有关一次函数的动点问题

一次函数动点问题 1 如图，直线 的解析表达式为 ，且 与 轴交于点 ，直线 经过点 ，直 线 ， 交于点 ． （1）求点 的坐标； （2）求直线 的解析表达式； （3）求 的面积； （4）在直线 上存在异于点 的另一点 ，使得 与 的面积相等，请直接写出点 的坐标． 2 如图,以等边△OAB 的边 OB 所在直线为 x 轴,点 O 为坐标原点,使点 A 在第一象限建立平面 直角坐标系，其中△OAB 边长为 6 个单位，点 P 从 O 点出发沿折线 OAB 向 B 点以 3 单位/秒 的速度向 B 点运动,点 Q 从 O 点出发以 2 单位/秒的速度沿折线 OBA 向 A 点运动，两点同时 出发，运动时间为 t（单位：秒），当两点相遇时运动停止. ① 点 A 坐标为_____________，P、Q 两点相遇时交点的坐标为________________; ② 当 t=2 时， ____________;当 t=3 时， ____________; ③ 设△OPQ 的面积为 S，试求 S 关于 t 的函数关系式; ④ 当△OPQ 的面积最大时，试求在 y 轴上能否找一点 M，使得以 M、P、Q 为顶点的三角形 是 Rt△，若能找到请求出 M 点的坐标，若不能找到请简单说明理由。 1l 3 3y x= − + 1l x D 2l A B， 1l 2l C D 2l ADC△ 2l C P ADP△ ADC△ P x y O A B x y O A B x y O A B S =△OPQ OPQS =△3 如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点 O 为坐标原点建立坐标系， 设 P、Q 分别为 AB、OB 边上的动点它们同时分别从点 A、O 向 B 点匀速运动，速度均为 1cm/秒，设 P、Q 移动时间为 t（0≤t≤4） （1）过点 P 做 PM⊥OA 于 M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出 P 点的坐标 （用 t 表示） （2）求△OPQ 面积 S（cm2），与运动时间 t（秒）之间的函数关系式，当 t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？ （3）当 t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？ （4）证明无论 t 为何值时，△OPQ 都不可能为正三角形。若点 P 运动速度不变改变 Q 的 运动速度，使△OPQ 为正三角形，求 Q 点运动的速度和此时 t 的值。 [来源:学。科。网] 6 如图，在平面直角坐标系中．四边形 OABC 是平行四边形．直线 经过 O、C 两点．点 A 的坐标为(8，o) ，点 B 的坐标为(11．4)，动点 P 在线段 OA 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿 A→B→C 的方向向点 C 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 O 一 C—B 相交于点 M。当 P、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒( )．△MPQ 的面积为 S． （1）点 C 的坐标为___________，直线 的解析式为_ __________．(每空 l 分，共 2 分) （2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围。 （3）试求题(2)中当 t 为何值时，S 的值最大，并求出 S 的最大值。 （4）随着 P、Q 两点的运动，当点 M 在线段 CB 上运动时，设 PM 的延长线与直线 相交于点 N。试探究： 当 t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出 t 的值． l 0t > l l4、如图(1),在矩形 ABCD 中,AB=10cm,BC=8cm,点 P 从 A 出发, 沿 A→B→C→D 路线运动,到 D 停止;点 Q 从 D 出发,沿 D→C→B→A 路线运动,到 A 停止. 若点 P、点 Q 同时出发,点 P 的速度为 1cm/s,点 Q 的速度为 2cm/s,as 时点 P、点 Q 同时改变速度,点 P 的速度变为 bcm/s,点 Q 的速度变为 dcm/s .图(2)是点 P 出发 x 秒后△APD 的面积 S1(cm2)与 x(s)的函数关系图象;图(3)是点 Q 出发 x 秒后△AQD 的面积 S 2(cm2)与 x(s) 的函数关系图象. (1)参照图(2),求 a、b 及图(2)中 c 的值; (2)求 d 的值; (3)设点 P 离开点 A 的路程为 y1(cm),点 Q 到 A 还需走的路程为 y2(cm), 请分别写出动点 P、Q 改变速度 后 y1、y2 与出发后的运动时间 x(s)的函数关系式,并求出 P、Q 相遇时 x 的值; (4)当点 Q 出发_______s 时,点 P、点 Q 在运动路线上相距的路程为 25cm. 5、如图，正方形 的边长为 5， 为 边上一动点，设 的长为 ， 的面积为 ， 与 之间的函数关系式，及自变量 的取值范围 12．如图 1，在直角梯形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD 运动至点 D 停止．设点 P 运动的路程 为 ，△ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则△BCD 的面积是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 (1) P Q C BA D x(秒) (2) 20 8 40 caO S1(cm2) x(秒) (3) 22 40 O S2(cm2) ABCD P CD DP x ADP∆ y y x x x 图 1 2O 5 xA B C P D 图 213．