北师大版九年级数学上册单元试卷全套（含答案）

北师大版九年级数学上册单元测试题全套（含答案） 第 21 章 一元二次方程 测试题 （时间： 90 分钟，满分：120 分） （班级：_____ 姓名：_____ 得分：_____） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 一元二次方程 2x2－3x－4＝0 的二次项系数是 （ ） A. 2　　　　　B. －3　　　　C. 4　　　　D. －4 2．把方程(x－ )(x＋ )＋(2x－1)2＝0 化为一元二次方程的一般形式是 （ ） A．5x2－4x－4＝0 B．x2－5＝0 C．5x2－2x＋1＝0 D．5x2－4x＋6＝0 3．方程 x2－2x-3＝0 经过配方法化为(x＋a)2＝b 的形式，正确的是 （ ） A． B． C． D． 4．方程 的解是 （ ） A．2 B．3 C．-1,2 D．-1,3 5．下列方程中，没有实数根的方程是 （ ） A． B． C． 　 D． （ 为任意实数） 6．一个矩形的长比宽多 2 cm，其面积为 ，则矩形的周长为 （ ） A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．24 cm 7．某药品经过两次降价，每瓶零售价由 168 元降为 128 元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百 分率为 x，根据题意列方程得 （　 ） A.168（1+x）2=128 B.168（1﹣x）2=128 C.168（1﹣2x）=128 D.168（1﹣x2）=128 5 5 ( ) 41 2 =−x ( ) 41 2 =+x ( ) 161 2 =−x ( ) 161 2 =+x ( )( ) 121 +=−+ xxx 2 12 27 0x x− + = 22 3 2 0x x− + = 22 34 1 0x x+ − = 2 23 0x x k− − = k 2cm88．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数比十位数大 ，则这个两位数为 （　） A．25 B．36 C．25 或 36 D．－25 或－36 9．从一块正方形的木板上锯掉 2 m 宽的长方形木条，剩下的面积是 48㎡，则原来这块木板的面积是 （ ） A．100㎡ B．64㎡ C．121㎡ D．144㎡ 10．三角形两边的长分别是 和 ，第三边的长是一元二次方程 的一个实数根，则该三 角形的面积是 （ ） A．24　　　B．24 或 　　　C．48　　　　D． 二、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 11．当 　　　　　时，方程 是关于 的一元二次方程． 12．若 且 ，则关于 x 的一元二次方程 必有一定根，它是　　　． 13．一元二次方程 x(x-6)=0 的两个实数根中较大的为　　　. 14．某市某企业为节约用水，自建污水净化站．7 月份净化污水 3000 吨，9 月份增加到 3630 吨，则这两 个月净化的污水量平均每月增长的百分率为　　　　． 15．若关于 的一元二次方程 的一个根是－2，则另一个根是______． 16．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为 200 件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年 增 长 一 个 相 同 的 百 分 数 ， 使 得 三 年 的 总 产 量 达 到 1400 件 ． 若 设 这 个 百 分 数 为 x， 则 可 列 方 程 ____________________． 17．方程 x2＋px＋q＝0，甲同学因为看错了常数项，解得的根是 6，－1；乙同学看错了一次项，解得的根 是－2，－3，则原方程为　　　　　　　　　　． 18．如图，矩形 ABCD 的周长是 20 cm，以 AB，AD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH，若正方形 ABEF 和 ADGH 的面积之和为 68 cm2，那么矩形 ABCD 的面积是_______cm2． 三、解答题（共 58 分） 19．（每小题 5 分，共 20 分）选择适当的方法解下列方程： 3 8 6 2 16 60 0x x− + = 8 5 8 5 k 2 22 3kx x x− = − x 0a b c+ + = 0a ≠ 2 0ax bx c+ + = x 2 ( 3) 0x k x k+ + + = G D CBE F A H（1） ；（2） （3） ；（4） . 20．（8 分）当 为何值时，关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根？此时这两个 实数根是多少？ 21．（8 分）已知 a，b 是方程 的两个根，求代数式 的值． 22．（10 分）如图，△ABC 中,∠B=90°,点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 以 1cm/s 的速度移动,点 Q 从点 B 开 始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动.如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，经几秒钟，使△PBQ 的面积 等于 8cm2？ 28)32(7 2 =−x ;0982 =−+ xx xx 5212 2 =+ ( )xxx −=− 12)1( 2 m x 02 142 =−+− mxx 0122 =−+ xx ))(11( 22 baabba −−23．（12 分）商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适 当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．设每件商品降价 x 元. 据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元？ 参考答案 一、1．A 2．A 3．A 4．D 5．B 6．A 7．B 8．C 9．B 10．B 二、11． 12．1 13．6 14．10% 15．1 16． 17．x2－5x＋6＝0 18．16 三、19．（1） ＝ ， ＝ ；（2） ＝1， ＝-9； （3） ＝ ， ＝ ；（4） ＝1， ＝ . 20. 解：由题意，得 ＝(－4)2－4(m－ )＝0，即 16－4m＋2＝0，解得 m＝ ． 当 m＝ 时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝2． 21. 解：由题意，得 所以原式= = 22．解：解：设 x 秒时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，且使△PBD 的面积为 8 cm 2 ，由题意，得 . 3k ≠ − 2200 200(1 ) 200(1 ) 1400x x+ + + + = 1x 2 5 2x 2 1 1x 2x 1x 2 35 + 2x 2 35 − 1x 2x 3 1 ∆ 2 1 2 9 2 9 .1,2 −=−=+ abba ( ) ( ) ( ) abbaabababab ab 422 −+=−=−•− ( ) .842 2 =+− 82)6(2 1 =⋅− xx解得 x1=2， x2=4. 经检验均是原方程的解，且符合题意. 所以经过 2 秒或 4 秒时△PBQ 的面积为 8 cm2. 解：（1）2x 50-x （2）由题意，得（50-x）（30+2x）=2100. 化简，得 x2-35x+300=0. 解得 x1=15，x2=20. 因为该商场为了尽快减少库存，所以降的越多，越吸引顾客，故选 x=20. 答：每件商品降价 20 元，商场日盈利可达 2100 元． 第 22 章 二次函数 测试题 时间：100 分钟 满分：120 分钟 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．抛物线 y=2（x﹣3）2+1 的顶点坐标是（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 2．关于抛物线 y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．与 x 轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线 x=1 D．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小 3．二次函数 y=ax2+bx+c，自变量 x 与函数 y 的对应值如表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … 下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当 x＞﹣3 时，y 随 x 的增大而增大 C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是 x=﹣4．