导数综合

1 ◇导数专题 目　　录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布　（23） 三、不等式证明　（31） （一）作差证明不等式　 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围　（51） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用　（70） 六、导数应用题　（84） 七、导数结合三角函数　（85） 书中常用结论 ⑴ ，变形即为 ， 其几何意义为 上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵ ⑶ ⑷ . 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数 . （1）当 时，求函数 在区间 上的最小值； （2）当 时，曲线 在点 处的切线为 ， 与 轴交于点 求证： . 解：(1) 时， ，由 ，解得 . 的变化情况如下表： sin 1x x < sin , (0, )y x x π= ∈ 1xe x> + ln( 1)x x> + ln , 0xx x e x< < > axxf −= 2)( 1=a )()( xxfxg = ]1,0[ 0>a )(xfy = )))((,( 111 axxfxP > l l x )0,( 2xA axx >> 21 1=a xxxg −= 3)( 013)( 2 =−=′ xxg 3 3±=x )(xg′ sin , (0, )x x x π< ∈2 0 1 - 0 + 0 ↘ 极小值 ↗ 0 所以当 时， 有最小值 . (2)证明：曲线 在点 处的切线斜率 曲线 在点P处的切线方程为 . 令 ，得 ，∴ ∵ ，∴ ，即 . 又∵ ，∴ 所以 . 2. （2009天津理20，极值比较讨论） 已知函数 其中 ⑴当 时，求曲线 处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ⑵当 时，求函数 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础 知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴ ⑵ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下分两种情况讨论： ① ＞ ，则 ＜ .当 变化时， 的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ② ＜ ，则 ＞ ，当 变化时， 的变化情况如下表： x )3 3,0( 3 3 )1,3 3( )(xg′ )(xg 3 3=x )(xg 9 32)3 3( −=g )(xfy = )2,( 2 11 axxP − 11 2)( xxfk =′= )(xfy = )(2)2( 11 2 1 xxxaxy −=−− 0=y 1 2 1 2 2x axx += 1 2 1 1 1 2 1 12 22 x xaxx axxx −=−+=− ax >1 02 1 2 1 +=+= 1 1 1 1 1 2 1 2 222222 axx >> 21 2 2( ) ( 2 3 ) ( ),xf x x ax a a e x= + − + ∈R a∈R 0a = ( ) (1, (1))y f x f= 在点 2 3a ≠ ( )f x .3)1(')2()(')(0 22 efexxxfexxfa xx =+=== ，故，时，当 .3))1(,1()( efxfy 处的切线的斜率为在点所以曲线 = [ ] .42)2()(' 22 xeaaxaxxf +−++= .223 2.220)(' −≠−≠−=−== aaaaxaxxf 知，由，或，解得令 a若 3 2 a2− 2−a x )()(' xfxf ， x ( )a2−∞− ， a2− ( )22 −− aa， 2−a ( )∞+− ，2a .)22()2()2()( 内是减函数，内是增函数，在，，，在所以 −−∞+−−−∞ aaaaxf .3)2()2(2)( 2aaeafafaxxf −=−−−= ，且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)( 2−−=−−−= aeaafafaxxf ，且处取得极小值在函数 a若 3 2 a2− 2−a x )()(' xfxf ，3 + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3. 已知函数 ⑴设两曲线 有公共点，且在公共点处的切线相同，若 ，试建立 关 于 的函数关系式，并求 的最大值； ⑵若 在(0,4)上为单调函数，求 的取值范围。 4. （最值，按区间端点讨论） 已知函数f(x)=lnx－ . (1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性； x ( )2−∞− a， 2−a ( )aa 22 −− ， a2− ( )∞+− ，a2 内是减函数。，内是增函数，在，，，在所以 )22()2()2()( aaaaxf −−∞+−−−∞ .)34()2()2(2)( 2−−=−−−= aeaafafaxxf ，且处取得极大值在函数 .3)2()2(2)( 2aaeafafaxxf −=−−−= ，且处取得极小值在函数 2 21( ) 2 , ( ) 3 ln .2f x x ax g x a x b= + = + ( ) ( )y f x y g x= =与 0a > b a b [0,2], ( ) ( ) ( ) (2 )b h x f x g x a b x∈ = + − − a a x4 (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为 ，求a的值. 解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x)＝ ＋ ＝ . ∵a>0，∴f ′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知：f ′(x)＝ ， ①若a≥－1，则x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数， ∴f(x)min＝f(1)＝－a＝ ，∴a＝－ (舍去). ②若a≤－e，则x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数， ∴f(x)min＝f(e)＝1－ ＝ ，∴a＝－ (舍去). ③若－e 1( ,0)k k − '( ) 0f x < ( )f x 1( 1, )k k −− (0, )+∞ 1( ,0)k k − 1( ) ln 1( )af x x ax a Rx −= − + − ∈ 1a = − ( )y f x= (2, (2))f 1 2a ≤ ( )f x ln 2 0x y− + = 11ln)( −−+−= x aaxxxf 2 11)(' x aaxxf −+−= 2 2 1 x axax −+−−= ),0( +∞∈x ,1)( 2 axaxxg −+−= ),,0( +∞∈x7 点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密) 已知函数 ⑴若函数 φ (x) = f (x)－ ，求函数 φ (x)的单调区间； ⑵设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0，f (x0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切． 解：（Ⅰ） ， ． ∵ 且 ，∴ ∴函数 的单调递增区间为 ． （Ⅱ）∵ ，∴ ， ∴ 切线 的方程为 , 即 , ① 设直线 与曲线 相切于点 ， ∵ ，∴ ，∴ ,∴ . ∴直线 也为 ， 即 ， ② 由①②得 ，∴ ． 下证：在区间（1,+ ）上 存在且唯一. 由（Ⅰ）可知， 在区间 上递增． 又 ， ， 结合零点存在性定理，说明方程 必在区间 上有唯一的根，这个根就是所求的 唯一 ，故结论成立． 9. （最值应用，转换变量） 设函数 ． (1)讨论函数 在定义域内的单调性； (2)当 时，任意 ， 恒成立，求实 数 的取值范围． 解：⑴ ． 当 时， ，增区间为 ，减区间为 ， ． 当 时， ，减区间为 ． 1 1 x x + - ( ) 1( ) 1 xx f x x ϕ += − − 1 1ln − +−= x xx ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 1 21 −⋅ += − +=′ xx x xxxϕ 0x > 1x ≠ ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ ( ) ( )∞+，和 11,0 1( )f x x ′ = 0 0 1( )f x x ′ = l 0 0 0 1ln ( )y x x xx − = − 0 0 1 ln 1y x xx = + − l ( )y g x= 1 1( , )xx e ( ) xg x e′ = 1 0 1xe x = 1 0lnx x= − l ( )0 0 0 1 1 lny x xx x − = + 0 0 0 0 ln1 1xy xx x x = + + 0 0 0 0 ln 1ln 1 xx x x − = + 0 0 0 1ln 1 xx x += − ∞ 0x ( )xϕ 1 1ln − +−= x xx 1,+∞（ ） 1 2( ) ln 01 1 ee e e e ϕ + −= − = − − ( ) 0xϕ = 2( , )e e 0x 22 1( ) (2 )ln ( 0)axf x a x ax += − + < ( )f x ( 3, 2)a∈ − − 1 2, [1,3]x x ∈ 1 2( ln3) 2ln3 | ( ) ( ) |m a f x f x+ − > − m 2 2 1( ) 2af x ax x −′ = + − 2 2 2 (2 ) 1ax a x x + − −= 2 ( 1)(2 1)ax x x + −= 2a < − 1 1 2a − < 1 1( , )2a − 1(0, )a − 1( , )2 +∞ 2a = − 1 1 2a − = (0, )+∞ ( ) ln , ( ) .xf x x g x e= = 0ln 1 0 1( ) xg x e x −= =8 当 时， ，增区间为 ，减区间为 ， ． ⑵由⑴知，当 时， 在 上单调递减， ∴ ， ≤ ， 即 ≤ ． ∵ 恒成立， ∴ ＞ ，即 ， 又 ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ≤ ． 10. （最值应用） 已知二次函数 对 都满足 且 ，设函数 （ ， ）． （Ⅰ）求 的表达式； （Ⅱ）若 ，使 成立，求实数 的取值范围； （Ⅲ）设 ， ，求证：对于 ，恒有 ． 解：（Ⅰ）设 ，于是 所以 又 ，则 ．所以 ． …………3分 （Ⅱ） 当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；…………4分 当m=0时， 对 ， 恒成立； …………5分 当m 1 1( , )2 a − 1(0, )2 1( , )a − +∞ ( 3, 2)a∈ − − ( )f x [1,3] 1 2, [1,3]x x ∈ 1 2| ( ) ( ) |f x f x− (1) (3)f f− 1(1 2 ) [(2 )ln3 6 ]3a a a= + − − + + 1 2| ( ) ( ) |f x f x− 2 4 ( 2)ln33 a a− + − 1 2( ln3) 2ln3 | ( ) ( ) |m a f x f x+ − > − ( ln3) 2ln3m a+ − 2 4 ( 2)ln33 a a− + − 2 43ma a> − 0a < 2 43m a < − ( 3, 2)a∈ − − 13 2 3843 3 9a − < − < − m 13 3 − ( )g x x R∀ ∈ 2( 1) (1 ) 2 1g x g x x x− + − = − − (1) 1g = − 1 9( ) ( ) ln2 8f x g x m x= + + + m R∈ 0x > ( )g x x R+∃ ∈ ( ) 0f x ≤ m 1 m e< ≤ ( ) ( ) ( 1)H x f x m x= − + 1 2 [1, ]x x m∀ ∈， 1 2| ( ) ( ) | 1H x H x− < ( ) 2g x ax bx c= + + ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 1 2 2 1 2g x g x a x c x− + − = − + = − − ， 1 2 1. a c  =  = − ， ( )1 1g = − 1 2b = − ( ) 21 1 12 2g x x x= − − ( ) 21 9 1( ) ln ln ( 0).2 8 2f x g x m x x m x m x= + + + = + ∈ >R， 2 ( ) 02 xf x = > 0x∀ > ( ) 0f x > ( ) 0mf x x x mx ′ = + = ⇒ = − (0 )m−， m− ( )m− + ∞， ( )f x′ ( )f x [ ]min( ) ( ) ln .2 mf x f m m m= − = − + −这时，9 所以若 ， 恒成立，则实数m的取值范围是 ． 故 使 成立，实数m的取值范围 ．…………9分 （Ⅲ）因为对 ， 所以 在 内单调递减． 于是 记 ，则 所以函数 在 是单调增函数， 所以 ，故命题成立． …………12分 11. 设 是函数 的一个极值点. （1）求 与 的关系式（用 表示 ），并求 的单调区间； （2）设 ，若存在 ，使得 成立，求 的取值范围. 解：（1）∵ ∴ 由题意得： ，即 ， ∴ 且 令 得 ， ∵ 是函数 的一个极值点 ∴ ，即 故 与 的关系式为 . 当 时， ，由 得单增区间为： ； 由 得单减区间为： 和 ； 当 时， ，由 得单增区间为： ； 由 得单减区间为： 和 ； （2）由（1）知：当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递 减， , [ ]min ln 0( ) 0 e< 0.2 0 m m mf x m m − + − >> ⇔ ⇒ − ( e 0]− ， 0x∃ > ( ) 0f x ≤ ( )( , e] 0−∞ − + ∞ ， [1 ]x m∀ ∈ ， ( 1)( )( ) 0x x mH x x − −′ = ≤ ， ( )H x [1, ]m 2 1 2 1 1| ( ) ( ) | (1) ( ) ln .2 2H x H x H H m m m m− ≤ − = − − 2 1 2 1 1 1 3| ( ) ( ) | 1 ln 1 ln 0.2 2 2 2H x H x m m m m m m − < ⇐ − − < ⇔ − − < 1 3( ) ln (1 e)2 2h m m m mm = − − < ≤ ( )2 2 1 1 3 3 1 1 1( ) 02 2 3 32h' m m mm = − + = − + > ， 1 3( ) ln2 2h m m m m = − − (1 e]， ( )( )e 3 e 1e 3( ) (e) 1 02 2e 2eh m h − +≤ = − − = < 3x = ( ) ( ) ( )2 3 ,xf x x ax b e x R−= + + ∈ a b a b ( )f x ( ) 2 250, 4 xa g x a e > = +   [ ]1 2, 0,4ξ ξ ∈ ( ) ( )1 2 1f gξ ξ− < a ( ) ( )2 3 xf x x ax b e −= + + ( ) ( ) ( ) ( )'' 3 2 32 1x xf x x a e x ax b e− −= + + + + − ( )2 32 xx a x b a e − = − + − + −  ( )' 3 0f = ( )23 3 2 0a b a+ − + − = 2 3b a= − − ( ) ( )2 32 3 xf x x ax a e −= + − − ( ) ( )( )' 33 1 xf x x x a e −= − − + + ( )' 0f x = 1 3x = 2 1x a= − − 3x = ( ) ( ) ( )2 3 ,xf x x ax b e x R−= + + ∈ 1 2x x≠ 4a ≠ − a b ( )2 3, 4b a a= − − ≠ − 4a < − 2 1 3x a= − − > ( )' 0f x > ( )3, 1a− − ( )' 0f x < ( ),3−∞ ( )1,a− − +∞ 4a > − 2 1 3x a= − − < ( )' 0f x > ( )1,3a− − ( )' 0f x < ( ), 1a−∞ − − ( )3,+∞ 0a > 2 1 0x a= − − < ( )f x [ ]0,3 [ ]3,4 { } ,)32()4(),0(min)( 3 min eaffxf +−== ( ) ( )max 3 6f x f a= = +10 ∴ 在 上的值域为 . 