北师大版九年级数学下册单元试卷及答案全套

北师大版九年级数学下册单元测试题及答案 第一章达标测试卷 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．cos 30°的值为(　　) A.1 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 3 3 2．如图，已知 Rt△BAC 中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝1 2 ，则 BC 的长是(　　) A．2 B．8 C．2 5 D．4 5 (第 2 题) (第 3 题) 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D 点，已知 AC＝ 5，BC＝2， 那么 sin ∠ACD 等于(　　) A. 5 3 B.2 3 C.2 5 3 D. 5 2 4．若 3tan (α＋10°)＝1，则锐角 α 的度数是(　　) A．20° B．30° C．40° D．50° 5．已知 cos θ＝0.253 4，则锐角 θ 约等于(　　) A．14.7° B．14°7′ C．75.3° D．75°3′ 6．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE＝33°， AB＝a，BD＝b，则下列求旗杆 CD 长的式子中正确的是(　　)A．CD＝bsin 33°＋a B．CD＝bcos 33°＋a C．CD＝btan 33°＋a D．CD＝ b tan 33° ＋a (第 6 题) (第 7 题) 7．如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是(　　) A．2 B.2 5 5 C. 5 5 D.1 2 8．在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝ 2(1＋ 3)，则 BC 等于(　　) A．2 B. 6 C．2 2 D．1＋ 3 9．如图，在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为 30°，向高楼前进 60 m 到 C 点，又测 得仰角为 45°，则该高楼的高度大约为(　　) A．82 m B．163 m C．52 m D．30 m (第 9 题) 　 (第 10 题) 10．如图，钓鱼竿 AC 长 6 m，露在水面上的鱼线 BC 长 3 2 m，某钓者想看看 鱼钓上的情况，把鱼竿 AC 转动到 AC′的位置，此时露在水面上的鱼线 B′C′长为 3 3 m，则鱼竿转过的角度是(　　) A．60° B．45° C．15° D．90° 二、填空题(每题 3 分，共 30 分) 11．已知 α 为等腰直角三角形的一个锐角，则 tan α＝________． 12．若反比例函数 y＝k x 的图象经过点(tan 30°，cos 60°)，则 k＝________． 13．在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝2 3 ，则 AB＝________. 14．某梯子与地面所成的角 α 满足 45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面 上的梯子的顶端，现有一个长 6 m 的梯子，则使用这个梯子最高可以安全 爬上__________高的墙． 15．某游客在山脚处看见一个标注海拔 40 m 的牌子，当他沿山坡前进 50 m 时， 他 又 看 见 一 个 标 注 海 拔 70 m 的 牌 子 ， 于 是 他 走 过 的 山 坡 的 坡 度 是 __________． 16．如图，△ABC 的顶点 A，C 的坐标分别是(0，2 3)，(2，0)，且∠ACB＝90°，∠ B＝30°，则顶点 B 的坐标是__________． (第 16 题)　 (第 17 题)　 (第 18 题) 　 (第 19 题)　 (第 20 题)17．如图，一棵树的枝叶部分 AB 在太阳光下的投影 CD 的长是 5.5 m，此时太 阳光线与地面的夹角是 52°，则 AB 的长约为__________ (结果精确到 0.1 m．参考数据：sin 52°≈0.79，tan 52°≈1.28)． 18．如图，秋千链子的长度 OA＝3 m，静止时秋千踏板处于 A 位置，此时踏板 距离地面 0.3 m，秋千向两边摆动，当踏板处于 A′位置时，摆角最大，此时∠ AOA′＝50°，则在 A′位置，踏板与地面的距离约为________m(sin 50°≈0.766， cos 50°≈0.642 8，结果精确到 0.01 m)． 19．如图，轮船在 A 处观测灯塔 C 位于北偏西 70°方向上，轮船从 A 处以每小时 20 n mile 的速度沿南偏西 50°方向匀速航行，1 h 后到达码头 B 处，此时， 观测灯塔 C 位于北偏西 25°方向上，则灯塔 C 与码头 B 的距离约是________n mile(结果精确到个位，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7， 6≈2.4)． 20．如图，正方形 ABCD 的边长为 2 2，过点 A 作 AE⊥AC，AE＝1，连接 BE， 则 tan E＝________. 三、解答题(21 题 8 分，26 题 12 分，其余每题 10 分，共 60 分) 21．