抛物线 y=2x2，y=﹣2x2， 共有的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是 y 轴 C．都有最高点 D．y 随 x 的增大而增大 5．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线 y=x2﹣1 上，下列说法中正确的是（　　） A．若 y1=y2，则 x1=x2 B．若 x1=﹣x2，则 y1=﹣y2 C．若 0＜x1＜x2，则 y1＞y2 D．若 x1＜x2＜0，则 y1＞y2 6．在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax2+bx 与 y=bx+a 的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．如图是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线 x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0； ②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程 ax2+bx=0 的两个根为 x1=0， x2=﹣4，其中正确的结论有（　　） A．①③④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤ 8．如图所示，P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上一动点，过 P 垂直于 AC 的直线交菱形 ABCD 的边于 M、N 两点， 设 AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是（　　） 第 7 题 第 8 题第 13 题第 12 题 A． B． C． D． 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 9．已知 A（0，3），B（2，3）是抛物线 y=﹣x2+bx+c 上两点，该抛物线的顶点坐标是　　． 10．如果将抛物线 y=x2+2x﹣1 向上平移，使它经过点 A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是　　． 11．已知点 A（4，y 1），B（ ，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数 y=（x﹣2）2﹣1 的图象上，则 y1、y2、 y3 的大小关系是　　． 12．二次函数 y=x2﹣2x﹣3 的图象如图所示，若线段 AB 在 x 轴上，且 AB 为 2 个单位长度，以 AB 为边 作等边△ABC，使点 C 落在该函数 y 轴右侧的图象上，则点 C 的坐标为　　． 13．如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（4，3），D 是抛 物线 y=﹣x2+6x 上一点，且在 x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为　　． 14．如图，抛物线 y=﹣x2+2x+3 与 y 轴交于点 C，点 D（0，1），点 P 是抛物线上的动点．若△PCD 是以 CD 为底的等腰三角形，则点 P 的坐标为　　． 15．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为 C1，它与 x 轴交于两点 O，A1；将 C1 绕 A1 旋转 180° 得到 C2，交 x 轴于 A2；将 C2 绕 A2 旋转 180°得到 C3，交 x 轴于 A3；…如此进行下去，直至得到 C6，若点 P （11，m）在第 6 段抛物线 C6 上，则 m=　　．三、解答题（本大题 8 个小题，共 75 分） 16．(8 分)如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当 0＜x＜3 时，求 y 的取值范围； （3）点 P 为抛物线上一点，若 S△PAB=10，求出此时点 P 的坐标． 17．（9 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 A（3，0），与 y 轴的交点为 B（0，3），其 顶点为 C，对称轴为 x=1． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点 M 为 y 轴上的一个动点，当△ABM 为等腰三角形时，求点 M 的坐标． 第 14 题 第 15 题18．（9 分）如图，抛物线 y=ax2+bx﹣4a 经过 A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与 x 轴交于另一点 B． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点 D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标． 19．（9 分）如图，二次函数的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0）和 B（1，0）两点，交 y 轴于点 C（0，3），点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B、D． （1）请直接写出 D 点的坐标． （2）求二次函数的解析式． （3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围． 20．（9 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴， 抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过 B、C 两点，点 D 为抛物线的顶点，连接 AC、BD、CD． （1）求此抛物线的解析式． （2）求此抛物线顶点 D 的坐标和四边形 ABCD 的面积．21．（10 分）如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点 O 的正前方 10m 处起脚射门，足球沿抛 物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为 3m 时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为 6m．已知球 门的横梁高 OA 为 2.44m． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况） （2）守门员乙站在距离球门 2m 处，他跳起时手的最大摸高为 2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如 果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？ 22．（10 分）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在 15 天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只 6 元， 为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第 x 天生产的粽子数量为 y 只，y 与 x 满足下列关 系式： y= ． （1）李明第几天生产的粽子数量为 420 只？ （2）如图，设第 x 天每只粽子的成本是 p 元，p 与 x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第 x 天创造的利润为 w 元，求 w 与 x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利 润=出厂价﹣成本） （3）设（2）小题中第 m 天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第 m 天的利润至少多 48 元，则 第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？23．（11 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x=﹣1，且抛物线经过 A（1，0），C （0，3）两点，与 x 轴交于点 B． （1）若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴 x=﹣1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M 的坐 标； （3）设点 P 为抛物线的对称轴 x=﹣1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点 P 的坐标． 24．