2019年广州市海珠区中考一模数学

2019 年海珠区初中毕业生学业考试 数 学 第一部分 选择题（共 30 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。） 1． 的相反数为（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．把不等式组 的解集表示在数轴上正确的是（　　） A． B． C． D． 4．在△ABC 中，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，DE=6，则 BC=（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 5．在一次立定跳远的测试中，小娟等 6 位同学立定跳远的成绩分别为： 1．8、2、2．2、 1．7、2、1．9，那么关于这组数据的说法正确的是（　　） A．平均数是 2 B．中位数是 2 C．众数是 2 D．方差是 2 6．若一个正多边形的一个外角是 30°，则这个正多边形的边数是（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 7．如图， ， ，则 等于（　　） 3− 3− 3 3 1− 3 1 1 0 6 3 0 x x + >  − ≥ AB DE∥ 62E∠ =  B C∠ + ∠A． B． C． D． 8．对于二次函数 ，下列说法正确的是（　　） A．当 ， 随 的增大而增大 B．当 时， 有最大值 C．图象的顶点坐标为 D．图象与 轴有一个交点 9．已知圆锥的母线长是 4cm，侧面积是 12πcm2，则这个圆锥底面圆的半径是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 10．将抛物线 向左平移至顶点落在 轴上，如图所示，则两条抛物线、直线 和 轴围成的图形的面积 S（图中阴影部分）是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 第二部分 非选择题（共 120 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。） 11．分解因式： ． 12．计算： ． 13．已知命题：“如果两个角是直角，那么它们相等”，该命题的逆命题是 命题（填 “真”或“假”）． 14．已知一次函数图象经过第一、二、四象限，请写出一个符合条件的一次函数解析 式 ． 第 7 题图 138 118 38 62 22 4 1y x x= − − + 0x < y x 1x = − y 3 ( )1,3 2 4 1y x x= - + y 3y = - x 第 10 题图 22 4a ab− = 20199 ( 1) 2sin30 =+ − − 15 如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，PA= OA，阴影部分的面积为 6π， 则⊙O 的半径长为_____． 16．如图把矩形 ABCD 翻折，使得点 A 与 BC 边上的点 G 重合，折痕为 DE，连结 AG 交 DE 于点 F，若 EF=1，DG= ，则 BE= ． 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 9 分） 解分式方程： ． 18．（本小题满分 9 分） 如图，在□ABCD 中， BE、DF 分别是∠ABC 和∠CDA 的平分线．求证：四边形 BEDF 是平行四边形． 3 第 15 题图 6 第 16 题图 1 24 4 x x x − =− − 第 18 题图19．（本小题满分 10 分） 先化简，再求值： ，其中 ． 20．（本小题满分 10 分） 某校响应国家号召，鼓励学生积极参与体育锻炼．为了解学生一星期参与体育锻炼的 时间情况，从全校 名学生中，随机抽取 名学生进行调查，按参与体育锻炼的时间 （单位：小时），将学生分成五类：A 类 ，B 类 ，C 类 ，D 类 ，E 类 ．绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列 问题： （1）样本中 E 类学生有 人，补全条形统计图； （2）估计全校的 D 类学生有 人； （3）从该样本参与体育锻炼时间在 的学生中任选 人，求这 人参与体育 锻炼时间都在 中的概率． 2 2( ) ( )( ) 3a b a b a b a+ + − + − 2 2 2a b= − =， 2000 50 ( )0 2t≤ ≤ ( )2 4t< ≤ ( )4 6t< ≤ ( )6 8t< ≤ ( )8t > 0 4t≤ ≤ 2 4t< ≤21．（本小题满分 10 分） 如图，楼房 BD 的前方竖立着旗杆 AC．小亮在 B 处观察旗杆顶端 C 的仰角为 45°，在 D 处观察旗杆顶端 C 的俯角为 30°，楼高 BD 为 20 米． （1）求∠BCD 的度数；（2）求旗杆 AC 的高度． 22．