北师大版九年级数学上册期末检测题及答案2套

北师大版九年级数学上册期末试题及答案 2 套 期末数学试卷 1 　一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．解方程 2（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的最适当的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法 3．二次函数 y=（x+3）2+7 的顶点坐标是（　　） A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7） 4．下列事件中，是不可能事件的是（　　） A．买一张电影票，座位号是奇数 B．射击运动员射击一次，命中 9 环 C．明天会下雨 D．度量三角形的内角和，结果是 360° 5．如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A=40°，则∠OBC=（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 6．下列语句中，正确的有（　　） A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦C．长度相等的两条弧相等 D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 7．如图，将△ABC 绕点 C 旋转 60°得到△A′B′C，已知 AC=6，BC=4，则线段 AB 扫过的图形的面积为（　　） A． π B． π C．6π D． π 8．若函数 y=2x2﹣8x+m 的图象上有两点 A（x1，y1），B（x2，y2），若 x1＜x2＜﹣2，则（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1=y2 D．y1、y2、的大小不确定 9．如图，直线 AB、CD、BC 分别与⊙O 相切于 E、F、G，且 AB∥CD，若 OB=6cm，OC=8cm，则 BE+CG 的长等 于（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 10．已知：关于 x 的一元二次方程 x2﹣（R+r）x+ d2=0 有两个相等的实数根，其中 R、r 分别是⊙O1、⊙ O2 的半径，d 为两圆的圆心距，则⊙O1 与⊙O2 的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．方程 kx2﹣9x+8=0 的一个根为 1，则 k=　　． 12．甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是　　． 13．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 100 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给　　个 人．14．抛物线 y=﹣x2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y＞0，则 x 的取值范围是　　． 15．如图，是一个半径为 6cm，面积为 12πcm2 的扇形纸片，现需要一个半径为 R 的圆形纸片，使两张纸 片刚好能组合成圆锥体，则 R 等于　　cm． 三、解答题：（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．解方程： （1）2x2=x （2）x2+4x﹣1=0（用配方法解） 17．不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球，（除颜色外其余都相同），其中白球有两个，黄球 有 1 个，现从中任意摸出一个球是白球的概率为 ． （1）试求袋中蓝球的个数； （2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法表示两次摸到球的所 有可能结果，并求两次摸到的球都是白球的概率．18．如图，点 A 的坐标为（3，3），点 B 的坐标为（4，0）．点 C 的坐标为（0，﹣1）． （1）请在直角坐标系中画出△ABC 绕着点 C 逆时针旋转 90°后的图形△A′B′C； （2）直接写出：点 A′的坐标（　　，　　），点B′的坐标（　　，　　）． 19．已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于两点 A（1，0），B（3，0），与 y 轴相交于点 C（0， 3）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若点 D（ ，m）是抛物线 y=ax2+bx+c 上的一点，请求出 m 的值，并求出此时△ABD 的面积．20．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交 BC 于 D，E 为 AB 上一点，DE=DC，以 D 为圆心，以 DB 的长为半径画圆． 求证：（1）AC 是⊙D 的切线； （2）AB+EB=AC． 21．