（10 分）如图，抛物线经过 A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； （3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边 形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（10 分）如图，已知抛物线 y=﹣ x2﹣ x+2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（1）求点 A，B，C 的坐标； （2）点 E 是此抛物线上的点，点 F 是其对称轴上的点，求以 A，B，E，F 为顶点的平行四边形的面积； （3）此抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存 在，请说明理由． 答案 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1-8: A D D B D C B C 二、填空题（每小题 3 分，共 27 分） 9.（1，4） 10. y=x2+2x+3 11. y3＞y1＞y2 12.（1+ ，3）或（2，﹣3） 13.15 14.（1+ ，2）或（1﹣ ，2） 15.﹣1 三．解答题 16．解：（1）把 A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入 y=x2+bx+c 中， 得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3． ∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）． （2）由图可得当 0＜x＜3 时，﹣4≤y＜0． （3）∵A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴AB=4．设 P（x，y），则 S△PAB= AB•|y|=2|y|=10， ∴|y|=5，∴y=±5．①当 y=5 时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4， 此时 P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； ②当 y=﹣5 时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解； 综上所述，P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）． 17．解：（1）由题意得： ，解该方程组得：a=﹣1，b=2，c=3， ∴抛物线的解析式为 y=﹣x2+2x+3． （2）由题意得：OA=3，OB=3； 由勾股定理得：AB2=32+32，∴AB=3 ． 当△ABM 为等腰三角形时， ①若 AB 为底，∵OA=OB， ∴此时点 O 即为所求的点 M， 故点 M 的坐标为 M（0，0）； ②若 AB 为腰， 以点 B 为圆心，以 长为半径画弧，交 y 轴于两点， 此时两点坐标为 M（0，3﹣3 ）或 M（0，3+3 ）， 以点 A 为圆心，以 长为半径画弧，交 y 轴于点（0，﹣3）； 综上所述，当△ABM 为等腰三角形时，点 M 的坐标分别为 （0，0）、（0，3﹣3 ）、（0，3 +3）、（0，﹣3）．　 18．解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx﹣4a 经过 A（﹣1，0）、C（0，4）两点， ∴ ，解之得：a=﹣1，b=3，∴y=﹣x2+3x+4； （2）∵点 D（m，m+1）在第一象限的抛物线上， ∴把 D 的坐标代入（1）中的解析式得 m+1=﹣m2+3m+4，∴m=3 或 m=﹣1， ∴m=3， ∴D（3，4）， ∵y=﹣x2+3x+4=0，x=﹣1 或 x=4， ∴B（4，0） ∴OB=OC， ∴△OBC 是等腰直角三角形， ∴∠CBA=45° 设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E ∵C（0，4） ∴CD∥AB，且 CD=3 ∴∠ECB=∠DCB=45° ∴E 点在 y 轴上，且 CE=CD=3 ∴OE=1 ∴E（0，1） 即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为（0，1）； 19．解：（1）∵二次函数的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0）和 B（1，0）两点， ∴对称轴是 x= =﹣1． 又点 C（0，3），点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，∴D（﹣2，3）； （2）设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c 常数）， 根据题意得 ，解得 ， 所以二次函数的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3； （3）一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围是 x＜﹣2 或 x＞1． 20．解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），把 B 与 C 坐标代入 y=﹣ x2+bx+c 得： ，解得：b=2，c=4， 则解析式为 y=﹣ x2+2x+4； （2）∵y=﹣ x2+2x+4=﹣ （x﹣2）2+6， ∴抛物线顶点坐标为（2，6）， 则 S 四边形 ABDC=S△ABC+S△BCD= ×4×4+ ×4×2=8+4=12． 21．解：（1）抛物线的顶点坐标是（4，3）， 设抛物线的解析式是：y=a（x﹣4）2+3， 把（10，0）代入得 36a+3=0，解得 a=﹣ ， 则抛物线是 y=﹣ （x﹣4）2+3， 当 x=0 时，y=﹣ ×16+3=3﹣ = ＜2.44 米， 故能射中球门； （2）当 x=2 时，y=﹣ （2﹣4）2+3= ＞2.52， ∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门， 当 y=2.52 时，y=﹣ （x﹣4）2+3=2.52， 解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），∴2﹣1.6=0.4（m）， 答：他至少后退 0.4m，才能阻止球员甲的射门．　 22．解：（1）设李明第 n 天生产的粽子数量为 420 只， 由题意可知：30n+120=420， 解得 n=10． 答：第 10 天生产的粽子数量为 420 只． （2）由图象得，当 0≤x≤9 时，p=4.1； 当 9≤x≤15 时，设 P=kx+b，把点（9，4.1），（15，4.7）代入得， ， 解得 ， ∴p=0.1x+3.2， ①0≤x≤5 时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，当 x=5 时，w 最大=513（元）； ②5＜x≤9 时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228， ∵x 是整数， ∴当 x=9 时，w 最大=741（元）； ③9＜x≤15 时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x2+72x+336， ∵a=﹣3＜0， ∴当 x=﹣ =12 时，w 最大=768（元）； 综上，当 x=12 时，w 有最大值，最大值为 768． （3）由（2）可知 m=12，m+1=13， 设第 13 天提价 a 元，由题意得，w13=（6+a﹣p）（30x+120）=510（a+1.5）， ∴510（a+1.5）﹣768≥48，解得 a≥0.1． 答：第 13 天每只粽子至少应提价 0.1 元． 23．解：（1）依题意得： ，解之得： ， ∴抛物线解析式为 y=﹣x2﹣2x+3 ∵对称轴为 x=﹣1，且抛物线经过 A（1，0）， ∴把 B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线 y=mx+n， 得 ，解之得： ， ∴直线 y=mx+n 的解析式为 y=x+3； （2）设直线 BC 与对称轴 x=﹣1 的交点为 M，则此时 MA+MC 的值最小． 把 x=﹣1 代入直线 y=x+3 得，y=2， ∴M（﹣1，2）， 即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M 的坐标为（﹣1，2）；（3）设 P（﹣1，t）， 又∵B（﹣3，0），C（0，3）， ∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10， ①若点 B 为直角顶点，则 BC2+PB2=PC2 即：18+4+t2=t2﹣6t+10 解之得：t=﹣2； ②若点 C 为直角顶点，则 BC2+PC2=PB2 即：18+t2﹣6t+10=4+t2 解之得：t=4， ③若点 P 为直角顶点，则 PB2+PC2=BC2 即：4+t2+t2﹣6t+10=18 解之得：t1= ，t2= ； 综上所述 P 的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1， ） 或（﹣1， ）． 24．解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三点在抛物线上， ∴ ，解得 ．