易知 在 上是增函数, ∴ 在 上的值域为 . 由于 ， 又∵要存在 ，使得 成立， ∴必须且只须 解得: . 所以， 的取值范围为 . 12. ． （1）若 ，求函数 的极值； （2）若 是函数 的一个极值点，试求出 关于 的关系式（用 表示 ），并确 定 的单调区间； （3）在（2）的条件下，设 ，函数 ．若存在 使得 成立，求 的取值范围． 解:（1）∵ 当 时， ,则 . 令 得 ，∵ ,∴ ，解得 ∵当 时， ， 当 时 ，当 时 ∴当 时，函数 有极大值， ， 当 时，函数 有极小值， ． （2）由（1）知 ∵ 是函数 的一个极值点 ∴ 即 ，解得 则 ＝ 令 ，得 或 ∵ 是极值点，∴ ，即 . 当 即 时，由 得 或 由 得 当 即 时，由 得 或 由 得 . ( )f x [ ]0,4 ]6,)32([ 3 ++− aea ( ) 2 25 4 xg x a e = +   [ ]0,4 ( )g x [ ]0,4 2 2 425 25,4 4a a e   + +     ( ) 2 2 25 16 04 2a a a   + − + = − ≥       [ ]1 2, 0,4ξ ξ ∈ ( ) ( )1 2 1f gξ ξ− < ( )2 0 25 6 14 a a a >  + − + 2 4( ) ( 14) xg x a e += + ]4,0[, 21 ∈λλ 1|)()(| 21 0, g( x) =0 (0, )+∞ '( ) 0f x > ( ) (0, )f x +∞在 2a > 时, >0, g( x) =0 2 2 1 2 4 4,2 2 a a a ax x − − + −= = 10 x x< < '( ) 0f x > 1 2x x x< < '( ) 0f x < 2x x> '( ) 0f x > ( )f x 1 2(0, ),( , )x x +∞ 1 2( , )x x ( )f x 1 2,x x 2a > 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) (ln ln )x xf x f x x x a x xx x −− = − + − − 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ln ln11f x f x x xk ax x x x x x − −= = + −− − 1 2 1x x = 1 2 1 2 ln ln2 x xk a x x −= − − a 2 .k a= − 1 2 1 2 ln ln 1x x x x − =− 1 2 1 2ln lnx x x x− = − 2 2 2 2 1 2ln 0( 1)(*)x x xx − − = >17 再由⑴知，函数 在 上单调递增，而 ，所以 这与 式矛盾．故不存在 ，使得 18. （构造函数，好，较难） 已知函数 . ⑴求函数 的单调增区间； ⑵记函数 的图象为曲线 ，设点 是曲线 上两个不同点，如果曲线 上存在点 ，使得：① ；②曲线 在点 处的切线平行于直线 ， 则称函数 存在“中值相依切线”.试问：函数 是否存在中值相依切线，请说明理由. 解：（Ⅰ）函数 的定义域是 . 由已知得， . ⅰ 当 时, 令 ,解得 ; 函数 在 上单调递增 ⅱ 当 时， ①当 时，即 时, 令 ,解得 或 ; 函数 在 和 上 单调递增 ②当 时，即 时, 显然，函数 在 上单调递增； ③当 时，即 时, 令 ,解得 或 函数 在 和 上单调递增. 综上所述: ⑴当 时,函数 在 上单调递增 ⑵当 时,函数 在 和 上单调递增 ⑶当 时,函数 在 上单调递增； ⑷当 时,函数 在 和 上单调递增. (Ⅱ)假设函数 存在“中值相依切线”. 设 , 是曲线 上的不同两点，且 ， 则 ， . 1( ) 2lnh t t tt = − − (0, )+∞ 2 1x > 2 2 2 1 12ln 1 2ln1 0.1x xx − − > − − = (*) a 2 .k a= − ( )f x (0, )+∞ 1( 1)( )1'( ) 1 a x x af x ax ax x − + = − + − = − 0a > '( ) 0f x > 0 1x< < ∴ ( )f x (0,1) 0a < 1 1a − < 1a < − '( ) 0f x > 10 x a < < − 1x > ∴ ( )f x 1(0, )a − (1, )+∞ 1 1a − = 1a = − ( )f x (0, )+∞ 1 1a − > 1 0a− < < '( ) 0f x > 0 1x< < 1x a > − ∴ ( )f x (0,1) 1( , )a − +∞ 0a > ( )f x (0,1) 1a < − ( )f x 1(0, )a − (1, )+∞ 1a = − ( )f x (0, )+∞ 1 0a− < < ( )f x (0,1) 1( , )a − +∞ ( )f x 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ( )y f x= 1 20 x x< < 2 1 1 1 1 1ln ( 1)2y x ax a x= − + − 2 2 2 2 2 1ln ( 1)2y x ax a x= − + − 21( ) ln ( 1) ( 0)2f x x ax a x a R a= − + − ∈ ≠， ( )f x ( )F x C 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 C C 0 0( , )M x y 1 2 0 2 x xx += C M AB ( )F x ( )f x18 . 曲线在点 处的切线斜率 ， 依题意得： . 化简可得 ， 即 = . 设 ( )，上式化为： , ,令 , . 因为 ,显然 ，所以 在 上递增,显然有 恒成立. 所以在 内不存在 ,使得 成立. 综上所述，假设不成立.所以，函数 不存在“中值相依切线” 19. (2011天津理19，综合应用) 已知 ，函数 ， ．( 的图象连续) ⑴求 的单调区间； ⑵若存在属于区间 的 ，且 ，使 ，证明： ． 解：⑴ ， ．令 ，则 ． 当 变化时， ， 的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 所以 的单调增区间是 ，单调减区间是 ． 2 1 2 1 AB y yk x x −= − 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1(ln ln ) ( ) ( 1)( )2x x a x x a x x x x − − − + − − = − 2 1 1 2 2 1 ln ln 1 ( ) ( 1)2 x x a x x ax x −= − + + −− 0 0( , )M x y 0( )k f x′= 1 2( )2 x xf +′= 1 2 1 2 2 ( 1)2 x xa ax x += − ⋅ + −+ 2 1 1 2 2 1 ln ln 1 ( ) ( 1)2 x x a x x ax x − − + + −− 1 2 1 2 2 ( 1)2 x xa ax x += − ⋅ + −+ 2 1 2 1 ln lnx x x x − − 1 2 2 x x = + 2 1 ln x x 2 1 2 1 2( )x x x x − + 2 1 2 1 2( 1) 1 x x x x − = + 2 1 x tx = 1t > 2( 1) 4ln 21 1 tt t t −= = −+ + 4ln 21t t + =+ 4( ) ln 1g t t t = + + 2 1 4'( ) ( 1)g t t t = − + = 2 2 ( 1) ( 1) t t t − + 1t > '( ) 0g t > ( )g t (1, )+∞ ( ) 2g t > (1, )+∞ t 4ln 21t t + =+ ( )f x 0a > ( ) 2lnf x x ax= − 0x > ( )f x ( )f x [ ]1,3 ,α β 1β α− ≥ ( ) ( )f fα β= ln3 ln 2 ln 2 5 3a − ≤ ≤ ( ) 21 1 22 axf x axx x −′ = − = 0x > ( ) 0f x′ = 2 2 ax a = x ( )f x′ ( )f x x 20, 2 a a       2 2 a a 2 ,2 a a  +∞    ( )f x′ + 0 − ( )f x ( )f x 20, 2 a a       2 ,2 a a  +∞   19 ⑵由 及 的单调性知 ．从而 在区间 上的最小值为 ． 又由 ， ，则 ． 所以 即 所以 ． 20. （恒成立，直接利用最值） 已知函数 ， ⑴若 是函数 的一个极值点，求 ； ⑵讨论函数 的单调区间； ⑶若对于任意的 ,不等式 在 上恒成立，求 的取值范围. 解：⑴ , 因为 是函数 的一个极值点，所以 ，得 . 又 ，所以 . ⑵因为 的定义域是 ， . ①当 时，列表 ＋ － ＋ 增 减 增 在 ， 是增函数； 在 是减函数. ②当 时， ， 在 是增函数. ( ) ( )f fα β= ( )f x 2 2 a a α β< < ( )f x [ ],α β ( )f α 1β α− ≥ [ ], 1,3α β ∈ 1 2 3α β≤ ≤ ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 , 2 3 , f f f f f f α β ≥ ≥ ≥ ≥ ln 2 4 , ln 2 4 ln3 9 . a a a a − ≥ −  − ≥ − ln3 ln 2 ln 2 5 3a − ≤ ≤ 2( ) ln( 1) , 0f x ax x ax a= + + − > 2 1=x )(xf a )(xf [1,2]a∈ ( )f x m≤ 1[ ,1]2 m 2 22 (2 )( ) 1 ax a xf x ax + −′ = + 2 1=x )(xf 0)2 1( =′f 022 =−− aa 0>a 2=a )(xf 1( , )a − + ∞ 2 2 2 22 ( )2 (2 ) 2( ) 1 1 aax xax a x af x ax ax −−+ −′ = =+ + 2>a x 1( , 0)a − 2 2(0, )2 a a − 2 2( , )2 a a − + ∞ )(xf ′ )(xf )(xf 1( , 0)a − 2 2( , )2 a a − + ∞ )(xf 2 2(0, )2 a a − 2=a 22 2( ) 0 2 1 xf x x ′ = + ≥ )(xf 2( , )2 − + ∞20 ③当 时，列表 ＋ － ＋ 增 减 增 在 , 是增函数； 在 是减函数. ⑶ 21. （最值与图象特征应用） 设 ，函数 为自然对数的底数）. ⑴判断 的单调性； ⑵若 上恒成立，求a的取值范围. 解：⑴∵ 令 ①当 在R上为减函数. ②当 在R上为减函数. ③当 时，由 得 由 得 上为增函数； 上为减函数. ⑵由⑴知 ①当 上为减函数. 20 xexf 在 )2(2 1)1(2 1)( 2 axeaaxexf xx ⋅+++−=′ −− ),12(2 1 2 −−+−= − aaxaxe x .12)( 2 −−+−= aaxaxxg )(,0)(,01)(,0 xfxfxga ∴  (0,1)x∈ '( ) 0, ( )x xφ φ> (0,3)x∈ '( ) 0, ( )x xφ φ< (3, )x∈ +∞ '( ) 0, ( )x xφ φ> 1,x = 3x = '( ) 0.xφ = ( ) (1) 7, ( ) (3) 6ln3 15.x m x mφ φ φ φ∴ = = − = = + −最大值 最小值  x ( ) 0,xφ < x ( ) 0.xφ > ∴ ( )xφ x ( ) 7 0, ( ) 6ln3 15 0, x m x m φ φ = − > = + − +′+−∈ xxfxax 不等式 bxxf +−= 2)( 23 )13)(1(3332 3)( + −+−=−+=′ x xxxxxf25 令 （舍去） 单调递增；当 递减. 上的极大值. ⑵由 得 设 ， ， 依题意知 上恒成立， ， ， 上单增，要使不等式①成立， 当且仅当 　 ⑶由 令 ， 当 上递增； 上递减， 而 ， 恰有两个不同实根等价于 13 10)( −===′ xxxf 或得 )(,0)(,3 10 xfxfx >′+=+ ⋅−+⋅+=′ xxx xx x xxg 032 62)62(3 1 32 3)( 22 >+ +=+⋅+=′ xx xxxxxh ]3 1,6 1[)()( 都在与 xhxg∴ .5 1ln3 1ln),6 1()3 1( aagaha 或即或 .022 3)32ln(2)( 2 =−+−+⇒+−= bxxxbxxf x xxxxbxxxx 32 972332 3)(,22 3)32ln()( 2 2 + −=+−+=′−+−+= ϕϕ 则 ]3 7,0[)(,0)(,]3 7,0[ 在于是时 xxx ϕϕ >′∈ ]1,3 7[)(,0)(,]1,3 7[ 在于是时 xxx ϕϕ > ]1,0[0)(2)( 在即 =+−=∴ xbxxf ϕ         ≤−+= >−+−+= ≤−= 02 15ln)1( 06 72 6 7)72ln()3 7( 02ln)0( b b b ϕ ϕ ϕ .3 72 6 7)72ln(2 15ln +−+时， 3 0 3 '( ) 0.x x f x− < < > +> 11,0 所以 )(),( ' xfxf x )1,( m−−∞ m−1 )1,1( mm +− m+1 ),1( +∞+ m )(' xf )(xf )(xf )1,( m−−∞ ),1( +∞+ m )1,1( mm +− )(xf mx += 1 )1( mf + )1( mf + 3 1 3 2 23 −+ mm )(xf mx −= 1 )1( mf − )1( mf − 3 1 3 2 23 −+− mm27 ⑶由题设 所 以 方 程 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 ， 故 ， 且 ，解得 因为 （难点） 若 ，而 ，不合题意； 若 则对任意的 有 则 ，又 ，所以函数 在 的最 小 值 为 0 ， 于 是 对 任 意 的 ， 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 ,解得 ，综上，m的取值范围是 30. （2007全国II理22，转换变量后为根的分布） 已知函数 ． （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明： ． 解：（1） ． 在点 处的切线方程为 ， 即 ． （2）如果有一条切线过点 ，则存在 ，使 ． 若过点 可作曲线 的三条切线， 则方程 有三个相异的实数根． 记 ，则 ． 当 变化时， 变化情况如下表： 0 0 0 极大值 极小值 如果过 可作曲线 三条切线， 即 有三个相异的实数根，则 即 ． 31. 