黄骅中学2017－2018年度高中二年级第二学期第一次月考 数学试卷（理科）命题人： 审定人： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至 2页，第Ⅱ卷3至6页。共150+20分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（客观题 共 60分）一、选择题 (12小题，每小题5分，共60分)1、已知a是实数，a－i1＋i是纯虚数，则a等于( )A．1 B．－1 C．2 D．－22、在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为n(n－3)2条时，第一步检验n等于( )A．1 B．2 C．3 D.43、“ ”是“ 的展开式的各项系数之和为64”的( )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4、正弦函数是奇函数， 是正弦函数，因此 是奇函数，以上推理( )A．结论正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．全不正确5、在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： ， 经过φ变换所得的点A′的坐标为（ ）A．(1，1) B．(1，－1) C．(3，－1) D．(2，－1) 6、设 ，则 的值为（ ）A． B． C．1 D．27、已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( ) A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关8、甲口袋内装有大小相等的8个红球和4个白球，乙口袋内装有大小相等的9个红球和3 个白球，从两个口袋内各摸1个球，那么 等于( )A. 2个球都是白球的概率 B.2个球中恰好有1个是白球的概率C.2个球都不是白球的概率 D.2个球不都是白球的概率9、有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②用相关指数 来刻画回归的效果， 值越大，说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．310、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） A.120个 B.144个 C.96个 D.72个11、对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( ) A.35 B.25 C.110 D.5912、设x、y、z＞0， ＝x＋1y， ＝y＋1z， ＝z＋1x，则 、 、 三数( )A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于2
第Ⅱ卷（共90 +20分） 二、填空题 (4小题，每小题5分，共20分)13、从1，2，3，…，9九个数字中选出三个不同的数字 、 、 ，且 ＜ ＜ ，作抛物线 ，则不同的抛物线共有________ 条（用数字作答）14、 展开式中 项的系数为_______15、已知X～N(μ， )，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.95，某次全市20000人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布N(100,100)，则本次考试120分以上的学生约有________人. 16、给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为 ，如 ＝(3,2)，则(1) ＝________；(2) ＝________.三、解答题（共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17、(本小题10分)已知 ，且 ．(1)求 的值；(2)求 的值．
18、(本小题12分)已知虚数 满足 ， ，求 .
19、(本小题12分)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设．(1)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；(2)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X，求X的分布列和数学期望．
20、(本小题12分)某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集了300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平 均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d.
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879
21、(本小题12分)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝an2＋1an－1，且an＞0，n∈N*.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明通项公式的正确性．
22、(本小题12分)某农科所发现，一种作物的年收获量 （单位： ）与它“相近”作物的株数 具有线性相关关系(所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 )，并分别记录了相近作物的株数为 时，该作物的年收获量的相关数据如下：
（1）求该作物的年收获量 关于它“相近”作物的株数 的线性回归方程；（2）农科所在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为 ，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．(注:年收获量以线性回归方程计算所得数据为依据)附：
四、附加题（共2小题，共20分）1、数列1，2，3，5，8，13，21，…最初是由意大利数学家列昂那多•斐波那契于1202年兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波那契数列，又称黄金分割数列，后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律，某校数学兴趣小组对该数列研究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列{ }：1，2，1，6，9，10，17，…，设数列{ }的前n项和为Sn（1）请计算： , ， ，并依此规律求数列{ }的第8项 =______（2） =_______（请用关于n的多项式表示)．
2、将10个小正方形构成如图所示的图阵，现使用“0”或“1”依次对第四层的小正方形进行编号，且第一，二，三层的编号等于其下面的两个小正方形编号的数字之和，若第一层的小正方形的编号能被2整除，则有______种不同的编号方法。
黄骅中学2017－2018年度高中二年级第二学期第一次月考 数学试卷答案(理科）选择题 (12小题，每小题5分，共60分)1-6 A C B C B A 7-12 C B D A D C 二、填空题 (4小题，每小题5分，共20分)13、84 14、－210 15、500 16、(1)(4,2) (2)(m，n－m＋1)三、解答题（共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17、本小题10分)（1）由 得： n（n－1）（n－2）（n－3）（n－4）＝56 • 即（n－5）（n－6）＝90 解之得：n＝15或n＝－4（舍去）．∴ n＝15． ………………5分（2）当n＝15时，由已知有：（1－2x）15＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋……＋a15x15， 令x＝1得：a0＋a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－1，令x＝0得：a0＝1，∴a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－2．………………10分18、(本小题12分)解析：设z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)，所以 则 ＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋1x＋yi＝( )＋y(2x＋1)i. ………………5分因为 且y≠0，所以 ，………………8分解得x＝－12，y＝±32，故z＝－12±32i. ………………12分19、(本小题12分) 记第i名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai、Bi、Ci，i＝1, 2,3.由题意知A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3均相互独立．则P(Ai)＝3060＝12，P(Bi)＝2060＝13，P(Ci)＝1060＝16，i＝1,2,3，(1)3人选择的项目所属类别互异的概率：P1＝ P(A1B2C3)＝6×12×13×16＝16.………………4分(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：P2＝30＋1060＝23，由X～B ，得P(X＝k)＝ (k＝1,2,3)，所以X的分布列为X 0 1 2 3P 1272949827
其数学期望为E(X)＝3×23＝2. ………………12分20、(本小题12分)解：(1)300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．………………2分(2)由频率分布直方图，得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75. ………………4分(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的．………………6分所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225总计 210 90 300………………8分结合列联表可算得K2＝300×45×60－165×30275×225×210×90＝10021≈4.762＞3.841.所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． ………………12分21(本小题12分)(1)当n＝1时，由已知得a1＝ ，a21＋2a1－2＝0.∴a1＝3－1(a1＞0)．当n＝2时，由已知得a1＋a2＝a22＋1a2－1，将a1＝3－1代入并整理得a22＋23a2－2＝0.∴a2＝5－3(a2＞0)．同理可得a3＝7－5.猜想an＝2n＋1－2n－1(n∈N*)．………………5分(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，即ak＝2k＋1－2k－1.由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ －ak2－1ak，将ak＝2k＋1－2k－1代入上式，整理得a2k＋1＋22k＋1ak＋1－2＝0，∴ak＋1＝2k＋3－2k＋1，即n＝k＋1时通项公式成立．由①②可知对所有n∈N*，an＝2n＋1－2n－1都成立．………………12分22、(本小题12分) 解：(1) , , , , ,故该作物的年收获量 关于它相邻作物的株数 的线性回归方程为 .………………6分 (2) 由（1）得，当 ，与之相对应 ， 所以它的年收获量 的分布列
数学期望为 . ………………12分附加题（共2小题，共20分） 2、8
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