∴抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣ ； （2）∵抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣ ， ∴其对称轴为直线 x=﹣ =﹣ =2， 连接 BC，如图 1 所示， ∵B（5，0），C（0，﹣ ），∴设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（k≠0），∴ ，解得 ， ∴直线 BC 的解析式为 y= x﹣ ， 当 x=2 时，y=1﹣ =﹣ ，∴P（2，﹣ ）； （3）存在． 如图 2 所示， ①当点 N 在 x 轴下方时， ∵抛物线的对称轴为直线 x=2，C（0，﹣ ），∴N1（4，﹣ ）； ②当点 N 在 x 轴上方时， 如图，过点 N2 作 N2D⊥x 轴于点 D， 在△AN2D 与△M2CO 中， ∴△AN2D≌△M2CO（ASA）， ∴N2D=OC= ，即 N2 点的纵坐标为 ． ∴ x2﹣2x﹣ = ， 解得 x=2+ 或 x=2﹣ ， ∴N2（2+ ， ），N3（2﹣ ， ）． 综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4，﹣ ），（2+ ， ）或（2﹣ ， ）．25．解：（1）令 y=0 得﹣ x2﹣ x+2=0， ∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4 或 2， ∴点 A 坐标（2，0），点 B 坐标（﹣4，0）， 令 x=0，得 y=2，∴点 C 坐标（0，2）． （2）由图象①AB 为平行四边形的边时， ∵AB=EF=6，对称轴 x=﹣1， ∴点 E 的横坐标为﹣7 或 5， ∴点 E 坐标（﹣7，﹣ ）或（5，﹣ ），此时点 F（﹣1，﹣ ）， ∴以 A，B，E，F 为顶点的平行四边形的面积=6× = ． ②当点 E 在抛物线顶点时，点 E（﹣1， ），设对称轴与 x 轴交点为 M，令 EM 与 FM 相等，则四边形 AEBF 是菱形，此时以 A，B，E，F 为顶点的平行四边形的面积= ×6× = ． （3）如图所示，①当 C 为等腰三角形的顶角的顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作 M1N⊥OC 于 N， 在 RT△CM1N 中，CN= = ， ∴点 M1 坐标（﹣1，2+ ），点 M2 坐标（﹣1，2﹣ ）． ②当 M3 为等腰三角形的顶角的顶点时，∵直线 AC 解析式为 y=﹣x+2， 线段 AC 的垂直平分线为 y=x， ∴点 M3 坐标为（﹣1，﹣1）． ③当点 A 为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在． 综上所述点 M 坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+ ）或（﹣1，2﹣ ）．　 第23章 旋转 一、选择题（每小题３分，共 30 分） 1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 2．将左图所示的图案按顺时针方向旋转 后可以得到的图案是（ ） 3．如图，如果正方形 旋转后能与正方形 重合，那么图形所在的平面内可作旋转中心的点共 有 （ ） Ａ．1 个 Ｂ．2 个 Ｃ．3 个 Ｄ．4 个 4．如图，将△ 绕着点 按顺时针方向旋转 ， 点落在 位置， 点落在 位置，若 ⊥ ，则∠ 的度数是（ ） Ａ． 　　 Ｂ． 　 Ｃ． 　　 Ｄ． 5．如图，△ 绕点 逆时针旋转 到△ 的位置，已知∠ ＝ ，则∠ 等于（ ） Ａ． 　　 Ｂ． 　　 Ｃ． 　　 Ｄ． o90 ABCD CDEF ABC C o20 B B′ A A′ AC BA ′′ BAC o50 o60 o70 o80 OAB O o80 OCD AOB o45 AOD o55 o45 o40 o356．如图，阴影部分组成的图案既是关于 轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点 成中心对称的图形．若 点 的坐标是 (1, 3)，则点 和点 的坐标分别为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7．直线 上有一点 (3,2 )，则 点关于原点的对称点 为 （ ） Ａ． （3,6） Ｂ． （-3,6） Ｃ． （-3,-6） Ｄ． （3,-6） 8. 如图是一个中心对称图形， 为对称中心，若∠ = ， ∠ = ， =1，则 的长为（ ） Ａ．4 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9．如图，菱形 的对角线的长分别为 2 和 5， 是对角线 上一点，且 ∥ 交 于 ， ∥ 交 于 ，则阴影部分的面积是（ ） Ａ．4 Ｂ．3.5 Ｃ．3 Ｄ．2.5 10．如图，图案由三个叶片组成，绕点 旋转 后可以和自身重合，若每个叶片的面积为 ,∠ 为 ，则图中阴影部分的面积之和为. （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． x O A M N )3,1(),3,1( −−− NM )3,1(),3,1( −−− NM )3,1(),3,1( −− NM )3,1(),3,1( −−− NM 3+= xy P m P P′ P′ P′ P′ P′ A C o90 B o30 AC BB ′ 3 3 3 32 3 34 ABCD P AC PE BC AB E PF CD AD F O o120 24cm AOB o120 23cm 24cm 25cm 26cm二、填空题(每小题 4 分，共 32 分) 11．点 （2，3）绕着原点逆时针方向旋转 与点 重合，则 的坐标为 . 12．已知 ＜0，则点 （ ， ＋1）关于原点的对称点 在　　　象限． 13．如图，将矩形 绕点 顺时针旋转 后，得到矩形 ，如果 =2 =2，那么 =_________． 14．如图，△ 是△ 绕点 顺时针方向旋转 后所得的图形，点 恰好在 上，∠ ＝ 90°，则∠ 的度数是 度． 15．如图,四边形 中，∠ =∠ = ， = ， ⊥ 于 ，若线段 =5，则 ＝ . 16．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置, 若∠ = ，则∠ = 度. 17．如图，小亮从 点出发，沿直线前进 10 米后向左转 ，再沿直线前进 10 米，又向左转 ，…… 照这样走下去，他第一次回到出发地 点时，一共走了 米. 18．将直角边长为 5 的等腰直角△ 绕点 逆时针旋转 后得到△ ，则图中阴影部分的面 积是 . 三、解答题（共 58 分） 19.（10 分）如图，把△ABC 向右平移 5 个方格，再绕点 B 顺时针方向旋转 90°. （1）画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母； （2）能否把两次变换合成一种变换，如果能，说出变换过程（可适当在图形中标记）；如果不能，说明理 P o90 P′ P′ a P 2a− a− 1P ABCD A o90 DCBA ′′′ CD DA CC ′ COD AOB O o40 C AB AOD D ABCD BAD C o90 AB AD AE BC E AE ABCDS四边形 AOD o110 BOC A o30 o30 A cm ABC A o15 CBA ′′ 2cm由. 20. （12 分）画出△ 关于原点 对称的△ ，并求出点 ， ， 的坐标. 21．（12 分）如图所示，△ 是由△ 绕 点旋转得到的，若∠ ＝ ，∠ ＝ ，∠ ＝ ，求旋转角及∠ 、∠ 、∠ 的度数. 22．（12 分）如图， 是正三角形 内的一点，且 ＝6， ＝8， ＝10.若将△ 绕点 逆 时针旋转后，得到△ . ⑴求点 与点 之间的距离； ⑵∠ 的度数. C BA ABC O 111 CBA 1A 1B 1C ABP ACE A BAP o40 B o30 PAC o20 CAE E BAE P ABC PA PB PC PAC A ABP ′ P P′ APB23．（12 分）如图 1，在△ 和△ 中， ＝ ＝ ＝ ，∠ ＝∠ ＝ ， 与 交于 ， 与 、 分别交于 、 ． (1)求证: ＝ ； (2)如图 2，△ 不动，将△ 绕点 旋转到∠ = 时，试判断四边形 是什么四边形？并证明你的结论． 参考答案 一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C D D C A D B 二、11．(-3，2) 12．四 13． 14．60 15．25 16．70 17．120 18． 三、19．解：（1）如图 （2）能，将△ 绕 、 延长线的交点顺时针旋转 90 度. ABC EDC AC CE CB CD ACB ECD 90 AB CE F ED AB BC M H CF CH ABC EDC C BCE 45 ACDM 10 6 325 ABC CB BC ′′′′20.解：△ 关于原点 对称的△ 如图， 点的坐标分别是 ， ， . 21.解: 旋转角∠ ＝∠ +∠ = + = ， ∵∠ ＝ . ∴∠ =40°， ∵∠ ＝ . ∴∠ ＝ . ∴∠E=110°. ∴∠BAE=100°. 