北师大版九年级数学上册期末检测题及答案2套
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北师大版九年级数学上册期末检测题及答案2套

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资料简介
北师大版九年级数学上册期末试题及答案 2 套 期末数学试卷 1  一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.观察下列图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的有(  ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.解方程 2(5x﹣1)2=3(5x﹣1)的最适当的方法是(  ) A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.分解因式法 3.二次函数 y=(x+3)2+7 的顶点坐标是(  ) A.(﹣3,7) B.(3,7) C.(﹣3,﹣7) D.(3,﹣7) 4.下列事件中,是不可能事件的是(  ) A.买一张电影票,座位号是奇数 B.射击运动员射击一次,命中 9 环 C.明天会下雨 D.度量三角形的内角和,结果是 360° 5.如图,∠A 是⊙O 的圆周角,∠A=40°,则∠OBC=(  ) A.30° B.40° C.50° D.60° 6.下列语句中,正确的有(  ) A.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等 B.平分弦的直径垂直于弦C.长度相等的两条弧相等 D.圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴 7.如图,将△ABC 绕点 C 旋转 60°得到△A′B′C,已知 AC=6,BC=4,则线段 AB 扫过的图形的面积为(  ) A. π B. π C.6π D. π 8.若函数 y=2x2﹣8x+m 的图象上有两点 A(x1,y1),B(x2,y2),若 x1<x2<﹣2,则(  ) A.y1<y2 B.y1>y2 C.y1=y2 D.y1、y2、的大小不确定 9.如图,直线 AB、CD、BC 分别与⊙O 相切于 E、F、G,且 AB∥CD,若 OB=6cm,OC=8cm,则 BE+CG 的长等 于(  ) A.13 B.12 C.11 D.10 10.已知:关于 x 的一元二次方程 x2﹣(R+r)x+ d2=0 有两个相等的实数根,其中 R、r 分别是⊙O1、⊙ O2 的半径,d 为两圆的圆心距,则⊙O1 与⊙O2 的位置关系是(  ) A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.方程 kx2﹣9x+8=0 的一个根为 1,则 k=  . 12.甲、乙、丙三人站成一排合影留念,则甲、乙二人相邻的概率是  . 13.有一人患了流感,经过两轮传染后共有 100 人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染给  个 人.14.抛物线 y=﹣x2+bx+c 的部分图象如图所示,若 y>0,则 x 的取值范围是  . 15.如图,是一个半径为 6cm,面积为 12πcm2 的扇形纸片,现需要一个半径为 R 的圆形纸片,使两张纸 片刚好能组合成圆锥体,则 R 等于  cm. 三、解答题:(本大题共 8 小题,共 75 分) 16.解方程: (1)2x2=x (2)x2+4x﹣1=0(用配方法解) 17.不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球,(除颜色外其余都相同),其中白球有两个,黄球 有 1 个,现从中任意摸出一个球是白球的概率为 . (1)试求袋中蓝球的个数; (2)第一次任意摸出一个球(不放回),第二次再摸出一个球,请用树状图或列表法表示两次摸到球的所 有可能结果,并求两次摸到的球都是白球的概率.18.如图,点 A 的坐标为(3,3),点 B 的坐标为(4,0).点 C 的坐标为(0,﹣1). (1)请在直角坐标系中画出△ABC 绕着点 C 逆时针旋转 90°后的图形△A′B′C; (2)直接写出:点 A′的坐标(  ,  ),点B′的坐标(  ,  ). 19.