北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形检测卷

第一章达标测试卷 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．下列说法中，错误的是(　　) A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 2．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则 AB 的长为(　　) A. 3 cm B．2 cm C．2 3 cm D．4 cm (第 2 题) 3．下列给出的条件中，不能判断一个四边形是矩形的是(　　) A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B．有三个角是直角 C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形 D．一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等 4．如图，在边长为 1 的正方形网格中，格点四边形 ABCD 是菱形，则此四边形 的周长等于 (　　) A．6 B．12 C．4 13 D．24 (第 4 题) 5．如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，分别交 AB，CD 于点 E，F，那么 阴影部分的面积是矩形 ABCD 的面积的(　　) A.1 5 B.1 4 C.1 3 D. 3 10 (第 5 题) 6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，四边形 ADEF 为菱形，S△ABC＝8 3，则 S 菱形 ADEF等于(　　) A．4 B．4 6 C．4 3 D．28 (第 6 题) 7．在四边形 ABCD 中，点 O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条 件是(　　) A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAD＝∠BCD C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 8．若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形 ABCD 一 定是(　　) A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 9．在矩形纸片 ABCD 中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图所示的方式折叠，使 点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 DE 长为(　　) A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm (第 9 题) 10．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，△AEF 是等边三角形，连接 AC 交 EF 于点 G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC 垂直平分 EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (第 10 题) 二、填空题(每题 3 分，共 24 分) 11．在 Rt△ABC 中，如果斜边上的中线 CD＝4 cm，那么斜边 AB＝________． 12．已知菱形的两条对角线长分别为 2 cm，3 cm，则它的周长是________． 13．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为 16 cm，若墙上钉子间的距离 AB ＝BC＝16 cm，则∠1＝________． (第 13 题) 14．矩形的对角线相交所成的角中，有一个角是 60°，这个角所对的边长为 1 cm，则其对角线长为________，矩形的面积为________． 15．如图，菱形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(8，2)，点 D 的坐标 为(0，2)，则点 C 的坐标为________． (第 15 题) 16．如图，在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形 ADE，则∠BED＝________． (第 16 题) 17．如图，用两张对边平行的纸条交叉重叠放在一起，则四边形 ABCD 为________形；两张纸条互相垂直时，四边形 ABCD 为________形；若两张纸 条的宽度相同，则四边形 ABCD 为________形． (第 17 题) 18．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，连接 AC，BD，CE 平分∠ACD 交 BD 于点 E，则 DE＝________． (第 18 题) 三、解答题(19，20 题每题 8 分，21，22 题每题 9 分，23，24 题每题 10 分，25 题 12 分，共 66 分) 19．如图，矩形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的 周长和是 86 cm，对角线长是 13 cm，那么矩形 ABCD 的周长是多少？ (第 19 题)20.如图，在矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别 为点 E，F.求证：BE＝CF. 21．如图，已知菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，延长 AB 至点 E，使 BE＝AB， 连接 CE. (1)求证：BD＝EC； (2)若∠E＝50°，求∠BAO 的大小． 22．如图，点 E 是正方形 ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接 EB，EA， 延长 BE 交边 AD 于点 F. (1)求证：△ADE≌△BCE； (2)求∠AFB 的度数． 23．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AH⊥BC 于点 H，点 E 是 AH 上一 点，延长 AH 至点 F，使 FH＝EH，连接 BE，CE，BF，CF. (1)求证：四边形 EBFC 是菱形； (2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF. 24．如图，AB∥CD，点 E，F 分别在 AB，CD 上，连接 EF，∠AEF，∠CFE 的 平分线交于点 G，∠BEF，∠DFE 的平分线交于点 H. (1)求证：四边形 EGFH 是矩形； (2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索：过 G 作 MN∥EF，分别交 AB，CD 于点 M，N，过 H 作 PQ∥EF，分别交 AB，CD 于点 P，Q，得到四边形 MNQP，此时，他猜想四边形 MNQP 是菱形，请在下面的框中补全他的证明 思路． 