四川省泸州市泸县初中2019级第二次教学质量诊断性考试数学试题

九年级二诊数学 第 1 页 共 9 页 泸县初中 2019 届第二次教学质量诊断性检测 数 学 试 卷 本试卷分为选择题和非选择题.试卷共 4 页，全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟.考 生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 注意事项： 1.选择题必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 2.非选择题必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）在每小题给出的四个选项中， 有且只有一个是正确的,请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上. 1. ― 3的相反数是 A. B. C. D. 2.纳米是长度单位，国际单位制符号为 nm，1 纳米等于 0.000000001 米，2 纳米等于 0.000000002 米，将 0.000000002 这个数用科学记数法表示为 A. B. C. D. 3.如图，已知 AB∥CD，∠CEF＝110°，则∠A 的度数是 A.50° B.60° C.70° D.80° 4.下列运算正确的是 A. B. C. D. 5.我国淡水资源短缺问题十分突出，节约用水已成为各地的一件大事．某校初三学生为了 调查居民用水情况，随机抽查了某小区 10 户家庭的月用水量，结果如表所示： 月用水量（t） 3 4 5 10 户数 4 2 3 1 这 10 户家庭月用水量的平均数、中位数及众数是 A.4.5，3，4 B.3，4.5，4 C.4.5，4，3 D.4，4.5，3 6.下面左图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是 A B C D 7.一个不透明的袋子中有 3 个红球和 2 个黄球,这些球除颜色外完全相同.从袋子中随机摸 出 1 个球,这个球是黄球的概率为 A. B. C. D. 8.已知 ， ，则 的 值是 3 3− 1 3 1 3 − 92 10× 90.2 10−× 92 10−× 102 10−× 2 3 5( )a a= 2 4 8a a a⋅ = 6 3 2a a a÷ = 3 3 3( )ab a b= 1 3 2 5 1 2 3 5 4a b+ = 3ab = 2 2a b+ E A F DC B 第 3 题图九年级二诊数学 第 2 页 共 9 页 A.6 B.8 C.10 D.12 9.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块， 有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是： 有一块三角形沙田，三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，问这块沙田面积有多大？题中 “里”是我国市制长度单位，1 里=500 米，则该沙田的面积为 A.7.5 平方千米 B.15 平方千米 C.75 平方千米 D.750 平方千米 10.如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，∠CBD=90º，BC=4，OB=OD=3， AC=10，则四边形 ABCD 的面积为 A.12 B.24 C.36 D.48 11.如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 分别是⊙O 上的两点，OC⊥OD，AC=2cm，BD= 2cm， 则⊙O 的半径是 A. 3cm B.2cm C. 5cm D.3cm 12.如下左图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点 P 是斜边 AB 上一点．过点 P 作 PQ⊥AB，垂足为 P，交边 AC（或边 CB）于点 Q．设 AP=x，△APQ 的面积为 y， 则 y 与 x 之间的函数图象大致是 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 13.将多项式 因式分解的结果是 ▲ . 14.已知等腰三角形两边长的长分别是 4cm 和 6cm，则它的周长是 ▲ cm. 15.设 是方程 的两个实数根，则 的值是 ▲ . 16. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是 BC ，AB 上的点，且 ∠B=∠ADE=∠DAC ，如果△ABC，△EBD，△ADC 的周长分 别记为 m，m1，m2，则 的最大值是 ▲ . 三、解答题（每小题 6 分，共 18 分） 17.计算： . 18.如图，点 D 是 上一点，DF 交 AC 于 E，DE＝FE，FC∥AB． 求证：AE＝CE． a b， 2 2a a b+ + 2 2mn mn m+ + 2 2019 0x x+ − = 1 2m m m + 0 11( 3 1) | 8 | 4cos45 ( )4 −− + − − + AB 第 11 题图 A B C DA B C D A D C B O 第 10 题图 C A BO D 第 16 题图 E DB C A ED B C A F 第 18 题图九年级二诊数学 第 3 页 共 9 页 19.先化简，再求值： ，其中 . 四、解答题（每小题 7 分，共 14 分） 20.某电视台为了解本地区电视节目的收视情况，对部分市民开展了“你最喜爱的电视节目” 的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图（如图所 示），根据要求回答下列问题： （1）本次问卷调查共调查了多少名观众； （2）补全图①中的条形统计图； （3）现有最喜爱“新闻节目”（记为A），“体育节目”（记为B），“综艺节目”（记为C）， “科普节目”（记为D）的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动， 请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率. 21.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增 加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每 降价 1 元， 商场平均每天可多售出 2 件. (1)商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ (2)商家要想每天销售利润最大，应将每件衬衫降价多少元？最大销售利润是多少？ 五、解答题（每小题 8 分，共 16 分） 22.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面 的距离（AB）是 1.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距 离（CD）是 0.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 45°. 