22.解 :（１）连接 ，由题意可知 = ＝10， = ＝6， ∠ ＝∠ ，而∠ ＋∠ ＝60°， ∴∠ ＝60°. ∴△ 为等边三角形， ∴ ＝ = ＝6； （２）利用勾股定理的逆定理可知： ∵ ，∴△ 为直角三角形. ∵∠ ＝90°∴∠ ＝90°＋60°＝150°. C" B" A'' C' B' A' C B A ABC O 111 CBA )2,3(1 −A )1,2(1B )3,2(1 −−C BAC PAC BAP o20 o40 o60 BAP o40 CAE B o30 C o30 PP ′ PB ′ PC PA ′ AP PAC ABP′ PAC BAP PPA ′ PAP ′ PP ′ PA ′ AP 222 PBBPPP ′=+′ PBP ′ PBP ′ APB 23.(1)证明:在△ACB 和△ECD 中 ∵∠ACB=∠ECD= ,∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB, ∴∠1=∠2. 又∵AC=CE=CB=CD, ∴∠A=∠D= , ∴△ACB≌△ECD,∴CF=CH (2) 答: 四边形 ACDM 是菱形 证明: ∵∠ACB=∠ECD= , ∠BCE= ∴∠1= , ∠2= 又∵∠E=∠B= , ∴∠1=∠E, ∠2=∠B ∴AC∥MD, CD∥AM , ∴ACDM 是平行四边形 又∵AC=CD, ∴ACDM 是菱形 第 24 章 圆 一、选择题（每小题 4 分，共 24 分）在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知⊙O 的半径是 6cm,点 O 到同一平面内直线 l 的距离为 5cm，则直线 l 与⊙O 的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 2.如图，点 A、B、C 在⊙O 上，∠ABC＝50°，则∠AOC 的度数为（ ） A．120° B．100° C．50° D．25° 3.如图在△ABC 中,∠B=90°, ∠A=30°，AC=4cm，将△ABC 绕顶点 C 顺时针方向旋转至△ 的位置， 90 45 90 45 45 45 45 A B C′ ′且 A、C、B′三点在同一条直线上,则点 A 所经过的最短路线的长为（ ） A. B. 8cm C. D. 4.如图， 的顶点 A、B、D 在⊙O 上，顶点 C 在⊙O 的直径 BE 上，∠ADC=54°，连接 AE，则∠AEB 的度数为（ ） A.126° B. 54° C. 30° D. 36° 5.如图，已知⊙O的半径为1，AB与⊙O相切于点A，OB与⊙O交于点C，CD⊥OA，垂足为D，则sin∠AOB的值 等于（ ） A．CD B．OA C．OD D．AB 6.用半径为 3cm，圆心角是 120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ ） A. 2πcm B. 1cm C. πcm D. 1.5cm 7. 如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 G，直线 EF 与⊙O 相切于点 D，则下列结论中不一定正确的是 （ ） A. AG=BG B.AB//EF C.AD//BC D.∠ABC=∠ADC 4 3cm 16 3 cmπ 8 3 cmπ B′ A′ C B A （第 3 题图） A O B C （第 2 题图） （第 4 题图） ABCD B C AO D （第 5 题图）A B C DO （第 13 题图） （第14题图） 8. 若正方形的边长为 6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ） A．6， B． ，3 C．6，3 D． ， 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）请把答案填写在题中横线上. 9.一条弦把圆分成 2:3 两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为_________. 10.已知圆锥母线长为 5cm，底面直径为 4cm，则侧面展开图的圆心角度数是_________. 11.Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以 C 为圆心，r 为半径作圆，若圆 C 与直线 AB 相切，则 r 的值为_________. 12.钟表的轴心到分针针尖的长为 5cm，那么经过 40 分钟，分针针尖转过的弧长是_________________cm.　 13.如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点（不与A、B重合），已知BC＝2，tan∠ADC＝1，则AB＝__________． 14. 如图，以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt△ABC 斜边 AB 的两个端点，交直角边 AC 于点 E. B，E 是半圆弧 的三等分点，弧 BE 的长为 ，则图中阴影部分的面积为 ． 三、 解答题（本题共5小题，共44分） 15.（7 分）如图所示，某窗户由矩形和弓形组成.已知弓形的跨度 AB=3m，弓形的高 EF=1m.现计划安装玻 璃，请帮工程师求出⌒AB所在圆 O 的半径. E O F C D BGA (第 7 题图) 3 2 3 2 6 2 3 2 3 2π 16. （7 分）如图△ABC 中，∠B= 60°，⊙O 是 △ABC 的外接圆，过点 A 作⊙O 的切线，交 CO 的延长线 于点 P，OP 交⊙O 于点 D. （1）求证：AP=AC （2） 若 AC=3，求 PC 的长. 17.（10 分）如图，已知四边形 ABCD 内接于圆 O，连接 BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°． （1）求证：BD＝CD； （2）若圆 O 的半径为 3，求 的长． 18.（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点 B 作⊙O 的切线 DE，与 AC 的延长线交于点 D， 作 AE⊥AC 交 DE 于点 E. （1）求证：∠BAD=∠E； （第 15 题图） P O D C B A （第 16 题图） BC （第 17 题图）（2）若⊙O 的半径为 5，AC=8，求 BE 的长. 19.（10 分）如图，BC 是⊙O 的直径， A 是⊙O 上一点，过点 C 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点 D，取 CD 的中点 E,AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P. （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）若 OC=CP，AB=6，求 CD 的长. 参考答案 一、选择题： 1.A. 2.B. 3.D 4.D 5.A 6.B 7.C 8.B 二、填空题： 9.72°或 108° 10. 144°　11.2.4　12. 　　13. 　14. . 三、解答题： 15. 解：设⊙O 的半径为 r,则 OF=r -1. 由垂径定理，得 BF=1 2AB=1.5,OF⊥AB, 20 3 π （第 18 题图） （第 19 题图） 2 2 3 2 2 33 π− 由 OF2 +BF2= OB2，得(r-1)2+1.52 = r 2, 解得 r =13 8 . 答：⌒AB所在圆 O 的半径为13 8 . 16.(1)连接 OA, ∵ ,AP 为切线，∴ OA ⊥ AP, ∠AOC=120°, 又∵OA=OC, ∴∠ ACP=30°∠ P= 30°, ∴ AP=AC (2)先求 OC= ,再证明△ OAC∽△ APC , = ,得 PC= . 17. （1）证明：∵四边形 ABCD 内接于圆 O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°， ∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°－105°＝75°． ∵∠DBC＝75°，∴∠DCB＝∠DBC＝75°．∴BD＝CD． （2）解：∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°． 由圆周角定理，得， 的度数为：60°，故 ＝ ＝ ＝π． 答： 的长为 π． 18.证明：（1）∵⊙O 与 DE 相切于点 B，AB 为⊙O 直径， ∴∠ABE=90°. ∴∠BAE+∠E=90°. 又∵∠DAE=90°， ∴∠BAD+∠BAE=90°. ∴∠BAD=∠E. （2）解；连接 BC. '∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB=90°. ∵AC=8，AB=2×5=10， ∴BC= =6.又∵∠BCA=∠ABE=90°，∠BAD=∠E， ∴△ABC∽△EAB. ∴ = . ∴ = ∴BE= . 60B∠ = ° 3 PC AC AP OC 33 BC 180 n Rπ 60 3 180 π × BC 2 2AB AC− AC EB BC AB 8 EB 6 10 40 3 19.