2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一） 数 学（文）

2019 年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一） 数 学（文） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟． 祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷（选择题，共 40 分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再填涂其它答案，不能答在试卷上。 参考公式： 锥体的体 积公式 . 其中 表示锥体的底面积, 表示锥体的高. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个是正确的。 1.已知集合 集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2.设 则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.阅读下边的程序框图，若输入 的值为 ，则输出 的值为（ ） A． B． C． D． 4.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ） A． B． C． D． 5.已知定义在 上的函数 满足 ，且函数 在 上是减函数，若 • ShV 3 1= S h 2{ | 1 0},A x x= − < { 2, 1,0,1}B = − − ( )RC A B∩ = { 2}− {0} { 2, 1,1}− − { 1,0,1}− ,x R∈ 12 8 x < 2 1x < N 26 N 1− 0 1 2 ,x y 5 3 15 1 5 3 0 x y y x x y x + ≤  ≤ + − ≤  ≥ 3 5z x y= + 5 17 3− 9 R ( )f x ( ) ( )f x f x− = ( )f x ( ,0)−∞，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6.已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点 重合，抛物线的 准线与双曲线交于 两点，且 的面积为 （ 为原点），则双曲线的方程为（ ） [来源:Z.Com] A． B． C． D． 7.将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，若函数 在区间 上 有且仅有一个零点，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8.已知函数 ， 若方程 有且只有三个不相等的 实数解，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 (非选择题，共 110 分) 二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.设 ，若 是实数，则 ．　 10.已知函数 ， 是函数 的导函数，若 ,则 的值 为 ． 11.如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为 的正方形，且 1 ( 0)ωω > ( )y f x= π0, 2      ω 22cos ,3a f π =    ( )0.8 1 2 log 4.1 , 2b f c f  = =    , ,a b c a c b< < c b a< < b c a< < c a b< < 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 8y x= F ,A B OAB∆ 6 O 2 2 13 12 x y− = 2 2 136 32 x y− = 2 2 13 x y− = 2 2 13 yx − = siny x= 6 π ( )y f x= 3 3 11 5    ， 5 11 3 3     ， ( ]1，2 3 5 5 3     ， 2 4 , 3 0( ) 2 3, 0 x x xf x x x  + − ≤ ≤=  − > ( ) | 2 | 0f x x kx+ − − = k 2 ,3 2 23  − −   2 ,3 2 23  − +   2, 3  −∞ −   2 1,3 6  −   a R∈ 11 a ii + ++ =a 2( ) ( )lnf x x a x= − '( )f x ( )f x '(1)=f 2− a P ABCD− ABCD 2P A B CD ，已知四棱锥的表面积是 ，则它的体积为 ． [来源:Z.xx.k.Com] 12．已知圆 的圆心在第四象限，直线 过圆心，且点 在圆 上，直线 与圆 交于 两点，若 为等腰直角三角形，则圆 的方程为 ． 13.已知 ，函数 的值域为 ，则 的最小值 为 ． 14.在梯形 中， ， ， ，若 , ， 点 为边 上的动点 ,则 的取 值范围为 . 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分 13 分）某高中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为 35，28，21，现采 用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取 7 名同学. （Ⅰ）应从高一年级选出参加会议的学生多少名？ （Ⅱ）设高二，高三年级抽出的 7 名同学分别用 表示，现从中随机抽取 名同学承担文件翻译工作. （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 为事件“抽取的两名同学来自同一年级”，求事件 发生的概率. 