计算：(1)2－1－ 3sin 60°＋(π－2 019)0＋|－1 2 |； (2) 1 2－ 3 ＋4cos 60°·sin 45°－ （tan 60°－ 2）2.22．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，2a＝3b， 求∠B 的正弦、余弦和正切值． 23．如图，在△ABD 中，AC⊥BD 于点 C，BC CD ＝3 2 ，点 E 是 AB 的中点，tan D＝2， CE＝1，求 sin∠ECB 的值和 AD 的长． (第 23 题)24．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，正在对某城市河段进行区域性景观打 造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点 A，再 在河这边沿河边取两点 B 和 C，在 B 处测得点 A 在北偏东 30°方向上，在 C 处测得点 A 在西北方向上，如图，量得 BC 长为 200 m，求该河段的宽度(结 果保留根号)． (第 24 题) 25．如图，海中一小岛上有一个观测点 A，某天上午 9：00 观测到某渔船在观测 点 A 的西南方向上的 B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午 9：30 观 测到该渔船在观测点 A 的北偏西 60°方向上的 C 处．若该渔船的速度为 30 n mile/h，在此航行过程中，该渔船从 B 处开始航行多少小时，离观测点 A 的 距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)(第 25 题) 26．如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段 AB 表示高架道路旁的一排居民 楼．已知点 A 到 MN 的距离为 15 m，BA 的延长线与 MN 相交于点 D，且∠ BDN＝30°.假设汽车在高架道路上行驶时，周围 39 m 以内会受到噪音的影 响． (1)过点 A 作 MN 的垂线，垂足为点 H.如果汽车沿着从 M 到 N 的方向在 MN 上行 驶，当汽车到达点 P 处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点 H 的距离为多少米？ (2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点 Q 时，它 与这一排居民楼的距离 QC 为 39 m，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(结果精确到 1 m，参考数据： 3≈1.7) (第 26 题)答案 一、1.B　 2.A　 3.A　 4.A　 5.C　 6.C 7.D　 8.A　 9.A 10．C　点拨：∵sin ∠CAB＝BC AC ＝3 2 6 ＝ 2 2 ，∴∠CAB＝45°. ∵sin ∠C′AB′＝B′C′ AC′ ＝3 3 6 ＝ 3 2 ，∴∠C′AB′＝60°. ∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是 15°. 二、11.1　12. 3 6 　13.9　14.3 3 m 15．3∶4　16.(8，2 3) 17．7.0 m　点拨：过点 B 作 BE∥CD，交 AD 于点 E. ∵太阳光线与地面的夹角是 52°，且太阳光线是平行的， ∴tan 52°＝AB BE ，BE＝CD＝5.5 m. ∴AB＝5.5×tan 52°≈5.5×1.28＝7.04≈7.0(m)． 18．1.37　点拨：如图，作 A′D⊥OA 于点 D，A′C 垂直地面于点 C，延长 OA 交地 面于点 B. (第 18 题) 易得四边形 BCA′D 为矩形， ∴A′C＝DB.∵∠AOA′＝50°，且 OA＝OA′＝3 m， ∴在 Rt△OA′D 中，OD＝OA′·cos ∠AOA′≈3×0.642 8≈1.93(m)． 又 AB＝0.3 m， ∴OB＝OA＋AB＝3.3 m. ∴A′C＝DB＝OB－OD≈1.37 m. 19．24 20．2 3 　点拨：延长 CA 到 F 使 AF＝AE，连接 BF，过 B 点作 BG⊥AC，垂足为 G. 根据题干条件证明△BAF≌△BAE，得出∠E＝∠F，然后在 Rt△BGF 中，求出 tan F 的值，进而求出 tan E 的值． 三、21.解：(1)原式＝1 2 － 3× 3 2 ＋1＋1 2 ＝1 2 －3 2 ＋1＋1 2 ＝1 2 ； (2)原式＝－( 2＋ 3)＋4×1 2 × 2 2 －( 3－ 2)＝－ 2－ 3＋ 2－ 3＋ 2＝－2 3＋ 2. 22．解：由 2a＝3b，可得a b ＝3 2 . 设 a＝3k(k＞0)，则 b＝2k，由勾股定理，得 c＝ a2＋b2＝ 9k2＋4k2＝ 13k. ∴sin B＝b c ＝ 2k 13k ＝2 13 13 ， cos B＝a c ＝ 3k 13k ＝3 13 13 ， tan B＝b a ＝2k 3k ＝2 3 . 23．解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°. ∵点 E 是 AB 的中点，CE＝1， ∴BE＝CE＝1，AB＝2CE＝2. ∴∠B＝∠ECB. ∵BC CD ＝3 2 ， ∴设 BC＝3x，则 CD＝2x. 