（1）证明：连接 AO，AC. ∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC=90°∴∠CAD=90° ∵点 E 是 CD 的中点，∴CE= CE= AE 在等腰△EAC 中，∠ECA= ∠EAC ∵OA=OC ∴∠OAC= ∠OCA ∵CD 是⊙O 的切线，∴CD⊥OC ∴∠ECA + ∠OAC = 90° ∴∠EAC + ∠OAC = 90° ∴OA⊥AP，∴AP 是⊙O 的切线 （2）解：由（1）知 OA⊥AP 在 Rt△OAP 中，∵∠OAP = 90°, OC= CP= OA 即 OP= 2OA， ∴ ，∴ ,∴ ∴ 又∵在 Rt△DAC 中，∠CAD = 90°, ∠ACD = 90°-∠ACO= 30° ∴ 第 25 章 概率初步 　 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．下列说法中正确的是（　　） A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 1sin 2 OAP OP ∠ = = 30P∠ =  60AOP∠ =  2 3tan 60 ABAC = =  2 3 4cos cos30 ACCD ACD = = =∠ B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 C．“概率为 0.0001 的事件”是不可能事件 D．任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，正面向上的一定是 5 次 2．从分别写有数字：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4 的九张一样的卡片中，任意抽取一张卡片，则 所抽卡片上数字的绝对值＜2 的概率是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（　　） A．不可能事件发生的概率为 0 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数一定为 50 次 4．若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如 796 就是一个“中高 数”．若十位上数字为 7，则从 3、4、5、6、8、9 中任选两数，与 7 组成“中高数”的概率是（　　） A． B． C． D． 5．有一个正方体，6 个面上分别标有 1～6 这 6 个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字为 偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 6．三张外观相同的卡片分别标有数字 1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于 3 的概率是（　　） A． B． C． D． 7．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为 一男一女的概率是（　　） A． B． C． D． 8．甲，乙，丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判， 每一局比赛没有平局．已知甲，乙各比赛了 4 局，丙当了 3 次裁判．问第 2 局的输者是（　　）A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 9．某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各 有 2 名同学报名参加．现从这 6 名同学中随机选取一名志愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（3）班 同学的概率是（　　） A． B． C． D． 10．做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖 1000 次．经过统计得“凸面向上”的频率约为 0.44，则可以由此 估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为（　　） A．0.22 B．0.44 C．0.50 D．0.56 二、填空题 11．不透明袋子中装有 9 个球，其中有 2 个红球、3 个绿球和 4 个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从 袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是　　． 12．一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个 小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为　　． 13．如图，A 是正方体小木块（质地均匀）的一顶点，将木块随机投掷在水平桌面上，则 A 与桌面接触的 概率是　　． 14．有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相 同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率 是　　． 15．小芳掷一枚质地均匀的硬币 10 次，有 7 次正面向上，当她掷第 11 次时，正面向上的概率为　　． 16．小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块正方形的地砖上，则它停在白色地砖上的概率 是　　． 17．如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成六等份，若在这个圆面上均匀地撒一把豆子，则豆子落 在阴影部分的概率是　　．18．有 9 张卡片，分别写有 1～9 这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字 为 a，则使关于 x 的不等式组 有解的概率为　　． 三、解答题（共 46 分） 19．下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落山； （2）某人的体温是 100℃； （3）a2+b2=﹣1（其中 a，b 都是实数）； （4）水往低处流； （5）三个人性别各不相同； （6）一元二次方程 x2+2x+3=0 无实数解； （7）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯． 20．如图，在方格纸中，△ABC 的三个顶点及 D，E，F，G，H 五个点分别位于小正方形的顶点上．（1）现以 D，E，F，G，H 中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC 不全等但面积相等的三 角形是　　（只需要填一个三角形） （2）先从 D，E 两个点中任意取一个点，再从 F，G，H 三个点中任意取两个不同的点，以所取得这三个点 为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC 面积相等的概率（用画树状图或列表格求解）． 21．某人的钱包内有 10 元、20 元和 50 元的纸币各 1 张，从中随机取出 2 张纸币． （1）求取出纸币的总额是 30 元的概率； （2）求取出纸币的总额可购买一件 51 元的商品的概率． 22．有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有 A、B、C、D 和一个等式，将这四张卡片背面 向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张． （1）用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（结果用 A、B、C、D 表示）； （2）小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜，若至少有一个等式 成立，则小强胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，则这个规则对谁有利，为什 么？23．在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字 6，﹣2，7 的小球，它们的形状、大小、质地等完全 相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请 你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率： （1）两次取出小球上的数字相同的概率； （2）两次取出小球上的数字之和大于 10 的概率． 24．“学雷锋活动日”这天，阳光中学安排七、八、九年级部分学生代表走出校园参与活动，活动内容有： A．打扫街道卫生； B．慰问孤寡老人； C．到社区进行义务文艺演出． 学校要求一个年级的学生代表只负责一项活动内容． （1）若随机选一个年级的学生代表和一项活动内容，请你用画树状图法表示所有可能出现的结果； （2）求九年级学生代表到社区进行义务文艺演出的概率．