（2009 威海）如图，△ABC 和的△DEF 是等腰直角三角形， ∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点 B 与点 D 重合，点 A,B(D),E 在同一条直线上，将△ABC 沿 方向平移，至点 A 与点 E 重合时停止．设点 B,D 之间的距离为 x，△ABC 与△DEF 重叠 部分的面积为 y，则准确反映 y 与 x 之间对应关系的图象是（　） 40．（2009 年济南）如图，点 G、D、C 在直线 a 上，点 E、F、A、B 在直线 b 上，若 从如图所示的位置出发，沿直线 b 向右匀速运动，直到 EG 与 BC 重合．运动过程中 与矩形 重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（ ） 45．（2009 年牡丹江）如图，平面直角坐标系中，在边长为 1 的正方形 的边上有一动点 沿 运动一周，则 的纵坐标 与点 走过的路程 之间的函数关系用图象表示大致 是（ ） 46．如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，点 P 在运动过程中速度大小 不变，则以点 A 为圆心，线段 AP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t 之间的函数图象大致为（ ） 8．如图，正方形 的边长为 10，点 E 在 CB 的延长线上， ，点 P 在边 CD 上运动（C、D 两 点除外），EP 与 AB 相交于点 F，若 ，四边形 的面积为 ，则 关于 的函数关系式是 ． ABCD P A B C D A→ → → → P y P s ABCD 10EB = CP x= FBCP y y x D E→ a b Rt GEF∥ ， △ GEF△ ABCD O S t O S t O S t O S t A P B A． B． C． D． （第 8 题） G D C E F A B b a （第 11 题 图） s tO A ． s tO B ． C ． s tO D ． s tO 1 2 3 4 1 2 y sO 1 2 3 4 1 2 y sO s 1 2 3 4 1 2 y sO1 2 3 4 1 2 y O A. B. C. D. P D C B F A E2、如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F，点 E 的坐标为（-8，0），点 A 的坐标为（-6，0 ）。 （1）求 的值； （2）若点 P（ ， ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点 P 的运动过程中， 试写出△OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）探究：当点 P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为 27 8 ，并说明理由。 选择与填空： 1 如图 1，在直角梯形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD 运动至点 D 停止．设点 P 运动的路程为 ，△ ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则△BCD 的面积是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2 如图，△ABC 和的△DEF 是等腰直角三角形， ∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点 B 与点 D 重合，点 A,B(D),E 在同一条直线上，将△ABC 沿 方向平移，至点 A 与点 E 重合时停止．设点 B,D 之间的距离为 x，△ABC 与△DEF 重叠 部分的面积为 y，则准确反映 y 与 x 之间对应关系的图象是（　） 3 如图，点 G、D、C 在直线 a 上，点 E、F、A、B 在直线 b 上，若 从如图所示的位置出 发，沿直线 b 向右匀速运动，直到 EG 与 BC 重合．运动过程中 与矩形 重合部分的面积（S） 随时间（t）变化的图象大致是（ ） 6y kx= + k x y x 图 1 2O 5 xA B C P D 图 2 D E→ a b Rt GEF∥ ， △ GEF△ ABCD G D C E F A B b a （第 11 题 图） s tO A ． s tO B ． C ． s tO D ． s tO4 如图，平面直角坐标系中，在边长为 1 的正方形 的边上有一动点 沿 运 动一周，则 的纵坐标 与点 走过的路程 之间的函数关系用图象表示大致是（ ） 5 如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，点 P 在运动过程中速度大小不 变，则以点 A 为圆心，线段 AP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t 之间的函数图象大致为（ ） 6 如图，正方形 的边长为 10，点 E 在 CB 的延长线上， ，点 P 在边 CD 上运动（C、D 两点 除外），EP 与 AB 相交于点 F，若 ，四边形 的面积为 ，则 关于 的函数关系式是 ． 解答： 7 如图(1),在矩形 ABCD 中,AB=10cm,BC=8cm,点 P 从 A 出发, 沿 A→B→C→D 路线运动,到 D 停止;点 Q 从 D 出发,沿 D→C→B→A 路线运动,到 A 停止. 若点 P、点 Q 同时出发,点 P 的速度为 1cm/s,点 Q 的速度为 2cm/s,as 时点 P、点 Q 同时改变速度,点 P 的速度变为 bcm/s,点 Q 的速度变为 dcm/s .