第二十八章 锐角三角函数
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．sin60°的值等于( )
A. B. C. D.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AB的长为( )
A. B．6 C．12 D．8
3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝，则cosα的值为( )
A. B. C. D.
4．如图1，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是( )
图1
A．1 B．1.5 C．2 D．3
5．如图2，∠AOB在正方形网格中，则cos∠AOB的值为( )
图2
A. B. C. D.
6．如图3，将△ABC放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A，B，C均在格点上
，则tanA的值是( )
图3
A. B. C．2 D.
7．如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝，BC＝2，则sin
∠ACD的值为( )
图4
A. B.
C. D.
8．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块
玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到中央转轴
底端的距离为( )
图5
A.米 B．2米 C．2 米 D．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在南偏
西22°方向上．航行2小时后到达N处，观测灯塔P在南偏西44°方向上，若该船继续向南航
行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°
≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )
图6
A．22.48海里 B．41.68海里
C．43.16海里 D．55.63海里
10．如图7，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知BC＝10，cos∠BCD＝，∠B
CE＝30°，则线段DE的长是( )
图7
A. B．7 C．4＋3 D．3＋4
请将选择题答案填入下表：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分
答案
第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．如图8，在△ABC中，∠B＝45°，cosC＝，AC＝5a，则△ABC的面积用含a的式子
表示是________．
图8
12．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长
为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出____
____个这样的停车位．(参考数据：≈1.4)
图9
13．如图10，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝4，D为BC的中点，点E，F在线
段AD上，tan∠ABC＝3，则阴影部分的面积是________．
图1014．已知△ABC，若与(tanB－)2互为相反数，则∠C的度数是________．
15．如图11，已知四边形ABCD是正方形，以CD为一边向CD两旁分别作等边三角形P
CD和等边三角形QCD，那么tan∠PQB的值为________．
图11
16.如图12，已知点A(5
，0)，直线y＝x＋b(b＞0)与y轴交于点B，连接AB.若∠α＝75°，则b＝________．
图12
三、解答题(共52分)
17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.
18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tanC的
值．
图13
19.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sinC的值．
图1420．(5分)如图15，AB是长为10
m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测
得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．
(参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin65°≈，tan65°≈)
图15
21．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2
，BE∥AC，CE∥BD.
(1)求tan∠DBC的值；
(2)求证：四边形OBEC是矩形．
图16
22．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方
案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，
求水坝原来的高度．
图17
23．(9分)阅读下面的材料：
小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线
BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题
得到解决(如图②)．请回答：
(1)△ABD的面积为________(用含m的式子表示)；
(2)求四边形ABCD的面积．
参考小凯思考问题的方法，解决问题：
如图③，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝a，BD＝b，∠AOB＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD的面积为________(用含a，b，α的式子表示)．
图18
24．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点
D(如图19①)，
则sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，
于是csinB＝bsinC，即＝，
同理有＝，＝，所以＝＝.
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三
个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．
根据上述材料，完成下列各题：
(1)如图②，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝________°，AC＝__
______；
(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C处测得海岛A在其北偏西30°的方向上，随后以4
0海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得海岛A在其北偏
西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A的距离AB.(结果精确到0.01海里，≈2.449)
图19详解详析
1．C
2．B [解析] 由题意可得sinA＝＝.因为BC＝4，所以AB＝6.
3．D [解析]
因为cos(90°－α)＝，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cosα＝.
4．C [解析]
∵点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，∴tanα＝＝，∴t＝2.
5．B [解析]
如图，连接AC.由网格图的特点，易得△ACO是等腰直角三角形，所以∠AOB＝45°，所以c
os∠AOB的值为.
6．D [解析] 如图，连接BD.由网格图的特点可知AD⊥BD，由AD＝2
，BD＝，可得tanA的值为.
7．A [解析]
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AB2＝AC2＋BC2＝()2＋22＝9，∴AB＝3.∵∠B＋∠BCD＝
90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sinB＝＝.故选A.
8．A [解析]
如图，设中央转轴底端为A，两立柱底端的点为B，C，BC的中点为D，则有AB＝AC＝2米
，所以AD⊥BC，且CD＝1米，所以AD＝米．
9．B [解析] 如图，过点P作PA⊥MN于点A，MN＝30×2＝60(海里)．
∵∠PMN＝22°，∠PNA＝44°，
∴∠MPN＝∠PNA－∠PMN＝22°，
∴∠PMN＝∠MPN，
∴MN＝PN＝60海里．
∵∠PNA＝44°，
∴在Rt△NAP中，PA＝PN·sin∠PNA≈60×0.6947≈41.68(海里)．
故选B.10．D [解析] 如图，过点B作BF⊥DE于点F.
