导数抽象函数及原型函数训练

第 1 页（共 13 页） 导数抽象函数及原型函数训练 1．定义域为 R 的函数 f（x）满足 f′（x）＞f（x），则不等式 ex﹣1f（x）＜f（2x﹣1）的解为（　　） A． B． C．（1，+∞） D．（2，+∞） 2．定义在（0，+∞）上的函数 f（x）的导函数为 f′（x），且对∀x∈（0，+∞）都有 f′（x）lnx＞ f（x）， 则（　　） A．12f（2）＞3f（4）＞f（8） B．3f（4）＞12f（2）＞f（8） C．f（8）＞3f（4）＞12f（2） D．f（8）＞12f（2）＞3/f（4） 3．定义在 R 上的函数 f（x）满足 f′（x）＜x，且 f（1）＝1，则不等式 的解集为（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（0，+∞） 4．已知函数 f（x）的导函数为 f'（x），对任意 x∈R，都有 f'（x）＞f（x）成立，则（　　） A．e3f（2）＞e2f（3） B．e3f（2）＝e2f（3） C．e3f（2）＜e2f（3） D．e3f（2）与 e2f（3）的大小不确定 5．已知定义在 R 上的函数 g（x）满足 g（x）+g'（x）＜0，则下列不等式成立的是（　　） A．e•g（2018）＞g（2019） B．e•g（2018）＜g（2019） C．g（2018）＞e•g（2019） D．g（2018）＜e•g（2019） 6．已知奇函数 f（x）的导函数为 f'（x），当 x≠0 时，xf′（x）+f（x）＞0，若 a＝ f（ ），b＝﹣ef（﹣e），c ＝f（1），则 a，b，c 的大小关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b 7．设 f（x）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f'（x），若 f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2018，则不等式 exf（x）＞第 2 页（共 13 页） ex+2017（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（　　） A．（﹣∞，0）∪（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2017，+∞） C．（2017，+∞） D．（0，+∞） 8．已知函数 f（x）在 R 上存在导函数 f'（x），若 f（x）﹣f（﹣x）＝2x3，且 x≥0 时 f'（x）﹣3x2≥0，则不等式 f（ 2x）﹣f（x﹣1）＞7x3+3x2﹣3x+1 的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 9．已知函数 f（x）的定义域是 R，其导函数是 f′（x），且 f′（x）≥0，则满足不等式 f（lnt）+lnt﹣1≤f（1） 的实数 t 的集合是（　　） A．[e，+∞） B．[1，+∞） C．（0，e] D．[e﹣1，e] 10．已知 f（x）是定义在 R 上的函数，f′（x）是 f（x）的导函数，且满足 f′（x）+f（x）＜0，设 g（x）＝ex•f（ x），若不等式 g（1+t2）＜g（mt）对于任意的实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0）∪（4，+∞） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2） 11．设 f′（x）是函数 f（x）的导函数，且 f′（x）＞f（x）（x∈R），f（2）＝e2（e 为自然对数的底数），则不 等式 f（2lnx）＜x2 的解集为（　　） A．（ ，e） B．（0， ） C．（0，e） D．（1，e） 12．已知函数 f（x）（x∈R）满足 f（1）＝1，且 f（x）的导数 f′（x）＞ ，则不等式 f（x2）＜ 的解集为 （　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣1，1） 13．已知函数 f（x）＝alnx﹣2x，若不等式 f（x+1）＞f（ex）在 x∈（0，+∞）上恒成立，则实数 a 的取值范围是（　　第 3 页（共 13 页） ） A．a≤2 B．a≥2 C．a≤0 D．0≤a≤2 14．已知函数 f（x）＝alnx﹣2x，若不等式 f（x+1）＞ax﹣2ex 在 x∈（0，+∞）上恒成立，则实数 a 的取值范围是（　　 ） A．a≤2 B．a≥2 C．a≤0 D．0≤a≤2 15．已知函数 f（x）＝x3﹣2ex2+mx﹣lnx，若 f（x）＞x 恒成立，则实数 m 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 16．函数 f（x）的定义域为 R，若对任意的 x∈R，f（x）+xf'（x）＞0，且 ，则不等式（x2+1）f（x2+1）＞ 1 的解集为　 　． 