两人相距 5 米且位于旗杆同侧（点 B，D，F 在同一直线上）． （1）求小敏到旗杆的距离 DF．（结果保留根号） （2）求旗杆 EF 的高度．（结果保留整数.参考数据： ， ） 2 2 1 1( )1 1 1 x x x x − ÷+ − − 2 1x = + 2 1.4≈ 3 1.7≈ 300 450 DB A C E F 第 22 题图九年级二诊数学 第 4 页 共 9 页 23.如图，一次函数 的图象与反比例 （ 为常数，且 ）的图象交于 ， 两点. （1）求反比例函数的表达式； （2）在 轴上找一点 ，使 的值最小，求满足条件的点 的坐标及此时 的 面积. 六、解答题（每小题 12 分，共 24 分） 24.如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D， 交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM． （1）判断 CM 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求 MF 的 长． 25.已知二次函数 . （1）如果二次函数的图象与 x 轴有两个不同的交点，求푚的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，直线 AB 与这个二次函数图 象的对称轴交于点 P，求点 P 的坐标； （3）在直线 AB 上方的抛物线上有一动点 D，D 与直线 AB 的距离为 DE，求 DE 的最大值. 4y x= − + ky x = k 0k ≠ ( )1,A a B x P PA PB+ P PAB∆ 2 2y x x m= − + + M F E D B A O C G 第 23 题图 第 24 题图 x y P A B E O D x y B A O九年级二诊数学 第 5 页 共 9 页 泸县初中 2019 届第二次教学质量诊断性检测 数学试题参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D C B B C A B C D 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 13. ；14.14 或 16；15.2018；16. . 三、解答题（每小题 6 分，共 18 分） 17.解：原式= .............................................4 分 =5..............................................................6 分 18.证明： ∵FC∥AB,∴∠ADE=∠F ....................................................2 分 在△ADE 和△CFE 中， .......................................4 分 ∴△ADE≌△CFE（ASA） ...................................................5 分 ∴AE=CE...................................................................6 分 19.解：原式= ..............................................2 分 = ...........................................................4 分 当 时，原式= .......................................6 分 四、解答题（每小题 7 分，共 14 分） 20. 解：（1）共调查的观众人数：45÷22.5%=200（名）.........................2 分 （2）如图所示: ...........................................................................4 分 2( 1)m n + 5 4 21 2 2 4 42 + − × + ADE F DE FE AED CEF ∠ = ∠ = ∠ = ∠    2 2 2 1 1 1 1 x x x x x − − − −×− 2 x − 2 1x = + 2 2 2 2 2 1 − = − + 第 25 题图 70九年级二诊数学 第 6 页 共 9 页 （3）从四人中随机抽取两人参加联谊活动的情况有： ...........................................................................6 分 由上表可知, 恰好抽到最喜爱”B”和”C”的两位观众的概率为: . ...............7 分 21. 解：（1）设每件衬衫降价 x 元，..........................................1 分 由题意, 得 . ............................................3 分 解得 ..........................................................4 分 为了尽量减少库存，所以x应取 20. 答：每件衬衫应降价 20 元. ..................................................5 分 （2）设每件衬衫降价 x 元，销售利润为 y 元. 则 . .....................................6 分 ∵푎 = ― 2 < 0, ∴y 有最大值，当 x=15 时，其最大值为 1250 元. 答：每件衬衫降价 15 元时，销售利润的最大值为 1250 元. .......................7 分 五、解答题（每小题 8 分，共 16 分） 22.解:过点 A 作 AG⊥EF，垂足为 G，过点 C 作 CH⊥EF，垂足为 H...............1 分 设 DF=CH=x 米，则 EH=x 米，EG=(x+0.7)-1.7=(x-1)米，AG=BF=(5+x)米. .......2 分 在 Rt△AEG 中，∵∠EAG=30° ∴tan30°=EG:AG=(x-1)：（x+5）= 3:3. .....................................4 分 解得푥 = (4 + 3 3)米. ......................................................5 分 （2）EF=EH+FH=x+0.7=4+3 3+0.7=4+3 × 1.7+0.7=9.8 ≈ 10(米) .................7 分 答：DF 为(4 + 3 3)米，EF 的高度约为 10 米. ..................................8 分 23. 