在 Rt△ACD 中，tan D＝2， ∴AC CD ＝2. ∴AC＝4x. 在 Rt△ACB 中，由勾股定理得 AB＝ AC2＋BC2＝5x， ∴sin∠ECB＝sin B＝AC AB ＝4 5 . 由 AB＝2，得 x＝2 5 ， ∴AD＝ AC2＋CD2＝ （4x）2＋（2x）2＝2 5x＝2 5×2 5 ＝4 5 5 . 24．解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. (第 24 题)根据题意知∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°， ∴∠CAD＝45°. ∴∠ACD＝∠CAD. ∴AD＝CD. ∴BD＝BC－CD＝200－AD. 在 Rt△ABD 中，tan ∠ABD＝AD BD ， ∴AD＝BD·tan ∠ABD＝(200－AD)·tan 60°＝ 3(200－AD)． ∴AD＋ 3AD＝200 3. ∴AD＝200 3 3＋1 ＝300－100 3(m)． 答：该河段的宽度为(300－100 3)m. 25．解：如图，过点 A 作 AP⊥BC， 垂足为 P，设 AP＝x n mile. (第 25 题) 在 Rt△APC 中，∵∠APC＝90°， ∠PAC＝90°－60°＝30°，∴tan∠PAC＝CP AP ＝ 3 3 . ∴CP＝ 3 3 x n mile. 在 Rt△APB 中，∵∠APB＝90°， ∠PAB＝45°， ∴BP＝AP＝x n mile. ∵PC＋BP＝BC＝30×1 2 ＝15(n mile)，∴ 3 3 x＋x＝15. 解得 x＝15（3－ 3） 2 . ∴PB＝15（3－ 3） 2 n mile. ∴航行时间为15（3－ 3） 2 ÷30＝3－ 3 4 (h)． 答：该渔船从 B 处开始航行3－ 3 4 h，离观测点 A 的距离最近． 26．解：(1)如图，连接 PA. (第 26 题) 由已知得 AP＝39 m，在 Rt△APH 中，PH＝ AP2－AH2＝ 392－152＝36(m)． 答：此时汽车与点 H 的距离为 36 m.(2)由题意，隔音板位置应从 P 到 Q， 在 Rt△ADH 中，DH＝ AH tan 30° ＝15 3 3 ＝15 3(m)； 在 Rt△CDQ 中，DQ＝ CQ sin 30° ＝39 1 2 ＝78(m)． ∴PQ＝PH＋HQ＝PH＋DQ－DH＝36＋78－15 3≈114－15×1.7≈89(m)． 答：高架道路旁安装的隔音板至少需要 89 m 长． 第二章达标测试卷 1．下列函数属于二次函数的是(　　) A．y＝5x＋3 B．y＝1 x2 C．y＝2x2＋x＋1 D．y＝ x2＋1 2．二次函数 y＝x2－2x＋4 化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，下列正确的是(　　) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋4 3．一小球被抛出后，距离地面的高度 h (m)和飞行时间 t (s)满足的函数表达式为 h＝－5(t－1)2 ＋6，则小球距离地面的最大高度是(　　) A．1 m　 B．5 m　 C．6 m　 D．7 m 4．下列抛物线中，开口向下且开口最大的是(　　) A．y＝－x2 B．y＝－2 3 x2 C．y＝1 3 x2 D．y＝－ 3x2 5．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的 x，y 的部分对应值如下表： x －1 0 1 2 3y 5 1 －1 －1 1 则该二次函数图象的对称轴为(　　) A．y 轴 B．直线 x＝5 2 C．直线 x＝2 D．直线 x＝3 2 6．抛物线 y＝x2＋2x＋m－1 与 x 轴有两个不同的交点，则 m 的取值范围是(　　) A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜－2 7．将抛物线 y＝x2－4x－4 向左平移 3 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，得到抛物线 的函数表达式为(　　) A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3 C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－3 8．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，反比例函数 y＝a x 与正比例函数 y＝bx 在同一坐 标系内的大致图象是(　　) 9．以 x 为自变量的二次函数 y＝x2－2(b－2)x＋b2－1 的图象不经过第三象限，则实数 b 的取 值范围是(　　) A．b≥5 4 B．b≥1 或 b≤－1 C．b≥2 D．1≤b≤2 10．如图是抛物线 y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是 A(1，3)，与 x 轴的一个交点为 B(4，0)，直线 y2＝mx＋n(m≠0)与抛 物线交于 A，B 两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程 ax2＋bx＋c＝3 有两个相等的实数根；④抛物线与 x 轴的另一个交 点是(－1，0)；⑤当 1＜x＜4 时，有 y2＜y1，其中正确的是(　　) A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 二、填空题(每题 3 分，共 30 分)11．