已知函数 在点 处的切线方程为 ． ⑴求函数 的解析式； ⑵若对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ，求实数 的最 小值； ))((3 1)13 1()( 21 22 xxxxxmxxxxf −−−=−++−= 13 1 22 −++− mxx 21, xx 321 =+ xx 0)1(3 41 2 >−+=∆ m 2 1)(2 1 >−< mm ，舍 12 3,32, 221221 >>=+>< xxxxxx 故所以 0)1)(1(3 1)1(,1 2121 ≥−−−=>−∴ eemeem 1,1 22 +==− 即 eemeem 1,1 22 + ( ) ( )f x g x≥ ( )y f x= ( )( 0)y g x x= > 0 0( )x y， ( ) 2f x x a′ = +∵ 23( ) ag x x ′ = 0 0( ) ( )f x g x= 0 0( ) ( )f x g x′ ′= 2 2 0 0 0 2 0 0 1 2 3 ln2 32 x ax a x b ax a x  + = +  + = ， ， 2 0 0 32 ax a x + = 0x a= 0 3x a= − 2 2 2 2 21 52 3 ln 3 ln2 2b a a a a a a a= + − = − 2 25( ) 3 ln ( 0)2h t t t t t= − > ( ) 2 (1 3ln )h t t t′ = − (1 3ln ) 0t t− > 1 30 t e< < ( ) 0h t′ > (1 3ln ) 0t t− < 1 3t e> ( ) 0h t′ < ( )h t 1 3(0 )e， 1 3( )e ∞, + ( )h t (0 )+， ∞ 1 2 3 33( ) 2h e e= 2 21( ) ( ) ( ) 2 3 ln ( 0)2F x f x g x x ax a x b x= − = + − − > ( )F x′ 23 ( )( 3 )2 ( 0)a x a x ax a xx x − += + − = > ( )F x (0 )a， ( )a +， ∞ ( )F x (0 )+， ∞ 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 0F a F x f x g x= = − = 0x > ( ) ( ) 0f x g x− ≥ 0x > ( ) ( )f x g x≥ ( ) ( )2 ln 1f x x a x= + + 1 2x x、 1 2x x ( ) 22 22 ( 1)1 1 a x x af x x xx x + +′ = + = > −+ + 2( ) 2 2g x x x a= + + 1 2x = − 1 2x x、 ( ) 0g x = 1− 4 8 0 ( 1) 0 a g a ∆ = − >  − = > 10 2a< < 1( 1, )x x∈ − ( ) 0, ( )f x f x′ > ∴ 1( 1, )x− 1 2( , )x x x∈ ( ) 0, ( )f x f x′ < ∴ 1 2( , )x x 2,( )x x∈ + ∞ ( ) 0, ( )f x f x′ > ∴ 2,( )x + ∞ 2 1(0) 0, 02g a x= > ∴− < < 2 2 2 2( ) 2 2 0g x x x a= + + = 2 2 2(2 )a x x= − +2 ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ln 1 (2 )ln 1f x x a x x x x x∴ = + + = − ++2 ( ) ( )2 2 1(2 2 )ln 1 ( )2h x x x x x x= − + + > − ( ) ( ) ( )2 2(2 1)ln 1 2 2(2 1)ln 1h x x x x x x x′ = − + + − = − + + 1( ,0)2x∈ − ( ) 0, ( )h x h x′ > ∴ 1[ ,0)2 − (0, )x∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x (0, )+∞ ( )1 1 1 2ln 2( ,0) , ( )2 2 4x h x h −∈ − > − =当 时 ( )2 2 1 2ln 2( ) 4f x h x −= > ( ) ( 1)lnf x a x ax= + − ( )f x a 1 2, (0,1)x x∀ ∈ 1 2 1 2 | ( ) ( ) | 1| | f x f x x x − >− m (0, )+∞ 1 ( 1)( ) a a axf x ax x + + −′ = − = 1a < − 1( , )a a + +∞ 1(0, )a a +33 当 ≤ ≤0时，增区间为 ； 当 时，增区间为 ，减区间为 ． ⑵当 ＞0时， 在区间(0,1)上单调递增， 不妨设 ，则 ， ∴ 等价于 ，即 ． 构造 ，则 ＞0 ． ∴ 在 上是增函数，当 时， ， 即 ，即 ． 又当 ＞0时， 在区间(0,1)上单调递增， ∴ ． ∴ ，即 ． 38. （2011辽宁理21，变形构造函数，二次） 已知函数 . ⑴讨论函数 的单调性； ⑵设 ，如果对任意 ， ≥ ，求 的取值范围. 解：⑴ 的定义域为（0，+∞）. . 当 时， ＞0，故 在（0，+∞）单调增加； 当 时， ＜0，故 在（0，+∞）单调减少； 当－1＜ ＜0时，令 =0，解得 . 则当 时， ＞0； 时， ＜0. 故 在 单调增加，在 单调减少. ⑵不妨假设 ，而 ＜－1，由⑴知在（0，+∞）单调减少，从而 ， 等价于 ， …… ① 令 ，则 ①等价于 在（0，+∞）单调减少，即 . 1− a (0, )+∞ 0a > 1(0, )a a + 1( , )a a + +∞ a ( )f x 1 20 1x x< < < 1 2 1 20, ( ) ( ) 0x x f x f x− < − < 1 2 1 2 | ( ) ( ) | 1| | f x f x x x − − 1 2 1 2 | ( ) ( ) | 1| | f x f x x x − >− 1ln)1()( 2 +++= axxaxf )(xf 1−+ 4 1 1t x= + > 1 4 tx −= 2 8 8 92 9 2 ty t t t t − −= =− + + − 8 2.3 3 2 − = −+ − 2( ) ( 1)ln 1f x a x ax= + + + ( )f x 2a −≤ 1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2 1 2| ( ) ( ) | 4 | |f x f x x x− −≥ ∞ 21 2 1( ) 2a ax af x axx x + + +′ = + = ( )f x′ ∞ ( )f x′ ∞ ( )f x′ 1 2 a a +− 1 2 a a +− ( )f x′ 1 2 a a +− ∞ ( )f x′ 1 2 a a +− 1 2 a a +− ∞ ∞ 1 2 1 2( ) ( ) 4f x f x x x− −≥ 1 2( ) ( )f x f x− 1( ) 2ag x axx +′ = + 22 4 1ax x a x + + + 2( ) 2 4 1h x ax x a= + + + a 1x a = − ( )h x 8 ( 1) 16 ( 2)( 1) 8 a a a a a a + − + −= ( )g x′ 24 4 1x x x − + − 2(2 1)x x − − ∞ ∞ 1 2 1 2( ) ( ) 4f x f x x x− −≥ 2 1 ln x 1a > ( )f x35 （2）证明：若 ，则对任意x ,x ，x x ，有 . 解：(1) 的定义域为 . ①若 即 ,则 ，故 在 单调增加。 ②若 ,而 ,故 ,则当 时， ; 当 及 时， 故 在 单调减少，在 单调增加。 ③若 ,即 ,同理 在 单调减少，在 单调增加. ⑵考虑函数 则 （另一种处理） 由于1 1 2a< < ( 1,1)x a∈ − ' ( ) 0f x < (0, 1)x a∈ − (1, )x∈ +∞ ' ( ) 0f x > ( )f x ( 1,1)a − (0, 1),(1, )a − +∞ 1 1a − > 2a > ( )f x (1, 1)a − (0,1),( 1, )a − +∞ ( ) ( )g x f x x= + 21 ( 1)ln2 x ax a x x= − + − + 21 1( ) ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1 1)a ag x x a x a ax x − −′ = − − + ≥ − − = − − − ( ) 0g x′ > 1 2 0x x> > 1 2( ) ( ) 0g x g x− > 1 2 1 2( ) ( ) 0f x f x x x− + − > 1 2 1 2 ( ) ( ) 1f x f x x x − > −− 1 20 x x< < 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1f x f x f x f x x x x x − −= > −− − 21 ( 1) 1( ) ( 1) a x a x ag x x a x x − − − + −′ = − − + = 2( ) ( 1) 1(1 5)h x x a x a a= − − + − < < 24( 1) ( 1) 4 a a− − − 2( 3) 6 4 a− − + ( ) 1 ln ( 0).f x x a x a= − − < ( )y f x= ( ]1 2, 0,1x x ∈ 1 2x x≠ 1 2 1 2 1 1| ( ) ( ) | 4 | |f x f x x x − < −36 42. （变形构造） 已知二次函数 和“伪二次函数” （ 、 、 ）， (I)证明：只要 ，无论 取何值，函数 在定义域内不可能总为增函数； (II)在二次函数 图象上任意取不同两点 ，线段 中 点的横坐标为 ，记直线 的斜率为 ， (i)求证： ； (ii)对于“伪二次函数” ，是否有①同样的性质?证明你的结论. 解：（I）如果 为增函数,则 (1)恒成立, 当 时恒成立, (2) 由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.则函数 不可能总为增函数. 3分 （II）（i） = . 由 , 则 --------5分 （ii）不妨设 ,对于“伪二次函数”: = , (3) 7分 由(ⅰ)中(1) ,如果有(ⅰ)的性质，则 , (4) ( ) 2f x ax bx c= + + ( ) 2g x ax= + lnbx c x+ a b ,c R∈ 0abc ≠ 0a < b ( )g x ( ) 2f x ax bx c= + + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y AB 0x AB k 0( )k f x′= ( ) 2 lng x ax bx c x= + + 0, ( )x g x> 22( ) 2 0c ax bx cg x ax b x x + +′ = + + = > 0x > 22 0ax bx c+ + > 0,a ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 ( ) ln xa x x b x x cg x g x xk x x x x − + − +−= =− − 2 1 0 2 1 ln 2 xc xax b x x + + − ( )0 0 0 2 cg x ax b x ′ = + + ( )0g x k′ =37 比较(3)( 4)两式得 ， 即： ，(4) --------10分 不妨令 ， (5) 设 ，则 ， ∴ 在 上递增， ∴ . ∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立, . ∴“伪二次函数” 不具有(ⅰ)的性质. -------12分 43. (变形构造，第2问用到均值不等式) 已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋4ax＋1，g(x)＝6a2lnx＋2b＋1，其中a＞0. ⑴设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值； ⑵设h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，证明：若a≥－1，则h(x)在(0,＋∞)上单调递增； ⑶设F(x)＝f(x)＋g(x)，求证：对任意x1,x2∈(0,＋∞)，x1＜x2有＞8. 解：⑴设f(x)与g(x)交于点P(x0，y0)，则有 f(x0)＝g(x0)，即x＋4ax0＋1＝6a2lnx0＋2b＋1.① 又由题意知f′(x0)＝g′(x0)，即2x0＋4a＝.② 由②解得x0＝a或x0＝－3a(舍去)． 将x0＝a代入①整理得b＝a2－3a2lna. 令s(a)＝a2－3a2lna，则s′(a)＝2a(1－3lna)， a∈(0,)时，s(a)递增，a∈(,＋∞)时，s(a)递减，所以s(a)≤s()＝ ， 即b≤ ，b的最大值为 . ⑵h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，h′(x)＝2x＋＋4a－8， 因为a≥－1，所以h′(x)＝2x＋＋4a－8≥4a＋4a－8≥4(＋1)(－1)－8≥0，即h(x)在(0,＋∞)内单 调递增． ⑶由⑵知x1＜x2时，h(x1)＜h(x2)，即F(x1)－8x1＜F(x2)－8x2. 因为x1＜x2，所以＞8. 44. 已知函数 ，a为正常数． ⑴若 ，且a ，求函数 的单调增区间； ⑵在⑴中当 时，函数 的图象上任意不同的两点 ， ，线段 的 中点为 ，记直线 的斜率为 ，试证明： ． ⑶若 ，且对任意的 ， ，都有 ，求a的 取值范围． 解：⑴ 2 1 2 1 0 ln xc x c x x x =− 0,c ≠ 2 1 2 1 1 2 ln 2 x x x x x x =− + 2 1 , 1, xt tx = > ln 2 1 1 t t t =− + 2 2 ( ) ln 1 ts t t t −= − + 2 2 2 1 2( 1) 2( 1) ( 1)( ) 0( 1) ( 1) t t ts t t t t t + − − −′ = − = >+ + ( )s t (1, )+∞ ( ) (1) 0s t s> = ( )0g x k′ ≠ ( ) 2 lng x ax bx c x= + + 2 33 2 e 2 33 2 e 2 33 2 e 1)( += x axϕ )(ln)( xxxf ϕ+= 2 9= )(xf 0=a )(xfy = ( )11, yxA ( )22 , yxB AB ),( 00 yxC AB k )( 0xfk ′> )(ln)( xxxg ϕ+= ( ]2,0, 21 ∈xx 21 xx ≠ 1)()( 12 12 −′ xf 2>x 2 10 k )( 0xf ′ 12 1 2ln xx x x − 21 2 xx + 12 xx > 1 2ln x x 1 )1(2)(2 1 2 1 2 21 12 + − =+ − x x x x xx xx )1(1 )1(2ln)( ≥+ −−= xx xxxh 0)1( )1( )1( 41)( 2 2 2 ≥+ −=+−=′ xx x xxxh )(xh [ )+∞,1 1 1 2 > x x 0)1()( 1 2 => hx xh 1 )1(2 ln 1 2 1 2 1 2 + − > x x x x x x )( 0xfk ′> 1)()( 12 12 − 0 1x< < 1x a > − '( ) 0f x < 11 x a < < − ( )f x (0,1) 1( , )a − +∞ 1(1, )a − 1a < − ( )f x 1(0, )a − (1, )+∞ 1( ,1)a − 1a = − ( )f x (0, )+∞ 1 0a− < < ( )f x (0,1) 1( , )a − +∞ 1(1, )a − ( )f x 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ( )y f x= 1 20 x x< < 2 1 2 1 AB y yk x x −= − 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1(ln ln ) ( ) ( 1)( )2x x a x x a x x x x − − − + − − = − 2 1 1 2 2 1 ln ln 1 ( ) ( 1)2 x x a x x ax x −= − + + −− 0 0( , )M x y 0( )k f x′= 1 2( )2 x xf +′= 1 2 1 2 2 ( 1)2 x xa ax x += − ⋅ + −+40 依题意得： ． 化简可得： ，即 = ． ……………10 分 设 （ ），上式化为： , 即 ． ………12 分 令 , ． 因为 ,显然 ，所以 在 上递增,显然有 恒成立． 所以在 内不存在 ,使得 成立． 综上所述，假设不成立．所以，函数 不存在“中值相依切线”．……………14 分 46. 已知函数 . （1）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围； （2）当 时，设函数 ，若 ，求证 解：（1） , ，即 在 上恒成立 设 , ， 时，单调减， 单调增， 所以 时， 有最大值. ，所以 . （2）当 时， , ,所以在 上 是增函数， 上是减函数. 因为 ，所以 即 , 同理 . 所以 又因为 当且仅当“ ”时，取等号. 又 ， , 2 1 1 2 2 1 ln ln 1 ( ) ( 1)2 x x a x x ax x − − + + −− 1 2 1 2 2 ( 1)2 x xa ax x += − ⋅ + −+ 2 1 2 1 ln lnx x x x − − 1 2 2 x x = + 2 1 ln x x 2 1 2 1 2( )x x x x − + 2 1 2 1 2( 1) 1 x x x x − = + 2 1 x tx = 1t > 2( 1) 4ln 21 1 tt t t −= = −+ + 4ln 21t t + =+ 4( ) ln 1g t t t = + + 2 1 4'( ) ( 1)g t t t = − + = 2 2 ( 1) ( 1) t t t − + 1t > '( ) 0g t > ( )g t (1, )+∞ ( ) 2g t > (1, )+∞ t 4ln 21t t + =+ ( )f x )0)(ln()( 2 >= aaxxxf 2)(' xxf ≤ 0>x a 1=a x xfxg )()( = 1),1,1(, 2121 x xaxxu −+= 1ln2)( 2,012)(' ==−= xxxu 2>x 2 − ∈ +∞ ( ) ln ( (0, ))f x x x x= ∈ +∞ 1 e − 1x e = 2( ) ( (0, ))x xm x xe e = − ∈ +∞ 1'( ) x xm x e −= max 1( ) (1)m x m e = = − 1x = (0, )x∈ +∞ 1 2ln xx e ex > − ( )f x (0, )+∞ (1) 0f = 1( )f x x ′ = ( ) ( ) ( )g x f x f x′= + ( )g x ( )g x 1( )g x42 （3）是否存在 ，使得 对任意 成立？