已知:如图,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于两点 A(1,0),B(3,0),与 y 轴相交于点 C(0, 3). (1)求抛物线的函数关系式; (2)若点 D( ,m)是抛物线 y=ax2+bx+c 上的一点,请求出 m 的值,并求出此时△ABD 的面积.20.如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠A 的平分线交 BC 于 D,E 为 AB 上一点,DE=DC,以 D 为圆心,以 DB 的长为半径画圆. 求证:(1)AC 是⊙D 的切线; (2)AB+EB=AC. 21.如图,在等边△ABC 中,已知 AB=8cm,线段 AM 为 BC 边上的中线.点 N 在线段 AM 上,且 MN=3cm,动 点 D 在直线 AM 上运动,连接 CD,△CBE 是由△CAD 旋转得到的.以点 C 为圆心,以 CN 为半径作⊙C 与直 线 BE 相交于点 P,Q 两点. (1)填空:∠DCE=  度,CN=  cm,AM=  cm; (2)如图,当点 D 在线段 AM 上运动时,求出 PQ 的长.22.某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于 55 元,市场调查发现, 若每箱以 50 元的价格出售,平均每天销售 90 箱,价格每提高 1 元,平均每天少销售 3 箱. (1)求平均每天销售量 y(箱)与销售价 x(元/箱)之间的函数关系式. (2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售价 x(元/箱)之间的函数关系式. (3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?23.如图,抛物线 y=﹣ x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,且 OA=2,OC=3. (1)求抛物线的解析式. (2)若点 D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点 P,使得△BDP 的周长最 小?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 注:二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线 x=﹣ .   答案 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.【解析】第一个图形不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;第二个图形既是轴对称图形又 是中心对称图形;第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形;第四个图形既是轴对称图形又是中心对 称图形。所以,既是轴对称图形又是中心对称图形共有 3 个。故选 C。 2.【解析】方程可化为[2(5x﹣1)﹣3](5x﹣1)=0,即 5(2x﹣1)(5x﹣1)=0,根据分析可知分解因式 法最为合适.故选 D. 3.【解析】∵二次函数 y=(x+3)2+7 是顶点式,∴顶点坐标为(﹣3,7).故选 A. 4.【解析】A、买一张电影票,座位号是奇数,是随机事件,故 A 选项错误;B、射击运动员射击一次,命 中 9 环,是随机事件,故 B 选项错误;C、明天会下雨,是随机事件,故 C 选项错误;D、度量一个三角形 的内角和,结果是 360°,是不可能事件,故 D 选项正确.故选 D. 5.【解析】根据圆周角定理,得∠BOC=2∠A=80°.∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB= =50°.故选 C.6.【解析】A、此题是圆心角、弧、弦的关系定理,故 A 正确;B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 故 B 错误;C、在同圆或等圆中,能够重合的弧叫做等弧,故 C 错误;D、任何图形的对称轴都是直线,而 圆的直径是线段,故 D 错误;故选 A. 7.【解析】∵△ABC 绕点 C 旋转 60°得到△A′B′C,∴△ABC≌△A′B′C,∴S△ABC=S△A′B′C,∠BCB′=∠ ACA′=60°.