25．某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师 傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食 品． （1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是　　事件；（可能，必然，不可能） （2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率． 26．小明和小刚做摸纸牌游戏．如图所示，有两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是 2 和 3，将两 组牌背面朝上，洗匀后从每组牌中各摸出一张，称为一次游戏．当两张牌的牌面数字之积为奇数，小明得 2 分，否则小刚得 1 分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．（列表或画树状图） 　答案 　一、1.【答案】B 【考点】随机事件． 【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断． 【解答】A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；B、“任意画出一个 平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项正确；C、“概率为 0.0001 的事件”是随机事件，选 项错误；D、任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，正面向上的可能是 5 次，选项错误．故选 B． 【点评】本题考查了随机事件、必然事件以及不可能事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可 能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一 定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2.【答案】B 【考点】概率公式． 【分析】在这九个数中，绝对值＜2 有﹣1、0、1 这三个数，所以它的概率为三分之一． 【解答】P（＜2）= = ．故选 B． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ． 3．【答案】A 【考点】概率的意义． 【分析】根据概率的意义和必然发生的事件的概率 P（A）=1、不可能发生事件的概率 P（A）=0 对 A、B、C 进行判定；根据频率与概率的区别对 D 进行判定． 【解答】A、不可能事件发生的概率为 0，所以 A 选项正确；B、随机事件发生的概率在 0 与 1 之间，所以 B 选项错误；C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以 C 选项错误；D、投掷一枚质 地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数可能为 50 次，所以 D 选项错误．故选 A． 【点评】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件 A 发生的频率 mn 会稳定在某个 常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率，记为 P（A）=p；概率是频率（多个）的波动稳定值， 是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率 P（A）=1；不可能发生事件的概率 P（A） =0． 4．【答案】C 【考点】列表法与树状图法． 【专题】新定义． 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与与 7 组成“中高数”的情况， 再利用概率公式即可求得答案． 【解答】列表得： 9 379 479 579 679 879 ﹣ 8 378 478 578 678 ﹣ 978 6 376 476 576 ﹣ 876 976 5 375 475 ﹣ 675 875 975 4 374 ﹣ 574 674 874 974 3 ﹣ 473 573 673 873 973 3 4 5 6 8 9 ∵共有 30 种等可能的结果，与 7 组成“中高数”的有 12 种情况，∴与 7 组成“中高数”的概率是： = ．故选 C． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5．【答案】C 【考点】概率公式． 【专题】压轴题． 【分析】投掷这个正方体会出现 1 到 6 共 6 个数字，每个数字出现的机会相同，即有 6 个可能结果，而这 6 个数中有 2，4，6 三个偶数，则有 3 种可能． 【解答】根据概率公式：P（出现向上一面的数字为偶数）= ．故选 C． 【点评】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 6．【答案】A 【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于 3 的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】画树状图.∵共有 6 种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于 3 有 2 种情况，∴两张卡 片上的数字恰好都小于 3 概率= = ．故选 A． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用 到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7．【答案】B 【考点】列表法与树状图法． 【分析】列举出所有情况，看恰为一男一女的情况占总情况的多少即可． 【解答】 男 1 男 2 男 3 女 1 女 2 男 1 一 一 √ √ 男 2 一 一 √ √ 男 3 一 一 √ √ 女 1 √ √ √ 一 女 2 √ √ √ 一 ∴共有 20 种等可能的结果，P（一男一女）= ．故选 B． 【点评】如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ． 8．【答案】C 【考点】推理与论证． 【专题】压轴题．【分析】由题意知道，甲和乙各与丙比赛了一场．丙当了三次裁判，说明甲和乙比赛了三场，这三场中间 分别是甲和丙，乙和丙比赛．因此第一，三，五场比赛是甲和乙比赛，第二，四场是甲和丙，乙和丙比赛， 并且丙都输了．故第二局输者是丙． 【解答】由题意，知：三场比赛的对阵情况为：第一场：甲 VS 乙，丙当裁判；第二场：乙 VS 丙，甲当裁 判；第三场：甲 VS 乙，丙当裁判；第四场：甲 VS 丙，乙当裁判；第五场：乙 VS 甲，丙当裁判；由于输 球的人下局当裁判，因此第二场输的人是丙．故选 C． 【点评】解决本题的关键是推断出每场比赛的双方． 9．【答案】B 【考点】概率公式． 【分析】用初一 3 班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案． 【解答】∵共有 6 名同学，初一 3 班有 2 人，∴P（初一 3 班）= = ，故选 B． 【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 10．【答案】D 【考点】利用频率估计概率． 【分析】根据对立事件的概率和为 1 计算． 【解答】瓶盖只有两面，“凸面向上”的频率约为 0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向 上”的概率约为 1﹣0.44=0.56．故选 D． 【点评】解答此题关键是要明白瓶盖只有两面，即凸面和凹面． 二、填空题 11．【答案】 【考点】概率公式． 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发 生的概率． 【解答】∵共 4+3+2=9 个球，有 2 个红球，∴从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为 . 【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ．12．【答案】 【考点】列表法与树状图法． 【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的 概率即可． 【解答】列表得， 黑 1 黑 2 白 1 白 2 黑 1 黑 1 黑 1 黑 1 黑 2 黑 1 白 1 黑 1 白 2 黑 2 黑 2 黑 1 黑 2 黑 2 黑 2 白 1 黑 2 白 2 白 1 白 1 黑 1 白 1 黑 2 白 1 白 1 白 1 白 2 白 2 白 2 黑 1 白 2 黑 2 白 2 白 1 白 2 白 2 ∵由表格可知，不放回的摸取 2 次共有 16 种等可能结果，其中两次摸出的小球都是白球有 4 种结果，∴ 两次摸出的小球都是白球的概率为： = . 