（本小题满分 12 分） 如图，已知以 Rt△ABC 的边 AB 为直径作△ABC 的外接圆⊙O，∠B 的平分线 BE 交 AC 于 D，交⊙O 于 E，过 E 作 EF∥AC 交 BA 的延长线于 F． （1）求证：EF 是⊙O 切线； （2）若 AB=15，EF=10，求 AE 的长． 第 21 题图 第 22 题图23．（本小题满分 12 分） 如图，双曲线 与直线 相交于 A ，B ，点 P 是 轴上一动点． （1）当 时，直接写出 的取值范围； （2）求双曲线 与直线 的解析式； （3）当△PAB 是等腰三角形时，求点 P 的坐标． 1 1 ky x = 2 2y k x b= + (1, 2)m + (4 1)m −， x 1 2y y＞ x 1 1 ky x = 2 2y k x b= + 第 23 题图24．（本小题满分 14 分） 如图，二次函数 的图象经过点 和点 ，点 （1）求二次函数 的解析式； （2）在图 24－①中仅用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）在 轴上确定点 ， 使∠ =∠ ，直接写出点 的坐标； （3）在（2）的条件下，如图 24－②，过点 P 的直线 交二次函数 的 图象于 D ，E ，且 ，过点 D、E 作 轴的垂线段，垂足分别是 F、 G，连接 PF、PG， ①求证：无论 为何值，总有∠FPO=∠PGO； ②当 PF+PG 取最小值时，求点 O 到直线 的距离． 2y ax c= + 5( 1, )4A − ( 4,5)C − 0,5B（ ） 2y ax c= + y P APO BPC P y kx b= + 2y ax c= + 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 20x x＜ ＜ x k y kx b= +25．（本小题满分 14 分） 已知点 A、B 在⊙O 上，∠AOB=90°，OA= ， （1）点 P 是优弧 上的一个动点，求∠APB 的度数； （2）如图 25－①，当 时，求证: ； （3）如图 25－②，当点 P 运动到优弧 的中点时，点 Q 在 上移动（点 Q 不与点 P、B 重合），若△QPA 的面积为 ，△QPB 的面积为 ，求 的取值范围． 2 AB tan 2 1OAP = −∠ APO BPO= ∠∠ AB PB 1S 2S 1 2S S+答案 1~10：BDADC，ADBAB 11． 12． 13． 假 14． 答案不唯一 15． 16． 17． 解： ……7 分 经检验： 是原方程的解 ……8 分 ∴方程的解是 ……9 分 18． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴∠ABC=∠CDA，∠A=∠C AB=CD，AD=BC，AD//BC ∵BE、DF 分别是∠ABC 和∠CDA 的平分线 ∴∠ABE= ∠ABC，∠CDF = ∠CDA ∴∠ABE=∠CDF ∴△ABE≌△CDF ∴AE=CF ∴AD－AE=BC－CF 即 DE=BF ∵AD//BC ∴四边形 BEDF 是平行四边形 ……9 分 19． 解：原式= = ……6 分 当 时 原式= = = ……10 分 20 （1）5，图略 ……2 分 （2）720 ……4 分 （3）解：设 类两人为 、 ， 类三人为 、 、 ，画出树状图（图略） 由树状图可知，共有 20 种等可能的情况，其中 2 人都是 B 类的有 6 种，即 、 ( )2 2a a b− 1 3 3 3 ( )1 2 4x x− − = − 1 2 +8=x x− − =9x =9x =9x 1 2 1 2 2 2 2 2 22 3a ab b a b a+ + + − − 2 2a ab− + 2 2 2a b= − =， ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2− − + − × 8 8− − 16− A 1A 2A B 1B 2B 3B ( )1 2,B B、 、 、 、 ( 2 人参与体育锻炼时间都在 ) ……10 分 21．解：（1）过点 C 作 CE⊥BD 于 E，则 DF//CE，AB//CE ∵DF//CE ∴∠ECD=∠CDF=30° 同理∠ECB=∠ABC=45° ∴∠BCD=∠ECD+∠ECB=75° ……5 分 （2）在 Rt△ECD 中，∠ECD=30° ∵ ∴ 同理 ∵ ∴ 答：∠BCD 为 75°，CE 为 米． ……12 分 22． (1)证明：连接 OE ∵∠B 的平分线 BE 交 AC 于 D ∴∠CBE=∠ABE ∵EF∥AC ∴∠CAE=∠FEA ∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE ∴∠FEA=∠OEB ∵∠AEB=90° ∴∠FEO=90° ∴EF 是⊙O 切线 ……6 分 (2)解：∵AF•FB=EF•EF ∴AF×(AF+15)=10×10 ∴AF=5 ∴FB=20 ( )1 3,B B ( )2 1,B B ( )2 3,B B ( )3 1,B B ( )3 2,B B P 2 4t< ≤ 6 3 20 10 = = tan DEECD CE ∠ = 3tan 3DE CE ECD CE= ⋅ ∠ = BE CE= BD BE DE= + 320 3CE CE= + ( )60 10 3 3 3 3 CE = = − + ( )10 3 3−∵∠F=∠F，∠FEA=∠FBE ∴△FEA∽△FBE ∴EF=10 ∵AE2+BE2=15×15 ∴AE=3 ……12 分 23． 