当 a＝________时，函数 y＝(a－1)xa2＋1＋x－3 是二次函数． 12．已知抛物线 y＝－2(x－3)2＋1，当 x1>x2>3 时，y1________y2(填“＞”或“＜”)． 13．某一型号飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)与滑行时间 x(单位：s)之间的函数表达式是 y ＝60x－1.5x2，该型号飞机着陆后滑行距离为__________时才能停下来． 14．如图是二次函数 y＝ax2－x＋a2－1 的图象，则 a＝________． 15．已知二次函数的图象经过原点及(－1 2 ，－1 4)，且图象与 x 轴的另一个交点到原点的距离为 1，则该二次函数的表达式为________________________． 16．若抛物线 y＝kx2－7x－7 和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是__________________． 17．抛物线 y＝x2－2kx＋4k 通过一个定点，这个定点坐标是____________．18．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是一抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达 式为 y＝－ 1 40 x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面 AB 高为 8 m 的点 E，F 处 要安装两盏警示灯，则这两盏警示灯的水平距离 EF 约是________m(结果精确到 1 m， 5 ≈2.236)． 19．某商店经营一种水产品，成本为每千克 40 元，据市场分析，若按每千克 50 元销售，一 个月能售出 500 kg；销售单价每涨 1 元，月销售量减少 10 kg，针对这种水产品的销售情 况，销售单价定为________元时，获得的月利润最大． 20．如图，在边长为 10 cm 的正方形 ABCD 中，P 为 AB 边上任意一点(P 不与 A，B 两点重合)， 连 接 DP ， 过 点 P 作 PE ⊥ DP ， 垂 足 为 P ， 交 BC 于 点 E ， 则 BE 的 最 大 长 度 为 __________． 三、解答题(21～24 题每题 9 分，其余每题 12 分，共 60 分) 21．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表 所示： x … －1 0 2 4 … y … －5 1 1 m … 求：(1)这个二次函数的表达式； (2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中 m 的值．22.如图，二次函数 y＝(x－2)2＋m 的图象与 y 轴交于点 C，点 B 是点 C 关于该二次函数图象 的对称轴对称的点．已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过该二次函数图象上的点 A(1，0) 及点 B. (1)求二次函数与一次函数的表达式； (2)根据图象，写出满足 kx＋b≥(x－2)2＋m 的 x 的取值范围． 23．如图，已知抛物线与 x 轴交于 A(－1，0)，E(3，0)两点，与 y 轴交于点 B(0，3)． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为 D，求四边形 AEDB 的面积．24．已知函数 y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1 的图象与 x 轴总有交点． (1)求 m 的取值范围； (2)当函数图象与 x 轴两交点的横坐标的倒数和等于－4 时，求 m 的值． 25．某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次(最低档次)的产品一天能生产 95 件，每件利润为 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件． (1)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的 函数关系式； (2)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1 120 元，求该产品的质量档次．26．有一个例题： 有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长 为 6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案：当窗户半圆的半径约为 0.35 m 时，透光面积的最大值约为 1.05 m2. 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长 仍为 6 m．解答下列问题： (1)若 AB 为 1 m，求此时窗户的透光面积； (2)与上面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说 明理由．