图(2)是点 P 出发 x 秒后△APD 的面积 S1(cm2)与 x(s)的函数关系图象;图(3)是点 Q 出发 x 秒后△AQD 的面积 S 2(cm2)与 x(s)的函数关系图象. (1)参照图(2),求 a、b 及图(2)中 c 的值; (2)求 d 的值; (3)设点 P 离开点 A 的路程为 y1(cm),点 Q 到 A 还需走的路程为 y2(cm), 请分别写出动点 P、Q 改变速度 后 y1、y2 与出发后的运动时间 x(s)的函数关系式,并求出 P、Q 相遇时 x 的值; (4)当点 Q 出发_______s 时,点 P、点 Q 在运动路线上相距的路程为 25cm. ABCD P A B C D A→ → → → P y P s ABCD 10EB = CP x= FBCP y y x O S t O S t O S t O S t A P B A． B． C． D． （第 5 题） 1 2 3 4 1 2 y sO 1 2 3 4 1 2 y sO s 1 2 3 4 1 2 y sO1 2 3 4 1 2 y O A. B. C. D. P D C B F A E8 如图，正方形 的边长为 5， 为 边上一动点，设 的长为 ， 的面积为 ， 与 之间的函数关系式，及自变量 的取值范围 9 如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F，点 E 的坐标为（-8，0），点 A 的坐标为（-6，0） 。 （1）求 的值； （2）若点 P（ ， ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点 P 的运动过程中， 试写出△OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）探究：当点 P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为 27 8 ，并说明理由。 八年级数学《一次函数动点问题》练习题 1、如果一次函数 y=-x+1 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A 点、B 点，点 M 在 x 轴上，并且使以点 A、 B、M 为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的点 M 有（ ）。 A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．7 个 2、直线与 y=x-1 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，点 C 在坐标轴上，若△ABC 为等腰三角形，则满足条 件的点 C 最多有（ ）. A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个 (1) P Q C BA D x(秒) (2) 20 8 40 caO S1(cm2) x(秒) (3) 22 40 O S2(cm2) ABCD P CD DP x ADP∆ y y x x 6y kx= + k x yx y O B A 3、直线 与坐标轴分别交于 A、B 两点，动点 P、Q 同时从 O 点出发，同时到达 A 点，运 动停止．点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 O⇒B⇒A 运动． （1）直接写出 A、B 两点的坐标； （2）设点 Q 的运动时间为 t（秒），△OPQ 的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式； （3）当 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标． 4、如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 交于点 ，分别交 轴于点 和 点 ，点 是直线 上的一个动点． （1）求点 的坐标． （2）当 为等腰三角形时，求点 的坐标． （3）在直线 上是否存在点 ，使得以点 为顶点的四边形是平行四边形？ 5、如图：直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， ，点 C(x,y)是直线 y＝kx＋3 上与 A、 B 不重合的动点。 （1）求直线 的解析式； （2）当点 C 运动到什么位置时△AOC 的面积是 6； （3）过点 C 的另一直线 CD 与 y 轴相交于 D 点，是否存 在点 C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在，请求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由。 二、经典例题： 1、已知，如图在边长为 2 的等边△ABC 中，E 是 AB 边上不同于点 A、点 B 的一动点，过点 E 作 ED⊥BC 于点 D，过点 D 作 DH⊥AC 于点 H，过点 H 作 HF⊥AB 于点 F，设 BE 的长为 x，AF 的 长为 y； ⑴求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 的范围； ⑵当 x 为何值时，点 E 与点 F 重合，判断这 时 △ EDH 为 什么三角形（判断形状，不需证明）. 64 3 +−= xy 5 48=S xOy 1y x= + 3 34y x= − + A x B C D AC A B C， ， CBD△ D AB E E D O A， ， ， 3+= kxy 4 3= OA OB 3+= kxy A y x D COB2、如图，点 A、B、C 的坐标分别是（0，4），（2，4），（6，0）.点 M 是折线 ABC 上一个 动点，MN⊥x 轴于 N ，设 ON 的长为 x,MN 左侧部分多边形的面积为 S. ⑴写出 S 与 x 的函数关系式； ⑵当 x=3 时，求 S 的值. 3、如图，已知在平面直角坐标系中，直线 l ：y=- x+2 分别交两坐标轴于 A、B 两点，M 是线段 AB 上一个动点，设 M 的横坐标为 x,△OMB 的面积为 S ； ⑴写出 S 与 x 的函数关系式； ⑵若△OMB 的面积为 3，求点 M 的坐标； ⑶当△OMB 是以 OB 为底的等腰三角形时,求它的面积； ⑷画出函数 s 图象. 四、自我检测： 如图，直线 OC、BC 的函数关系式分别为 y=x 和 y=-2x+6,动点 P(x,0)在 OB 上移动(0