解：（1） 或 ……2 分 （2）由题意可得 解得 ∴ ， ∴ 解得 ∴双曲线 ，直线 ……7 分 （3）设点 P ，则 ， ， ①当 时， = 解得 ∴ ②当 时， = 解得 ， ∴ ， ③当 时， = 解得 ， ∴ ， 5 0 1x< < 4x > ( ) ( ) 1 1 1 2 4 1 m k m k  × + = − = 1 2 4 m k =  = ( )1,4A ( )4,1B 2 2 4 4 1 k b k b + =  + = 2 5 1 b k =  = − 4y x = 5y x= − + ( ,0)a ( )22 21 4PA a= − + 2 18AB = ( )22 24 1PB a= − + PA PB= ( )2 21 4a − + ( )2 24 1a − + 0a = 1(0,0)P PA AB= ( )2 21 4a − + 18 1 2 1a = + 2 2 1a = − + 2 ( 2 1,0)P + 3 ( 2 1,0)P − + PB AB= ( )2 24 1a − + 18 3 17 4a = + 4 17 4a = − + 4 ( 17 4,0)P + 5 ( 17 4,0)P − +综 上 述 ， ， ， ， ， ……12 分 24． 解：（1）将点 和点 代入二次函数 解得： 二次函数的解析式为 ……3 分 （2）如图，点 P 即为所求． 点 P 坐标为（0,2） ……3 分 （3）①证明：将点 P（0,2）代入直线 ， 得 联立 ，化简得： ， ∵ ∴ ， ∴OF= ，OG= ∴ = ∴ ，即△FOP∽△POG ∴∠FPO=∠PGO ……10 分 ②∵ ， ∴ = = 不妨令 ， 1(0,0)P 2 ( 2 1,0)P + 3 ( 2 1,0)P − + 4 ( 17 4,0)P + 5 ( 17 4,0)P − + 5( 1, )4A − ( 4,5)C − 2y ax c= + 5 4 16 5 a c a c  + =  + = 1 4 1 a c  =  = 21 14y x= + y kx b= + 2b = 21 14 2 y x y kx  = +  = + 2 4 4 0x kx− − = 22 2 1x k k= ± + 1 20x x＜ ＜ 2 1 2 2 1x k k= − + 2 2 2 +2 1x k k= + 2 1- -2 +2 1x k k= + 2 2 2 +2 1x k k= + 4OF OG× = 2OP OF OP OP OG = 1 2 4x x k+ = 1 2 4x x = − ( )2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 22 4 2 4 4 4PF PG PF PF PG PG x x x x+ = + × × + = + + + × + + + 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 8 2 ( ) 4( ) 8 16x x x x x x x x x x+ − + + + + − + 2 216 16 16 1k k+ + + 2 1t k= + 1t ≥∴PF+PG=4 ∴当 时， ，此时 PF+PG 取最小值 ∴点 O 到直线 的距离即 OP=2 ……14 分 25． 解：（1）∵∠AOB=90° ∴∠APB= ∠AOB=45° ……2 分 （2）过点 O 作 OC⊥PA 于 C，在 CA 上截取 CD=OC ∵ ∴ AC= OC 又∵CD=OC ∴AD=AC－CD= OC ∵∠OCD=90°，OC=CD ∴OD= OC，∠CDO=45° ∴AD=OD ∴∠A=∠DOA 又∵∠A+∠DOA=∠CDO ∴∠A=22．5° ∵OP=OA ∴∠APO =∠A=22．5° 又∵∠AOB=45° ∴∠BPO=∠AOB－∠APO=22．5° ∴∠APO=∠BPO ……8 分 （3）连接 AB，连接 PO 并延长交 AB 于 E，则 PE⊥AB，把△PBQ 沿着 PQ 翻折得 △P Q， 则 P =PB=PA，∠PQB=∠P Q ∵∠AQP=∠ABP，∠ABP=∠PAB ∴∠AQP=∠PAB ∵四边形 PABQ 内接于⊙O ∴∠PAB+∠PQB=180° ∴∠AQP+∠PQ =180° ∴点 A、Q、 三点共线 ∵ 2 21 1( )2 4t t t+ = + − 0k = 1t = 4 2 y kx b= + 1 2 tan 2 1OAP = −∠ 2 1OC AC = − ( 2 1)+ 2 2 'B 'B 'B 'B 'B 1 2 +QPA QB P PABS S S S S′ ′+ = =△ △ △∴ 当且仅当 PA⊥P 时， 有最大值 ， 在 Rt△PAE 中，AE=1，PE= ∴ ∴0＜ ≤ ……14 分 1 2 0S S+ ＞ 'B 1 2S S+ 2 2 PA 2+1 2 =2+ 22 PA 1 2S S+ 2+ 2