答案 一、1.C　2.B　3.C　4.B　5.D　6.A 7．D 8．C　点拨：由 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向下，得 a＜0；由图象，得－ b 2a ＞0；由不等式的 基本性质，得 b＞0. ∵a＜0， ∴y＝a x 的图象位于第二、四象限． ∵b＞0， ∴y＝bx 的图象经过第一、三象限． 9．A 10．C　点拨：对于抛物线 y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对称轴为直线 x＝－ b 2a ，∴－ b 2a ＝1，∴2a＋ b＝0，①正确； 由图象可知 a＜0，c＞0，x＝－ b 2a ＞0， ∴b＞0，∴abc＜0，②错误； ∵抛物线 y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线 y＝3 只有一个交点，∴方程 ax2＋bx＋c＝3 有两个 相等的实数根，③正确； 设抛物线与 x 轴的另一个交点是(x2，0)，由抛物线的对称性可知4＋x2 2 ＝1，∴x2＝－2，即 抛物线与 x 轴的另一个交点是(－2，0)，④错误； 通过函数图象可直接得到当 1＜x＜4 时，有 y2＜y1，⑤正确． 故选 C. 二、11.－1　12.＜　13.600 m 14．1　点拨：∵抛物线过原点，∴0＝a×02－0＋a2－1，∴a＝±1.又∵抛物线开口向上，∴a＝ 1. 15．y＝x2＋x 或 y＝－1 3 x2＋1 3 x点拨：由题意知，抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(1，0)或(－1，0)，故可得相应函数表 达式为 y＝－1 3 x2＋1 3 x 或 y＝x2＋x. 16．k≥－7 4 且 k≠0　17.(2，4) 18．18　点拨：当 y＝8 时，－ 1 40 x2＋10＝8，得 x＝±4 5，∴E(－4 5，8)，F(4 5，8)．∴EF＝ 2×4 5＝8 5≈18(m)． 19．70　点拨：设销售单价为 x(元)，且利润为 y(元)，则 y＝(x－40)·[500－10(x－50)]，即 y＝－ 10(x－70)2＋9 000(50≤x≤100)，当 x＝70 时，y 有最大值，获得月利润最大． 20.5 2 cm　点拨：设 AP＝x cm，BE＝y cm.如图，∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠A＝∠B＝90°. ∴∠1＋∠2＝90°.∵PE⊥DP，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠1＝∠3.∴△ADP∽△BPE.∴ AD BP ＝AP BE ， 即 10 10－x ＝x y .整理得 y＝－ 1 10 (x－5)2＋5 2 (0＜x＜10)，∴当 x＝5 时，y 有最大值5 2 . 三、21.解：(1)将点(－1，－5)，(0，1)，(2，1)的坐标代入 y＝ax2＋bx＋c， 得{a－b＋c＝－5， c＝1， 4a＋2b＋c＝1， 解得{a＝－2， b＝4， c＝1. ∴这个二次函数的表达式为 y＝－2x2＋4x＋1. (2)y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，故图象的顶点坐标为(1，3)．当 x＝4 时，m＝－2×16＋16 ＋1＝－15. 22．解：(1)将点 A(1，0)的横纵坐标代入 y＝(x－2)2＋m，得(1－2)2＋m＝0，解得 m＝－1. ∴二次函数的表达式为 y＝(x－2)2－1. 当 x＝0 时，y＝4－1＝3， ∴C 点坐标为(0，3)．∵点 C 和点 B 关于对称轴直线 x＝2 对称， ∴B 点坐标为(4，3)． 分别将 A(1，0)，B(4，3)的坐标代入 y＝kx＋b，得{k＋b＝0， 4k＋b＝3， 解得{k＝1， b＝－1. ∴一次函数的表达式为 y＝x－1. (2)A，B 两点的坐标分别为(1，0)，(4，3)． 当 kx＋b≥(x－2)2＋m 时，在坐标系内对应的直线不在抛物线的下方，此时 1≤x≤4. 23．解：(1)因为抛物线与 y 轴交于点 B(0，3)， 所以设抛物线对应的函数表达式为 y＝ax2＋bx＋3(a≠0)． 由题意得{a－b＋3＝0， 9a＋3b＋3＝0， 解得{a＝－1， b＝2. 所以抛物线对应的函数表达式为 y＝－x2＋2x＋3. (2)由顶点坐标公式得抛物线的顶点坐标为(1，4)． 作抛物线的对称轴，与 x 轴交于点 F， 所以 S 四边形AEDB＝S△ABO＋S 梯形BOFD＋S△DEF＝1 2 AO·BO＋1 2 (BO＋DF)·OF＋1 2 EF·DF＝1 2 ×1×3＋1 2 ×(3＋ 4)×1＋1 2 ×2×4＝9.　 24．解：(1)当 m＋6＝0 即 m＝－6 时，函数 y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1，即 y＝－14x－5 的图象与 x 轴有交点； 当 m＋6≠0 时，Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)·(m＋1)＝4(－9m－5)≥0，解得 m≤－5 9 ， 即 m≤－5 9 且 m≠－6 时抛物线与 x 轴有交点． 综合 m＋6＝0 和 m＋6≠0 两种情况可知，当 m≤－5 9 时，此函数的图象与 x 轴有交点．