人教A版必修2-三视图和球的计算小题训练（20题附答案）

三视图有关的计算及外接球的计算 1．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（  ） A．96π+36 B．72π+48 C．48π+96 D．24π+48 2．某四棱锥的三视图如图所示，已知该四棱锥的体积为 40，则其最长侧棱与底面所成角的 正切值为（  ） A． B． C． D． 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（  ） A． B．20 C．10 D．5 4．如图所示为某几何体的三视图，正视图是高为 1，长为 2 的长方形；侧视图是高为 1，底 为 的直角三角形；俯视图为等腰三角形，则几何体的体积为（  ） A． B．1 C． D．3 5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（  ） A．1 B． C．2 D． 6．如图是某几何体的三视图：则该几何体的体积为（  ） A． B． C． D． 7．半径为 R 的球 O 中有两个半径分别为 2 与 2 的截面圆，它们所在的平面互相垂直， 且两圆的公共弦长为 R，则 R＝（  ） A．4 B．5 C．3 D．4 8．已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆，AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦，AB ＝4．若 OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离 MN＝（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．将边长为 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，则三棱锥 C﹣ABD 的外接球体积为（   ） A． B． C． D．4π 10．在三棱锥 S﹣ABC 中，SC⊥平面 ABC，SC＝ ，AB＝1，BC＝ ，AC＝ ，则该三 棱锥的外接球的表面积为（  ） A．2π B．4π C．6π D．8π 11．已知三棱锥 A﹣BCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，AD⊥平面 ABC，∠BAC＝90°， AD＝2，若球 O 的表面积为 29π，则三棱锥 A﹣BCD 的侧面积的最大值为（  ） A．5 B．5 C．6 D．10 12．如图，正三棱锥 D﹣ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，底面正三角形的边长为 3， 侧棱长为 2 ，则球 O 的表面积是（  ） A．4π B． C．16π D．36π 13．已知矩形 ABCD，AB＝1．AD＝ ，E 为 AD 的中点，现分别沿 BE，CE 将△ABE，△ DCE 翻折，使点 A，D 重合，记为点 P，则几何体 P﹣BCE 的外接球表面积为（  ） A．10π B．5π C． D． 14．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥 P﹣ABC 为 鳖臑，PA⊥平面 ABC，PA＝3，AB＝4，AC＝5，三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（  ） A．17π B．25π C．34π D．50π 15．已知如图所示的三棱锥 D﹣ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，△ABC 和△DBC 所在 平面相互垂直，AB＝3，AC＝ ，BC＝CD＝BD＝2 ，则球 O 的表面积为（  ） A．4π B．12π C．16π D．36π 16．长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这 个球的表面积是（  ） A．25π B．50π C．125π D．都不对 17．如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的边长 AB＝AA1＝1，AD＝ ，它的外接球是球 O， 则 A、A1 这两点的球面距离等于   ． 18．已知球半径为 2，球面上 A、B 两点的球面距离为 ，则线段 AB 的长度为   ． 19．已知三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为 4，6，12，则这个三 棱锥的外接球的表面积为   ． 20．在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥面 ABC，AB⊥BC， ，PA＝2，则三棱锥 P﹣ABC 外接球表面积为   ． 答案： 1．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（  ） A．96π+36 B．72π+48 C．48π+96 D．24π+48 【解答】解：将三视图分成左右两部分观察，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥 ， 则该几何体的体积为 V＝ + ＝24π+48， 故选：D． 