如图，在等边△ABC 中，已知 AB=8cm，线段 AM 为 BC 边上的中线．点 N 在线段 AM 上，且 MN=3cm，动 点 D 在直线 AM 上运动，连接 CD，△CBE 是由△CAD 旋转得到的．以点 C 为圆心，以 CN 为半径作⊙C 与直 线 BE 相交于点 P，Q 两点． （1）填空：∠DCE=　　度，CN=　　cm，AM=　　cm； （2）如图，当点 D 在线段 AM 上运动时，求出 PQ 的长．22．某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现， 若每箱以 50 元的价格出售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱． （1）求平均每天销售量 y（箱）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？23．如图，抛物线 y=﹣ x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA=2，OC=3． （1）求抛物线的解析式． （2）若点 D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点 P，使得△BDP 的周长最 小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 注：二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线 x=﹣ ． 　 答案 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．【解析】第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；第二个图形既是轴对称图形又 是中心对称图形；第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；第四个图形既是轴对称图形又是中心对 称图形。所以，既是轴对称图形又是中心对称图形共有 3 个。故选 C。 2．【解析】方程可化为[2（5x﹣1）﹣3]（5x﹣1）=0，即 5（2x﹣1）（5x﹣1）=0，根据分析可知分解因式 法最为合适．故选 D． 3．【解析】∵二次函数 y=（x+3）2+7 是顶点式，∴顶点坐标为（﹣3，7）．故选 A． 4．【解析】A、买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故 A 选项错误；B、射击运动员射击一次，命 中 9 环，是随机事件，故 B 选项错误；C、明天会下雨，是随机事件，故 C 选项错误；D、度量一个三角形 的内角和，结果是 360°，是不可能事件，故 D 选项正确．故选 D． 5．【解析】根据圆周角定理，得∠BOC=2∠A=80°.∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB= =50°．故选 C．6．【解析】A、此题是圆心角、弧、弦的关系定理，故 A 正确；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 故 B 错误；C、在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，故 C 错误；D、任何图形的对称轴都是直线，而 圆的直径是线段，故 D 错误；故选 A． 7．【解析】∵△ABC 绕点 C 旋转 60°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ ACA′=60°．∵AB 扫过的图形的面积=S 扇形 ACA′+S△ABC﹣S 扇形 BCB′﹣S△A′B′C，∴AB 扫过的图形的面积=S 扇 形 ACA′﹣S 扇形 BCB′，∴AB 扫过的图形的面积= ×π×36﹣ ×π×16= π．故选 B． 8．【解析】y=2x2﹣8x+m=2（x﹣2）2+m﹣8，则抛物线开口向上，对称轴是 x=2，∴当 x＜2 时，y 随 x 的增 大而减小，∴x1＜x2＜﹣2 时，y1＞y2，故选 B． 9．【解析】∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°.∵CD、BC，AB 分别与⊙O 相切于 G、F、E，∴∠OBC= ∠ ABC，∠OCB= ∠BCD，BE=BF，CG=CF，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∴BC= =10，∴BE+CG=10 （cm）．故选 D． 10．【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣（R+r）x+ d2=0 有两个相等的实数根，∴△=（r+R）2﹣d2=0， 即（R+r+d）（R+r﹣d）=0，解得 r+R=﹣d（舍去）或 R+r=d，∴两圆外切，故选 B． 二、填空题 11．【解析】把 x=1 代入方程得：k﹣9+8=0．解得 k=1． 12．【解析】画树状图，∵共有 6 种等可能的结果，甲、乙二人相邻的有 4 种情况，∴甲、乙二人相邻的 概率是 = ． 13．【解析】设每轮传染中平均每个人传染了 x 人．