(2)设 x1，x2 是方程(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1＝0 的两个实数根， 则 x1＋x2＝－2（m－1） m＋6 ，x1x2＝m＋1 m＋6 . ∵1 x1 ＋1 x2 ＝－4，即x1＋x2 x1x2 ＝－4， ∴－2（m－1） m＋1 ＝－4， 解得 m＝－3. 当 m＝－3 时，m＋6≠0，Δ＞0，符合题意，∴m 的值是－3. 25．解：(1)∵第 1 档次的产品一天能生产 95 件，每件利润为 6 元，每提高一个档次，每件利 润增加 2 元，但一天产量减少 5 件，生产第 x 档次的产品提高了(x－1)档， ∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即 y＝－10x 2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且 1≤x≤10)． (2)由题意，得－10x2＋180x＋400＝1 120，整理得 x2－18x＋72＝0， 解得 x1＝6，x2＝12(舍去)． ∴该产品的质量档次为第 6 档． 26．解：(1)由已知得 AD＝5 4 m，∴窗户的透光面积为5 4 ×1＝5 4 (m2)． (2)窗户透光面积的最大值变大． 理由：设 AB＝x m， 则 AD＝(3－7 4x)m， ∵3－7 4 x＞0，且 x＞0， ∴0＜x＜12 7 . 设窗户透光面积为 S m2，由已知得 S＝x(3－7 4x)＝－7 4 x2＋3x＝－7 4(x－6 7)2 ＋9 7 ， 当 x＝6 7 时(x＝6 7 在 0＜x＜12 7 的范围内)，S 最大＝9 7 ＞1.05.∴与例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大． 第三章达标测试卷 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．⊙O 的半径为 6，点 P 在⊙O 内，则 OP 的长可能是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在⊙O 中，弦 AB＝8，OC⊥AB，垂足为 C，且 OC＝3，则⊙O 的半径为(　　) A．5　　 B．10　 C．8　 D．6 (第 2 题) 　　　　　 (第 3 题) 　　　　　 (第 4 题) 3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，若∠OBC＝60°，则 tan∠BAC 的值是(　　) A. 3 B．1 C. 3 2 D. 3 3 4．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD 等于(　　) A．128° B．100° C．64° D．32° 5．已知扇形的面积为 4π，扇形的弧长为 π，则该扇形的半径为(　　) A．4 B．6 C．8 D．8π 6．如图，在⊙O 中，弦 BC＝1，点 A 是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O 的半径是(　　)A．1 B．2 C. 3 D. 5 (第 6 题) 　　　　 (第 7 题) 　　　　 (第 9 题) 　　　　 (第 10 题) 7．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB 于点 E，则下列结论中不成立的是(　　) A．∠A＝∠D B.CB ︵ ＝BD ︵ C．∠ACB＝90° D．∠COB＝3∠D 8．同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长之比为(　　) A．3∶4 B. 3∶2 C．2∶ 3 D．1∶2 9．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与 x 轴相切于点 A(8，0)，与 y 轴分别交于点 B(0，4)和 点 C(0，16)，则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是(　　) A．10 B．8 2 C．4 13 D．2 41 10．如图，已知⊙O 是等腰直角三角形 ABC 的外接圆，点 D 是AC ︵ 上一点，BD 交 AC 于点 E， 若 BC＝4，AD＝4 5 ，则 AE 的长是(　　) A．3 B．2 C．1 D．1.2二、填空题(每题 3 分，共 30 分) 11．如图，在⊙O 中，AB ︵ ＝AC ︵ ，∠A＝40°，则∠B＝________． (第 11 题) 　　　 (第 12 题) 　　　 (第 13 题) 　　　 (第 14 题) 12．如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连接 OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD 的度数是________． 13．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD，CE 分别与⊙O 相切于点 D，E， 若 AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则 CE＝________． 14．