∵AB 扫过的图形的面积=S 扇形 ACA′+S△ABC﹣S 扇形 BCB′﹣S△A′B′C,∴AB 扫过的图形的面积=S 扇 形 ACA′﹣S 扇形 BCB′,∴AB 扫过的图形的面积= ×π×36﹣ ×π×16= π.故选 B. 8.【解析】y=2x2﹣8x+m=2(x﹣2)2+m﹣8,则抛物线开口向上,对称轴是 x=2,∴当 x<2 时,y 随 x 的增 大而减小,∴x1<x2<﹣2 时,y1>y2,故选 B. 9.【解析】∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.∵CD、BC,AB 分别与⊙O 相切于 G、F、E,∴∠OBC= ∠ ABC,∠OCB= ∠BCD,BE=BF,CG=CF,∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°,∴BC= =10,∴BE+CG=10 (cm).故选 D. 10.【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣(R+r)x+ d2=0 有两个相等的实数根,∴△=(r+R)2﹣d2=0, 即(R+r+d)(R+r﹣d)=0,解得 r+R=﹣d(舍去)或 R+r=d,∴两圆外切,故选 B. 二、填空题 11.【解析】把 x=1 代入方程得:k﹣9+8=0.解得 k=1. 12.【解析】画树状图,∵共有 6 种等可能的结果,甲、乙二人相邻的有 4 种情况,∴甲、乙二人相邻的 概率是 = . 13.【解析】设每轮传染中平均每个人传染了 x 人.依题意得 1+x+x(1+x)=100,∴x2+2x﹣99=0,∴x=9 或 x=﹣11(不合题意,舍去).所以,每轮传染中平均一个人传染给 9 个人. 14.【解析】根据抛物线的图象可知:抛物线的对称轴为 x=﹣1,已知一个交点为(1,0),根据对称性, 则另一交点为(﹣3,0),所以 y>0 时,x 的取值范围是﹣3<x<1. 15.【解析】∵圆锥的弧长=2×12π÷6=4π,∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm,三、解答题: 16.【解析】(1)∵2x2﹣x=0, ∴x(2x﹣1)=0,则 x=0 或 2x﹣1=0, 解得 x=0 或 x=0.5; (2)∵x2+4x=1,∴x2+4x+4=1+4, 即(x+2)2=5,则 x+2=± , ∴x=﹣2± . 17.【解析】(1)设蓝球个数为 x 个,则由题意得 = ,解得 x=1, 答:蓝球有 1 个。 (2) 故两次摸到都是白球的概率= = . 18.【解析】(1)如图所示: ; (2)由(2)可得,点 A′的坐标(﹣4,2),点B′的坐标(﹣1,3). 19.【解析】(1)由已知得 ,解之得 ,∴y=x2﹣4x+3; (2)∵ 是抛物线 y=x2﹣4x+3 上的点,∴ ;∴ .20.【解答】证明:(1)过点 D 作 DF⊥AC 于 F; ∵AB 为⊙D 的切线,AD 平分∠BAC,∴BD=DF, ∴AC 为⊙D 的切线. (2)∵AC 为⊙D 的切线,∴∠DFC=∠B=90°, 在 Rt△BDE 和 Rt△FCD 中; ∵BD=DF,DE=DC, ∴Rt△BDE≌Rt△FCD(HL), ∴EB=FC. ∵AB=AF,∴AB+EB=AF+FC, 即 AB+EB=AC. 21.【解析】(1)由旋转知,∠BCE=∠ACD, ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ACB=60°, ∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=∠DCB+∠ACD=∠ACB=60°,在等边三角形 ABC 中,AM 为 BC 边上的中线, ∴AM⊥BC,CM= BC=4, 在 Rt△MCN 中,MN=3,CM=4,根据勾股定理得,CN= =5, 在 Rt△ACM 中,AC=8,CM=4,根据勾股定理得,AM= =4 , (2)如图,∵等边△ABC 中,AM 是 BC 边上的中线, ∴AM⊥BC,∠ACB=60°,∠CAD=30°, 由旋转可知:∠CBE=∠CAD=30°, 作 CH⊥BE 于点 H,则 PQ=2HQ, 连结 CQ,则 CQ=CN=5. 在 Rt△CBH 中,∠CBH=30°, ∴CH= BC=4, 在 Rt△CHQ 中,由勾股定理得,HQ= =3, ∴PQ=2HQ=6. 22.