依题意得 1+x+x（1+x）=100，∴x2+2x﹣99=0，∴x=9 或 x=﹣11（不合题意，舍去）．所以，每轮传染中平均一个人传染给 9 个人． 14．【解析】根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为 x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性， 则另一交点为（﹣3，0），所以 y＞0 时，x 的取值范围是﹣3＜x＜1． 15．【解析】∵圆锥的弧长=2×12π÷6=4π，∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm，三、解答题： 16．【解析】（1）∵2x2﹣x=0， ∴x（2x﹣1）=0，则 x=0 或 2x﹣1=0， 解得 x=0 或 x=0.5； （2）∵x2+4x=1，∴x2+4x+4=1+4， 即（x+2）2=5，则 x+2=± ， ∴x=﹣2± ． 17．【解析】（1）设蓝球个数为 x 个，则由题意得 = ，解得 x=1， 答：蓝球有 1 个。 （2） 故两次摸到都是白球的概率= = ． 18．【解析】（1）如图所示： ； （2）由（2）可得，点 A′的坐标（﹣4，2），点B′的坐标（﹣1，3）． 19．【解析】（1）由已知得 ，解之得 ，∴y=x2﹣4x+3； （2）∵ 是抛物线 y=x2﹣4x+3 上的点，∴ ；∴ ．20．【解答】证明：（1）过点 D 作 DF⊥AC 于 F； ∵AB 为⊙D 的切线，AD 平分∠BAC，∴BD=DF， ∴AC 为⊙D 的切线． （2）∵AC 为⊙D 的切线，∴∠DFC=∠B=90°， 在 Rt△BDE 和 Rt△FCD 中； ∵BD=DF，DE=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△FCD（HL）， ∴EB=FC． ∵AB=AF，∴AB+EB=AF+FC， 即 AB+EB=AC． 21．【解析】（1）由旋转知，∠BCE=∠ACD， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=∠DCB+∠ACD=∠ACB=60°，在等边三角形 ABC 中，AM 为 BC 边上的中线， ∴AM⊥BC，CM= BC=4， 在 Rt△MCN 中，MN=3，CM=4，根据勾股定理得，CN= =5， 在 Rt△ACM 中，AC=8，CM=4，根据勾股定理得，AM= =4 ， （2）如图，∵等边△ABC 中，AM 是 BC 边上的中线， ∴AM⊥BC，∠ACB=60°，∠CAD=30°， 由旋转可知：∠CBE=∠CAD=30°， 作 CH⊥BE 于点 H，则 PQ=2HQ， 连结 CQ，则 CQ=CN=5． 在 Rt△CBH 中，∠CBH=30°， ∴CH= BC=4， 在 Rt△CHQ 中，由勾股定理得，HQ= =3， ∴PQ=2HQ=6． 22．【解析】（1）由题意得：y=90﹣3（x﹣50），化简得y=﹣3x+240； （2）由题意得：w=（x﹣40）y（x﹣40）（﹣3x+240）=﹣3x2+360x﹣9600； （3）w=﹣3x2+360x﹣9600 ∵a=﹣3＜0，∴抛物线开口向下． 当 时，w 有最大值． 又 x＜60，w 随 x 的增大而增大． ∴当 x=55 元时，w 的最大值为 1125 元． ∴当每箱苹果的销售价为 55 元时，可以获得 1125 元的最大利润． 23．【解析】（1）∵OA=2，OC=3， ∴A（﹣2，0），C（0，3），∴c=3，将 A（﹣2，0）代入 y=﹣ x2+bx+3 得，﹣ ×（﹣2）2﹣2b+3=0， 解得 b= ，可得函数解析式为 y=﹣ x2+ x+3； （2）存在，理由如下： 如图：连接 AD，与对称轴相交于 P，由于点 A 和点 B 关于对称轴对称，则即 BP+DP=AP+DP，当 A、P、D 共 线时 BP+DP=AP+DP 最小． 设 AD 所在直线的解析式为 y=kx+b， 将 A（﹣2，0），D（2，2）分别代入解析式得， ， 解得， ，故直线解析式为 y= x+1，（﹣2＜x＜2）， 由于二次函数的对称轴为 x=﹣ = ， 则当 x= 时，y= × +1= ， 故 P（ ， ）． 期末数学试卷 2 一、选择题 1．9 的平方根是（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．± 2．如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体，其俯视图是（　　） A． B． C． D．3．下列运算结果正确的是（　　） A．x6÷x2=x3 B．（﹣x）﹣1= C．（2x3）2=4x6 D．﹣2a2•a3=﹣2a6 4．如图，已知 AB∥CD，BC 平分∠ABE，∠C=34°，则∠BED 的度数是（　　） A．17° B．34° C．56° D．68° 5．在平面直角坐标系中，点（﹣7，﹣2m+1）在第三象限，则 m 的取值范围是（　　） A．m＜ B．m＞﹣ C．m＜﹣ D．m＞ 6．如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处，折痕为 CD，则∠A′DB= （　　） A．40° B．30° C．20° D．10° 7．