16.（本小题满分 13 分）在 中， 分别为三个内角 的对边， 且 . （Ⅰ）求角 的 大小； （Ⅱ）若 求 和 的值. 17.(本小题满分 13 分）如图，在多面体 中， 为等边三角形， PA PB PC PD= = = 12 C 2y x= − (2,1) C 2 0x y− = C ,A B ABC∆ C 2 ( , )a b a b R> ∈ 2( ) 2f x ax x b= + + [ )0 +∞， 2 24 2 a b a b + − ABCD AB CD∥ 2 2AB CD= = 3BAD π∠ = 2BA BD⋅ =  CE ED=  F BC FE FA⋅  , , , , , ,A B C D E F G 2 M M ABC∆ , ,a b c , ,A B C 2 2 22 3 sin3b bc A c a− + = A 2, 3,b c= = a sin(2 )B A− ABCDE AEB∆, 点 为边 的中点. （Ⅰ）求证: 平面 ； （Ⅱ）求证:平面 平面 ； （Ⅲ）求直线 与平面 所成角 的正弦值. 18.(本小题满分 13 分）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且 成等差数列． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 ． 19.（本小题满分 14 分）已知函数 ． （Ⅰ）当 时，直线 与 相切，求 的值； （Ⅱ）若函数 在 内有且只有一个零点，求此时函数 的单调区间； （Ⅲ）当 时，若函数 在 上的最大值和最小值的和为 1，求实数 的值． 20.（本小题满分 14 分）已知椭圆 的左顶点为 ，离心率为 ， 过点 且斜率为 的直线 与椭圆交于点 ,与 轴交于点 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点 为 的中点 （i）若 轴上存在点 ，对于任意的 ，都有 （ 为原点），求出点 的坐标； （ ii ） 射 线 （ 为 原 点 ） 与 椭 圆 交 于 点 ， 满 足 ,[来源:Z.Com] 求正数 的值. 3 2( ) 2 1( )f x x ax a R= − + ∈ 6a = 6y x m= − + ( )f x m ( )f x (0, )+∞ ( )f x 0a > ( )f x [ 1,1]− a / / , ,AD BC BC AB⊥ 2 2CE = 2 2,AB BC AD= = = F EB / /AF DEC DEC ⊥ EBC AB DEC { }na n nS 21 =a 2 3 54 ,3 ,2S S S { }na { }2 n na b⋅ 1 2 { }nb n nT 12 2 2 2 =+ b y a x )0( >> ba A )0,2(− 3 2 A )0( ≠kk l D y E P AD x Q )0( ≠kk EQOP ⊥ O Q PO O C M MDMA AMDk ⋅ =∠+ 6tan41 2 k C B D A E F2019 年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一） 数学试卷（文科） 评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C B A D B A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9． ； 10．3； 11. ； 12． ； 13． ； 14． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分． 15．（本小题满分 13 分） 解：(I)设高一参加会议的同学 名， 由已知得： ，解得 高一参加会议的同学 5 名；………… ……4 分[来源:Z.Com] (II)（i）由已知，高二抽取 人，高三抽取 人，……………… 5 分 设高二的 4 人分别表示为 ,高三的 3 人分别表示为 则从 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为： 共 21 种. ………………10 分 （ii）抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为 2 3 34 ( ) 102)1( 22 =++− yx 2 1,14      x 7 =28+21 35 x =5x ∴ 128 =47 × 121 =37 × , , ,A B C D , ,E F G { } { } { } { } { } { }, , , , , , , , , , ,A B A C A D A E A F A G { } { } { } { } { }, , , , , , , , ,B C B D B E B F B G { } { } { } { }, , , , , , ,C D C E C F C G { } { } { }, , , , ,D E D F D G { } { }, , ,E F E G { },F G { } { } { } { } { } { }, , , , , , , , , , ,A B A C A D B C B D C D共 9 种………………12 分 事件 发生的概率为 ………………13 分 16.（本小题满分 13 分）（1）由已知，得： ， 由余弦定理，得： , ………………1 分 ,………………2 分 即 ，又 ,所以 .………………4 分 （2） ………………6 分 又 ………………7 分 ………………9 分 , ………………11 分 .…………13 分 17.