解：⑴∵ 过点 ，∴ ， ， A B C D A ------- AB AC AD B BA ------- BC BD C CA CB ------ CD D DA DB DC ------ 2 1 12 6 = (40 )(20 2 ) 1200x x− + = 1 210, 20x x= = (40 )(20 2 )y x x= − + 22( 15) 1250x= − − + 4y x= − + ( )1,A a 1 4a = − + 3a = 300 450 DB A C E F H G九年级二诊数学 第 7 页 共 9 页 ∴点 的坐标为 ， .................................................1 分 ∵ 过点 ，∴3=k 1， ，..........................................2 分 ∴反比例函数的表达式为 . .............................................3 分 ⑵已知一次函数的图象与反比例的图象交于 两点，有 ， ..............................................................4 分 解得 或 ，所以 ，...........................................5 分 作 B 关于 轴的对称点 ，则 ， 连接 交 轴于 ,有 , 所以当 与 重合时 取得最小值， 此时 的解析式为 ， 当 时， ，所以 点的坐标为 ， 即满足条件的 P 点的坐标为 .............................................7 分 . ...................................8 分 六、解答题（每小题 12 分，共 24 分） 24.解：（1）CM 与⊙O 相切．证明如下： 连接 OC， ∵GD⊥AO 于点 D， ∴∠G+∠B=90°， ∵AB 为直径， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠G ................................................................2 分 又∵在 Rt△GCE 中，M 点为 GE 的中点， ∴MC=MG=ME，∴∠G=∠GCM， ∴∠A=∠G=∠GCM， .......................................................4 分 ∵OB=OC，∴∠B=∠BCO， 而∠A+∠B=90°， ∴∠GCM +∠BCO =90°，∴∠OCM=90°，...................................5 分 ∴OC⊥CM，∴CM 为⊙O 的切线； ...........................................6 分 A ( )1, 3 ky x = ( )1,3A 3k = 3y x = ,A B 4 3 y x y x = − + = 1 3 x y =  = 3 1 x y =  = ( )3,1B x 'B ' (3, 1)B − 'AB x 'P ' ' 'PA PB P A P B AB+ ≥ + = P 'P PA PB+ 'AB 2 5y x= − + 0y = 5 2x = 'P 5( , 0)2 5( , 0)2 ' ' 1 1 1 32 2 22 2 2 2PAB ABB PBBS S S∆ ∆ ∆ = − = × × − × × = M F E D B A O C G x y B A O P'P B' C九年级二诊数学 第 8 页 共 9 页 （2）∵由（1）知，∠A=∠G=∠GCM， ∴∠EMC =∠G +∠GCM=2∠G， .............................................7 分 ∵∠ECF=2∠A，∴∠EMC =∠ECF............................................8 分 而∠FEC=∠FEC ， ∴△EFC∽△ECM，.........................................................9 分 ∴ .........................................................10 分 即 ， ∴CE=4，EF= ............................................................11 分 ∴MF=ME﹣EF= = ...................................................12 分 25.解：（1）∵二次函数的图象与 x 轴有两个交点， ∴△=22+4m＞0 ............................................................2 分 ∴m＞-1. .................................................................3 分 （2）∵二次函数的图象过点 A（3，0）， ∴0=-9+6+m，∴m=3， ∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3， ........................................4 分 令 x=0，则 y=3，∴B（0，3），...............................................5 分 设直线 AB 的解析式为：y=kx+b， ∴{3푘 + 푏 = 0 푏 = 3 ，解得{푘 = ―1 푏 = 3 ∴直线 AB 的解析式为：y=-x+3......................6 分 ∵抛物线 y=-x2+2x+3 的对称轴为 x=1，∴把 x=1 代入 y=-x+3,得 y=2， ∴点 P 的坐标为（1，2）． ..................................................7 分 （3）过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为 C，再过点 A 作 AG⊥CD，垂足为 G， 连接 BD，AD，............................................................8 分 ∵AB 为定值，∴当 DE 的值越大时，△ABD 的面积越大， 设 D（x,y），则 DC=x，BC=y-3，DG=3-x，AG=y. ..............................9 分 ∴푆△퐴퐷퐵=푆梯形퐴퐺퐶퐵-푆△퐵퐷퐶-푆△퐴퐷퐺， =3(푦 ― 3 + 푦) 2 -1 2(푦 ― 3)푥 ― 1 2(3 ― 푥)푦 = ― 3 2(푥 ― 3 2) 2 + 27 8 . ............................10 分 又∵푆△퐴퐷퐵 = 1 2퐷퐸 ∙ 퐴퐵， 且 AB= 푂퐴2 + 푂퐵2= 32 + 32=3 2, .............11 分 ∴1 2 × 3 2퐷퐸 = 27 8 ，∴DE=9 2 8 . 故 DE 的最大值为9 2 8 . ........................12 分 EF CE CF CE ME CM = = 4 6 6 EF CE CE = = 8 3 86 3 − 10 3 x y C G P A B E O D九年级二诊数学 第 9 页 共 9 页