： 解：y′=ex+x•ex+2，y′|x=0=3，‎ ‎∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．‎ 故答案为：y=3x+1‎ 点评： 本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题．‎ ‎19．（3分）已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的左、右两焦点，若△PF‎1F2的内切圆的半径为，则=．‎ 考点： 椭圆的简单性质． ‎ 专题： 计算题；压轴题．‎ 分析： 根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，根据椭圆方程求得焦距，进而利用三角形面积公式和内切圆的性质建立等式求得P点纵坐标，最后利用向量坐标的数量积公式即可求得答案．‎ 解答： 解：椭圆+=1的a=2，b=，c=1．‎ 根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，|F‎1F2|=2，‎ 不妨设P是椭圆+=1上的第一象限内的一点，‎ S△PF‎1F2=（|PF1|+|PF2|+|F‎1F2|）•==|F‎1F2|•yP=yP．‎ - 20 -‎ 所以yp=．‎ 则 ‎=（﹣1﹣xp，﹣yP）•（1﹣xP，﹣yP）‎ ‎=xp2﹣1+yp2=4（1﹣）﹣1+yp2=3﹣‎ ‎=‎ 故答案为：．‎ 点评： 本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义、向量的数量积基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．‎ ‎20．（3分）已知f（x）是定义在上的函数，g（x），h（x）是定义在R上的可导函数，且g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），并且f（x）满足以下三个条件：‎ ‎①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）．‎ 则f（）+f（）=1．‎ 考点： 导数的运算；函数的值． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），可得，f′（x）≥0，于是f（x）在R上单调递增．由f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），可得f（1）=1，因此f（）=，=．必然有当时，f（x）=．可得，即可得出．‎ 解答： 解：∵g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），‎ ‎∴，≥0，‎ ‎∴f（x）在R上单调递增．‎ ‎∵f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），∴f（1﹣0）=1﹣f（0），∴f（1）=1，‎ ‎∴f（）=f（1）=，，∴=．‎ ‎∴当时，f（x）=．‎ ‎∵，‎ - 20 -‎ ‎∴，‎ ‎∴+=1．‎ 故答案为：1．‎ 点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ 三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎21．（8分）某医院眼科某天测量300名求医者的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列．‎ ‎（1）求出最大频率；‎ ‎（2）求出视力在4.6﹣5.0的人数．‎ 考点： 频率分布直方图． ‎ 专题： 等差数列与等比数列；概率与统计．‎ 分析： （1）根据频率分布直方图，得出4.6～4.7间的频率最大，利用频数、等比数列的知识求出最大频率值；‎ ‎（2）根据后6组的频数成等差数列，且和为261，求出公差d，即可计算所求的结果．‎ 解答： 解：（1）根据频率分布直方图，得组距为0.1，‎ 则4.3～4.4间的频数为300×0.1×0.1=3；‎ ‎4.4～4.5间的频数为300×0.1×0.3=9，‎ 所以4.6～4.7间的频率最大，为3×33=81，‎ 所以最大频率为0.27；‎ ‎（2）根据后6组的频数成等差数列，且共有300﹣39=261人，‎ 设公差为d，则6×81+•d=261，‎ 解得d=﹣15；‎ 所以视力在4.6～5.0的人数为：‎ ‎4×81+×（﹣15）=234．‎ 点评： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了等差与等比数列的应用问题，是综合性题目．‎ - 20 -‎ ‎22．（8分）小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y．‎ ‎（1）在直角坐标系xOy中，以（x，y）为坐标的点共有几个？求点（x，y）落在直线x+y=7上的概率；‎ ‎（2）规定：若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个规定公平吗？请说明理由．‎ 考点： 古典概型及其概率计算公式． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： （1）所有的结果共有6×6种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线x+y=7上，列举当x=1，y=6；x=2，y=5；x=3，y=4； x=4，y=3；x=5，y=2；x=6，y=1，‎ 共有6种结果，由此得到所求的概率．‎ ‎（2）用列举法分别求得小王和小李赢的基本事件的个数，求得小王和小李赢的概率相等，从而得到这个规定公平．‎ 解答： 解：（1）由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，‎ 满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x+y=8上，‎ 当x=1，y=6； x=2，y=5； x=3，y=4，x=4，y=3；x=5，y=2；x=6，y=1，共有6种结果，‎ ‎∴根据古典概型的概率公式得到P==．‎ ‎（2）∵若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．‎ 而满足x+y≥10的（x，y）共有（4，6）、（6，4）、（5，6）、（6，5）、（6，6）、（5，5）6种情况．‎ 满足x+y≤4的（x，y）共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）6种情况．