(本小题满分 13 分）解: (I)取 中点 ,连结 ;………………2 分 平面 ， 平面 , 平面 . ………………4 分 (II) ………………5 分 又 平面 平面 ………………6 分 又 为等边三角形， 为边 的中点， { } { } { }, , , , ,E F E G F G ∴ M 3( ) 7P M = 2 2 22 3 sin3b bc A c a− + = 2 2 2 3 sin2 3 b c a Abc + − = 3cos sin3A A= tan 3A= (0, )A π∈ 3A π= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ⋅ 2 14 9 2 2 3 72a∴ = + − × × × = 7a∴ = sin sin a b A B = 7 2 sin3 2 B ∴ = 21sin 7B∴ = b a (0, )+∞ ( )f x (0, )+∞ ( )f x (0,1) (0) 1 0f = > ( )f x (0, )+∞ 0a > '( ) 0f x > 3 ax > ( )f x ( , )3 a +∞ '( ) 0f x < 0 3 ax< < ( )f x (0, )3 a (0,1) ( )f x (0, )+∞ ( ) 03 af = 3 32 1 027 9 a a− + = 3a = ( )f x (0, )+∞ 3a = ( )f x ( ,0)−∞ (1, )+∞ (0,1) 0a > ( )f x ( ,0),( , )3 a−∞ +∞ (0, )3 a 1 1 1 1(1 ( ) )3 1 116 42 (2 1) ( )14 4 41 4 n n nT n − + × − ∴ = + × − − × − nT 5 6 5= 9 9 4n n +− × xxxf 126)( 2' −= 6126 2 −=− xx 1=x 3,1 −== yx m+×−=− 163 3=m此时函数 有两个极值点，极大值为 ，极小值为 ， 且 , . ……………9 分 ①当 即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， ， 又 即 所以 ，解得 （舍）. ……………11 分 ②当 即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单 调递增 即 ，所以 .………12 分 若 ，即 时， ，所以 ， 解得 （舍）. ……………13 分 若 ，即 时， ，所以 ， 解得 . 综上， . ……………14 分 20.（本小题满分 14 分） 解：(I)由已知得 又 椭圆方程为： ………………3 分 (II) （ i ） 假 设 轴 上 存 在 着 点 使 得 , 设 所 在 的 直 线 方 程 为 ： ，点 由 解得 ， ………………4 分 ， ………………5 分 ( )f x (0) 1f = 3 ( ) 13 27 a af = − ( 1) 1f a− = − − (1) 3f a= − 13 a ≥ 3a ≥ ( )f x ( )1,0− ( )0,1 max( ) (0) 1f x f= = ( 1) 1 , (1) 3 ,f a f a− = − − = − ( 1) (1),f f− < min( ) 1f x a= − − 1 ( 1 ) 1a+ − − = 1a = − 13 a < 0 3a< < ( )f x ( )1,0− 0, 3 a     ,13 a     ( 1) 1 0,f a− = − − < 3 ( ) 1 03 27 a af = − > min( ) 1f x a= − − (0) (1) 2 0f f a− = − ≥ 2 3a≤ < max( ) (0) 1f x f= = 1 ( 1 ) 1a+ − − = 1a = − (0) (1) 2 0f f a− = − < 0 2a< < max( ) (1) 3f x f a= = − (3 ) ( 1 ) 1a a− + − − = 1 2a = 1 2a = 2a = 3, 12 ce ba = = ∴ = 2 2 14 x y+ = x ( , 0)Q m OP EQ⊥ AD ( 2)y k x= + 1 1( , )D x y 2 24 4 ( 2) x y y k x  + =  = + 2 2 2 2(4 1) 16 16 4 0k x k x k+ + + − = =16 0∆ > 2 1 2 16-2+ 4 1 kx k −= + 2 1 2 2 8 2 1 4p x kx k − + −= = + 2 2 2 8 2( , )1 4 1 4 k kP k k −∴ + +， ，………………6 分 ………………7 分 解得 轴上存在着点 使得 成立………………8 分 （ii）设 所在直线方程为 ，则 ………………9 分 到直线 的距离： ………………11 分 , 即 , ………………12 分 解得 ， ………………14 分 (0, 2 )E k 2 EQ kk m ∴ = − 1 4opk k −= 1EQ opOP EQ k k⊥ ∴ ⋅ =− ， 1 2m = − ∴ x 1(- ,0)2Q OP EQ⊥ PO 1 4y xk = − 2 2 2 2 22 2 1 16 4 1, ( , )4 4 1 1 4 1 44 4 y x k kx Mk k k kx y  = − ⇒ = ∴ − + + + + = M l 2 2 1 4 2 1 k kd k + += + 2 2 4 1 4 1 kAD k += + MDMA AMDk ⋅ =∠+ 6tan41 2  2 sin 61+4 cos cos AMDk AMD MA MB AMD ∠∴ =∠ ∠ 21 1+4 sin 32 k AMD MA MB∴ ∠ = 2 3 1 4AMDS k ∆∴ = + 2 2 22 2 1 1+4 2 4 1 3 2 4 11 1 4AMD k k kS kk k ∆ + +∴ = ⋅ =++ + 21+4 4k k= 30 6k k> ∴ =