在Rt△CBD中，∵BC＝10，cos∠BCD＝，
∴DC＝6，∴BD＝8.
在Rt△BCE中，BC＝10，∠BCE＝30°，
∴BE＝5.
在Rt△BDF中，∠BDF＝∠BCE＝30°，BD＝8，
∴DF＝BD·cos30°＝4 .
在Rt△BEF中，∠BEF＝∠BCD，
即cos∠BEF＝cos∠BCD＝，
∴EF＝BE·cos∠BEF＝3，
∴DE＝EF＋DF＝3＋4 .
11．14a2 12.17
13．6 [解析]
由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC的面积的一半．因为BD＝BC＝2
，AD⊥BC，tan∠ABC＝3，所以AD＝6，所以△ABC的面积为12，所以阴影部分的面积为6
.
14．90° [解析]
由题意得sinA＝，tanB＝，所以∠A＝30°，∠B＝60°，所以∠C的度数是90°.
15．2－ [解析] 延长QP交AB于点F.
∵四边形ABCD是正方形，△PCD和△QCD是以CD为边的等边三角形，
∴四边形PCQD是菱形．
设正方形ABCD的边长为a，则可得PE＝QE＝a，DE＝EC＝a，FB＝a，
∴tan∠PQB＝＝＝2－.
16．5 [解析] 设直线y＝x＋b(b＞0)与x轴交于点C，易得C(－b，0)，B(0，b)，
所以OC＝OB，
所以∠BCO＝45°.
又因为α＝75°，所以∠BAO＝30°.
因为OA＝5 ，所以OB＝5，所以b＝5.
17.
18．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中，∠B＝45°，
∵sinB＝，
∴AD＝AB·sinB＝4×sin45°＝4×＝2 ，
∴BD＝AD＝2 .
在Rt△ADC中，AC＝6，
由勾股定理，得DC＝＝＝2 ，
∴BC＝BD＋DC＝2 ＋2 ，
tanC＝＝＝.
19．解：如图，过点A作AD⊥OB于点D.∵在Rt△AOD中，∠AOB＝45°，
∴OD＝AD＝OA·cos45°＝1×＝，
∴BD＝OB－OD＝1－，
∴AB＝＝＝.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，AC＝2，
∴sinC＝＝.
20．解：如图，过点B作BF⊥AE于点F，
则BF＝DE.
在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，
则BF＝AB·sin∠BAF≈10×＝6(m)．
在Rt△CDB中，tan∠CBD＝，则CD＝BD·tan65°≈10×≈21(m)．
则CE＝DE＋CD＝BF＋CD≈6＋21＝27(m)．
答：大楼CE的高度约是27 m.
21．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
又∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，
∴∠ABC＝60°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∴tan∠DBC＝tan30°＝.
(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°.
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴∠OBE＝∠BOC＝∠OCE＝90°，
∴四边形OBEC是矩形．
22．解：如图所示，过点E作EC⊥BD于点C，
设BC＝x米．
∵∠ABE＝120°，
∴∠CBE＝60°.
在Rt△BCE中，
∵∠CBE＝60°，
∴tan60°＝＝，即CE＝x米．∵背水坡AF的坡度i＝1∶1，∴＝1.
∵AC＝(3＋x)米，CF＝(1＋x)米，
∴＝1，解得x＝＋1，
∴EC＝x＝(3＋)米．
答：水坝原来的高度为(3＋)米．
23．解：(1)∵AO＝m，∠AOB＝30°，∴AE＝m，
∴△ABD的面积为×m×6＝m.
故答案为 m.
(2)由(1)得S△ABD＝m.
同理，CF＝(4－m)，
∴S△BCD＝BD·CF＝6－m.
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝6.
解决问题：分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为x.
∵∠AOB＝α，
∴AE＝x·sinα，
∴S△ABD＝BD·AE＝b·x·sinα.
同理，CF＝(a－x)·sinα，
∴S△BCD＝BD·CF＝b·(a－x)·sinα.
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝b·x·sinα＋b·(a－x)·sinα＝ab·sinα.
故答案为ab·sinα.
24．解：(1)60 20
(2)依题意，得BC＝40×0.5＝20(海里)．
∵CD∥BE，
∴∠DCB＋∠CBE＝180°.
∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.
∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，
∴∠A＝45°.
在△ABC中，＝，
即＝，
解得AB＝10 ≈24.49(海里)．
答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．
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