【解析】(1)由题意得:y=90﹣3(x﹣50),化简得y=﹣3x+240; (2)由题意得:w=(x﹣40)y(x﹣40)(﹣3x+240)=﹣3x2+360x﹣9600; (3)w=﹣3x2+360x﹣9600 ∵a=﹣3<0,∴抛物线开口向下. 当 时,w 有最大值. 又 x<60,w 随 x 的增大而增大. ∴当 x=55 元时,w 的最大值为 1125 元. ∴当每箱苹果的销售价为 55 元时,可以获得 1125 元的最大利润. 23.【解析】(1)∵OA=2,OC=3, ∴A(﹣2,0),C(0,3),∴c=3,将 A(﹣2,0)代入 y=﹣ x2+bx+3 得,﹣ ×(﹣2)2﹣2b+3=0, 解得 b= ,可得函数解析式为 y=﹣ x2+ x+3; (2)存在,理由如下: 如图:连接 AD,与对称轴相交于 P,由于点 A 和点 B 关于对称轴对称,则即 BP+DP=AP+DP,当 A、P、D 共 线时 BP+DP=AP+DP 最小. 设 AD 所在直线的解析式为 y=kx+b, 将 A(﹣2,0),D(2,2)分别代入解析式得, , 解得, ,故直线解析式为 y= x+1,(﹣2<x<2), 由于二次函数的对称轴为 x=﹣ = , 则当 x= 时,y= × +1= , 故 P( , ). 期末数学试卷 2 一、选择题 1.9 的平方根是(  ) A.±3 B.3 C.﹣3 D.± 2.如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体,其俯视图是(  ) A. B. C. D.3.下列运算结果正确的是(  ) A.x6÷x2=x3 B.(﹣x)﹣1= C.(2x3)2=4x6 D.﹣2a2•a3=﹣2a6 4.如图,已知 AB∥CD,BC 平分∠ABE,∠C=34°,则∠BED 的度数是(  ) A.17° B.34° C.56° D.68° 5.在平面直角坐标系中,点(﹣7,﹣2m+1)在第三象限,则 m 的取值范围是(  ) A.m< B.m>﹣ C.m<﹣ D.m> 6.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点 A 落在边 CB 上 A′处,折痕为 CD,则∠A′DB= (  ) A.40° B.30° C.20° D.10° 7.如图,是直线 y=x﹣3 的图象,点 P(2,m)在该直线的上方,则 m 的取值范围是(  ) A.m>﹣3 B.m>﹣1 C.m>0 D.m<3 8.如图,在矩形 ABCD 中,边 AB 的长为 3,点 E,F 分别在 AD,BC 上,连接 BE,DF,EF,BD.若四边形 BFDE 是菱形,且 OE=AE,则边 BC 的长为(  )A.2 B.3 C. D.6 9.如图,半径为 5 的⊙A 中,弦 BC,ED 所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD,已知 DE=6,∠BAC+∠ EAD=180°,则弦 BC 的长等于(  ) A. B. C.8 D.6 10.若二次函数 y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为 x=﹣1,则使函数值 y>0 成立 的 x 的取值范围是(  ) A.x<﹣4 或 x>2 B.﹣4≤x≤2 C.x≤﹣4 或 x≥2 D.﹣4<x<2 二、填空题 11.计算| ﹣2|+2cos45°=   . 12.一元二次方程 x2+9x=0 的解是   . 13.如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 2,则对角线 AF= . 14.比较大小:sin57°   tan57°. 15.如图,在河两岸分别有 A、B 两村,现测得三点 A、B、D 在一条直线上,A、C、E 在一条直线上,若 BC ∥DE,DE=90 米,BC=70 米,BD=20 米,那么 A、B 两村间的距离为   米.16.如图,在平面直角坐标系中,函数 y= (x>0 常数 k>0)的图象经过点 A(1,2),B(m,n)(m> 1),过点 B 作 y 轴的垂线,垂足为 C,若△ABC 面积为 2,求点 B 的坐标   . 17.如图,O 为矩形 ABCD 对角线的交点,M 为 AB 边上任一点,射线 ON⊥OM 于点 O,且与 BC 边交于点 N, 若 AB=4,AD=6,则四边形 OMBN 面积的最大值为   . 三、解答题(共 9 小题,满分 72 分) 18.解方程: = +1.19.