如图，⊙P 的半径为 2，P 在函数 y＝8 x (x＞0)的图象上运动，当⊙P 与 x 轴相切时，点 P 的坐标为__________． 15．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点 C 在圆上，且∠BAC＝30°，∠ABD＝120°，CD⊥BD 于点 D，则 BD＝________. (第 15 题)　　　　　　 (第 16 题) 　　　　　 (第 17 题) 16．如图，已知⊙O 的半径为 2，A 为⊙O 外一点，过点 A 作⊙O 的一条切线 AB，切点是 B， AO 的延长线交⊙O 于点 C，若∠BAC＝30°，则劣弧 BC 的长为________． 17．如图，已知在⊙O 中，直径 MN＝10，正方形 ABCD 的四个顶点分别在半径 OM，OP 以及⊙ O 上，而且∠POM＝45°，则 AB 的长为________． 18．如图，△ABC 内接于⊙O，AH⊥BC 于点 H，若 AC＝24，AH＝18，⊙O 的半径 OC＝13， 则 AB＝________． (第 18 题) 　　　　　 (第 19 题) 　　　　　 (第 20 题) 19．如图，直线 y＝ 3 3 x＋ 3与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，圆心 P 的坐标为(1，0)，⊙P 与 y 轴相切于点 O，若将⊙P 沿 x 轴向左移动，当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的 点 P 有________个． 20．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2 3，以点 C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与 AB边交于点 D，将BD ︵ 绕点 D 旋转 180°后点 B 与点 A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为 __________． 三、解答题(21 题 8 分，26 题 12 分，其余每题 10 分，共 60 分) 21．如图，A，B，C 三点都在⊙O 上，AE 是⊙O 的直径，AD 是△ABC 的高，⊙O 的半径 R＝ 4，AD＝6. 求证：AB·AC 的值是一个常数． (第 21 题) 22．如图，⊙O 的直径 AB＝10，弦 DE⊥AB 于点 H，AH＝2. (1)求 DE 的长； (2)延长 ED 到点 P，过 P 作⊙O 的切线，切点为 C，若 PC＝2 5，求 PD 的长． (第 22 题)23．如图，已知 P 为反比例函数 y＝4 x (x>0)图象上一点，以点 P 为圆心，OP 长为半径画圆，⊙ P 与 x 轴相交于点 A，连接 PA，且点 A 的坐标为(4，0)．求： (1)⊙P 的半径； (2)图中阴影部分的面积． 　 (第 23 题) 24．如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 为直径作半圆 O 交 AC 于点 D，点 E 为 BC 的中点， 连接 DE. (1)求证：DE 是半圆 O 的切线； (2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求 AD 的长． (第 24 题)25．如图，在直角坐标系中，点 O′的坐标为(－2，0)，⊙O′与 x 轴相交于原点 O 和点 A，B，C 两点的坐标分别为(0，b)，(1，0)． (1)当 b＝3 时，求经过 B，C 两点的直线对应的函数表达式． (2)当 B 点在 y 轴上运动时，直线 BC 与⊙O′有哪几种位置关系？并求出每种位置关系时 b 的取 值范围． (第 25 题) 26．如图，在△ABC 中，∠ABC＝∠ACB，以 AC 为直径的⊙O 分别交 AB，BC 于点 M，N，点 P 在 AB 的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP. (1)求证：直线 CP 是⊙O 的切线； (2)若 BC＝2 5，sin ∠BCP＝ 5 5 ，求点 B 到 AC 的距离； (3)在(2)的条件下，求△ACP 的周长． (第 26 题)　答案 一、1.A　2.A　3.D　4.A　5.C　6.A 7．D　8.B　 9．D　点拨：连接 BM，OM，AM，过点 M 作 MH⊥BC 于点 H. ∵⊙M 与 x 轴相切于点 A(8，0)， ∴AM⊥OA，OA＝8. ∴∠OAM＝∠MHO＝∠HOA＝90°. ∴四边形 OAMH 是矩形，∴AM＝OH. ∵点 B 的坐标为(0，4)，点 C 的坐标为(0，16)， ∴OB＝4，OC＝16.∴BC＝12. ∵MH⊥BC， ∴CH＝BH＝1 2 BC＝1 2 ×12＝6. ∴OH＝OB＋BH＝4＋6＝10. ∴AM＝10. 在 Rt△AOM 中，OM＝ AM2＋OA2＝ 102＋82＝2 41. 10．C　点拨：∵⊙O 是等腰直角三角形 ABC 的外接圆，BC＝4，∴AB 为⊙O 的直径，AC＝4， AB＝4 2. ∴∠D＝90°. 在 Rt△ABD 中，AD＝4 5 ，AB＝4 2， ∴BD＝28 5 . ∵∠D＝∠C，∠DAE＝∠CBE， ∴△ADE∽△BCE.∴AD∶BC＝AE∶BE＝DE∶CE＝4 5 ∶4＝1∶5.∴相似比为 1∶5. 设 AE＝x，∴BE＝5x. ∴DE＝28 5 －5x. ∴CE＝5DE＝28－25x. 