如图，是直线 y=x﹣3 的图象，点 P（2，m）在该直线的上方，则 m 的取值范围是（　　） A．m＞﹣3 B．m＞﹣1 C．m＞0 D．m＜3 8．如图，在矩形 ABCD 中，边 AB 的长为 3，点 E，F 分别在 AD，BC 上，连接 BE，DF，EF，BD．若四边形 BFDE 是菱形，且 OE=AE，则边 BC 的长为（　　）A．2 B．3 C． D．6 9．如图，半径为 5 的⊙A 中，弦 BC，ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知 DE=6，∠BAC+∠ EAD=180°，则弦 BC 的长等于（　　） A． B． C．8 D．6 10．若二次函数 y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为 x=﹣1，则使函数值 y＞0 成立 的 x 的取值范围是（　　） A．x＜﹣4 或 x＞2 B．﹣4≤x≤2 C．x≤﹣4 或 x≥2 D．﹣4＜x＜2 二、填空题 11．计算| ﹣2|+2cos45°=　 　． 12．一元二次方程 x2+9x=0 的解是　 　． 13．如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，则对角线 AF= ． 14．比较大小：sin57°　 　tan57°． 15．如图，在河两岸分别有 A、B 两村，现测得三点 A、B、D 在一条直线上，A、C、E 在一条直线上，若 BC ∥DE，DE=90 米，BC=70 米，BD=20 米，那么 A、B 两村间的距离为　 　米．16．如图，在平面直角坐标系中，函数 y= （x＞0 常数 k＞0）的图象经过点 A（1，2），B（m，n）（m＞ 1），过点 B 作 y 轴的垂线，垂足为 C，若△ABC 面积为 2，求点 B 的坐标　 　． 17．如图，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，M 为 AB 边上任一点，射线 ON⊥OM 于点 O，且与 BC 边交于点 N， 若 AB=4，AD=6，则四边形 OMBN 面积的最大值为　 　． 三、解答题（共 9 小题，满分 72 分） 18．解方程： = +1．19．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，用直尺和圆规在边 BC 上找一点 D，使 D 到 AB 的距离等于 CD．（保留作 图痕迹，不写作法） 20．已知，如图，在△ABC 中，点 D 为线段 BC 上一点，BD=AC，过点 D 作 DE∥AC 且 DE=BC，求证：∠E=∠ CBA． 21．如图为一种平板电脑保护套的支架侧视图，AM 固定于平板电脑背面，与可活动的 MB、CB 部分组成支 架，为了观看舒适，可以调整倾斜角∠ANB 的大小，但平板的下端点 N 只能在底座边 CB 上．不考虑拐角处 的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图（见答题纸），其中 AN 表示平板电脑，M 为 AN 上的定点， AN=CB=20 cm，AM=8 cm，MB=MN，根据以上数据，判断倾斜角∠ANB 能小于 30°吗？请说明理由．22．为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠， 方案二：如交纳 300 元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠． （1）以 x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中 y 关于 x 的函数解析式； （2）若某人计划在商都购买价格为 5880 元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？ 23．小励同学有面额 10 元.20 元.50 元和 100 元的纸币各一张，分别装入大小外观完全样的四个红包中， 每个红包里只装入一张纸币，若小励从中随机抽取两个红包． （1）请用树状图或者列表的方法，求小励取出纸币的总额为 70 元的概率； （2）求小励取出纸币的总额能购买一件价格为 120 元文具的概率． 24．如图，BC 是圆 O 的弦，CF 是圆 O 切线，切点为 C，经过点 B 作 MN⊥CF 于 E，且∠CBM=135°，过 G 的 直线分别与圆 O，MN 交于 A，D 两点． （1）求证：MN 是圆 O 的切线；（2）当∠D=30°，BD= 时，求圆 O 的半径 r． 25．已知二次函数 y═ax2+bx+c（a＞0）的图象与 x 轴交于 A（﹣5，0）、B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D． （1）直接写出顶点 D、点 C 的坐标（用含 a 的代数式表示）； （2）若∠ADC=90°，试确定二次函数的表达式． 26．如图，三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形可称为“等中三角形”， 探索体验 （1）如图①，点 D 是线段 AB 的中点，请画一个△ABC，使其为“等中三角形”． （2）如图②，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC= ，判断△ABC 是否为“等中三角形”，并说明理 由． 