17．设函数 f（x）在 R 上存在导数 f'（x），∀x∈R，有 f（﹣x）+f（x）＝x2，在（0，+∞）上，f'（x）＜x，若 f（6 ﹣m）﹣f（m）﹣18+6m≥0，则实数 m 的取值范围是　 　． 18．设函数 f（x）＝ax3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）．若不等式 xf'（x）﹣af（x）≤2 对一切 x∈R 恒成立，则 的取值范围为　 　． 答案： 1．定义域为 R 的函数 f（x）满足 f′（x）＞f（x），则不等式 ex﹣1f（x）＜f（2x﹣1）的解为（　　） A． B． C．（1，+∞） D．（2，+∞） 【解答】解：令 g（x）＝ ，则 g′（x）＝ ＞0， 故 g（x）在 R 递增，第 4 页（共 13 页） 不等式 ex﹣1f（x）＜f（2x﹣1）， 即 ＜ ， 故 g（x）＜g（2x﹣1）， 故 x＜2x﹣1，解得：x＞1， 故选：C． 2．定义在（0，+∞）上的函数 f（x）的导函数为 f′（x），且对∀x∈（0，+∞）都有 f′（x）lnx＞ f（x）， 则（　　） A．12f（2）＞3f（4）＞f（8） B．3f（4）＞12f（2）＞f（8） C．f（8）＞3f（4）＞12f（2） D．f（8）＞12f（2）＞3/f（4） 【解答】解：由 f′（x）lnx＞ f（x）得，f′（x）xlnx＞（1+lnx）f（x）， 即 f′（x）xlnx﹣（1+lnx）f（x）＞0， 令 g（x）＝ ， 则 g′（x）＝ ， 由 f′（x）xlnx﹣（1+lnx）f（x）＞0， ∴x∈（0，1），（1，+∞）时，g′（x）＞0， ∴g（x）在区间（0.1）和（1，+∞）上单调递增， ∴g（2）＜g（4）＜g（8）， 即 f（8）＞3f（4）＞12f（2）， 故选：C． 3．定义在 R 上的函数 f（x）满足 f′（x）＜x，且 f（1）＝1，则不等式 的解集为（　　）第 5 页（共 13 页） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（0，+∞） 【解答】解：根据题意，设 g（x）＝2f（x）﹣x2，其导数 g′（x）＝2f′（x）﹣2x＝2[f′（x）﹣x]， 又由函数 f（x）满足 f′（x）＜x，即函数 g′（x）＜0，函数 g（x）为 R 上的减函数， 又由 f（1）＝1，则 g（1）＝2f（1）﹣1＝1， ⇒2f（x）＜ ⇒2f（x）＜x2+1⇒2f（x）﹣x2＜1⇒g（x）＜g（1）， 又由函数 g（x）为 R 上的减函数，则 x＞1， 即不等式的解集为（1，+∞）； 故选：B． 4．已知函数 f（x）的导函数为 f'（x），对任意 x∈R，都有 f'（x）＞f（x）成立，则（　　） A．e3f（2）＞e2f（3） B．e3f（2）＝e2f（3） C．e3f（2）＜e2f（3） D．e3f（2）与 e2f（3）的大小不确定 【解答】解：令 g（x）＝ ，则 g′（x）＝ ， 因为对任意 x∈R 都有 f′（x）＞f（x）， 所以 g′（x）＞0，即 g（x）在 R 上单调递增，所以 g（3）＞g（2），即 ， 所以 e3f（2）＜e2f（3）， 故选：C． 5．已知定义在 R 上的函数 g（x）满足 g（x）+g'（x）＜0，则下列不等式成立的是（　　） A．e•g（2018）＞g（2019） B．e•g（2018）＜g（2019）第 6 页（共 13 页） C．g（2018）＞e•g（2019） D．g（2018）＜e•g（2019） 【解答】解：令 h（x）＝exg（x）， 则 h′（x）＝ex（g（x）+g′（x））＜0， 故 h（x）在 R 递减， 故 h（2018）＞h（2019）， 即 g（2018）＞eg（2019）， 故选：C． 6．已知奇函数 f（x）的导函数为 f'（x），当 x≠0 时，xf′（x）+f（x）＞0，若 a＝ f（ ），b＝﹣ef（﹣e），c ＝f（1），则 a，b，c 的大小关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b 【解答】解：令 g（x）＝xf（x0，则 g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，所以 g（x）为递增函数， 因为 e＞1＞ ，∴g（e）＞g（1）＞g（ ）， ∴ef（e）＞f（1）＞ f（ ）， 又 f（x）为奇函数，所以﹣ef（﹣e）＝ef（e）， ∴b＞c＞a， 故选：C． 7．设 f（x）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f'（x），若 f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2018，则不等式 exf（x）＞ ex+2017（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（　　） A．