若存在，求出 的取值 范围；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵ ，∴ （ 为常数）， 又∵ ，所以 ，即 ，∴ ； ， ∴ ，令 ，即 ，解得 ， 当 时， ， 是减函数，故 是函数 的减区间； 当 时， ， 是增函数，故 是函数 的增区间； 所以 是 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以 的最小值是 ． （2） ，设 ，则 ， 当 时， ，即 ， 当 时， ， ，因此函数 在 内递减， 当 时， =0，∴ ； 当 时， =0，∴ ． （3）满足条件的 不存在．证明如下： 证法一 假设存在 ，使 对任意 成立， 即对任意 有 ① 但对上述的 ，取 时，有 ，这与①左边的不等式矛盾， 因此不存在 ，使 对任意 成立． 证法二 假设存在 ，使 对任意 成立， 由（1）知， 的最小值是 ， 又 ，而 时， 的值域为 ， ∴当 时， 的值域为 ， 从而可以取一个值 ，使 ，即 , ∴ ，这与假设矛盾． 0 0x > 0 1| ( ) ( ) |g x g x x − < 0x > 0x 1( )f x x ′ = ( ) lnf x x c= + c (1) 0f = ln1 0c+ = 0c = ( ) lnf x x= 1( ) lng x x x = + 2 1( ) xg x x −′ = ( ) 0g x′ = 2 1 0x x − = 1x = (0,1)x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x (0,1) ( )g x (1, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x (1, )+∞ ( )g x 1x = ( )g x ( )g x (1) 1g = 1( ) lng x xx = − + 1 1( ) ( ) ( ) 2lnh x g x g x xx x = − = − + 2 2 ( 1)( ) xh x x −′ = − 1x = (1) 0h = 1( ) ( )g x g x = (0,1) (1, )x∈ +∞ ( ) 0h x′ < (1) 0h′ = ( )h x (0, )+∞ 0 1x< < ( ) (1)h x h> 1( ) ( )g x g x > 1x > ( ) (1)h x h< 1( ) ( )g x g x < 0x 0 0x > 0 1| ( ) ( ) |g x g x x − < 0x > 0x > 0 2ln ( ) lnx g x x x < < + 0x 0( ) 1 g xx e= 1 0ln ( )x g x= 0 0x > 0 1| ( ) ( ) |g x g x x − < 0x > 0 0x > 0 1| ( ) ( ) |g x g x x − < 0x > ( )g x (1) 1g = 1( ) ln lng x x xx = + > 1x > ln x (0, )+∞ 1x  ( )g x [1, )+∞ 1 1x > 1 0( ) ( ) 1g x g x + 1 0( ) ( ) 1g x g x−  1 0 1 1| ( ) ( ) | 1g x g x x − >43 ∴不存在 ，使 对任意 成立． 49. 已知函数 ， （Ⅰ）求 的极值 （Ⅱ）若 在 上恒成立，求 的取值范围 （Ⅲ）已知 ， 且 ，求证 解：（1）∵ ，令 得 ， ， 为增函数， ， ， 为减函数 ∴ 有极大值 ……………………4 分 （2）欲使 ＜在 上恒成立， 只需 在 上恒成立 设 ， ， ， 为增函数, ， ， 为减函数 ∴ 时， 是最大值 只需 ，即 ………8 分 （3）∵ 由（2）可知 在 上单调增， ，那 ，同理 相加得 ，∴ ， 得： . 50. 已知函数 的图象为曲线 , 函数 的图象为直线 . (Ⅰ) 当 时, 求 的最大值; (Ⅱ) 设直线 与曲线 的交点的横坐标分别为 , 且 , 求证: . 解：（1） 单调递增， 单调递减， （2）不妨设 ，要证 0 0x > 0 1| ( ) ( ) |g x g x x − < 0x > 1 ln( ) a xf x a Rx − += ∈ ( )f x ln 0x kx− < R+ k 1 0x > 2 0x > 1 2x x e+ < 1 2 1 2x x x x+ > ' 2 ln( ) a xf x x −= ' ( ) 0f x = ax e= (0, )ax e∈ ' ( ) 0f x > ( )f x ( , )ax e∈ +∞ ' ( ) 0f x < ( )f x ( )f x ( )a af e e−= ln 0x kx− < R+ ln x kx < R+ ln( ) ( 0)xg x xx = > ' 2 1 ln( ) xg x x −= (0, )x e∈ ' ( ) 0g x > ( )g x ( , )x e∈ +∞ ' ( ) 0g x < ( )g x x e= 1( )g e e = 1 ke < 1k e > 1 2 1 0e x x x> + > > ( )g x (0, )e 1 2 1 1 2 1 ln( ) lnx x x x x x + >+ 1 1 2 1 1 2 ln( ) lnx x x xx x + >+ 2 1 2 2 1 2 ln( ) lnx x x xx x + >+ 1 2 1 2 1 2 1 2 ln( )( ) ln( )x xx x x xx x ++ >+ 1 2 1 2ln( ) ln( )x x x x+ > 1 2 1 2x x x x+ > x xxf ln)( = C baxxg += 2 1)( l 3,2 −== ba )()()( xgxfxF −= l C 21, xx 21 xx ≠ 2)()( 2121 >++ xxgxx 3ln)(3,2 +−=∴−== xx xxFba 10ln11ln1)( 2 2 2 =⇒=−−=−−=′ xx xx x xxF )(,0)(),1,0( xFxFx ′>′∈ )(,0)(),,1( xFxFx ′++ xxgxx44 只需证 ，即 ， 令 ， 只需证 ， 令 在 单调递增。 ， ， 在 单调递增。 ， 所以 51. 已知函数 ，其中常数 ⑴若 处取得极值，求 a 的值； ⑵求 的单调递增区间； ⑶ 已 知 若 ， 且 满 足 ， 试 比 较 的大小，并加以证明。 2)(2 1)( 2121 >    +++ bxxaxx ⇒+>++ 21 21 2)(2 1 xxbxxa 21 12 12 2 1 2 2 )(2)()(2 1 xx xxxxbxxa + −>−+− 21 12 1 2 12 2 2 )(2)2 1(2 1 xx xxbxaxbxax + −>+−+ baxx x += 1 1 1 2 1ln  baxx x += 2 2 2 2 1ln  12 12 12 )(2lnln xx xxxx + −>− 12 12 1 2 )(2ln xx xx x x + −> )(2ln)( 12 1 2 12 xxx xxx −>+ )(2ln)()( 1 1 1 xxx xxxxH −−+= ),( 1 +∞∈ xx )(0)(2ln)()( 11 1 1 xHxxx xxxxH =>−−+= 1ln)( 1 1 −+=′ x x x xxH 1ln)( 1 1 −+= x x x xxG 0)( 2 1 >−=′ x xxxG )(xG ),( 1 +∞∈ xx 0)()( 1 => xGxG 0)( >′ xH )(xH ),( 1 +∞∈ xx 0)()( 1 => xHxH 0)(2ln)()( 1 1 1 >−−+= xxx xxxxH 2)()( 2121 >++ xxgxx 21 1( ) ln( )4f x x x x aa = − + + 0.a > ( ) 1f x x =在 ( )f x 10 ,2a< < 1 2 1 2, ( , ),x x a a x x∈ − ≠ 1 2'( ) '( ) 0f x f x+ = 1 2'( ) '(0)f x x f+ 与4546 替换构造不等式证明不等式 52. （ 第 3 问 用 第 2 问 ） 已 知 ， 直 线 与 函 数 的图像都相切，且与函数 的图像的切点的横坐标为1。 （I）求直线 的方程及m的值； （II）若 ，求函数 的最大值。 （III）当 时，求证： 解：（I） 的斜率为1， 且与函数 的图像的切点坐标为（1，0）， 的方程为 又 与函数 的图象相切， 有一解。 由上述方程消去y，并整理得 ① 依题意，方程②有两个相等的实数根， 解之， 得m=4或m=-2， （II）由（I）可知 ， 单调，当 时， 单减。 ， 取最大值，其最大值为2。 （III） 21 7( ) ln , ( ) ( 0)2 2f x x g x x mx m= = + + < l ( ), ( )f x g x ( )f x l ( ) ( 1) '( )( )h x f x g x= + − 其中g' ( x) 是g( x) 的导函数 ( )h x 0 b a< < ( ) (2 ) .2 b af a b f a a −+ − < 1'( ) , '(1) 1;Qf x fx = ∴ = l∴直线 ( )f x l∴直线 1.y x= − l直线 ( )y g x= 2 1 1 7 2 2 y x y x mx = −∴  = + + 方程组 2 2( 1) 9 0x m x+ − + = 2[2( 1)] 4 9 0m∴∆ = − − × = 0, 2.Qm m< ∴ = − 21 7( ) 2 ,2 2g x x x= − + '( ) 2, ( ) ln( 1) 2( 1)g x x h x x x x∴ = − ∴ = + − + > − 1'( ) 1 .1 1 xh x x x −∴ = − =+ + ∴ ∈当x ( - 1, 0) 时, h' ( x) >0, h( x) (0, )x∈ +∞ '( ) 0, ( )h x h x< ∴当x=0时 ( )h x ( ) (2 ) ln( ) ln 2 ln ln(1 ).2 2 a b b af a b f a a b a a a + −+ − = + − = = +47 证明，当 时， 53. 已知函数 、 （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若 为正常数，设 ，求函数 的最小值； （Ⅲ）若 ， ，证明： 、 解:（Ⅰ）∵ ，解 ，得 ；解 ，得 . ∴ 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . ……3′ （Ⅱ）∵ ，定义域是 . ∴ ……5′ 由 ，得 ，由 ，得 ∴ 函数 在 上单调递减；在 上单调递增……7′ 故函数 的最小值是： . ……8′ （Ⅲ）∵ ， ，∴ 在（Ⅱ）中取 ， 可得 ，即 .……10′ ∴ ，∴ . 即 .……12′ 54. （替换构造不等式） 已知函数 在点 的切线方程为 . ⑴求函数 的解析式； ⑵设 ，求证： ≥ 在 上恒成立；（反比例，变形构造） ⑶已知 ，求证： .（替换构造） 0 , 0, 1 0.2 2 Q b a a b a b a a < < ∴− < − < −∴− < < ( 1,0)x∈ − ln(1 ) , ln(1 ) .2 2 b a b ax x a a − −+ < ∴ + < ( ) (2 ) .2 b af a b f a a −∴ + − < ( ) xxxf ln= ( )f x k ( ) ( ) ( )g x f x f k x= + − ( )g x 0a > 0b > ( ) ( ) ( ) ( )2f a a b ln f a b f b+ + + −≥ ( ) 1f x lnx′ = + ( ) 0f x′ > 1x e > ( ) 0f x′ < 10 x e < < ( )f x 1,e  +∞   10, e      ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x f x f k x xlnx k x ln k x= + − = + − − ( )0,k ( ) ( )1 1 xg x lnx ln k x ln k x ′ = + −  − +  =  − ( ) 0g x′ > 2 k x k< < ( ) 0g x′ < 0 2 kx< < ( )g x 0, 2 k     ,2 k k     ( )g x 2 2 k kg k ln  = ⋅   0a > 0b > 2ax a b = + 2k = 2 22 2 1a af f lna b a b    + −   + +   ≥ 2 2 0a bf fa b a b    +   + +   ≥ 2 2 2 2 0a a b bln lna b a b a b a b ++ + + + ≥ ( ) ( ) ( )2 0alna blnb a b ln a b ln a b+ + + − + + ≥ ( ) ( ) ( ) ( )2f a a b ln f a b f b+ + + −≥ 1)( 2 + += x baxxf ))1(,1( −− f 03 =++ yx ( )f x xxg ln)( = )(xg )(xf ),1[ +∞∈x ba − − ba ( )f x [ ,2 ]m m *n∈N 1 1ln( )en n n n + +< e ( )f x (0, )+∞ 2 1 ln( ) xf x x −′ = ( ) 0f x′ = x e= 0 x e< < ( ) 0f x′ > x e> ( ) 0f x′ < ( )f x (0, ]e [ , )e +∞ 2m e≤ 2 em ≤ ( )f x [ ,2 ]m m max ln 2( ) (2 ) 12 mf x f m m = = − m e≥ ( )f x [ ,2 ]m m max ln( ) 1mf x m = − 2m e m< < 2 e m e< （ ） （ ） (1, (1))f 1y x= − a b c⑴用 表示出 、 ； ( ) ln [1 )f x x a+ ∞≥⑵若 在 ， 上恒成立，求 的取值范围； 1 1 11 ln( 1) ( 1)2 3 2( 1) nn nn n + + +⋅⋅⋅+ > + + ≥+证明： 2'( ) bf x a x = − (1) 0 (1) 1 f a b c f a b = + + =  ′ = − = 1 2 b a c l a = −  = − 1( ) 1 2af x ax ax −= + + − 1( ) ( ) ln 1 2 lnag x f x x ax a xx −= − = + + − − [ )1,x∈ +∞ (1) 0g = 2 2 2 2 1( 1)( )1 1 ( 1)'( ) aa x xa ax x a ag x a x x x x −− −− − − −= − − = = 1 2o a< < 1 1a a − > 11 ax a −< < '( ) 0g x < ( )g x ( ) ( )g x g l o< = ( ) lnf x x> ( ) lnf x x≥ [ )1,+∞ 1 2a ≥ 1 1a a − ≤ ( ) lnf x x> 1x ≥ ( ) lnf x x≥ a 1 ,2  +∞ 50 ⑶由⑵知：当 时，有 . 令 ，有 当 时， 令 ，有 即 ， 将上述 个不等式依次相加得 ,整理得 . 57. 已知 的图像在点 处的切线与直线 平行. （1）求 a，b 满足的关系式； （2）若 上恒成立，求 a 的取值范围； （3）证明： （n∈N*） 解：（Ⅰ） ，根据题意 ，即 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， 令 ， 则 ， = ①当 时， ， 若 ， 则 ， 在 减 函 数 ， 所 以 ， 即 在 上恒不成立． ② 时， ，当 时， ， 在 增函数，又 ，所 以 ． 综上所述，所求 的取值范围是 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知当 时， 在 上恒成立．取 得 1 2a ≥ ( ) ln ( 1)f x x x≥ ≥ 1 2a = 1 1( ) ( ) ln ( 1)2f x x x xx = − ≥ ≥ 1x > 1 1( ) ln .2 x xx − > 1kx k += 1 1 1 1 1 1ln (1 ) (1 )2 1 2 1 k k k k k k k k + +   < − = + − −   + +    1 1 1ln( 1) ln ( )2 1k k k k + − < + + 1,2,3....k n= n 1 1 1 1 1ln( 1) ( ..... )2 2 3 2( 1)n n n + < + + + + + + 1 1 11 .... ln( 1)2 3 2( 1) nnn n + + + + > + + + ( ) 2 2 ( 0)bf x ax a ax = + + − > (1, (1))f 2 1y x= + ( ) 2ln )f x x≥ ∞在[ 1, + 1 1 1 11 (2 1) ( )3 5 2 1 2 2 1 nn nn n ++ + + + > + + ∈− + 12)12ln(2 1 +++ n nn 2)( x baxf −=′ 2)1( =−=′ baf 2−= ab ax aaxxf 222)( −+−+= xxfxg ln2)()( −= xax aax ln2222 −−+−+= [ )1,x∈ +∞ 0)1( =g xx aaxg 22)( 2 −−−=′ 2 )2)(1( x a axxa −−− 10 − a a 21 ax a −< < ' ( ) 0g x < ( )g x [1, )+∞ ( ) (1) 0g x g< = ( ) 2lnf x x≥ [1, )+∞ 1a ≥ 2 1a a − ≤ 1x > ' ( ) 0g x > ( )g x [1, )+∞ (1) 0g = ( ) 2lnf x x≥ a [1, )+∞ 1≥a xxf ln2)( ≥ [ )1,+∞ 1=a xxx ln21 ≥−51 令 ， 得 ， 即 , 所以 上式中 n=1，2，3，…，n，然后 n 个不等式相加得 58. 