‎ 故小王和小李赢的概率相等，都等于=，故这个规定公平．‎ 点评： 本题考查古典概型的概率公式，考查满足直线方程的点，考查利用列举法得到事件数，本题是一个基础题，适合文科学生做，列举时注意要以x为主来讨论，属于基础题．‎ ‎23．（8分）命题p：已知f（x）=x2+（m2﹣1）x+（m﹣2）的一个零点比1大，一个零点比1小．‎ 命题q：﹣‎4m2‎≤﹣﹣+1在x∈‎ 当x=时，函数y=≤﹣﹣+1取得最小值﹣，‎ ‎∴﹣‎4m2‎≤﹣，‎ 解得m≤﹣，或m≥，‎ 综上所述﹣2＜m≤﹣，或≤m＜1．‎ 点评： 本题主要考查复合命题的应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系，以及函数恒成立的问题，和一元二次方程根的关系，属于中档题．‎ - 20 -‎ ‎24．（8分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知圆O：x2+y2=的切线l与椭圆相交于A，B两点，证明：以AB为直径的圆必经过原点．‎ 考点： 椭圆的简单性质． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： （1）通过=、抛物线y2=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点，计算即得结论；‎ ‎（2）分直线l的斜率不存在、直线l的斜率为0、直线l的斜率存在且不为0三种情况讨论，利用韦达定理计算即得结论．‎ 解答： （1）解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，‎ ‎∴e==，即a=c，‎ ‎∵抛物线y2=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点，‎ ‎∴a=，∴c=b=1，‎ ‎∴椭圆C的方程为：；‎ ‎（2）证明：①当直线l的斜率不存在时，‎ ‎∵直线l与圆O相切，∴直线方程为：x=或x=﹣，‎ Ⅰ．联立与x=，可得：A（，），B（，﹣），‎ ‎∴以AB为直径的圆的方程为：（x﹣）2+y2=；‎ Ⅱ．联立与x=﹣，可得：A（﹣，），B（﹣，﹣），‎ ‎∴以AB为直径的圆的方程为：（x+）2+y2=；‎ 综合Ⅰ、Ⅱ可知两圆过定点（0，0）；‎ ‎②当直线l的斜率为0时，‎ ‎∵直线l与圆O相切，∴切线方程为：y=或y=﹣，‎ Ⅰ．联立与y=﹣，可得：A（，﹣），B（﹣，﹣），‎ - 20 -‎ ‎∴以AB为直径的圆的方程为：x2+（y+）2=；‎ Ⅱ．联立与y=，可得：A（，），B（﹣，），‎ ‎∴以AB为直径的圆的方程为：x2+（y﹣）2=；‎ 综合Ⅰ、Ⅱ，显然过定点（0，0）；‎ ‎③当直线l的斜率存在且不为0时，联立与y=kx+m，‎ 消去y得：（1+2k2）x2+4kmx+‎2m2‎﹣2=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由韦达定理知：x1+x2=﹣，x1x2=，‎ ‎∴y1y2=，=x1x2+y1y2=，‎ ‎∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d==，‎ 即m2=（1+k2），从而=0，‎ 显然以AB为直径的圆经过原点；‎ 综合①②③可知：以AB为直径的圆必经过原点．‎ 点评： 本题考查求椭圆方程，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎25．（8分）已知函数f（x）=lnx，g（x）+f（x）=px2﹣qx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．‎ ‎（1）试用含有p的式子表示q；‎ ‎（2）若p≤0，试讨论函数g（x）的单调性；‎ ‎（3）当x≠1，h（x）f（x）=x2﹣4tx+4t2，（其中t为常数），若t∈（0，），函数h（x）有三个极值点为a，b，c，且a＜b＜c．证明0＜‎2a＜b＜1＜c．‎ 考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． ‎ 专题： 计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用．‎ 分析： （1）由题意化简g（x）=﹣lnx+px2﹣qx，求导g′（x）=﹣+px﹣q；从而可得g′（1）=﹣1+p﹣q=0，从而解得；‎ - 20 -‎ ‎（2）先确定函数g（x）=﹣lnx+px2﹣qx的定义域，再求导g′（x）=﹣+px﹣q=，讨论以确定其正负，从而确定函数的单调性；‎ ‎（3）由题意化简h（x）=，求导h′（x）=，再令m（x）=2lnx﹣，求导m′（x）=；从而可判断0＜a＜t，b=2t＜1，c＞1；从而证明．‎ 解答： 解：（1）由已知得g（x）=﹣lnx+px2﹣qx，‎ g′（x）=﹣+px﹣q，‎ 又∵函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，‎ ‎∴g′（1）=﹣1+p﹣q=0，‎ 故q=p﹣1；‎ ‎（2）由（1）知，g（x）=﹣lnx+px2﹣qx的定义域为（0，+∞），‎ g′（x）=﹣+px﹣q=，‎ ‎①当p=0时，‎ g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；‎ ‎②当p=﹣1时，g′（x）=﹣≤0，‎ 故g（x）在（0，+∞）上是减函数；‎ ‎③当p＜﹣1时，g′（x）=；‎ ‎0＜﹣＜1；‎ 故g（x）在（0，﹣），（1，+∞）上是减函数，在（﹣，1）上是增函数；‎ ‎④当﹣1＜p＜0时，g′（x）=；‎ ‎﹣＞1；‎ 故g（x）在（0，1），（﹣，+∞）上是减函数，在（1，﹣）上是增函数；‎ ‎（3）证明：由题意得，‎ - 20 -‎ h（x）=，h′（x）=‎ 令m（x）=2lnx﹣，m′（x）=；‎ 故m（x）=2lnx﹣在（0，t）上单调递减，在（t，+∞）上单调递增；‎ 而函数h（x）有三个极值点为a，b，c，‎ 则m（x）=2lnx﹣=0在（0，+∞）上有两个不相等相都不等于2t的根，‎ 且h（x）的一个极值点为2t；‎ ‎∵t∈（0，），mmin（x）=m（t）=2lnt+1＜2ln+1＜0；‎ m（1）=2ln1+2t﹣1=2t﹣1＜0；‎ 又∵a＜b＜c，‎ ‎∴0＜a＜t，b=2t＜1，c＞1；‎ ‎∴0＜‎2a＜b＜1＜c．‎ 点评： 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，难题在于构造函数以使问题简化，属于难题．‎ - 20 -‎