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,用直尺和圆规在边 BC 上找一点 D,使 D 到 AB 的距离等于 CD.(保留作 图痕迹,不写作法) 20.已知,如图,在△ABC 中,点 D 为线段 BC 上一点,BD=AC,过点 D 作 DE∥AC 且 DE=BC,求证:∠E=∠ CBA. 21.如图为一种平板电脑保护套的支架侧视图,AM 固定于平板电脑背面,与可活动的 MB、CB 部分组成支 架,为了观看舒适,可以调整倾斜角∠ANB 的大小,但平板的下端点 N 只能在底座边 CB 上.不考虑拐角处 的弧度及平板电脑和保护套的厚度,绘制成图(见答题纸),其中 AN 表示平板电脑,M 为 AN 上的定点, AN=CB=20 cm,AM=8 cm,MB=MN,根据以上数据,判断倾斜角∠ANB 能小于 30°吗?请说明理由.22.为庆祝商都正式营业,商都推出了两种购物方案.方案一:非会员购物所有商品价格可获九五折优惠, 方案二:如交纳 300 元会费成为该商都会员,则所有商品价格可获九折优惠. (1)以 x(元)表示商品价格,y(元)表示支出金额,分别写出两种购物方案中 y 关于 x 的函数解析式; (2)若某人计划在商都购买价格为 5880 元的电视机一台,请分析选择哪种方案更省钱? 23.小励同学有面额 10 元.20 元.50 元和 100 元的纸币各一张,分别装入大小外观完全样的四个红包中, 每个红包里只装入一张纸币,若小励从中随机抽取两个红包. (1)请用树状图或者列表的方法,求小励取出纸币的总额为 70 元的概率; (2)求小励取出纸币的总额能购买一件价格为 120 元文具的概率. 24.如图,BC 是圆 O 的弦,CF 是圆 O 切线,切点为 C,经过点 B 作 MN⊥CF 于 E,且∠CBM=135°,过 G 的 直线分别与圆 O,MN 交于 A,D 两点. (1)求证:MN 是圆 O 的切线;(2)当∠D=30°,BD= 时,求圆 O 的半径 r. 25.已知二次函数 y═ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴交于 A(﹣5,0)、B(1,0)两点,与 y 轴交于点 C,抛物线的顶点为 D. (1)直接写出顶点 D、点 C 的坐标(用含 a 的代数式表示); (2)若∠ADC=90°,试确定二次函数的表达式. 26.如图,三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么这个三角形可称为“等中三角形”, 探索体验 (1)如图①,点 D 是线段 AB 的中点,请画一个△ABC,使其为“等中三角形”. (2)如图②,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC= ,判断△ABC 是否为“等中三角形”,并说明理 由. 拓展应用 (3)如图③,正方形 ABCD 木板的边长 AB=6,请探索在正方形木板上是否存在点 P,使△ABP 为面积最大 的“等中三角形”?若存在,求出 CP 的长;若不存在,请说明理由. 答案 一、选择题 1.【考点】平方根. 【分析】根据平方与开平方互为逆运算,可得一个正数的平方根. 【解答】± ,故选:A. 2.【考点】简单组合体的三视图. 【分析】从几何体上方观察,得到俯视图即可. 【解答】如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体,其俯视图是 .故选 D 3.【考点】同底数幂的除法;幂的乘方与积的乘方;单项式乘单项式;负整数指数幂. 【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、单项式的乘法计算即可. 【解答】A、x6÷x2=x4,错误;B、(﹣x)﹣1=﹣ ,错误;C、(2x3)2=4x6,正确;D、﹣2a2•a3=﹣2a5,错 误;故选 C 4.【考点】平行线的性质. 【分析】首先由 AB∥CD,求得∠ABC 的度数,又由 BC 平分∠ABE,求得∠CBE 的度数,然后根据三角形外 角的性质求得∠BED 的度数. 【解答】∵AB∥CD,∴∠ABC=∠C=34°.∵BC 平分∠ABE,∴∠CBE=∠ABC=34°,∴∠BED=∠C+∠ CBE=68°.故选 D. 5.【考点】点的坐标. 【分析】点在第三象限的条件是:横坐标是负数,纵坐标是负数,可得﹣2m+1<0,求不等式的解即可. 【解答】∵点在第三象限,∴点的横坐标是负数,纵坐标也是负数,即﹣2m+1<0,解得 m> .故选 D. 6.