高一开学测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，则=
A． B． C． D．
2．已知点，，则直线的斜率是（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．函数f（x）=（m2-m-1）xm是幂函数，且函数f（x）图象不经过原点，则实数m=（ ）
A． B．1 C．2 D．或2
5．已知函数，则（ ）
A． B．8 C． D．
6．已知函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
7．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为点，关于原点的对称点为点，则间的距离为( )
A． B． C． D．
8．圆：和圆：=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x+y+3=0 B．2x-y-5=0 C．3x-y-9=0 D．4x-3y+7=0
9．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）
A．168 B．98 C．108 D．88
10．直线与、为端点的线段有公共点，则k的取值范围是
A． B． C． D．
11．已知函数且在上为减函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知为定义在上的奇函数，，且对任意的时，当时，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若函数，则________.
14．已知一圆经过两点，且它的圆心在直线上，则此圆的方程为______。
15．若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是__________．
16．设点是函数的图象上的任意一点，点，则 的最小值__________．
三、解答题
17．已知集合，．
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
18．已知直线； ．
（1）若，求的值．
（2）若，且他们的距离为，求的值．
19．已知函数．
（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
（2）当，时，不等式恒成立，求实数的范围．
20．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD．
（2）求三棱锥B-EFC的体积．
21．已知点，圆：.
（1）若点为圆上的动点，求线段中点所形成的曲线的方程；
（2）若直线过点，且被（1）中曲线截得的弦长为2，求直线的方程．
22．已知函数.
（1）若函数是上的偶函数，求实数的值；
（2）若，求函数的零点。
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
求出中所有的奇数后可得.
【详解】
中的奇数有，故，选A.
【点睛】
本题考查集合的交、并、补，属于基本题，注意弄清集合中元素的属性.
2．A
【解析】
【分析】
由,即可得出结果.
【详解】
直线的斜率.
【点睛】
本题主要考查直线的斜率，属于基础题型.
3．B
【解析】
【分析】
根据二次根式以及对数函数的性质,列出不等式，求出函数的定义域即可．
【详解】
解：由题意得：，
解得：4≤x＜6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是一道常规题．
4．A
【解析】
【分析】
由题意利用幂函数的定义和性质可得，由此求得m的值．
【详解】
解：∵函数f（x）=（m2-m-1）xm是幂函数，且函数f（x）图象不经过原点，
∴，求得m=-1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
5．C
【解析】
【分析】
利用分段函数的解析式，由里到外求值即可.
【详解】
∵函数，
∴f（﹣2）＝（﹣2）2＝4，
f（f（﹣2））＝f（4）＝24＝16．
故选：C．
【点睛】
本题考查函数值的求法，考查分段函数的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．C
【解析】
【分析】
由函数的零点判定定理可得不等式，解得可求a的范围．
本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用，属于基础试题.
【详解】
由f（x）＝3ax﹣1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在零点，
则f（﹣1）•f（1）＝（﹣3a﹣1﹣2a）（3a﹣1﹣2a）＝（﹣5a﹣1）•（a﹣1）＜0，
解得a＞1或a．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用，属于基础试题
7．C
【解析】
分析：求出点关于平面的对称点，关于原点的对称点，直接利用空间中两点间的距离公式，即可求解结果.
详解：在空间直角坐标系中，点点关于平面的对称点 ，
关于原点的对称点，
则间的距离为，故选C.
点睛：本题主要考查了空间直角坐标系中点的表示，以及空间中两点间的距离的计算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
8．C
【解析】
【分析】
要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可.
【详解】
由题意得，圆和圆交于两点，
则的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，
圆的圆心，
圆的圆心，
所以所求直线方程为，即，
故选C.
【点睛】
本题考查主要考查圆的方程与性质、两个圆的位置关系，以及直线两点式方程的应用，意在考查转化思想以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
9．D
【解析】
【分析】
由三视图可知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，求出底面三角形的周长，利用侧面积公式与三角形的面积公式计算可得答案．
【详解】
由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，
底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，
∴腰长为5，∴底面三角形的周长为5+5+6＝16，
∴几何体的表面积S＝2××6×4+（5+5+6）×4＝24+64＝88．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量.
10．B
【解析】
【分析】
求出直线y＝k（x﹣1）过定点C（1，0），再求它与两点A（3，2），B（0，1）的斜率，即可取得k的取值范围．
【详解】
解：y＝k（x﹣1）过C（1，0），
而kAC1，kBC1，
故k的范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
故选：B．
【点睛】
本题考查倾斜角与斜率的关系，正确分析图象是解题的关键.