2．某四棱锥的三视图如图所示，已知该四棱锥的体积为 40，则其最长侧棱与底面所成角的 正切值为（  ） A． B． C． D． 【解答】解：由三视图可知，该四棱锥的底面是长为 6，宽为 5 的矩形， 设高为 h，所以 ，解得 h＝4， 则其最长侧棱与底面所成角的正切值为 ． 故选：A． 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（  ） A． B．20 C．10 D．5 【解答】解：根据三视图可得直观图为三棱锥 P﹣ABC，如图， 底面△ABC 中，AC＝14，BC＝6，∠ABC＝120°， 由余弦定理可得 AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos120°， 解得 AB＝10． ∴S ＝15 ， 则该几何体的体积为 V＝ ． 故选：B． 4．如图所示为某几何体的三视图，正视图是高为 1，长为 2 的长方形；侧视图是高为 1，底 为 的直角三角形；俯视图为等腰三角形，则几何体的体积为（  ） A． B．1 C． D．3 【解答】解：∵正视图是高为 1，长为 2 的长方形；侧视图是高为 1，底为 的直角三角形； 俯视图为等腰三角形，可得如图的四棱锥 P﹣ABCD． 平面 ABCD⊥平面 PCD， 由正视图和俯视图可知 AD＝1，CD＝2，P 到面 ABCD 的距离为 ． ∴四棱锥 P﹣ABCD．的体积为 V＝ ＝ ＝1． 故选：B． 5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（  ） A．1 B． C．2 D． 【解答】解：由三视图画出该四棱锥的直观图，如图所示； 在此四棱锥 P﹣ABCD 的四个侧面中，面积最小的侧面是 Rt△PBC， 它的面积为 BC•PB＝ ×1× ＝ ． 故选：B． 6．如图是某几何体的三视图：则该几何体的体积为（  ） A． B． C． D． 【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成， 上面是两个全等的三棱锥，下面是一个圆柱体； ∴该几何体的体积为： V＝π×12×1+2× × ×2×1×1＝π+ ． 故选：C． 7．半径为 R 的球 O 中有两个半径分别为 2 与 2 的截面圆，它们所在的平面互相垂直， 且两圆的公共弦长为 R，则 R＝（  ） A．4 B．5 C．3 D．4 【解答】解：设两圆的圆心分别为 O1、O2，球心为 O，公共弦为 AB，其中点为 E，则 OO1EO2 为矩形，于是 OO1＝O2E＝ ， AB＝2AE＝2 ＝R ∴R＝4． 故选：D． 8．已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆，AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦，AB ＝4．若 OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离 MN＝（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：：∵ON＝3，球半径为 4， ∴小圆 N 的半径为 ， ∵小圆 N 中弦长 AB＝4，作 NE 垂直于 AB， ∴NE＝ ，同理可得 ME＝ ，在直角三角形 ONE 中， ∵NE＝ ，ON＝3， ∴∠EON＝ ， ∴∠MON＝ ， ∴MN＝3． 9．将边长为 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，则三棱锥 C﹣ABD 的外接球体积为（   ） A． B． C． D．4π 【 解 答 】 解 ： 易 知 △ ABD 和 △ CBD 都 是 公 共 斜 边 BD 的 两 个 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 ， 设 BD 的中点为点 O，则 ， 所以，点 O 为三棱锥 C﹣ABD 的外接球的球心， BD 为该三棱锥外接球的直径，设该球的半径为 R，则 R＝1． 因此，三棱锥 C﹣ABD 的外接球的体积为 ． 故选：C． 10．在三棱锥 S﹣ABC 中，SC⊥平面 ABC，SC＝ ，AB＝1，BC＝ ，AC＝ ，则该三 棱锥的外接球的表面积为（  ） A．2π B．4π C．6π D．8π 【解答】解：∵AB＝1， ， ，由勾股定理可得 BC2＝AC2+AB2，∴∠BAC＝90 °， 所以，BC 是直角三角形 ABC 外接圆的直径， 设该三棱锥的外接球的半径为 R，则 ， 所以，该三棱锥外接球的表面积为 4πR2＝π×（2R）2＝6π． 故选：C． 11．已知三棱锥 A﹣BCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，AD⊥平面 ABC，∠BAC＝90°， AD＝2，若球 O 的表面积为 29π，则三棱锥 A﹣BCD 的侧面积的最大值为（  ） A．5 B．5 C．6 D．10 【解答】解：设球 O 得半径为 R，AB＝x，AC＝y， 由 4πR2＝29π，得 4R2＝29． 又 x2+y2+22＝（2R）2，得 x2+y2＝25． 