【考点】三角形内角和定理;三角形的外角性质;翻折变换(折叠问题). 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠A′DB=∠CA'D﹣∠B,又折叠前后图 形的形状和大小不变,∠CA'D=∠A=50°,易求∠B=90°﹣∠A=40°,从而求出∠A′DB 的度数. 【解答】∵Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=50°,∴∠B=90°﹣50°=40°.∵将其折叠,使点 A 落在边 CB上 A′ 处 , 折 痕 为 CD , 则 ∠ CA'D= ∠ A. ∵ ∠ CA'D 是 △ A'BD 的 外 角 , ∴ ∠ A′DB= ∠ CA'D﹣ ∠ B=50°﹣40°=10°.故选:D. 7.【考点】一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】把 x=2 代入直线的解析式求出 y 的值,再根据点 P(2,m)在该直线的上方即可得出 m 的取值范 围. 【解答】当 x=2 时,y=2﹣3=﹣1,∵点 P(2,m)在该直线的上方,∴m>﹣1.故选 B. 8.【考点】矩形的性质;菱形的性质. 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°,解直角三角形 BDC,即可求出 BC 的 长. 【解答】∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠A=90°,∠ABC=90°,AB=CD,即 EA⊥AB.∵四边形 BFDE 是菱形,∴ BD⊥EF.∵OE=AE,∴点 E 在∠ABD 的角平分线上,∴∠ABE=∠EBD.∵四边形 BFDE 是菱形,∴∠EBD=∠DBC,∴∠ ABE=∠EBD=∠DBC=30°.∵AB 的长为 3,∴BC=3 ,故选 B. 9.【考点】圆周角定理;勾股定理. 【分析】首先延长 CA,交⊙A 于点 F,易得∠BAF=∠DAE,由圆心角与弦的关系,可得 BF=DE,由圆周角定 理可得:∠CBF=90°,然后由勾股定理求得弦 BC 的长. 【解答】延长 CA,交⊙A 于点 F.∵∠BAC+∠BAF=180°,∠BAC+∠EAD=180°,∴∠BAF=∠DAE,∴ BF=DE=6.∵CF 是直径,∴∠ABF=90°,CF=2×5=10,∴BC= =8.故选 C. 10.【考点】二次函数与不等式(组). 【分析】由抛物线与 x 轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标,根据抛物线开口向下,根据图象求出使函 数值 y>0 成立的 x 的取值范围即可. 【解答】∵二次函数 y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为 x=﹣1,∴二次函数的图象 与 x 轴另一个交点为(﹣4,0),∵a<0,∴抛物线开口向下,则使函数值 y>0 成立的 x 的取值范围是﹣4 <x<2.故选 D. 二、填空题 11.【考点】实数的运算;特殊角的三角函数值.【分析】直接利用绝对值的性质结合特殊角的三角函数值代入化简即可. 【解答】原式=2﹣ +2× =2﹣ + =2. 12.【考点】解一元二次方程﹣因式分解法. 【分析】因式分解法求解可得. 【解答】∵x(x+9)=0,∴x=0 或 x+9=0,解得:x=0 或 x=﹣9,  13.【考点】正多边形和圆. 【分析】作 BG⊥AF,垂足为 G.构造等腰三角形 ABF,在直角三角形 ABG 中,求出 AG 的长,即可得出 AF. 【解答】作 BG⊥AF,垂足为 G.如图所示.∵AB=BF=2,∴AG=FG,∵∠ABF=120°,∴∠BAF=30°,∴ AG=AB•cos30°=2× = ,∴AC=2AG=2 ;故答案为 2 . 14.【考点】锐角三角函数的增减性. 【分析】根据正弦函数的增减性,正切函数的增减性,可得答案. 【解答】∵sin57<sin90°=1,tan57°>tan45°=1,∴tan57°>sin57°,故答案为:<. 15.【考点】相似三角形的应用. 【分析】由 BC∥DE,可得,△ABC∽△ADE,进而利用对应边成比例求解线段的长度. 【解答】由题意可得,△ABC∽△ADE,∴ ,即 ,解得 AB=70 米. 16.【考点】反比例函数综合题. 