拓展应用 （3）如图③，正方形 ABCD 木板的边长 AB=6，请探索在正方形木板上是否存在点 P，使△ABP 为面积最大 的“等中三角形”？若存在，求出 CP 的长；若不存在，请说明理由．　答案 一、选择题 1．【考点】平方根． 【分析】根据平方与开平方互为逆运算，可得一个正数的平方根． 【解答】± ，故选：A． 2．【考点】简单组合体的三视图． 【分析】从几何体上方观察，得到俯视图即可． 【解答】如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体，其俯视图是 ．故选 D 3．【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；负整数指数幂． 【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、单项式的乘法计算即可． 【解答】A、x6÷x2=x4，错误；B、（﹣x）﹣1=﹣ ，错误；C、（2x3）2=4x6，正确；D、﹣2a2•a3=﹣2a5，错 误；故选 C 4．【考点】平行线的性质． 【分析】首先由 AB∥CD，求得∠ABC 的度数，又由 BC 平分∠ABE，求得∠CBE 的度数，然后根据三角形外 角的性质求得∠BED 的度数． 【解答】∵AB∥CD，∴∠ABC=∠C=34°.∵BC 平分∠ABE，∴∠CBE=∠ABC=34°，∴∠BED=∠C+∠ CBE=68°．故选 D． 5．【考点】点的坐标． 【分析】点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数，可得﹣2m+1＜0，求不等式的解即可． 【解答】∵点在第三象限，∴点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，即﹣2m+1＜0，解得 m＞ ．故选 D． 6．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）． 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D﹣∠B，又折叠前后图 形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°﹣∠A=40°，从而求出∠A′DB 的度数． 【解答】∵Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°.∵将其折叠，使点 A 落在边 CB上 A′ 处 ， 折 痕 为 CD ， 则 ∠ CA'D= ∠ A. ∵ ∠ CA'D 是 △ A'BD 的 外 角 ， ∴ ∠ A′DB= ∠ CA'D﹣ ∠ B=50°﹣40°=10°．故选：D． 7．【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】把 x=2 代入直线的解析式求出 y 的值，再根据点 P（2，m）在该直线的上方即可得出 m 的取值范 围． 【解答】当 x=2 时，y=2﹣3=﹣1，∵点 P（2，m）在该直线的上方，∴m＞﹣1．故选 B． 8．【考点】矩形的性质；菱形的性质． 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，解直角三角形 BDC，即可求出 BC 的 长． 【解答】∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=90°，∠ABC=90°，AB=CD，即 EA⊥AB.∵四边形 BFDE 是菱形，∴ BD⊥EF.∵OE=AE，∴点 E 在∠ABD 的角平分线上，∴∠ABE=∠EBD.∵四边形 BFDE 是菱形，∴∠EBD=∠DBC，∴∠ ABE=∠EBD=∠DBC=30°.∵AB 的长为 3，∴BC=3 ，故选 B． 9．【考点】圆周角定理；勾股定理． 【分析】首先延长 CA，交⊙A 于点 F，易得∠BAF=∠DAE，由圆心角与弦的关系，可得 BF=DE，由圆周角定 理可得：∠CBF=90°，然后由勾股定理求得弦 BC 的长． 【解答】延长 CA，交⊙A 于点 F.∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴ BF=DE=6.∵CF 是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴BC= =8．故选 C． 10．【考点】二次函数与不等式（组）． 【分析】由抛物线与 x 轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函 数值 y＞0 成立的 x 的取值范围即可． 【解答】∵二次函数 y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为 x=﹣1，∴二次函数的图象 与 x 轴另一个交点为（﹣4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，则使函数值 y＞0 成立的 x 的取值范围是﹣4 ＜x＜2．故选 D． 二、填空题 11．