三棱锥 A﹣BCD 的侧面积： S＝S△ABD+S△ACD+S△ABC＝ ． 由 x2+y2≥2xy，得 ． 当且仅当 x＝y＝ 时取等号， 由（x+y）2＝x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得 ． 当且仅当 x＝y＝ 时取等号， ∴ ，当且仅当 x＝y＝ 时取等号． ∴三棱锥 A﹣BCD 的侧面积的最大值为 ． 故选：A． 12．如图，正三棱锥 D﹣ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，底面正三角形的边长为 3， 侧棱长为 2 ，则球 O 的表面积是（  ） A．4π B． C．16π D．36π 【解答】解：如图，设 OM＝x，OB＝OD＝r， ∵AB＝3， ∴BM＝ ， 又 DB＝2 ， ∴DM＝3， 在 Rt△OMB 中，（3﹣x）2＝x2+3， 得：x＝1， ∴r＝2， ∴S 球 O＝16π， 故选：C． 13．已知矩形 ABCD，AB＝1．AD＝ ，E 为 AD 的中点，现分别沿 BE，CE 将△ABE，△ DCE 翻折，使点 A，D 重合，记为点 P，则几何体 P﹣BCE 的外接球表面积为（  ） A．10π B．5π C． D． 【解答】解：由 AB＝1，AD＝ ，E 为 AD 中点， 可得 PE＝ ，PB＝PC＝1， 得∠EPB＝∠EPC＝90°， ∠CPB＝90°， ∴P﹣BCE 为长方体一角， 其外接球直径为其体对角线长， ∴ ＝ ， ∴ ， ∴外接球表面积为 4πR2＝ ， 故选：C． 14．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥 P﹣ABC 为 鳖臑，PA⊥平面 ABC，PA＝3，AB＝4，AC＝5，三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（  ） A．17π B．25π C．34π D．50π 【解答】解：由题意，PC 为球 O 的直径， PC＝ ＝ ＝ ， ∴球 O 的半径 R＝ ＝ ， ∴球 O 的表面积 S＝4πR2＝ ＝34π． 故选：C． 15．已知如图所示的三棱锥 D﹣ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，△ABC 和△DBC 所在 平面相互垂直，AB＝3，AC＝ ，BC＝CD＝BD＝2 ，则球 O 的表面积为（  ） A．4π B．12π C．16π D．36π 【解答】解：∵AB＝3，AC＝ ，BC＝2 ， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴AC⊥AB， ∴△ABC 的外接圆的半径为 ， ∵△ABC 和△DBC 所在平面相互垂直， ∴球心在 BC 边的高上， 设球心到平面 ABC 的距离为 h，则 h2+3＝R2＝（ ﹣h）2， ∴h＝1，R＝2， ∴球 O 的表面积为 4πR2＝16π． 故选：C． 16．长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这 个球的表面积是（  ） A．25π B．50π C．125π D．都不对 【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同 一个球面上， 所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为： ， 所以球的半径为： ， 所以这个球的表面积是： ＝50π． 故选：B． 17．如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的边长 AB＝AA1＝1，AD＝ ，它的外接球是球 O， 则 A、A1 这两点的球面距离等于   ． 【解答】解：A1C＝ ＝2， ∴外接球半径为 OA1＝ A1C＝1， ∴△OAA1 为等边三角形，∴∠AOA1＝ ， ∴球 A、A1 这两点的球面距离为 ＝ ． 故答案为： ． 18．已知球半径为 2，球面上 A、B 两点的球面距离为 ，则线段 AB 的长度为 2 ． 【解答】解：设球心角∠AOB＝α， ∵球半径为 2，球面上 A、B 两点的球面距离为 ， ∴ ＝ ， 解得 ， ∴AB＝r＝2． 故答案为：2． 19．已知三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为 4，6，12，则这个三 棱锥的外接球的表面积为 56π ． 【解答】解：如下图所示， 在三棱锥 P﹣ABC 中，PA、PB、PC 两两垂直，易证 PA⊥平面 PBC， 设 PA＝x，PB＝y，PC＝z，则 ，解得 ， 直角△PBC 的外接圆直径为 ， 所以，该三棱锥的外接球直径为 ，∴ ． 因此，这个三棱锥的外接球的表面积为 4πR2＝4π×14＝56π． 故答案为：56π． 20．在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥面 ABC，AB⊥BC， ，PA＝2，则三棱锥 P﹣ABC 外接球表面积为 8π ． 【解答】解：∵AB⊥BC， ，∴△ABC 的外接圆直径为 ， 设该三棱锥的外接球半径为 R，则 ，∴ ， 因此，三棱锥 P﹣ABC 的外接球的表面积为 ． 故答案为：8π．