又∵AC＝4，∴x＋28－25x＝4. 解得 x＝1. 二、11.70°　12.70°　13.2　14.(4，2) 15．2　16.4π 3 　17. 5 18.39 2 　点拨：延长 CO 与圆交于点 D，连接 AD，可得∠B＝∠D，故 sin B＝sin D．∴AH AB ＝AC CD ， 即18 AB ＝24 26 ，可得 AB＝39 2 . 19．3 20．2 3－2π 3 　点拨：依题意，有 AD＝BD，又∠ACB＝90°，所以 CB＝CD＝BD，即△BCD 为等 边三角形，∠BCD＝∠ABC＝60°，∠BAC＝∠ACD＝30°；由 AC＝2 3，得 BC＝2，AB＝4.阴 影部分面积为 S△ACD－S 弓形 AD＝S△ACD－S 弓形 BD＝S△ACD－(S 扇形 BCD－S△BCD)＝S△ABC－S 扇形 BCD， 根据面积公式计算即可． 三、21.证明：连接 BE，如图所示． (第 21 题) ∵AE 为⊙O 的直径，AD 是△ABC 的高， ∴∠ABE＝∠ADC＝90°.又∵∠C＝∠E，∴△ADC∽△ABE. ∴AC AE ＝AD AB . ∴AB·AC＝AD·AE＝6×2R＝6×2×4＝48， 即 AB·AC 的值是一个常数． 22．解：(1)连接 OD. ∵AB＝10，∴OA＝OD＝5. ∵AH＝2，∴OH＝3. ∵AB⊥DE， ∴∠DHO＝90°，DH＝EH. ∴DH＝ OD2－OH2＝ 52－32＝4. ∴DE＝2DH＝2×4＝8. (2)连接 OC，OP. ∵CP 与⊙O 相切，∴OC⊥CP. ∴OP＝ OC2＋CP2＝ 52＋（2 5）2＝3 5. ∴PH＝ OP2－OH2＝ （3 5）2－32＝6. ∴PD＝PH－DH＝6－4＝2. 23．解：(1)过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D. ∵A 点的坐标为(4，0)，∴OA＝4. ∴OD＝2，即点 P 的横坐标为 2. 将 x＝2 代入 y＝4 x ，可得 y＝2， 即 PD＝2. 在 Rt△OPD 中，根据勾股定理可得 OP＝2 2，即⊙P 的半径为 2 2.(2)由(1)可得 PD＝OD，且∠ODP＝90°，∴∠OPD＝45°. 又∵OP＝PA， ∴∠APD＝∠OPD＝45°. ∴∠OPA＝90°. 又∵OA＝2OD＝4， ∴S 阴影＝S 扇形 OPA－S△OPA＝90 × （2 2）2 × π 360 －4 × 2 2 ＝2π－4.　 24．(1)证明：连接 OD，OE，BD. ∵AB 为半圆 O 的直径， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°. 在 Rt△BDC 中，E 为斜边 BC 的中点，∴DE＝BE. 在△OBE 和△ODE 中， {OB＝OD， OE＝OE， BE＝DE， ∴△OBE≌△ODE(SSS)． ∴∠ODE＝∠OBE＝90°. ∴DE 为半圆 O 的切线． (2)解：在 Rt△ABC 中，∠BAC＝30°， ∴BC＝1 2 AC. ∵BC＝2BE＝2DE＝4，∴AC＝8. 由题知∠C＝60°，DE＝BE＝EC， ∴△DEC 为等边三角形． ∴DC＝DE＝2. ∴AD＝AC－DC＝8－2＝6.25．解：(1)设经过 B，C 两点的直线对应的函数表达式为 y＝mx＋n(m≠0 且 m，n 为常数)． 由题易知 B(0，3)，C(1，0)，分别将 B(0，3)，C(1，0)的坐标代入 y＝mx＋n，得{3＝n， 0＝m＋n， 解得{m＝－3， n＝3. ∴经过 B，C 两点的直线对应的函数表达式为 y＝－3x＋3. (2)当 BC 切⊙O′于第二象限时，记切点为 D，易得 DC＝ 5. ∵BO＝BD＝b，∴BC＝ 5－b. 在 Rt△OBC 中，易得 12＋b2＝( 5－b)2，解得 b＝2 5 5. 同理当 BC 切⊙O′于第三象限 D1 点时，可求得 b＝－2 5 5. 故当 b＞2 5 5或 b＜－2 5 5时，直线 BC 与⊙O′相离； 当 b＝2 5 5或－2 5 5时，直线 BC 与⊙O′相切； 当－2 5 5＜b＜2 5 5时，直线 BC 与⊙O′相交． 26．(1)证明：如图，连接 AN. ∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC. ∵AC 为直径，∴AN⊥BC. ∴∠CAN＝∠BAN，BN＝CN. ∵∠CAB＝2∠BCP， ∴∠CAN＝∠BCP. ∵∠CAN＋∠ACN＝90°， ∴∠BCP＋∠ACN＝90°， 即∠ACP＝90°. ∴直线 CP 是⊙O 的切线．(第 26 题) (2)解：如图，过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，由(1)得 BN＝CN＝1 2 BC＝ 5. ∵AN⊥BC，∴sin∠CAN＝CN AC . 又∵∠CAN＝∠BCP，sin ∠BCP＝ 5 5 ， ∴CN AC ＝ 5 5 ，∴AC＝5. ∴AN＝ AC2－CN2＝2 5. ∵∠ANC＝∠BHC＝90°，∠ACN＝∠BCH， ∴△CAN∽△CBH.∴AC BC ＝AN BH . ∴BH＝4，即点 B 到 AC 的距离为 4. (3)解：易知 CH＝ BC2－BH2＝2， 则 AH＝AC－CH＝3. ∵BH∥CP，∴BH PC ＝AH AC . ∴PC＝20 3 . ∴AP＝ AC2＋PC2＝25 3 . ∴△ACP 的周长是 AC＋AP＋PC＝5＋25 3 ＋20 3 ＝20.