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】直接利用绝对值的性质结合特殊角的三角函数值代入化简即可． 【解答】原式=2﹣ +2× =2﹣ + =2． 12．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【分析】因式分解法求解可得． 【解答】∵x（x+9）=0，∴x=0 或 x+9=0，解得：x=0 或 x=﹣9，　 13．【考点】正多边形和圆． 【分析】作 BG⊥AF，垂足为 G．构造等腰三角形 ABF，在直角三角形 ABG 中，求出 AG 的长，即可得出 AF． 【解答】作 BG⊥AF，垂足为 G．如图所示.∵AB=BF=2，∴AG=FG，∵∠ABF=120°，∴∠BAF=30°，∴ AG=AB•cos30°=2× = ，∴AC=2AG=2 ；故答案为 2 ． 14．【考点】锐角三角函数的增减性． 【分析】根据正弦函数的增减性，正切函数的增减性，可得答案． 【解答】∵sin57＜sin90°=1，tan57°＞tan45°=1，∴tan57°＞sin57°，故答案为：＜． 15．【考点】相似三角形的应用． 【分析】由 BC∥DE，可得，△ABC∽△ADE，进而利用对应边成比例求解线段的长度． 【解答】由题意可得，△ABC∽△ADE，∴ ，即 ，解得 AB=70 米． 16．【考点】反比例函数综合题． 【分析】由于函数 y= （x＞0 常数 k＞0）的图象经过点 A（1，2），把（1，2）代入解析式即可确定 k=2， 依题意 BC=m，BC 边上的高是 2﹣n=2﹣ ，根据三角形的面积公式得到关于 m 的方程，解方程即可求出 m， 然后把 m 的值代入 y= ，即可求得 B 的纵坐标，最后就求出点 B 的坐标．【解答】∵函数 y= （x＞0 常数 k＞0）的图象经过点 A（1，2），∴把（1，2）代入解析式得 2= ，∴k=2. ∵B（m，n）（m＞1），∴BC=m，当 x=m 时，n= ，∴BC 边上的高是 2﹣n=2﹣ ，而 S △ABC= m（2﹣ ） =2，∴m=3，∴把 m=3 代入 y= ，∴n= ，∴点 B 的坐标是（3， ）．故答案为：（3， ）． 17．【考点】相似三角形的判定与性质；一次函数的性质；矩形的性质． 【分析】（方法一）过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，作 OF⊥BC 于点 F，易证得△FOM∽△EON，然后由相似三角形 的对应边成比例结合分割图形求面积法即可得出 S 四边形 OMBN=﹣ x+6，根据一次函数的性质即可解决最值 问题；（方法二）过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，作 OF⊥BC 于点 F，当点 M 和点 E 重合、点 N 和点 F 重合时， 四边形 OMBN 面积取最大值，根据矩形的面积即可得出结论． 【解答】（方法一）过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，作 OF⊥BC 于点 F，如图所示．∵四边形 ABCD 为矩形，AB=4， AD=6，∴OE=3，OF=2，OE⊥OF，∴∠EOM+∠FOM=90°，∵∠FON+∠FOM=90°，∴∠EOM=∠FON．∵∠OEM=∠ OFN=90°，∴△FON∽△EOM，∴OM：ON=OE：OF=3：2，∴ = ．设 ME=x（0≤x≤2），则 FN= x，∴ S 四边形 OMBN=S 矩形 EBFO﹣S△EOM+S△FON=2×3﹣ ×3x+ ×2× x=﹣ x+6，∴当 x=0 时，S 四边形 OMBN 取最大值， 最大值为 6．故答案为：6．（方法二）过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，作 OF⊥BC 于点 F，当点 M 和点 E 重合、 点 N 和点 F 重合时，四边形 OMBN 面积取最大值，如图所示．∵S 矩形 EBFO=2×3=6，∴四边形 OMBN 面积的最 大值为 6．故答案为：6 三、解答题（共 9 小题，满分 72 分） 18．【考点】解分式方程． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】去分母得：﹣x+3=1+x﹣4， 移项合并得：﹣2x=﹣6， 解得：x=3， 经检验 x=3 是分式方程的解． 19．【考点】作图—基本作图；角平分线的性质． 【分析】作∠BAC 的平分线交 BC 边于点 D，则点 D 即为所求． 【解答】如图，点 D 即为所求． 20．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质． 【分析】根据平行线的性质可得∠C=∠EDB，再证明△EBD≌△BAC，根据全等三角形的性质可得∠E=∠ CBA． 【解答】∵DE∥AC，∴∠C=∠EDB， 在△EBD 和△BAC 中 ， ∴△EBD≌△BAC（SAS）， ∴∠E=∠CBA． 21．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【分析】根据∠ANB=30°时，作 ME⊥CB，垂足为 E，根据锐角三角函数的定义求出 EB 及 BN 的长，进而可 得出结论． 