（﹣∞，0）∪（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2017，+∞） C．（2017，+∞） D．（0，+∞） 【分析】构造函数 g（x）＝exf（x）﹣ex，通过求导及已知不等式可得出 g（x）为递增函数，再将原不等式化为 g（ x）＞g（0）可解得．第 7 页（共 13 页） 【解答】解：令 g（x）＝exf（x）﹣ex，则 g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex＝ex（f（x）+f′（x）﹣1）， ∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0， ∴g′（x）＞0，g（x）在 R 上为单调递增函数， ∵g（0）＝f（0）﹣1＝2018﹣1＝2017 ∴原不等式可化为 g（x）＞g（0）， 根据 g（x）的单调性得 x＞0 故选：D． 8．已知函数 f（x）在 R 上存在导函数 f'（x），若 f（x）﹣f（﹣x）＝2x3，且 x≥0 时 f'（x）﹣3x2≥0，则不等式 f（ 2x）﹣f（x﹣1）＞7x3+3x2﹣3x+1 的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【分析】先构造函数令 g（x）＝f（x）﹣x3，由题意判断出 F（x）的奇偶性和单调性，将不等式转化成 g（2x）＞g （x﹣1），由函数单调性可得到|2x|＞|x﹣1|，解得即可． 【解答】解：令 g（x）＝f（x）﹣x3， ∵f（x）﹣f（﹣x）＝2x3，∴f（x）﹣x3＝f（﹣x）﹣（﹣x）3． 即 g（x）＝g（﹣x），∴g（x）为偶函数． ∵x≥0 时 f'（x）﹣3x2≥0，∴g（x）在[0，+∞）递增， 不等式 f（2x）﹣f（x﹣1）＞7x3+3x2﹣3x+1 的解集⇔g（2x）＞g（x﹣1）． ∴|2x|＞|x﹣1|⇒3x2+2x﹣1＞0 ∴ 或＜﹣1． 故选：C． 9．已知函数 f（x）的定义域是 R，其导函数是 f′（x），且 f′（x）≥0，则满足不等式 f（lnt）+lnt﹣1≤f（1）第 8 页（共 13 页） 的实数 t 的集合是（　　） A．[e，+∞） B．[1，+∞） C．（0，e] D．[e﹣1，e] 【解答】解：设 g（x）＝f（x）+x， ∵f′（x）≥0，∴g′（x）＝f′（x）+1＞0， 则 g（x）为 R 上的增函数， 由 f（lnt）+lnt﹣1≤f（1），得 f（lnt）+lnt≤f（1）+1， 即 g（lnt）≤g（1），则 lnt≤1， ∴0＜t≤e． ∴满足不等式 f（lnt）+lnt﹣1≤f（1）的实数 t 的集合是（0，e]． 故选：C． 10．已知 f（x）是定义在 R 上的函数，f′（x）是 f（x）的导函数，且满足 f′（x）+f（x）＜0，设 g（x）＝ex•f（ x），若不等式 g（1+t2）＜g（mt）对于任意的实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0）∪（4，+∞） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2） 【解答】解：∵g（x）＝ex•f（x）， ∴g′（x）＝ex（f′（x）+f（x））＜0， 故 g（x）在 R 递减， 不等式 g（1+t2）＜g（mt）对于任意的实数 t 恒成立， 则 1+t2＞mt， t＞0 时，m＜t+ ，（t∈R），故 0＜m＜2， t＜0 时，m＞t+ ，故﹣2＜m＜0， 若 t＝0，显然成立，故 m 可以取 0，第 9 页（共 13 页） 综上，m∈（﹣2，2）， 故选：D． 11．设 f′（x）是函数 f（x）的导函数，且 f′（x）＞f（x）（x∈R），f（2）＝e2（e 为自然对数的底数），则不 等式 f（2lnx）＜x2 的解集为（　　） A．（ ，e） B．（0， ） C．（0，e） D．（1，e） 【解答】解：设 g（x）＝ ，f′（x）＞f（x）， ∴g′（x）＝ ＞0， ∴g（x）在 R 上递增， 不等式 f（2lnx）＜x2 即为 ＜1，（x＞0），即 ＜1，x＞0． ∵g（2）＝ ＝1， ∴g（2lnx）＜g（2）， ∴2lnx＜2， ∴0＜x＜e， 故选：C． 12．已知函数 f（x）（x∈R）满足 f（1）＝1，且 f（x）的导数 f′（x）＞ ，则不等式 f（x2）＜ 的解集为 （　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣1，1）第 10 页（共 13 页） 【解答】解：根据题意，设 g（x）＝f（x）﹣ ，其导数 g′（x）＝f′（x）﹣ ＞0， 则函数 g（x）在 R 上为增函数， 又由 f（1）＝1，则 g（1）＝f（1）﹣ ＝ ， 不等式 f（x2）＜ ⇒f（x2）﹣ ＜ ⇒g（x2）＜g（1）， 又由 g（x）在 R 上为增函数，则 x2＜1， 解可得：﹣1＜x＜1， 即不等式的解集为（﹣1，1）； 故选：D． 