【点评】本题考查概率的概念和求法，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用 到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13．【答案】 【考点】概率公式． 【分析】由共有 6 个面，A 与桌面接触的有 3 个面，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】∵共有 6 个面，A 与桌面接触的有 3 个面，∴A 与桌面接触的概率是： = ． 【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 14．【答案】 【考点】概率公式；中心对称图形． 【分析】让有中心对称图案的卡片的情况数除以总情况数即为所求的概率【解答】根据概率的求简单事件的概率的计算及中心对称图形概念的理解；理论上抽到中心对称图案卡片 的概率是中心对称图案的卡片的个数除以所有所有卡片的个数，而中心对称图案有圆、矩形、菱形、正方 形，所以概率为 ． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ．绕某个点旋转 180°后能与自身重合的图形叫中心对称图形． 15．【答案】0.5 【考点】概率的意义． 【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计 值，而不是一种必然的结果，可得答案． 【解答】掷一枚质地均匀的硬币 10 次，有 7 次正面向上，当她掷第 11 次时，正面向上的概率为 0.5， 【点评】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在 0 和 1 之间． 16．【答案】 【考点】几何概率． 【分析】先求出瓷砖的总数，再求出白色瓷砖的个数，利用概率公式即可得出结论． 【解答】∵由图可知，共有 5 块瓷砖，白色的有 3 块，∴它停在白色地砖上的概率= ． 【点评】本题考查的是几何概率，熟记概率公式是解答此题的关键． 17．【答案】 【考点】几何概率． 【分析】首先确定阴影的面积在整个轮盘中占的比例，根据这个比例即可求出豆子落在阴影部分的概 率． 【解答】因为在两个同心圆中，三条直径把大圆分成六等份，利用整体思想，可知：阴影部分的面积是大 圆面积的一半，因此若在这个圆面上均匀地撒一把豆子，则豆子落在阴影部分的概率是 ． 【点评】确定阴影部分的面积与大圆的面积之间的关系是解题的关键．18．【答案】 　 【考点】概率公式；解一元一次不等式组． 【分析】由关于 x 的不等式组 有解，可求得 a＞5，然后利用概率公式求解即可求得答 案． 【解答】 ，由①得：x≥3，由②得：x＜ ，∵关于 x 的不等式组 有解，∴ ＞3，解得：a＞5，∴使关于 x 的不等式组 有解的概率为： ． 【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 　 三、解答题（共 46 分） 19．【考点】随机事件． 【分析】必然事件就是一定发生的事件，不可能事件就是一定不会发生的事件，随机事件就是可能发生也 可能不发生的事件，依据定义即可判断． 【解答】（1）（4）（6）是必然事件，（2）（3）（5）是不可能事件，（7）是随机事件． 【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的定义，需要正确理解概念．必然事件指在一定条 件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 20．【考点】作图—应用与设计作图；列表法与树状图法． 【分析】（1）根据格点之间的距离得出△ABC 的面积进而得出三角形中与△ABC 不全等但面积相等的三角 形；（2）利用树状图得出所有的结果，进而根据概率公式求出即可． 【解答】（1）∵△ABC 的面积为： ×3×4=6， 只有△DFG 或△DHF 的面积也为 6 且不与△ABC 全等， ∴与△ABC 不全等但面积相等的三角形是：△DFG 或△DHF； （2）画树状图得出：由树状图可知共有出现的情况有△DHG，△DHF，△DGF，△EGH，△EFH，△EGF，6 种可能的结果，其中与△ ABC 面积相等的有 3 种，即△DHF，△DGF，△EGF， 故所画三角形与△ABC 面积相等的概率 P= = ， 答：所画三角形与△ABC 面积相等的概率为 ． 【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及树状图法求概率，根据已知得出三角形面积是解题关键． 21．【考点】列表法与树状图法． 【专题】计算题． 【分析】（1）先列表展示所有 3 种等可能的结果数，再找出总额是 30 元所占结果数，然后根据概率公式 计算；（2）找出总额超过 51 元的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】（1）列表： 共有 3 种等可能的结果数，其中总额是 30 元占 1 种， 所以取出纸币的总额是 30 元的概率= ； （2）共有 3 种等可能的结果数，其中总额超过 51 元的有 2 种， 所以取出纸币的总额可购买一件 51 元的商品的概率为 ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出 符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率．22．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法． 【分析】这是一个由两步完成，无放回的实验，游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有 50%赢的机会， 本题中即小明胜或小强胜的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论． 【解答】（1）列表得： （A，D） （B，D） （C，D） ﹣ （A，D） （B，C） ﹣ （D，C） （A，B） ﹣ （C，B） （D，B） ﹣ （B，C） （C，A） （D，A） ∴一共有 12 种情况； （2）不公平． ∵A、B、不成立，C、D 成立 ∴p（小明胜）= = ，p（小强胜）= = ， ∴这个游戏不公平，对小强有利． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平， 否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．【考点】列表法与树状图法． 【分析】解此题的关键是准确列表或画树形图，找出所有的可能情况，即可求得概率． 【解答】 6 ﹣2 7 6 （6，6） （6，﹣2） （6，7） ﹣2 （﹣2，6） （﹣2，﹣2） （﹣2，7） 7 （7，6） （7，﹣2） （7，7） 第二次第一次（1）P（两数相同）= ． （2）P（两数和大于 10）= ． 【点评】此题可以采用列表法或者采用树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合 于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回 实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24．【考点】列表法与树状图法． 【分析】（1）根据题意画出树状图如下图，（2）根据树状图确定出九年级学生代表到社区进行义务文艺 演出的概率． 【解答】（1）画树状图如下： （2）九年级学生代表到社区进行义务文艺演出的概率为 P= = ． 【点评】此题是列表法与树状图法，主要考查了树状图的画法，根据树状图确定概率的方法，解本题的关 键是熟记概率的计算公式． 25．【考点】列表法与树状图法；随机事件． 【分析】（1）根据随机事件的概念可知是随机事件；（2）求概率要画出树状图分析后得出． 【解答】（1）小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件； （2）树状图法即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为 = ． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适 合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放 回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 26．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法． 【分析】画出树状图，根据概率公式分别求出小明和小刚的得分，然后进行判断即可． 【解答】根据题意，画出树状图如图： 一共有 4 种情况，积是偶数的有 3 种情况，积是奇数的有 1 种情况， 所以，P（小明胜）= ×2= ，P（小刚胜）= ×1= ， ∵ ≠ ，∴这个游戏对双方不公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平， 否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．