由 AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形 MNQP 是平行四边形．要证▱ MNQP 是菱形，只要证 NM＝NQ.由已知条件________，MN∥EF，可证 NG＝ NF，故只要证 GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH.易证________，________， 故只要证∠MGE＝∠QFH.易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，________， 即可得证． (第 24 题)25．在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EF⊥AB 交 BD 于点 F，取 FD 的中点 G，连接 EG，CG，如图①，易证 EG＝CG 且 EG⊥CG. (1)将△BEF 绕点 B 逆时针旋转 90°，如图②，则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关 系和位置关系？请直接写出你的猜想； (2)将△BEF 绕点 B 逆时针旋转 180°，如图③，则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量 关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明． (第 25 题)答案 一、1.D　2.D　3.D　4.C 5．B　6.C　7.C　8.D 9．C　点拨：设 DE＝x cm，则 BE＝DE＝x cm，AE＝AB－BE＝(10－x)cm，在 Rt△ADE 中，DE2＝AE2＋AD2，即 x2＝(10－x)2＋16.解得 x＝5.8.故选 C. 10．C 二、11.8 cm　12.2 13 cm　13.120°　 14．2 cm； 3 cm2　15.(4，4)　16.45° 17．平行四边；矩；菱　18. 2－1 三、19.解：∵△AOB，△BOC，△COD，△AOD 的周长和为 86 cm，且 AC＝BD＝ 13 cm，∴AB＋BC＋CD＋DA＝86－2(AC＋BD)＝86－4×13＝34(cm)， 即矩形 ABCD 的周长是 34 cm. 20．证明：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD. ∴BO＝CO. ∵BE⊥AC 于 E，CF⊥BD 于 F， ∴∠BEO＝∠CFO＝90°. 又∵∠BOE＝∠COF， ∴△BOE≌△COF.∴BE＝CF. 21．(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB∥CD，AB＝CD. 又∵E 在 AB 的延长线上，且 BE＝AB， ∴BE∥CD，BE＝CD. ∴四边形 BECD 是平行四边形． ∴BD＝EC. (2)解：∵四边形 BECD 是平行四边形， ∴BD∥CE.∴∠ABO＝∠E＝50°. 又∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD. ∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.22．(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC. ∵△CDE 是等边三角形， ∴∠CDE＝∠DCE＝60°，DE＝CE. ∵∠ADC＝∠BCD＝90°， ∠CDE＝∠DCE＝60°， ∴∠ADE＝∠BCE＝30°. 在△ADE 和△BCE 中， ∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE， DE＝CE，∴△ADE≌△BCE. (2)解：∵△ADE≌△BCE， ∴AE＝BE. ∴∠BAE＝∠ABE. ∵∠BAE＋∠DAE＝90°， ∠ABE＋∠AFB＝90°， ∠BAE＝∠ABE，∴∠DAE＝∠AFB. ∵∠ADE＝30°，∴∠DAE＝75°. ∴∠AFB＝75°. 23．证明：(1)∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝CH. ∵FH＝EH， ∴四边形 EBFC 是平行四边形. 又∵EF⊥BC， ∴四边形 EBFC 是菱形． (2)如图，∵四边形 EBFC 是菱形， ∴∠2＝∠3＝1 2 ∠ECF. ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴∠4＝1 2 ∠BAC.∵∠BAC＝∠ECF，∴∠4＝∠3. ∵∠4＋∠1＋∠2＝90°， ∴∠3＋∠1＋∠2＝90°，即 AC⊥CF. (第 23 题) 24．(1)证明：∵EH 平分∠BEF， ∴∠FEH＝1 2 ∠BEF. ∵FH 平分∠DFE，∴∠EFH＝1 2 ∠DFE.∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝ 180°.∴∠FEH＋∠EFH＝1 2(∠BEF＋∠DFE)＝1 2×180°＝90°. ∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°. 同理可证∠EGF＝90°. ∵EG 平分∠AEF， ∴∠GEF＝1 2 ∠AEF. ∵∠FEH＝1 2 ∠BEF，∠AEF＋∠BEF＝180°， ∴∠GEF＋∠FEH＝1 2(∠AEF＋∠BEF)＝1 2×180°＝90°，即∠GEH＝90°. ∴四边形 EGFH 是矩形． (2)FG 平分∠CFE；GE＝FH；∠GME＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH 25．解：(1)EG＝CG，EG⊥CG. (2)EG＝CG，EG⊥CG.证明如下： 延长 FE 交 DC 的延长线于点 M，连接 MG，如图所示． (第 25 题)∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°， ∠BCM＝90°， ∴四边形 BEMC 是矩形． ∴BE＝CM，BC＝EM，∠EMC＝90°. 易知，∠ABD＝45°，∴∠EBF＝45°. 又∵∠BEF＝90°， ∴△BEF 为等腰直角三角形． ∴BE＝EF，∠F＝45°. ∴EF＝CM. ∵∠EMC＝90°，FG＝DG， ∴MG＝1 2FD＝FG. ∵BC＝EM，BC＝CD， ∴EM＝CD. ∵EF＝CM，∴FM＝DM. 又∵FG＝DG， ∴∠CMG＝1 2 ∠EMC＝45°， ∴∠F＝∠CMG. 在△GFE 和△GMC 中， FG＝MG ∠F＝∠GMC， EF＝CM， ∴△GFE≌△GMC. ∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC. ∵MF＝MD，FG＝DG， ∴MG⊥FD，∴∠FGE＋∠EGM＝90°， ∴∠MGC＋∠EGM＝90°， 即∠EGC＝90°. ∴EG⊥CG.