【分析】由于函数 y= (x>0 常数 k>0)的图象经过点 A(1,2),把(1,2)代入解析式即可确定 k=2, 依题意 BC=m,BC 边上的高是 2﹣n=2﹣ ,根据三角形的面积公式得到关于 m 的方程,解方程即可求出 m, 然后把 m 的值代入 y= ,即可求得 B 的纵坐标,最后就求出点 B 的坐标.【解答】∵函数 y= (x>0 常数 k>0)的图象经过点 A(1,2),∴把(1,2)代入解析式得 2= ,∴k=2. ∵B(m,n)(m>1),∴BC=m,当 x=m 时,n= ,∴BC 边上的高是 2﹣n=2﹣ ,而 S △ABC= m(2﹣ ) =2,∴m=3,∴把 m=3 代入 y= ,∴n= ,∴点 B 的坐标是(3, ).故答案为:(3, ). 17.【考点】相似三角形的判定与性质;一次函数的性质;矩形的性质. 【分析】(方法一)过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,作 OF⊥BC 于点 F,易证得△FOM∽△EON,然后由相似三角形 的对应边成比例结合分割图形求面积法即可得出 S 四边形 OMBN=﹣ x+6,根据一次函数的性质即可解决最值 问题;(方法二)过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,作 OF⊥BC 于点 F,当点 M 和点 E 重合、点 N 和点 F 重合时, 四边形 OMBN 面积取最大值,根据矩形的面积即可得出结论. 【解答】(方法一)过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,作 OF⊥BC 于点 F,如图所示.∵四边形 ABCD 为矩形,AB=4, AD=6,∴OE=3,OF=2,OE⊥OF,∴∠EOM+∠FOM=90°,∵∠FON+∠FOM=90°,∴∠EOM=∠FON.∵∠OEM=∠ OFN=90°,∴△FON∽△EOM,∴OM:ON=OE:OF=3:2,∴ = .设 ME=x(0≤x≤2),则 FN= x,∴ S 四边形 OMBN=S 矩形 EBFO﹣S△EOM+S△FON=2×3﹣ ×3x+ ×2× x=﹣ x+6,∴当 x=0 时,S 四边形 OMBN 取最大值, 最大值为 6.故答案为:6.(方法二)过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,作 OF⊥BC 于点 F,当点 M 和点 E 重合、 点 N 和点 F 重合时,四边形 OMBN 面积取最大值,如图所示.∵S 矩形 EBFO=2×3=6,∴四边形 OMBN 面积的最 大值为 6.故答案为:6 三、解答题(共 9 小题,满分 72 分) 18.【考点】解分式方程. 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分式方程的解. 【解答】去分母得:﹣x+3=1+x﹣4, 移项合并得:﹣2x=﹣6, 解得:x=3, 经检验 x=3 是分式方程的解. 19.【考点】作图—基本作图;角平分线的性质. 【分析】作∠BAC 的平分线交 BC 边于点 D,则点 D 即为所求. 【解答】如图,点 D 即为所求. 20.【考点】全等三角形的判定与性质;平行线的性质. 【分析】根据平行线的性质可得∠C=∠EDB,再证明△EBD≌△BAC,根据全等三角形的性质可得∠E=∠ CBA. 【解答】∵DE∥AC,∴∠C=∠EDB, 在△EBD 和△BAC 中 , ∴△EBD≌△BAC(SAS), ∴∠E=∠CBA. 21.【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题. 【分析】根据∠ANB=30°时,作 ME⊥CB,垂足为 E,根据锐角三角函数的定义求出 EB 及 BN 的长,进而可 得出结论. 【解答】当∠ANB=30°时,作 ME⊥CB,垂足为 E, ∵MB=MN,∴∠B=∠ANB=30°.在 Rt△BEM 中,∵cosB= , ∴EB=MB•cosB=(AN﹣AM)•cosB=6 cm. ∵MB=MN,ME⊥BC, ∴BN=2BE=12 cm. ∵CB=AN=20cm,且 12 >20, ∴此时 N 不在 CB 边上,与题目条件不符,随着∠ANB 度数的减小,BN 的长度增加, ∴倾斜角不可以小于 30°. 22.【考点】一次函数的应用. 【分析】(1)根据两种购物方案让利方式分别列式整理即可; (2)分别把 x=5880,代入(1)中的函数求得数值,比较得出答案即可. 