已知函数 （1）求函数 的极值点。 （2）若 恒成立，试确定实数 的取值范围。 （3）证明： . 解：(1) 的定义域为（1，+∞）， . 当 时， ，则 在（1，+∞）上是增函数。 在（1，+∞）上无极值点. 当 时，令 ，则 . 所以当 时， ， ∴ 在 上是增函数， 当 时， ， ∴ 在 上是减函数。 ∴ 时， 取得极大值。 综上可知，当 时， 无极值点； 当 时， 有唯一极值点 . (2)由(1)可知，当 时， ， 不成立.故只需考虑 . 由(1)知， ， 若 恒成立，只需 即可， 化简得： ,所以 的取值范围是[1，+∞）. (3)由(2)知， ∴ . 112 12 >− += n nx *Nn ∈ 12 12ln212 12 12 12 − +>+ −−− + n n n n n n 12 12ln2)12 21(12 21 − +>+−−−+ n n nn )12 1 12 1(2 1 12 12ln2 1 12 1 +−−+− +>− nnn n n 1 1 1 11 ln(2 1)3 5 2 1 2 2 1 nnn n + + + + > + +− +… .1)1()1ln()( +−−−= xkxxf )(xf 0)( ≤xf k )1,(6 )1)(4( 1 ln 15 4ln 8 3ln 3 2ln 2 >∈−+∴>− xfx )(xf )(xf 0>k 0)(/ =xf kx 11+= )11,1( kx +∈ 0 111 1 1 1)(/ =− −+ >−−= k k kxxf )(xf )11,1( k + ),11( +∞+∈ kx 0 111 1 1 1)(/ =− −+ k )(xf kx 11+= 0≤k 01)2( >−= kf 0)( ≤xf 0>k kkfxf ln)11()( max −=+= 0)( ≤xf 0ln)11()( max ≤−=+= kkfxf 1≥k k .11ln1 >−+∑ (1, )+∞ 1( ) 1f x kx ′ = −− k ( ) 0f x′ > ( )f x (1, )+∞ 0k > ( )f x 1(1,1 )k + 1(1 , )k + +∞ k ( )f x (1, )+∞ (2) 1 0f k= − > ( )f x 0k > max 1(1 ) lny f kk = + = − ( )f x ln k− k 1k = ( )f x (1, )+∞ ( )f x (2, )+∞ (2) 0f = 2x > ( ) (2) 0f x f< = ln( 1) 2x x− < − 21 ,x n− = 2 2ln 1,n n< − 2ln ( 1)( 1)n n n< − + ln 1 1 2 n n n − ( )f x (1 )lg lg lg4lg lg ( 1)2 3 n n n ne e ee e nn + + + +⋅⋅⋅+ > + *( )n N∈ ( )1,− +∞ 2'( ) 11 af x x = −+ '( ) 0 1 2 1f x x a> ⇒ − < < − '( ) 0 2 1f x x a< ⇒ > − ( )f x ( )1,2 1a− − ( )f x ( )2 1,a − +∞ ( )f x 2 ln 2 2 1a a a− + (1 )lg lg lg4lg lg ( 1)2 3 n n n ne e ee e nn + + + +⋅⋅⋅+ > +53 即证 ， 即证 即证 令 ，由⑴可知 在 上递减，故 即 ，令 ，故 累加得， 故 ，得证 法二： = ，其余相同证法. 61. （替换构造） 已知函数 . ⑴求函数 的最小值； ⑵若 ≥0对任意的 恒成立，求实数a的值；（一次，作差构造） ⑶在⑵的条件下，证明： . 解：（1）由题意 ，由 得 . 当 时, ；当 时， . ∴ 在 单调递减，在 单调递增. 即 在 处取得极小值，且为最小值， 其最小值为 （2） 对任意的 恒成立，即在 上， . 由（1），设 ，所以 . 由 得 . ∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， ∴ 在 处取得极大值 . 因此 的解为 ，∴ . （3）由（2）知，因为 ，所以对任意实数 均有 ，即 . (1 ) 1 1 1 lg ( 1)4 2 3 lg nn nne n n e + ++ + +⋅⋅⋅+ > (1 ) 1 1 14 ln ( 1)2 3 nn nne nn + + + +⋅⋅⋅+ > + 1 1 1 11 3 ln( 1) (1 )2 3 nnn n + + +⋅⋅⋅+ + > + + + 1 2a = ( )f x (0, )+∞ ( ) (0) 0f x f< = ln(1 )x x+ < *1 ( )x n Nn = ∈ 1 1 1ln(1 ) ln ln( 1) lnn n nn n n ++ = = + − < 1 1 1ln( 1) 1 2 3n n + < + + +⋅⋅⋅+ 1 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) 1 (1 ) 3n n en n n n + < ⇒ + < ⇒ + < < 1 1 1 11 3 ln( 1) (1 )2 3 nnn n + + +⋅⋅⋅+ + > + + + 1(1 )n n + 0 1 2 2 1 1 1n n n n n nC C C Cn n n + + +⋅⋅⋅+ 1 1 12 2! 3! !n < + + +⋅⋅⋅+ 2 1 1 12 2 2 2n < + + +⋅⋅⋅+ 1 1 1 1(1 ) 12 22 3 31 21 2 n n − − − = + = − < − ( ) 1( 0, )xf x e ax a e= − − > 为自然对数的底数 ( )f x ( )f x x∈R 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( *)1 n n n nn n e nn n n n e −+ +⋅⋅⋅+ + < ∈− N其中 0, ( ) xa f x e a′> = − ( ) 0xf x e a′ = − = lnx a= ( ,ln )x a∈ −∞ ( ) 0f x′ < (ln , )x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ,ln )a−∞ (ln , )a +∞ ( )f x lnx a= ln(ln ) ln 1 ln 1.af a e a a a a a= − − = − − ( ) 0f x ≥ x∈R x∈R min( ) 0f x ≥ ( ) ln 1.g a a a a= − − ( ) 0g a ≥ ( ) 1 ln 1 ln 0g a a a′ = − − = − = 1a = ( )g a (0,1) (1, )+∞ ( )g a 1a = (1) 0g = ( ) 0g a ≥ 1a = 1a = 1a = x 1xe x− − ≥ 0 1 xx e+ ≤54 令 ，则 .∴ . ∴ . 四、不等式恒成立求字母范围 恒成立之最值的直接应用 62. （2011北京理18倒数第3大题，最值的直接应用） 已知函数 。 ⑴求 的单调区间； ⑵若对于任意的 ，都有 ≤ ，求 的取值范围. 解：⑴ ，令 ， 当 时， 与 的情况如下 ： + 0 0 + 0 所以， 的单调递增区间是 和 ：单调递减区间是 ， 当 时， 与 的情况如下 ： 0 + 0 0 所以， 的单调递减区间是 和 ：单调递减区间是 。 ⑵当 时，因为 ，所以不会有 当 时，由（Ⅰ）知 在 上的最大值是 ， 所以 等价于 ,解 综上：故当 时， 的取值范围是[ ，0]. 63. （2008天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧） 已知函数 ，其中 . ⑴若曲线 在点 处切线方程为 ,求函数 的解析式； ⑵讨论函数 的单调性； kx n = − ( *, 0,1,2,3, 1)n k n∈ = −N … , 0 1 k nk en − < − ≤ (1 ) ( ) k n n knk e en − −− =≤ ( 1) ( 2) 2 11 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 1n n n n n nn n e e e en n n n − − − − − −−+ + + + + + + + +≤… … 1 1 1 1 1 1 1 ne e e e e − − − −= < =− − − 2( ) ( ) x kf x x k e= − ( )f x (0, )x∈ +∞ ( )f x 1 e k 2 21( ) ( ) x kf x x k ek ′ = − ( ) 0,f x x k′ = = ± 0k > ( )f x ( )f x′ x ( , )k−∞ − k− ( , )k k− k ( , )k +∞ ( )f x′ − ( )f x 2 14k e− ( )f x ( , )k−∞ − ( , )k +∞ ( , )k k− 0k < ( )f x ( )f x′ x ( , )k−∞ k ( , )k k− k− ( , )k− +∞ ( )f x′ − − ( )f x 2 14k e− ( )f x ( , )k−∞ ( , )k− +∞ ( , )k k− 0k > 1(0, ), ( ) .x f x e ∀ ∈ +∞ ≤ 0k < ( )f x (0, )+∞ 24( ) kf k e − = 1(0, ), ( )x f x e ∀ ∈ +∞ ≤ 24( ) kf k e − = 1 e ≤ 1 0.2 k− ≤ < 1(0, ), ( )x f x e ∀ ∈ +∞ ≤ k 1 2 − ( ) ( )0≠++= xbx axxf Rba ∈, ( )xfy = ( )( )2,2 fP 13 += xy ( )xf ( )xf 1 1( 1) k kf k e e + + = >55 ⑶若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围. 解：⑴ ，由导数的几何意义得 ，于是 ． 由切点 在直线 上可得 ，解得 ． 所以函数 的解析式为 ． ⑵ ． 当 时，显然 ( ),这时 在 ， 上内是增函数． 当 时，令 ，解得 ． 当 变化时， ， 的变化情况如下表： ＋ 0 － － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ ∴ 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数． ⑶由⑵知， 在 上的最大值为 与 的较大者，对于任意的 ，不等 式 在 上恒成立，当且仅当 ，即 ，对任意的 成立．从而得 ，所以满足条件的 的取值范围是 ． 64. （转换变量，作差） 已知函数 . ⑴若 ，求 的单调区间； ⑵ 已 知 是 的 两 个 不 同 的 极 值 点 ， 且 ， 若 恒成立，求实数b的取值范围。 解：⑴ ， 或1 令 ，解得 令 ，解得 ， 的增区间为 ；减区间为 ， ⑵ ，即 由题意两根为 ， ，又 且△ ， . 设 ， 或    ∈ 2,2 1a ( ) 10≤xf     1,4 1 b 2( ) 1 af x x ′ = − (2) 3f ′ = 8a = − (2, (2))P f 3 1y x= + 2 7b− + = 9b = ( )f x 8( ) 9f x x x = − + 2( ) 1 af x x ′ = − 0a ≤ ( ) 0f x′ > 0x ≠ ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 0a > ( ) 0f x′ = x a= ± x ( )f x′ ( )f x x ( , )a−∞ − a− ( ,0)a− (0, )a a ( ),a +∞ ( )f x′ ( )f x ( )f x ( , )a−∞ − ( ),a +∞ ( ,0)a− (0, )+∞ ( )f x 1[ ,1]4 1( )4f (1)f 1[ ,2]2a∈ 0( 1)f x ≤ 1[ ,1]4 10 (1 1(4 ) 10 ) f f ≤ ≤   39 44 9 a b a b ≤ − ≤ −   1[ ,2]2a∈ 7 4b ≤ b ( 7, ]4 −∞ 2( ) ( ) xf x x a e= − 3a = ( )f x 1 2,x x ( )f x 1 2 1 2| | | |x x x x+ ≥ 3 233 ( ) 32f a a a a b< + − + 23, ( ) ( 3) xa f x x e= ∴ = − 2( ) ( 2 3) 0xf x x x e′ = + − = 3x⇒ = − ( ) 0f x′ > ( , 3) (1, )x∈ −∞ − +∞ ( ) 0f x′ < ( 3,1)x∈ − ( )f x∴ ( , 3),(1, )−∞ − +∞ ( 3,1)− 2( ) ( 2 ) 0xf x x x a e′ = + − = 2 2 0x x a+ − = 1 2,x x 1 2 1 22,x x x x a∴ + = − ⋅ = − 1 2 1 2| | | |x x x x+ ≥ 2 2a∴− ≤ ≤ 4 4 0a= + > 1 2a∴− < ≤ 3 2 2 3 23 3( ) 3 ( ) 3 3( ) 32 2 ag a f a a a a a a e a a a= − − + = − − − + 2 1 5( ) 3( 1)( 1) 0 2 ag a a a e a − ±′ = + − − = ⇒ = 0a =56 2 + 0 0 + 极大值 极小值 又 ， ， ， . 恒成立之分离常数 65. （分离常数） 已知函数 (1) 若 在 处的切线平行于直线 ，求函数 的单调区间； (2) 若 ，且对 时， 恒成立，求实数 的取值范围. 解: (1) 定义域为 ,直线 的斜率为 , , , .所以 由 ; 由 所以函数 的单调增区间为 ,减区间为 . (2) ，且对 时， 恒成立 ,即 . 设 . 当 时, , a ( 1,0)− 0 5 1(0, )2 − 5 1 2 − 5 1( ,2)2 − ( )g a′ − ( )g a    (2)g (0) 0g = 2(2) 6 8g e= − 2 max( ) 6 8g a e= − 26 8b e∴ > − ( ) ln 1, .af x x a Rx = + − ∈ ( )y f x= 0(1, )P y 1y x= − + ( )y f x= 0a > (0,2 ]x e∈ ( ) 0f x > a 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 A ( ) ln 1, .af x x a Rx = + − ∈ )(xf ),0( +∞ 1y x= − + 1− xx axf 1)(' 2 +−= 11)1(' −=+−= af 2=∴a 22 212)(' x x xxxf −=+−= 20)(' >> xxf 得 200)(' ln 1 0 (0,2 ]a x x ex + − > ∈在 恒成立 ]2,0(,ln)ln1()( exxxxxxxg ∈−=−= ]2,0(,ln1ln1)(' exxxxg ∈−=−−= 10 +−− =∴ x xex xg x x xe xg x 12)( 2 −− =∴ ),1[ +∞ )(xg∴ 2 3)1( −= eg a∴ 2 3−e 12)( 2 −−−= axxexf x  axexf x −−=∴ )(' 2( ) x af x x −′ = ( )f x (0, )a ( , )a +∞ a 2e ( )f x ( ) 1 ln 1 0f a a= + − > 1a > 1 a< 2e 2a e> ( ) (2 ) ln(2 ) 1 02 af x f e ee > = + − > 2 ln 2a e> 2a e> 1a > a 12)( 2 −−−=∴ axxexf x a⇔0 x xex 12 2 −− x xe xg x 12)( 2 −− = 2 2 12)1( )(' x xex xg x +−− =58 设 , , ≥0, ≥0, 在 上为增函数, ≥ . 又 ≥0恒成立, ≥0, ≤ , ≥ , , 在 上为增函数, 此时 ≥ ≥0恒成立, ≤ ． （改x≥0时， ≥0恒成立. ≤1） 解：先证明 在 上是增函数，再由洛比达法则 ，∴ ，∴ ≤1.