11．A
【解析】
【分析】
由复合函数的单调性，根据同增异减和函数的定义域，列出相应的不等式组，即可求解。
【详解】
由且，
令，则函数的对称轴的方程为，
又由函数为单调递增函数，
要使得函数且在上为减函数，
则当时，则满足 ，此时无解；
当时，则满足 ，解得，
综上可知的取值范围为，故选A。
【点睛】
本题主要考查了与对数函数相关的复合函数的单调性的应用，其中解答中合理利用复合函数的单调性，列出不等式组是解答的关键，同时注意定义域是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。
12．C
【解析】
【分析】
先明确函数的奇偶性与单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】
∵为定义在上的奇函数，
∴也为定义在上的奇函数，
∵对任意的时，当时，
∴为上的单调增函数，又为上的奇函数，
∴在上单调递增，
由可得
即
∴，即
故选：C
【点睛】
本题考查函数奇偶性与单调性的性质，考查不等式的解法，是基础题．
13．0
【解析】
【分析】
令x=1代入即可求出结果.
【详解】
令，则.
【点睛】
本题主要考查求函数的值，属于基础题型.
14．
【解析】
【分析】
先求得垂直平分线的方程，将此方程和直线联立，求得圆心的坐标，再用两点间的距离公式求得半径，由此求得圆的方程.
【详解】
线段中点的坐标为，直线的斜率为，与它垂直的直线的斜率为，由点斜式得，即，由，解得圆心坐标为，半径为，所以圆的标准方程为.
【点睛】
本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查圆的标准方程的求解，属于基础题.要求线段的垂直平分线的方程，要做两个准备，一个是求得线段中点的坐标，另一个是求的线段的斜率，由此求得垂线的斜率，再根据点斜式求得垂直平分线的方程.求圆的方程，重点是确定圆心坐标和半径.
15．或
【解析】
【分析】
方程有两个不相等的实数解即直线与的图象有两个不同的交点，数形结合即可得到结果.
【详解】
关于的方程有两个不相等的实数解即直线与的图象有两个不同的交点，作图如下：
由图易知：实数的取值范围是或
故答案为：或
【点睛】
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
16．
【解析】函数为半圆 , 点在直线 上
所以 的最小值为圆心到直线距离减去半径,即
点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．
17．（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）由，求出，再求出；（2），利用数轴，可知，求出的取值范围。
试题解析：
（Ⅰ）当时，，，
；
（Ⅱ）若，，即的取值范围是。
18．（1）；（2）， 或
【解析】试题分析：（1）因为两条直线是相互垂直的，故，解得；（2）因为两条直线是相互平行的，故，解得．
解析：设直线的斜率分别为，则、．
（1）若，则，∴
（2）若，则，∴．
∴可以化简为，
∴与的距离为，∴或
19．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用二次函数的性质，得函数的对称轴不在区间内，建立不等式即可求出实数的取值范围；
（2）根据题意，不等式等价于当时恒成立，通过构造函数，将问题转化为恒成立，即可求出实数的范围.
【详解】
解：（1）函数 的对称轴为,又有函数在上是单调函数
或 , 解得或.
实数的取值范围为.
（2）当，时，恒成立，即恒成立，
令，恒成立
函数的对称轴,∴，即
的范围为.
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，含参二次不等式恒成立问题和二次函数在闭区间上的最值，考查构造函数法和转化思想在求解问题中的运用.
20．（）见解析；（）．
【解析】
【分析】
（1）取PC的中点G，证明四边形EFGA是平行四边形，可得EF∥AG，证得EF∥平面PAD．
（2）取AD中点O，可证PO⊥底面ABCD，进而得到点F到面ABCD距离，利用等体积转换，即可求三棱锥B-AEF的体积．
【详解】
（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，
∵GF为△PDC的中位线，∴GF∥CD且，
又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，
∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，
又EF⊄面PAD，AG⊂面PAD，
∴EF∥面PAD；
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，
又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，∴F到面ABCD距离，
故.
【点睛】
本题考查了证明线面平行的判定定理和面面垂直的性质定理的应用，，利用等体积转化求三棱锥的体积是常用的方法，属于基础题.
21．(1) (2) 或．
【解析】
【分析】
（1）设的中点为，可得，代入圆：，整理可得线段中点所形成的曲线的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为：，被圆
所截弦长为2；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由弦长公式及点到直线距离公式求，则直线方程可求．
【详解】
（1）设的中点为，
则，代入圆：，
得，即.
圆心到圆圆心的距离为3，
∵，
∴线段中点所形成的曲线的方程为即；
（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为：，被圆所截弦长为2；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即．
由弦长公式得，则，解得．
所求直线方程为.
故是求直线方程为：或．
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
22．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意得，即，根据函数解析式整理可得，故得．（2）当时得到函数的解析式，然后根据指数与对数的关系可得
，整理得，求得，于是可得．
【详解】
（1）∵是上的偶函数，
∴，即，
∴，
整理得，
∴，
∴．
（2）当时，
令，可得，
∴
整理得，
解得或（舍去）
∴．
【点睛】
本题考查函数的性质及函数与方程的关系，考查计算能力和转化能力，解题的关键是根据相关概念及所求将问题进行转化，逐步达到求解的目的．另外，由于题目中涉及到大量的计算，所以在求解过程中要注意运算的准确性，合理进行指数和对数间的转化．
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