【解答】(1)方案一:y=0.95x; 方案二:y=0.9x+300; (2)当 x=5880 时, 方案一:y=0.95x=5586(元), 方案二:y=0.9x+300=5592(元), 5586<5592 所以选择方案一更省钱. 23.【考点】列表法与树状图法. 【分析】(1)先利用树状图展示所有 12 种等可能的结果数,再找出取出纸币的总额为 70 元的结果数,然 后根据概率公式计算;(2)根据(1)中树状图找到取出纸币的总额大于或等于 120 元的结果数,根据概 率公式计算可得. 【解答】(1)画树状图为:共有 12 种等可能的结果数,其中取出纸币的总额为 70 元的结果数为 2, 所以取出纸币的总额为 70 元的概率= = ; (2)小励取出纸币的总额能购买一件价格为 120 元文具的概率为 = . 24.【考点】切线的判定与性质. 【分析】(1)连接 OB、OC,证明 OC⊥CE 即可.因为 MN 是⊙O 的切线,所以 OB⊥MN.因∠CBN=45°可得∠ OBC=∠OCB=∠BCE=45°,所以∠OCE=90°,得证;(2)可证四边形 BOCE 为正方形,所以半径等于 CE,可 设半径为 r,在△BCE 中表示 BE;在△CDE 中表示 DE,根据 BD 的长得方程求解. 【解答】(1)证明:连接 OB、OC. ∵MN 是⊙O 的切线,∴OB⊥MN, ∵∠CBM=135°,∴∠CBN=45°, ∴∠OBC=45°,∠BCE=45°. ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=45°. ∴∠OCE=90°,∴CE 是⊙O 的切线; (2)解:∵OB⊥BE,CE⊥BE,OC⊥CE, ∴四边形 BOCE 是矩形, 又 OB=OC,∴四边形 BOCE 是正方形, ∴BE=CE=OB=OC=r. 在 Rt△CDE 中,∵∠D=30°,CE=r, ∴DE= r. ∵BD=2 ,∴r+ r=2 , ∴r= ﹣ ,即⊙O 的半径为 ﹣ .25.【考点】抛物线与 x 轴的交点;待定系数法求二次函数解析式. 【分析】(1)根据抛物线 y═ax2+bx+c(a>0)与 x 轴的交点可得解析式为 y=a(x+5)(x﹣1) =ax2+4ax﹣5a=a(x+2)2﹣9a,从而得出答案;(2)由 A、D、C 的坐标得出 AD2、CD2、AC2,根据∠ADC=90° 知 AD2+CD2=AC2,据此列出关于 a 的方程,解之可得 a 的值,从而得出答案. 【解答】(1)∵二次函数 y═ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴交于 A(﹣5,0)、B(1,0)两点, ∴抛物线的解析式为 y=a(x+5)(x﹣1)=ax2+4ax﹣5a=a(x+2)2﹣9a, 则点 D 的坐标为(﹣2,﹣9a),点 C 的坐标为(0,﹣5a); (2)∵A(﹣5,0)、D(﹣2,﹣9a)、C(0,﹣5a), ∴AD2=(﹣2+5)2+(﹣9a﹣0)2=81a2+9,CD2=(﹣2﹣0)2+(﹣9a+5a)2=16a2+4, AC2=(0+5)2+(﹣5a﹣0)2=25a2+25, ∵∠ADC=90°,∴AD2+CD2=AC2,即 81a2+9+16a2+4=25a2+25, 解得:a=± , ∵a>0,∴a=﹣ , 则该二次函数的解析式为 y=﹣ (x+2)2﹣ . 26.【考点】四边形综合题. 【分析】(1)通过同圆的半径相等,取 DC=AB,则△ABC 就是所求作的等中三角形;(2)作中线 BD,根据 勾股定理求中线 BD=AC,则△ABC 是“等中三角形”;(3)分别以△ABP 三边画等中三角形,对比后得图 5 中的等中三角形的面积最大,求出此时的 CP 的长即可. 【解答】解:(1)如图 1, 作法:①以 D 为圆心,以 AB 为半径画圆,在圆上任意取一点 C, ②连接 AC、BC,则△ABC 就是所求作的“等中三角形”; (2)△ABC 是“等中三角形”,理由是: 如图 2,取 AC 的中点 D,连接 BD, ∵AC=2,∴CD= AC=1, ∵∠ACB=90°, 由勾股定理得:BD= =2, ∴BD=AC,∴△ABC 是“等中三角形”, (3)分三种情况: ①当中线长 BE=AP 时,如图 3, ②当中线长 AE=PB 时,如图 4, ③当中线长 PE=AB 时,如图 5, 由三个图形可得:图 5 中的等中三角形的面积最大, 此时,P 是 DC 的中点, ∴PC= CD= =3. 

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