（正常的讨论进行不了，除非系数调到二次项上 ， 分两种情况讨论可得 ≤1） 67. （两边取对数的技巧）设函数 且 ） （1）求 的单调区间； （2）求 的取值范围； （3）已知 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 解：（1） , 当 时，即 . 当 时，即 或 . 故函数 的单调递增区间是 . 函数 的单调递减区间是 . （2）由 时，即 ， 由（1）可知 在 上递增， 在 递减，所以在区间（－1，0）上， 当 时， 取得极大值，即最大值为 . 在区间 上， . 函数 的取值范围为 .分 （3） ，两边取自然对数得 axexh x −−=)( 1)(' −= xexh x 1)(' −=∴ xexh axexh x −−=∴ )( ),1[ +∞ )(xh∴ aeh −−= 1)1( 12)( 2 −−−= axxexf x  2 3)1( −−=∴ aef a∴ 2 3−e )(xh∴ 01)1( >−−= aeh 0)(' >−−=∴ axexf x 12)( 2 −−−= axxexf x ),1[ +∞ )(xf 2 3)1( −−= aef a∴ 2 3−e )(xf 1( ) ( 1( 1)ln( 1)f x xx x = > −+ + 0x ≠ ( )f x ( )f x 1 12 ( 1)mx x+ > + ( 1,0)x∈ − m 2 2 ln( 1) 1'( ) ( 1) ln ( 1) xf x x x + += − + + ∴ '( ) 0f x > 1ln( 1) 1 0, 1 1x x e−+ + < − < < − '( ) 0f x < ln( 1) 1 0,0x x+ + > > 1 1e−> − 0x > ( )f x 1( 1, 1)e−− − ( )f x 1( 1,0),(0, )e− − +∞ '( ) 0f x = 1ln( 1) 1 0, 1x x e−+ + = = − ( )f x 1( 1, 1)e−− − 1( 1,0)e− − 1 1x e−= − ( )f x 1( 1)f e w− − = − (0, )+∞ ( ) 0f x > ∴ ( )f x ( , ) (0, )e−∞ − +∞ 1 12 ( 1) 0, ( 1,0)mx x x+ > + > ∈ − 1 ln 2 ln( 1)1 m xx > ++ a ( )g x (0, )+∞ 2 0 0 12lim lim 11 x x x x xe e x x→ → − − −= = ( ) 1g x > a 2( ) 12 x af x e x x= − − − a59 68. （分离常数） 已知函数 ． （Ⅰ）若函数在区间 其中a >0，上存在极值，求实数a的取值范围； （Ⅱ）如果当 时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围； 解：（Ⅰ）因为 ， x >0，则 ， 当 时， ；当 时， ． 所以 在（0，1）上单调递增；在 上单调递减， 所以函数 在 处取得极大值． 因为函数 在区间 （其中 ）上存在极值， 所以 解得 ． （Ⅱ）不等式 即为 记 所以 令 ，则 ， ， 在 上单调递增， ，从而 ， 故 在 上也单调递增， 所以 ，所以 ． 69. （2010湖南，分离常数，构造函数） 已知函数 对任意的 恒有 . ⑴证明：当 1 ln( ) xf x x += 1( , )2a a + 1x ≥ ( ) 1 kf x x ≥ + 1 ln( ) xf x x += 2 ln( ) xf x x ′ = − 0 1x< < ( ) 0f x′ > 1x > ( ) 0f x′ < ( )f x (1, )+∞ ( )f x 1x = ( )f x 1( , )2a a + 0a > 1, 1 1,2 a a  1 12 a< < ( ) ,1 kf x x ≥ + ( 1)(1 ln ) ,x x kx + + ≥ ( 1)(1 ln )( ) ,x xg x x + += [ ] 2 ( 1)(1 ln ) ( 1)(1 ln )( ) x x x x xg x x ′+ + − + +′ = 2 lnx x x −= ( ) lnh x x x= − 1( ) 1h x x ′ = − 1x ≥ ( ) 0,h x′∴ ≥ ( )h x∴ [1, )+∞ [ ]min( ) (1) 1 0h x h∴ = = > ( ) 0g x′ > ( )g x [1, )+∞ [ ]min( ) (1) 2g x g= = 2k ≤ 2( ) ( , ),f x x bx c b c= + + ∈R ,x∈R ( ) ( )f x f x′ ≤ 20 ( ) ( ) ;x f x x c+≥ 时， ≤60 ⑵若对满足题设条件的任意b、c，不等式 恒成立，求M的最小值。 70. （第3问不常见，有特点，由特殊到一般，先猜后证）已知函数 （Ⅰ）求函数f (x)的定义域 （Ⅱ）确定函数f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论. （Ⅲ）若x>0时 恒成立，求正整数k的最大值. 解：（1）定义域 （2） 单调递减。 当 ，令 ， 故 在（－1，0）上是减函数，即 ， 故此时 在（－1，0）和（0，+ ）上都是减函数 （3）当x>0时， 恒成立，令 又k为正整数，∴k的最大值不大于3 2 2( ) ( ) ( )f c f b M c b− −≤ x xnxf )1(11)( ++= 1)( +> x kxf ),0()0,1( +∞∪− ,0)]1ln(1 1[1)( 2 时当 >+++ −=′ xxxxxf 0)( x kxf ]2ln1[21 +0时 恒成立 令 ，则 ， ，当 ∴当 取得最小值 当x>0时， 恒成立，因此正整数k的最大值为3 71. (恒成立，分离常数，涉及整数、较难的处理) 已知函数 （Ⅰ）试判断函数 上单调性并证明你的结论； （Ⅱ）若 恒成立，求整数k的最大值；（较难的处理） （Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n－3. 解：（I） 上递减. （II） 则 上单调递增， 又 存在唯一实根a，且满足 当 ∴ 故正整数k的最大值是3 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知 ∴ 令 ，则 ∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)] )0(1)( >+> xx kxf 021)1ln()1( >−+++ xxx xxxxg 21)1ln()1()( −+++= 时当 1,1)1ln()( −>−+=′ exxxg 时当 1,1)1ln()( −>−+=′ exxxg 0)( >′ xg 0)(,10 −+++ xxx ).0()1ln(1)( >++= xx xxf ),0()( +∞在xf 1)( +> x kxf )]1ln(1 1[1)]1ln(11[1)( 22 +++−=+−−+=′ xxxxx x xxf .0)(,0)1ln(,01 1,0,0 2 +>+>∴> xfxxxx ),0()( ∞∴ 在xf .)]1ln(1)[1()(,1)( 恒成立即恒成立 kx xxxhx kxf >+++=+> ).0)(1ln(1)(,)1ln(1)( >+−−=+−−=′ xxxxgx xxxh 记 ),0()(,01)( +∞∴>+=′ 在xgx xxg .02ln22)3(,03ln1)2( >−=++ xxx x xxx xx 321 3211 3)1ln( −>+−=−+>+ *))(1( Nnnnx ∈+= )1( 32)]1(1ln[ +−>++ nnnn62 ∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3 72. (分离常数，双参，较难)已知函数 ， . （１）若函数 依次在 处取到极值． ①求 的取值范围；②若 ，求 的值． （２）若存在实数 ，使对任意的 ，不等式 恒成立．求正整数 的 最大值． 解：（1）① ② . （2）不等式 ，即 ，即 . 转化为存在实数 ，使对任意 ，不等式 恒成立,即不等 式 在 上恒成立。 即不等式 在 上恒成立。 设 ，则 。 设 ，则 ，因为 ，有 。 故 在区间 上是减函数。 又 故存在 ，使得 。 当 时，有 ，当 时，有 。 从而 在区间 上递增，在区间 上递减。 又 321 332)1 11(32 ])1( 1 32 3 21 1[32 ])1( 32[)31 32()21 32( −>++−=+−−= +++×+×−= +−++×−+×−> nnnnn nnn nn   3 2( ) ( 6 3 ) xf x x x x t e= − + + t R∈ ( )y f x= , , ( )x a x b x c a b c= = = < < t 22a c b+ = t [ ]0,2t ∈ [ ]1,x m∈ ( )f x x≤ m 2 3 2 3 2( ) (3 12 3) ( 6 3 ) ( 3 9 3)x x xf x x x e x x x t e x x x t e′ = − + + − + + = − − + + 3 2( ) 3 , 3 9 3 0 3 , , .f x x x x t a b c∴ − − + + = 有 个极值点 有 个根 3 2 2( ) 3 9 3, '( ) 3 6 9 3( 1)( 3)g x x x x t g x x x x x= − − + + = − − = + −令 ( ) (- ,-1),(3,+ ) (-1,3)g x ∞ ∞在 上递增, 上递减. ( ) 3 8 24.(3) 0g x tg ∴ ∴− < = − > = − < 0 (2,3)x ∈ 0 0( ) ( ) 0r x xϕ′= = 01 x x≤ < ( ) 0xϕ′ > 0x x> ( ) 0xϕ′ < ( )y xϕ= [ ]01, x [ )0 ,x +∞ 1 2 3(1) 4 0, (2) 5>0, (3) 6>0,e e eϕ ϕ ϕ− − −= + > = + = + 4 5 6(4) 5>0, (5) 2 0, (6) 3 0.e e eϕ ϕ ϕ− − −= + = + > = − 6x ≥ ( ) 0xϕ < m 2 2( ) ln (1 ) .1 xf x x x = + − + ( )f x 1(1 )n a en ++ ≤ N*n∈ ( )f x ( 1, )− +∞ 2 2 2 2 2ln(1 ) 2 2(1 )ln(1 ) 2( ) .1 (1 ) (1 ) x x x x x x xf x x x x + + + + − −′ = − =+ + + 2( ) 2(1 )ln(1 ) 2 ,g x x x x x= + + − − ( ) 2ln(1 ) 2 .g x x x′ = + − ( ) 2ln(1 ) 2 ,h x x x= + − 2 2( ) 2 .1 1 xh x x x −′ = − =+ + 1 0x− < < ( ) 0,h x′ > ( )h x ( ) 0,h x′ < ( )h x (0, )+∞ ( ) 0( 0)g x x′ < ≠ ( 1, )− +∞ 1 0x− < < ( ) (0) 0,g x g> = ( ) (0) 0.g x g< = 1 0x− < < ( ) 0,f x′ > ( )f x ( ) 0,f x′ < ( )f x (0, )+∞ ( )f x (0, )+∞ 1(1 )n a en ++ ≤ 1( )ln(1 ) 1.n a n + + ≤ 11 1n + > 1ln(1 )n + 1 .1ln(1 ) a n n − + ≤ 1x n = ( ]1 1( ) , 0,1 ,ln(1 )G x xx x = − ∈+ 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 )ln (1 )( ) .(1 )ln (1 ) (1 )ln (1 ) x x xG x x x x x x x + + −′ = − + =+ + + + 2 2ln (1 ) 0,1 xx x + − ≤+ ( )f x (0) 0f = 2 2(1 )ln (1 ) 0.x x x+ + − ≤ ( ) 0,G x′ < ( ]0,1 ,x∈ ( ]0,1 ( )G x ( ]0,1 1(1) 1.ln 2G = − 1 1.ln 2 −64 74. （变形，分离常数） 已知函数 (a为实常数). (1)若 ，求证：函数 在(1,+∞)上是增函数； (2)求函数 在[1,e]上的最小值及相应的 值； (3)若存在 ，使得 成立，求实数a的取值范围. 解：⑴当 时， ，当 ， ， 故函数 在 上是增函数． ⑵ ，当 ， ． 若 ， 在 上非负（仅当 ，x=1时， ），故函数 在 上是 增函数，此时 ． 若 ，当 时, ；当 时， ，此时 是减函数；当 时， ，此时 是增函数． 故 ． 若 ， 在 上非正（仅当 ，x=e时， ），故函数 在 上是减函数，此时 ． ⑶不等式 ，可化为 ． ∵ , ∴ 且等号不能同时取，所以 ，即 ， 因而 （ ） 令 （ ），又 ， 当 时， ， ， 从而 （仅当x=1时取等号），所以 在 上为增函数， 故 的最小值为 ，所以a的取值范围是 ． 75. （分离常数，转换变量，有技巧） 设函数 . ⑴若函数 在 处与直线 相切： ①求实数 的值；②求函数 在 上的最大值； ⑵当 时，若不等式 ≥ 对所有的 都成立，求实数 的取值 范围. 解：（1）① 。 xaxxf ln)( 2 += 2−=a )(xf )(xf x ],1[ ex ∈ xaxf )2()( +≤ 2−=a xxxf ln2)( 2 −= ),1( +∞∈x 0)1(2)( 2 >−=′ x xxf )(xf ),1( +∞ )0(2)( 2 >+=′ xx axxf ],1[ ex∈ ]2,2[2 22 eaaax ++∈+ 2−≥a )(xf ′ ],1[ e 2−=a 0)( =′ xf )(xf ],1[ e =min)]([ xf 1)1( =f 22 2 − ) ( ) ( ) ( ) 2sin 2 .x xx F x F x e e x axϕ −= − − = − + − '( ) 2cos 2 .x xx e e x aϕ −= + + − ( ) ''( ) 2sinx xS x x e e xϕ −= = − − '( ) 2cos 0x xS x e e x−= + − ≥ [0, )+∞ ) '( )xϕ [0, )+∞ '( ) '(0) 4 2x aϕ ϕ≥ = − ) '( ) 0xϕ ≥ ( )xϕ ) ( ) (0) 0xϕ ϕ≥ = [ ) [ ) [ ) [ ) ( ] 0 0 0 0 2 '( ) 0, '( ) 0, (0, ), 0 '( ) 0. ( ) 0, (0) 0 (0, ) ( ) 0 ( 14 ) ( ) 0 0, 2 . a x x x x x x x x x x F x F x x a a ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ > < +∞ ∴ ∈ +∞ < = ∴ ∈ < − − ≥ ∈ +∞ …∴ > ∞ …… 当 时， 又 在 单调递增， 总存在 使得在区间 ， 上 导致 在 递减，而 ， 当 时， ，这与 对 恒成立不符， 不合题意. 综上 取值范围是 - , 2 分 2( ) 2 x kf x e x x= − − 0k = ( )f x 0x ≥ ( ) 1f x ≥ k 0k = ( ) xf x e x= − '( ) 1xf x e= − ( ,0)x∈ −∞ '( ) 0f x < (0, )x∈ +∞ '( ) 0f x > ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ ( )f x (0) 1f =67 （2） ， 当 时， ，所以 在 上递增， 而 ，所以 ，所以 在 上递增， 而 ，于是当 时， . 当 时，由 得 当 时， ，所以 在 上递减， 而 ，于是当 时， ，所以 在 上递减， 而 ，所以当 时， . 综上得 的取值范围为 . 79. (第 3 问设计很好，2 问是单独的，可以拿掉)已知函数 ，斜率 为 的直线与 相切于 点. （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）当实数 时，讨论 的极值点。 （Ⅲ）证明： . 解：（Ⅰ）由题意知： ………………………………2 分 解得： ； 解得： 所以 在 上单调递增，在 上单调递减………………4 分 （Ⅱ） = 得： . 