江苏省2019届高三下学期3月月考数学试题

1 江苏省 2019 届高三下学期 3 月月考数学试题 2019．3 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上．） 1．已知集合 A＝ ，B＝{2，3，4，5}，则 A B＝ ． 2．若复数 z 满足 （i 是虚数单位），则 ＝ ． 3．根据如图所示的伪代码，当输出 y 的值为﹣1 时，则输入的 x 的值为 ． 第 7 题 第 9 题 第 3 题 4．已知一组数据 ， ，…， 的方差为 3，若数据 ， ，…， (a， b R)的方差为 12，则 a 的值为 ． 5．在区间(1，3)内任取 1 个数 x，则满足 的概率是 ． 6．已知圆锥的体积为 ，母线与底面所成角为 ，则该圆锥的表面积为 ． 7．函数 (A＞0， ＞0， ＜ )的部分图象如图所示，则 ＝ ． 8．已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 1≤ ≤3，3≤ ≤6，则 的取值范围 是 ． 9 ． 如 图 ， 在 △ABC 中 ， AD ＝ DB ， F 在 线 段 CD 上 ， 设 ， ， ，则 的最小值为 ． 10．已知数列 为正项的递增等比数列， ， ，记数列 的前 { }N 1 3x x∈ ≤ ≤  (1 i) 2iz+ = z 1x 2x nx 1ax b+ 2ax b+ nax b+ ∈ 2log (2 1) 1x − > 3 3 π 3 π ( ) Asin( )f x xω ϕ= + ω ϕ 2 π ϕ { }na nS 1a 1 3a S+ 2 1 a a AB a=  AC b=  AF xa yb= +   1 4 x y + { }na 1 5 82a a+ = 2 4 81a a⋅ = 2 na      2 n 项和为 ，则使不等式 成立的最大正整数 n 的值是 ． 11．已知双曲线 (a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 MN 过 F2，且 与双曲线右支交于 M、N 两点，若 cos∠F1MN＝cos∠F1F2M， ，则双曲线的 离心率等于 ． 12．已知 a＞0，函数 在[﹣1，1]上的最大值为 2，则 a＝ ． 13．在边长为 8 的正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，N 是 AD 边上的一点，且 DN＝ 3NA，若对于常数 m，在正方形 ABCD 的边上恰有 6 个不同的点 P，使 ， 则实数 m 的取值范围是 ． 14．已知函数 有两个不同的极值点 ， ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分 14 分） 已知函数 ． （1）求 的对称中心； （2）若锐角△ABC 中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ＝0，求 的取 值范围． 16．（本题满分 14 分） 如图，三角形 PCD 所在的平面与等腰梯形 ABCD 所在的平面垂直，AB＝AD＝ CD， AB∥CD，CP⊥CD，M 为 PD 的中点． （1）求证：AM∥平面 PBC； （2）求证：BD⊥平面 PBC． nT 12019 1 13 nT − > 2 2 2 2 1x y a b − = 1 1 FM 1 F N 2 = 2( ) 3f x x x a= + − − PM PN m⋅ =  2( ) 2 lnf x ax x x= − + 1x 2x 1( )f xλ > + 2( )f x λ ( ) 2cos(2 ) cos2 13f x x x π= + − + ( )f x (A)f b c 1 23 17．（本题满分 14 分） 如图，某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路 ll，l2，且 ll 和 l2 交于点 O．为 了方便游客游览，计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路 AB．景观湖的轮廓可以近 似看成一个圆心为 O′，半径为 2 百米的圆，且公路 AB 与圆 O′相切，圆心 O′到 ll，l2 的距离 均为 5 百米，设∠OAB＝ ，AB 长为 L 百米． （1）求 L 关于 的函数解析式； （2）当 为何值时，公路 AB 的长度最短？ 18．（本题满分 16 分） 过椭圆 W： 的左焦点 F1 作直线 l1 交椭圆于 A，B 两点，其中 A(0，1)，另 一条过 F1 的直线 l2 交椭圆于 C，D 两点（不与 A，B 重合），且 D 点不与点(0，﹣1)重合．过 F1 作 x 轴的垂线分别交直线 AD，BC 于 E，G． （1）求 B 点坐标和直线 l1 的方程； （2）比较线段 EF1 和线段 GF1 的长度关系并给出证明． θ θ θ 2 2 12 x y+ =4 19．（本题满分 16 分） 设函数 ， [0， ]． （1）当 a＝1 时，求证： ≥0； （2）如果 ≥0 恒成立，求实数 a 的最小值． 20．（本题满分 16 分） 正数数列 、 满足： ≥ ，且对一切 k≥2，k ， 是 与 的等差 中项， 是 与 的等比中项． （1）若 ， ，求 ， 的值； （2）求证： 是等差数列的充要条件是 为常数数列； （3）记 ，当 n≥2(n )时，指出 与 的大小关系并说 明理由． ( ) sin cosf x a x x x= − x ∈ 2 π ( )f x ( )f x { }na { }nb 1a 1b N∗∈ ka 1ka − 1kb − kb 1ka − 1kb − 2 2a = 2 1b = 1a 1b { }na { }na n n nc a b= − N∗∈ 2 3 nc c c+ + + 1c5 附加题 21．（本题满分 10 分） 设二阶矩阵 A，B 满足 ， ，求 ． 22．（本题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，射线 l： (x≥0)，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数），曲线 C2 的方程为 ；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 C3 的极坐标方程为 ． （1）写出射线 l 的极坐标方程以及曲线 C1 的普通方程； （2）已知射线 l 与 C2 交于 O，M，与 C3 交于 O，N，求 的值． 23．（本题满分 10 分） 为迎接 2022 年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后 对学生进行了考核．记 X 表示学生的考核成绩，并规定 X≥85 为考核优秀．为了了解本次 培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了 30 名学生的考核成绩，并作成如下茎叶 图． （1）从参加培训的学生中随机选取 1 人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的 概率； （2）从图中考核成绩满足 X [70，79]的学生中任取 3 人，设 Y 表示这 3 人重成绩满 足 ≤10 的人数，求 Y 的分布列和数学期望． 1 1 2A 3 4 −  =    1 1 0(BA) 0 1 −  =    1B− 3y x= 3cos 2sin x y α α =  = α 2 2( 2) 4x y+ − = 8sinρ θ= MN ∈ X 85−6 24．（本题满分 10 分） 已知 ． （1）求 的值； （2）求 的值． 参考答案 2 2 2 0 1 2 2(1 ) ( N )n n nx a a x a x a x n ++ = + + + + ∈ 1 2 2 1 2n na a a a−− + + − 1 2 2 1 2 1 1 1 1 n na a a a− − + + −789101112131415