【解答】当∠ANB=30°时，作 ME⊥CB，垂足为 E， ∵MB=MN，∴∠B=∠ANB=30°．在 Rt△BEM 中，∵cosB= ， ∴EB=MB•cosB=（AN﹣AM）•cosB=6 cm． ∵MB=MN，ME⊥BC， ∴BN=2BE=12 cm． ∵CB=AN=20cm，且 12 ＞20， ∴此时 N 不在 CB 边上，与题目条件不符，随着∠ANB 度数的减小，BN 的长度增加， ∴倾斜角不可以小于 30°． 22．【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）根据两种购物方案让利方式分别列式整理即可； （2）分别把 x=5880，代入（1）中的函数求得数值，比较得出答案即可． 【解答】（1）方案一：y=0.95x； 方案二：y=0.9x+300； （2）当 x=5880 时， 方案一：y=0.95x=5586（元）， 方案二：y=0.9x+300=5592（元）， 5586＜5592 所以选择方案一更省钱． 23．【考点】列表法与树状图法． 【分析】（1）先利用树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出取出纸币的总额为 70 元的结果数，然 后根据概率公式计算；（2）根据（1）中树状图找到取出纸币的总额大于或等于 120 元的结果数，根据概 率公式计算可得． 【解答】（1）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中取出纸币的总额为 70 元的结果数为 2， 所以取出纸币的总额为 70 元的概率= = ； （2）小励取出纸币的总额能购买一件价格为 120 元文具的概率为 = ． 24．【考点】切线的判定与性质． 【分析】（1）连接 OB、OC，证明 OC⊥CE 即可．因为 MN 是⊙O 的切线，所以 OB⊥MN．因∠CBN=45°可得∠ OBC=∠OCB=∠BCE=45°，所以∠OCE=90°，得证；（2）可证四边形 BOCE 为正方形，所以半径等于 CE，可 设半径为 r，在△BCE 中表示 BE；在△CDE 中表示 DE，根据 BD 的长得方程求解． 【解答】（1）证明：连接 OB、OC． ∵MN 是⊙O 的切线，∴OB⊥MN， ∵∠CBM=135°，∴∠CBN=45°， ∴∠OBC=45°，∠BCE=45°． ∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=45°． ∴∠OCE=90°，∴CE 是⊙O 的切线； （2）解：∵OB⊥BE，CE⊥BE，OC⊥CE， ∴四边形 BOCE 是矩形， 又 OB=OC，∴四边形 BOCE 是正方形， ∴BE=CE=OB=OC=r． 在 Rt△CDE 中，∵∠D=30°，CE=r， ∴DE= r． ∵BD=2 ，∴r+ r=2 ， ∴r= ﹣ ，即⊙O 的半径为 ﹣ ．25．【考点】抛物线与 x 轴的交点；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）根据抛物线 y═ax2+bx+c（a＞0）与 x 轴的交点可得解析式为 y=a（x+5）（x﹣1） =ax2+4ax﹣5a=a（x+2）2﹣9a，从而得出答案；（2）由 A、D、C 的坐标得出 AD2、CD2、AC2，根据∠ADC=90° 知 AD2+CD2=AC2，据此列出关于 a 的方程，解之可得 a 的值，从而得出答案． 【解答】（1）∵二次函数 y═ax2+bx+c（a＞0）的图象与 x 轴交于 A（﹣5，0）、B（1，0）两点， ∴抛物线的解析式为 y=a（x+5）（x﹣1）=ax2+4ax﹣5a=a（x+2）2﹣9a， 则点 D 的坐标为（﹣2，﹣9a），点 C 的坐标为（0，﹣5a）； （2）∵A（﹣5，0）、D（﹣2，﹣9a）、C（0，﹣5a）， ∴AD2=（﹣2+5）2+（﹣9a﹣0）2=81a2+9，CD2=（﹣2﹣0）2+（﹣9a+5a）2=16a2+4， AC2=（0+5）2+（﹣5a﹣0）2=25a2+25， ∵∠ADC=90°，∴AD2+CD2=AC2，即 81a2+9+16a2+4=25a2+25， 解得：a=± ， ∵a＞0，∴a=﹣ ， 则该二次函数的解析式为 y=﹣ （x+2）2﹣ ． 26．【考点】四边形综合题． 【分析】（1）通过同圆的半径相等，取 DC=AB，则△ABC 就是所求作的等中三角形；（2）作中线 BD，根据 勾股定理求中线 BD=AC，则△ABC 是“等中三角形”；（3）分别以△ABP 三边画等中三角形，对比后得图 5 中的等中三角形的面积最大，求出此时的 CP 的长即可． 【解答】解：（1）如图 1， 作法：①以 D 为圆心，以 AB 为半径画圆，在圆上任意取一点 C， ②连接 AC、BC，则△ABC 就是所求作的“等中三角形”； （2）△ABC 是“等中三角形”，理由是： 如图 2，取 AC 的中点 D，连接 BD， ∵AC=2，∴CD= AC=1， ∵∠ACB=90°， 由勾股定理得：BD= =2， ∴BD=AC，∴△ABC 是“等中三角形”， （3）分三种情况： ①当中线长 BE=AP 时，如图 3， ②当中线长 AE=PB 时，如图 4， ③当中线长 PE=AB 时，如图 5， 由三个图形可得：图 5 中的等中三角形的面积最大， 此时，P 是 DC 的中点， ∴PC= CD= =3．