13．已知函数 f（x）＝alnx﹣2x，若不等式 f（x+1）＞f（ex）在 x∈（0，+∞）上恒成立，则实数 a 的取值范围是（　　 ） A．a≤2 B．a≥2 C．a≤0 D．0≤a≤2 【解答】解：由于当 x＞0 时，1＜x+1＜ex 恒成立， 所以只需要函数 f（x）在（1，+∞）上递减， 即当 x＞1 时，f′（x）≤0 恒成立， 即 ，解得 a≤2x（x＞1）恒成立， 所以 a≤2， 故选：A． 14．已知函数 f（x）＝alnx﹣2x，若不等式 f（x+1）＞ax﹣2ex 在 x∈（0，+∞）上恒成立，则实数 a 的取值范围是（　　 ） A．a≤2 B．a≥2 C．a≤0 D．0≤a≤2 【解答】解：f（ex）＝ax﹣2ex，第 11 页（共 13 页） 所以 f（x+1）＞ax﹣2ex 在（0，+∞）上恒成立， 等价于 f（x+1）＞f（ex）在（0，+∞）上恒成立， 因为 x∈（0，+∞）时，1＜x+1＜ex， 所以只需 f（x）在（1，+∞）上递减， 即 x＞1，f′（x）≤0 恒成立， 即 x＞1 时， 恒成立，a≤2x， 所以 a≤2， 故选：A． 15．已知函数 f（x）＝x3﹣2ex2+mx﹣lnx，若 f（x）＞x 恒成立，则实数 m 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：若 f（x）＞x 恒成立， 即 m＞﹣x2+2ex+ +1， ∵m'＝﹣2x+2e+ ＝﹣2（x﹣e）+ ， ∴当 x∈（0，e）时，m'＞0，m 为关于 x 的增函数； 当 x∈（e，+∞）时，m'＜0，m 为关于 x 的减函数． 故函数 y＝﹣x2+2ex+ 的最大值为：e2+ ， 即 m＞e2+ +1， 故选：A．第 12 页（共 13 页） 16．函数 f（x）的定义域为 R，若对任意的 x∈R，f（x）+xf'（x）＞0，且 ，则不等式（x2+1）f（x2+1）＞ 1 的解集为　（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）　． 【解答】解：令 g（x）＝xf（x），则 g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0， 可得 g（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数， 由 ，得 g（2）＝2f（2）＝1， ∴不等式（x2+1）f（x2+1）＞1 化为 g（x2+1）＞g（2）， 又 g（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数， ∴x2+1＞2，得 x＜﹣1 或 x＞1． ∴不等式（x2+1）f（x2+1）＞1 的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． 17．设函数 f（x）在 R 上存在导数 f'（x），∀x∈R，有 f（﹣x）+f（x）＝x2，在（0，+∞）上，f'（x）＜x，若 f（6 ﹣m）﹣f（m）﹣18+6m≥0，则实数 m 的取值范围是　[3，+∞）　． 【解答】解：令 g（x）＝f（x）﹣ x2， ∵g（x）+g（﹣x）＝f（x）﹣ x2+f（﹣x）﹣ x2＝0， ∴函数 g（x）是奇函数， ∵x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＜0， 函数 g（x）在 x∈（0，+∞）递减， 又由题意得：f（0）＝0，g（0）＝0， 故函数 g（x）在 R 递减， 故 f（6﹣m）﹣f（m）﹣18+6m ＝g（6﹣m）+ （6﹣m）2﹣g（m）﹣ m2﹣18+6m≥0，第 13 页（共 13 页） 即 g（6﹣m）﹣g（m）≥0， ∴g（6﹣m）≥g（m）， ∴6﹣m≤m，解得：m≥3， 故答案为：[3，+∞）． 18．设函数 f（x）＝ax3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）．若不等式 xf'（x）﹣af（x）≤2 对一切 x∈R 恒成立，则 的取值范围为　 　． 【解答】解：函数 f（x）＝ax3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）． f′（x）＝3ax2+2bx+c， 不等式 xf'（x）﹣af（x）≤2 化为：（3a﹣a2）x3+（2b﹣ab）x2+（c﹣ac）x﹣2≤0．（*） 由三次函数的性质，3a﹣a2≠0 时，上式不成立． 因此必有 3a﹣a2＝0，a≠0． 解得 a＝3． （*）化为：﹣bx2﹣2cx﹣2≤0，可得：bx2+2cx+2≥0， b＝0 时，必有 c＝0． b≠0 时，必有： ，化为：c2≤2b，b＞0． 令 ＝ ＝k，代入上式可得：c2+2c﹣6k≤0， 必有△1＝4+24k≥0，解得 k ． 因此 的取值范围为为 （包括 b＝c＝0 的情况）． 故答案为： ．