若 即 ， + - + 极大值 极小值 此时 的极小值点为 ，极大值点 ………………………………7 分 若 即 ， ，则 ， 在 上单调递增，无 '( ) 1xf x e kx= − − ( ) xf x e k′′ = − 1k ≤ ( ) 0 ( 0)f x x′′ ≥ ≥ ( )f x′ [ )0,+∞ (0) 0f ′ = '( ) 0 ( 0)f x x≥ ≥ ( )f x [ )0,+∞ (0) 1f = 0x ≥ ( ) 1f x ≥ 1k > ( ) 0f x′′ = lnx k= (0,ln )x k∈ ( ) 0f x′′ < ( )f x′ (0,ln )k (0) 0f ′ = (0,ln )x k∈ '( ) 0f x < ( )f x (0,ln )k (0) 1f = (0,ln )x k∈ ( ) 1f x < k ( ,1]−∞ 1ln)1()( +−+= xxxbxf 1 )(xf (1,0) ( ) ( ) lnh x f x x x= − 0 1a< < 21( ) ( ) ( )ln 2g x f x a x x ax= − + + ( 1) ( ) 0x f x− ≥ 1)1(ln)( −++=′ x xxbxf 1,112)1( ==−=′ bbf ( ) ( ) ln ln 1h x f x x x x x= − = − + 1( ) 1h x x ′ = − 1( ) 1 0h x x ′ = − > 0 1x< < 1( ) 1 0h x x ′ = − < 1x > ( )h x (0,1) (1, )+∞ 21( ) ( ) ( )ln 2g x f x a x x ax= − + + 21(1 )ln 12a x ax x− + − + 2 / 1 1( ) 1a ax x ag x axx x − − + −∴ = + − = [ ] 1( 1) ( 1)(1 ) ( 1) a x xax a x a x x  − − − − − −  = = 0)( =′ xg 1,11 21 =−= xax 01 0,1110 >− aa 2 10 xx x ),0( 2x 2x ),( 12 xx 1x ),( 1 +∞x )(/ xf 0 0 )(xf ↑ ↓ ↑ )(xg 1=x 11 −= ax 12 1 ( )f x ( ), 1−∞ − ( )0,+∞ ( ) ( 1 )xf x x e ax= − − ( ) 1xg x e ax= − − ( ) xg x e a′ = − 1a ≤ ( )0,x∈ +∞ '( )g x > 0 ( )g x (0) 0g =69 从而当x≥0时 ≥0，即 ≥0，符合题意. ②若 ，则当 时， ， 为减函数，而 ， 从而当 时 ＜0，即 ＜0,不合题意. 综合得 的取值范围为 81. （2011全国新理21，恒成立，反比例，提出公因式再处理的技巧，本题的创新之处是将一 般的过定点（0,0）变为过定点（1,0），如果第2问范围变为 则更间单） 已知函数 在点 处的切线方程为 . ⑴求 、 的值； ⑵如果当 ，且 时， ，求 的取值范围。 解：⑴ ， 依意意 且 ，即 ， ，解得 ， . ⑵由⑴知 ，所以 . 设 ，则 . （注意h(x)恒过点(1,0)，由上面求导的表达式发现讨论点0和1） ① 当 ，由 ，（变形难想，法二） 当 时， .而 ，故 当 时， ，可得 ； 当x (1,+ )时， 0, 从而当x>0,且x 1时， －( + )>0，即 > + . 法二： 的分子 ≤ ＜0，∴ . ②当0< k 0,故 >0,而 =0，故当x (1, )时， >0，可得 0，则x (1，+ )时， 递增， ，∴ 1 ( )0,lnx a∈ '( )g x < 0 ( )g x (0) 0g = ( )0,lnx a∈ ( )g x ( )f x a ( ],1−∞ 1x > ln( ) 1 a x bf x x x = ++ (1, (1))f 2 3 0x y+ − = a b 0x > 1x ≠ ln( ) 1 x kf x x x > +− k 2 2 1( ln ) '( ) ( 1) xa x bxf x x x + − = −+ (1) 0,f = 1(1) 2f ′ = − 1b = 1 2 2 a b− = − 1a = 1b = ln 1( ) 1 xf x x x = ++ 2 2 ln 1 ( 1)( 1)( ) ( ) (2ln )1 1 x k k xf x xx x x x − −− + = +− − ( ) 2lnh x x= + 2( 1)( 1)k x x − − ( 0)x > 2 2 ( 1)( 1) 2'( ) k x xh x x − + += 0k ≤ 2 2 2 ( 1) ( 1)'( ) k x xh x x + − −= 1x ≠ '( ) 0h x < (1) 0h = (0,1)x∈ ( ) 0h x > 2 1 ( ) 01 h xx >− ∈ ∞ ( )h x 21 1 x− ( )h x ≠ ( )f x 1 ln −x x x k ( )f x 1 ln −x x x k ( )h x′ 2( 1)( 1) 2k x x− + + 1 k k− '( ) 0h x < ∈ k−1 1 ( )h x′ (1)h ∈ k−1 1 ( )h x 21 1 x− ( )h x ( )h x′ ∈ ∞ ( )h x ( ) (1) 0h x h> = 21 1)( xxf −= ( )h x ∞70 82. (恒成立，讨论,较容易，但说明原理)已知函数 . （1）求函数 的单调区间和极值； （2）若 对 上恒成立，求实数 的取值范围. 解：（1） . 当 时， ，在 上增,无极值；当 时， ， 在 上减，在 上增,∴ 有极小值 ，无极大值. （2） 当 时， 在 上恒成立，则 是单调递增的， 则只需 恒成立，所以 . 当 时， 在上 减，在 上单调递增，所以当 时， 这与 恒成立矛盾，故不成立. 综上： . 83. （2010新课程理21，恒成立，讨论，二次，用到结论 ） 设函数 . ⑴若 ，求 的单调区间； ⑵若当 时 ，求 的取值范围. 解：命题意图：本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问 题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力. ⑴ 时， ， . 当 时， ；当 时， .故 在 单调减少，在 单调增加. ⑵①当 ≤ 时， ， 由⑴结论知 ≥ ，则 ， 故 ，从而当 ，即 时， ， 而 ，于是当 时， ，符合题意. ② 时，由 可得 .（太难想，法二） ， 故当 时, ，而 ，于是当 时, . 综合得 的取值范围为 . 法二：设 ,则 , 令 ，得 . 当 ， ， 在此区间上是增函数，∴ ≤ ， ∴ 在此区间上递增，∴ ≤ ，不合题意. xaxxf ln)1()( −−= )(xf 0)( ≥xf ),1[ +∞∈x a x ax x axf −=−=1)(' )0( >x 0≤a 0)(' >xf ),0( +∞ 0>a axx axxf ==−= 得由 ,0)(' )(xf ),0( a ),( +∞a )(xf aaaaf ln)1()( −−= x ax x axf −=−=1)(' 1≤a 0)(' ≥xf ),1[ +∞ )(xf 0)1()( =≥ fxf 1≤a 1>a )(xf ),1( a ),( +∞a ),1( ax∈ 0)1()( =≤ fxf 0)( ≥xf 1≤a 1xe x+≥ 2( ) 1xf x e x ax= − − − 0a = ( )f x 0x≥ ( ) 0f x ≥ a 0a = ( ) 1xf x e x= − − '( ) 1xf x e= − ( ,0)x∈ −∞ '( ) 0f x < (0, )x∈ +∞ '( ) 0f x > ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ a 1 2 ( ) 1 2xf x e ax′ = − − ( ) 1xf x e x= − − (0) 0f = 1xe x+≥ '( ) 2 (1 2 )f x x ax a x≥ − = − 1 2 0a− ≥ 1 2a ≤ '( ) 0 ( 0)f x x≥ ≥ (0) 0f = 0x ≥ ( ) 0f x ≥ 1 2a > 1 ( 0)xe x x> + ≠ 1 ( 0)xe x x− > − ≠ '( ) 1 2 ( 1) ( 1)( 2 )x x x x xf x e a e e e e a− −< − + − = − − (0,ln(2 ))x a∈ '( ) 0f x < (0) 0f = (0,ln(2 ))x a∈ ( ) 0f x < a 1( , ]2 −∞ ( ) ( ) 1 2xg x f x e ax′= = − − ( ) 2xg x e a′ = − ( ) 0g x′ = ln(2 ) 0x a= > [0,ln(2 )]x a∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )g x (0) 0g = ( )f x (ln(2 ))f a (0) 0f =71 84. （恒成立，2010全国卷2理数，利用⑴结论，较难的变形讨论） 设函数 ． ⑴证明：当 时， ； ⑵设当 时， ，求a的取值范围． 解：本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨 论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础 知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会 减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常 伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. ( ) 1 xf x e−= − x＞- 1 ( ) 1 xf x x ≥ + 0x ≥ ( ) 1 xf x ax ≤ +72 85. 已知函数 ，且函数 是 上的增函数。 （1）求 的取值范围； （2）若对任意的 ，都有 （e 是自然对数的底），求满足条件的最大整数 的值。 解 析 ： （ 1 ） 设 ， 所 以 ， 得 到 ． 所 以 的 取 值 范 围 为 ………2 分 （2）令 ，因为 是 上的增函数，且 ，所以 是 上的增函数。…………………………4 分 由条件得到 （两边取自然对数），猜测最大整数 ，现在证明 对任意 恒成立。…………6 分 等价于 ，………………8 分 设 ， 当 时， ，当 时， ， 所以对任意的 都有 ，即 对任意 恒成立， 所以整数 的最大值为 2．……………………………………………………14 分 86. （2008山东卷21） 已知函数 其中n∈N*,a为常数. ⑴当n=2时，求函数f(x)的极值； ⑵当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x－1. 解：⑴由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}， 当n=2时， 所以 ①当a＞0时，由f(x)=0得 ＞1， ＜1， 此时 = . 当x∈（1，x1）时， ＜0,f(x)单调递减； 当x∈（x1+∞）时， ＞0, f(x)单调递增. ②当a≤0时， ＜0恒成立，所以f(x)无极值. 综上所述，n=2时， 1 1)( + −= x kxxf ( )f x ( )1,− +∞ k 0x > 11 1 + 1k > − k ( 1, )− +∞ 1 1 )( + − = x kx exg ( )f x ( )1,− +∞ 1e > ( )g x ( )1,− +∞ 312ln222)1( 2 1 0x > ( ) ( )2 ln3 1 2h x h≥ = + > 2 1 1 1 x xe x − + < + 0x > k 1( ) ln( 1),(1 )nf x a xx = + −− 2 1( ) ln( 1),(1 )f x a xx = + −− 2 3 2 (1 )( ) .(1 ) a xf x x − −′ = − 1 21x a = + 2 21x a = − ( )f x′ 1 2 3 ( )( ) (1 ) a x x x x x − − − − ( )f x′ ( )f x′ ( )f x′73 当a＞0时，f(x)在 处取得极小值，极小值为 当a≤0时，f(x)无极值. ⑵证法一：因为a=1,所以 ①当n为偶数时，令 则 ）=1+ ＞0（x≥2）. 所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增， 又g(2)=0，因此 ≥g(2)=0恒成立， 所以f(x)≤x－1成立. ②当n为奇数时，要证 ≤x－1,由于 ＜0，所以只需证ln(x－1) ≤x－1, 令h(x)=x－1－ln(x－1),则 =1－ ≥0(x≥2), 所以,当x∈[2，+∞]时， 单调递增，又h(2)=1＞0， 所以当x≥2时，恒有h(x)＞0,即ln(x－1)＜x－1命题成立. 综上所述，结论成立. 证法二：当a=1时， 当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有 ≤1， 故只需证明1+ln(x－1) ≤x－1. 令 则 当x≥2时， ≥0，故h(x)在 上单调递增， 因此，当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x－1) ≤x－1成立. 故当x≥2时，有 ≤x－1. 即f（x）≤x－1. 五、函数与导数性质的综合运用 87. （综合运用） 已知函数 21x a = + 2 2(1 ) (1 ln ).2 af a a + = + 1( ) ln( 1).(1 )nf x xx = + −− 1( ) 1 ln( 1),(1 )ng x x xx = − − − −− ( )g x′ 1 1 1 2 ( 1) 1 1 ( 1)n n n x n x x x x+ + −− = +− − − − 1( ) 1 ln( 1)( 1)ng x x xx = − − − −− ( )f x 1 (1 )nx− ( )h x′ 1 2 1 1 x x x −=− − ( ) 1 ln( 1)h x x x= − − − 1( ) ln( 1).(1 )nf x xx = + −− 1 (1 )nx− [ )( ) 1 (1 ln( 1)) 2 ln( 1), 2,h x x x x x x= − − + − = − − − ∈ +∞ 1 2( ) 1 ,1 1 xh x x x −′ = − =− − ( )h x′ [ )2,+∞ 1 ln( 1)(1 )n xx + −− ( ) ( )xf x xe x−= ∈R74 ⑴求函数 的单调区间和极值； ⑵已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明当 时， ⑶如果 ，且 ，证明 解：本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能 力及用函数思想分析解决问题的能力. ⑴ ，令 =0,得 . 当 变化时， ， 的变化情况如下表 ( ) 1 ( ) + 0 - 极大值 ∴ 在( )内是增函数，在( )内是减函数；极大值 . ⑵证明：由题意可知g(x)=f(2－x)，∴g(x)=(2－x) . 令F(x)=f(x)－g(x)＝ ，则 当 时，2x－2>0,从而 ,从而 在[1,+∞)是增函数。 又F(1)= F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). ⑶证明：①若 ②若 ∴根据①②得 由⑵可知， > ,则 = ，所以 > , 从而 > .因为 ，所以 ， 又由⑴可知函数 在区间（－∞，1）内是增函数，所以 > ,即 >2. 88. （2010天津理数21，综合运用） 已知函数 ⑴求函数 的单调区间和极值； ⑵已知函数 对任意 满足 ，证明：当 时， ⑶如果 ，且 ，证明： 解：⑴∵ = ，∴ = .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分) 令 =0，解得 . 2 ＋ 0 － ↗ 极大值 ↘ ∴ 在 内是增函数，在 内是减函数. 　　　　　　　　　　(3分) ( )f x ( )y g x= ( )y f x= 1x = 1x > ( ) ( )f x g x> 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 2x x+ > ( ) (1 ) xf x x e−′ = − ( )f x′ 1x = x ( )f x′ ( )f x x ,1−∞ 1,+∞ ( )f x′ ( )f x   ( )f x ,1−∞ 1,+∞ 1(1)f e = 2xe − 2( 2)x xxe x e− −+ − 2 2'( ) ( 1)( 1)x xF x x e e− −= − − 1x > 2 2 1 0,xe − − > 0, ( ) 0xe F x− > >又 所以 ( )F x 1 1 0 1e e x− −− = >所以 时 有， ， 1 2( 1)( 1) 0,x x− − = 1 2( ) ( ),f x f x=由⑴及 1 2 1 21, .x x x x= = ≠则 与 矛盾 1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) 0, ( ) ( ), , .x x f x f x x x x x− − > = = ≠由⑴及 得 与 矛盾 1 2 1 2( 1)( 1) 0, 1, 1.x x x x− − < < >不妨设 2( )f x 2( )g x 2( )g x 2(2 )f x− 2( )f x 2(2 )f x− 1( )f x 2(2 )f x− 2 1x > 22 1x− < ( )f x 1x 22 x− 1 2x x+ 1 1( ) (x xf x xe − −= ∈R). ( )f x ( )y g x= x ( ) (4 )g x f x= − 2x > ( ) ( );f x g x> 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 4.x x+ > ( )f x 1 1 x x e − − ( )f x′ 1 2 x x e − − ( )f x 2x = x ( ,2)−∞ (2, )+∞ ( )f x′ ( )f x e 1 ( )f x ( ,2)−∞ (2, )+∞75 ∴当 时， 取得极大值 = .　 (4分) ⑵证明： ,则 = .　　　　　　　　　　　　 　(6分) 当 时， ＜0， ＞3，从而 ＜0， ∴ ＞0， 在 是增函数.　　　　　　　　　　　　　　　　(7分) 　　　 　 　(8分) ⑶证明：∵ 在 内是增函数，在 内是减函数. ∴当 ，且 ， 、 不可能在同一单调区间内. 不妨设 ，由⑵可知 ， 又 ，∴ . ∵ ，∴ . ∵ ，且 在区间 内为增函数， ∴ ，即 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12分) 89. 已知函数 (1) 求函数 的单调区间和极值； (2) 若函数 对任意 满足 ,求证：当 , (3) 若 ，且 ，求证： 解：⑴∵ = ，∴ = .　　　　　　　　　　　(2分) 令 =0，解得 . 2 ＋ 0 － ↗ 极大值 ↘ ∴ 在 内是增函数，在 内是减函数. 　　　　　　　　　　(3分) ∴当 时， 取得极大值 = .　 (4分) ⑵证明： ， , ∴ = .　　　　　　　　　　　 　(6分) 当 时， ＜0， ＞4，从而 ＜0， 2x = ( )f x (2)f e 1 .3)(),4()( 3 xe xxgxfxg − −=∴−= 1 3 1 3( ) ( ) ( ) x x x xF x f x g x e e− − − −= − = −令 ( )F x′ 3 2 1 1 3 2 2 2 (2 )( )x x x x x x x e e e e e − − − + − − − −− = 2x > 2 x− 2 1x − 3 2 1xe e −− ( )F x′ ( )F x (2, )+∞ 1 1( ) (2) 0, 2 ( ) ( ) .F x F x f x g xe e ∴ > = − = > >故当 时, 成立 ( )f x ( ,2)−∞ (2, )+∞ 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1x 2x 1 22x x< < 2 2( ) ( )f x g x> 2 2( ) (4 )g x f x= − 2 2( ) (4 )f x f x> − 1 2( ) ( )f x f x= 1 2( ) (4 )f x f x> − 2 2 12,4 2, 2x x x> − < < ( )f x ( ,2)−∞ 1 24 ,x x> − 1 2 4.x x+ > 1( ) x xf x e −= . ( )f x ( )y g x= x ( ) (4 )g x f x= − 2x > ( ) ( );f x g x> 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 4.x x+ > ( )f x 1 x x e − ( )f x′ 2 x x e − ( )f x′ 2x = x ( ,2)−∞ (2, )+∞ ( )f x′ ( )f x 2 1 e ( )f x ( ,2)−∞ (2, )+∞ 2x = ( )f x (2)f 2 1 e 4 3( ) (4 ) x xg x f x e − −= − = 4 1 3( ) ( ) ( ) x x x xF x f x g x e e − − −= − = −令 ( )F x′ 4 2 4 4 2 2 (2 )( )x x x x x x x e e e e e− + − − − −− = 2x > 2 x− 2x 4 2xe e−76 ∴ ＞0， 在 是增函数. 　　　　 　(8分) ⑶证明：∵ 在 内是增函数，在 内是减函数. ∴当 ，且 ， 、 不可能在同一单调区间内. 不妨设 ，由⑵可知 ， 又 ，∴ . ∵ ，∴ . ∵ ，且 在区间 内为增函数， ∴ ，即 90. 已知函数 ， （Ⅰ）若 ，求 的单调区间； （Ⅱ）对于任意的 ，比较 与 的大小，并说明理由． 解：（Ⅰ） ， ，-----1 分 ①当 时， 在 上恒成立， 的递增区间为 ；------2 分 ②当 时， 的递增区间为 ；--------------3 分 ③当 时， 的递增区间为 ，递减区间为 ；--------4 分 （Ⅱ）令 ， ， 令 ， 在 上恒成立， 当 时， 成立， 在 上恒成立， 在 上单调递增， 当 时， 恒成立， 当 时， 恒成立， 对于任意的 时， ， 又 ， ， ，即 ． 91. （2011辽宁理21，利用2的对称） 已知函数 ． ⑴讨论 的单调性； ⑵设 ，证明：当 时， ；（作差） ( )F x′ ( )F x (2, )+∞ 2 2 1 1( ) (2) 0, 2 ( ) ( ) .F x F x f x g xe e ∴ > = − = > >故当 时, 成立 ( )f x ( ,2)−∞ (2, )+∞ 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1x 2x 1 22x x< < 2 2( ) ( )f x g x> 2 2( ) (4 )g x f x= − 2 2( ) (4 )f x f x> − 1 2( ) ( )f x f x= 1 2( ) (4 )f x f x> − 2 2 12,4 2, 2x x x> − < < ( )f x ( ,2)−∞ 1 24x x> − 1 2 4.x x+ > xaaxxxf )2(ln)( 2 −+−= )(xf 0>a ax 10 + ( ) ln( 1), ( ) 1xf x x g x e= + = − ( ) ( )F x f x px= + ( )F x 2 1 0x x> > 2 1( ) ( )f x f x− 2 1( )g x x− ( ) ( ) ln( 1)F x f x px x px= + = + + 1 1( ) 1 1 px pF x px x + +′∴ = + =+ + 0p = ( ) 0F x′ > ( 1, )− +∞ ( )F x∴ ( 1, )− +∞ 0p > ( )F x ( 1, )− +∞ 0p < ( )F x 1( 1, 1 )p − − − 1( 1 , )p − − +∞ ( ) ( ) ( ) 1 ln( 1)( 1)xG x g x f x e x x= − = − − + > − 1 1( ) 1 1 x x x e x eG x e x x + −′∴ = − =+ + ( ) 1( 1)x xH x e x e x= + − > − ( ) ( 2) 0xH x e x′ = + > ( 1, )− +∞ ∴ 0x > ( ) (0) 0H x H> = ( ) 0G x′∴ > 0x > ∴ ( )G x (0, )+∞ ∴ 0x > ( ) (0) 0G x G> = ∴ 0x > ( ) ( ) 0g x f x− > ∴ 2 1 0x x> > 2 1 2 1( ) ( )g x x f x x− > − 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ( )1 01 1 x x x xx x x x + −− + − = >+ + 2 2 1 2 1 1 1ln( 1) ln ln( 1) ln( 1)1 xx x x xx +∴ − + > = + − ++ 2 1 2 1( ) ( ) ( )f x x f x f x∴ − > − 2 1( )g x x− > 2 1( ) ( )f x f x−77 ⑶若函数 的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为 ，证明： . 解：⑴ ①若 单调增加. ②若 且当 所以 单调增加，在 单调减少. ⑵设函数 则 当 . 故当 ， ⑶由⑴可得，当 的图像与x轴至多有一个交点， 故 ，从而 的最大值为 不妨设 由⑵得 从而 由⑴知， 92. （恒成立，思路不常见） 已知函数 ，其中 为实数． (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)是否存在实数 ，使得对任意 ， 恒成立?若不存在，请说 明理由，若存在，求出 的值并加以证明． 解：⑴ 时， ， ， )(xfy = 0x 0( ) 0f x′ < ( ) (0, ),f x +∞的定义域为 1 (2 1)( 1)( ) 2 (2 ) .x axf x ax ax x + −′ = − + − = − 0, ( ) 0, ( ) (0, )a f x f x′≤ > +∞则 所以 在 10, ( ) 0 ,a f x x a ′> = =则由 得 1 1(0, ) , ( ) 0, , ( ) 0.x f x x f xa a ′ ′∈ > > = >时 而 所以 10 x a < < 时 1 1( ) ( ).f x f xa a + > − 0 , ( )a y f x≤ =时 函数 0a > ( )f x 1 1( ), ( ) 0.f fa a >且 1 2 1 2 1 2 1( ,0), ( ,0),0 , 0 .A x B x x x x xa < < < < = 1 2 2 1 0 2 1, .2 x xx x xa a +> − = >于是 0( ) 0.f x′ < x axxf ln)( −= a 2=a )(xfy = ))2(,2( f a ),1()1,0( +∞∈ x xxf >)( a 2=a x xxf ln 2)( −= xx xxxxf 2ln 2ln)( +−=′78 ，又 ，所以切线方程为 . ⑵①当 时， ，则 令 ， ， 再令 ， 当 时 ，∴ 在 上递减， ∴当 时， ， ∴ ，所以 在 上递增， ，所以 ② 时， ，则 由①知当 时 ， 在 上递增 当 时， ， 所以 在 上递增，∴ ，∴ ； 由①②得 . 93. 已知函数 ，在区间 上有最大值4，最小值1，设 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）不等式 在 上恒成立，求实数 的范围； （Ⅲ）方程 有三个不同的实数解，求实数 的范围． 解:（Ⅰ）(1) 当 时， 上为增函数 故 当 上为减函数 故 即 . . （Ⅱ）方程 化为 2ln 1)2( =′f 0)2( =f )2(2ln 1 −= xy 10 ⇔ xxxxg ln)( −= x xxxg 2 ln22)( −−=′ xxxh ln22)( −−= 0111)( x xx ax >− ln xxxa ln−′ xh )(xh ),1( +∞ 1>x 0)1()( => hxh 0 2 )()( >=′ x xhxg )(xg ),1( +∞ 1)1()( => gxg 1≤a 1=a )1,0(12)( 2 a [ ]( ) 2, 3g x 在 (3) 2 9 6 2 5 1 (2) 5 4 4 2 2 0 g a a b a g a a b b = − + + = =  ⇒ ⇒  = − + + = =   [ ]0 ( ) 2, 3a g x< 时， 在 (3) 2 9 6 2 2 1 (2) 2 4 4 2 5 3 g a a b a g a a b b = − + + = = −  ⇒ ⇒  = − + + = =   011 ==∴< bab 2( ) 2 1g x x x= − + ( ) 1 2f x x x = + − (2 ) 2 0x xf k− ⋅ ≥ 12 2 22 x x x k+ − ≥ ⋅79 ，令 ， ∵ ∴ 记 ∴ ∴ （Ⅲ）方程 化为 ， 令 ， 则方程化为 （ ） ∵方程 有三个不同的实数解， ∴由 的图像知， 有两个根 、 ， 且 或 ， 记 则 或 ∴ 94. 已知函数 ， 设 （1）是否存在唯一实数 ，使得 ，若存在，求正整数 m 的值；若不存在， 说明理由。 （2）当 时， 恒成立，求正整数 n 的最大值。 解：（1）由 得 则 因此 在 内单调递增。……………4 分 因为 ， ， 即 存在唯一的根 ，于是 ……………6 分 21 11 ( ) 22 2x x k+ − ≥ tx = 2 1 2 2 1k t t≤ − + ]1,1[−∈x ]2,2 1[∈t 12)( 2 +−= tttϕ min( ) 0tϕ = 0k ≤ 0)3|12| 2(|)12(| =−−+− x x kf 0)32(|12| 21|12| =+−− ++− kk x x 0)21(|12|)32(|12| 2 =++−+−− kk xx 0|12| x ≠− tx =− |12| 0)21()32(2 =+++− ktkt 0t ≠ 0)32(|12| 21|12| =+−− ++− kk x x |12| −= xt 0)21()32(2 =+++− ktkt 1t 2t 21 t1t0 ( )f x n> 2 1 ln( 1)( ) ,x xf x x − − +′ = ( ) 1 ln( 1)( 0),g x x x x= − − + > ( ) 0,1 xg x x ′ = >+ ( )g x (0, )+∞ (2) 1 ln3 0g = − < (3) 2(1 ln 2) 0g = − > ( ) 0g x = (2,3)a∈ 2,m =80 （2 ）由 得， 且 恒成立，由第（1 ）题知存在唯一的实数 ， 使 得 ， 且 当 时 ， ， ； 当 时 ， ， 因 此 当 时 ， 取 得 最 小 值 ……………9 分 由 ，得 即 于是 又由 ，得 ，从而 ，故正整数 n 的最大值为 3。………12 分 95. (第 3 问难想)已知函数 ，其中ｅ是自然数的底数， 。 （１） 当 时，解不等式 ； （２） 若 在［－１，１］上是单调增函数，求 的取值范围； （３） 当 时，求整数ｋ的所有值，使方程 在［ｋ，ｋ＋１］上有解。 ⑴因为 ，所以不等式 即为 ， 又因为 ，所以不等式可化为 ， 所以不等式 的解集为 ．………………………………………4 分 ⑵ ， ①当 时， ， 在 上恒成立，当且仅当 时 取等号，故 符合要求；………………………………………………………6 分 ②当 时，令 ，因为 ， 所以 有两个不相等的实数根 ， ，不妨设 ， 因此 有极大值又有极小值． 若 ，因为 ，所以 在 内有极值点， 故 在 上不单调．………………………………………………………8 分 若 ，可知 ， 因为 的图象开口向下，要使 在 上单调，因为 ， 必须满足 即 所以 . 综上可知， 的取值范围是 ．………………………………………10 分 ⑶当 时, 方程即为 ，由于 ，所以 不是方程的解， 所以原方程等价于 ，令 ， 因为 对于 恒成立， 所以 在 和 内是单调增函数，……………………………13 分 又 ， ， ， ， ( )f x n> ( )n f x< (0, )x∈ +∞ (2,3)a∈ ( ) 0g a = 0 x a< < ( ) 0g x < ( ) 0f x′ < x a> ( ) 0, ( ) 0g x f x′> > x a= ( )f x ( 1)[1 ln( 1)]( ) a af a a + + += ( ) 0g a = 1 ln( 1) 0,a a− − + = 1 ln( 1) ,a a+ + = ( ) 1f a a= + (2,3)a∈ ( ) (3,4)f a ∈ 3n ≤ 2( ) ( ) xf x ax x e= + a R∈ 0a < ( ) 0f x > ( )f x a 0a = ( ) 2f x x= + e 0x > ( ) 0f x > 2 0ax x+ > 0a < 1( ) 0x x a + < ( ) 0f x > 1(0, )a − 2 2( ) (2 1)e ( )e [ (2 1) 1]ex x xf x ax ax x ax a x′ = + + + = + + + 0a = ( ) ( 1)exf x x′ = + ( ) 0f x′ ≥ [ 1 1]− ， 1x = − 0a = 0a ≠ 2( ) (2 1) 1g x ax a x= + + + 2 2(2 1) 4 4 1 0a a a∆ = + − = + > ( ) 0g x = 1x 2x 1 2x x> ( )f x 0a > ( 1) (0) 0g g a− ⋅ = − < ( )f x ( 1 1)− ， ( )f x [ ]1 1− ， 0a < 1 20x x> > ( )g x ( )f x [ 1 1]− ， (0) 1 0g = > (1) 0, ( 1) 0. g g   − ≥ ≥ 3 2 0, 0. a a + − ≥ ≥ 2 03 a− 0x = 2e 1 0x x − − = 2( ) e 1xh x x = − − 2 2( ) e 0xh x x ′ = + > ( ) ( ),0 0,x∈ −∞ +∞ ( )h x ( ),0−∞ ( )0,+∞ (1) e 3 0h = − < 2(2) e 2 0h = − > 3 1( 3) e 03h −− = − < 2( 2) e 0h −− = >81 所以方程 有且只有两个实数根，且分别在区间 和 上， 所以整数 的所有值为 ．………………………………………………………16 分 96. （2011高考，单调性应用，第2问难） 已知a、b是实数，函数 和 是 的导 函数，若 在区间I上恒成立，则称 和 在区间I上单调性一致. （1）设 ，若函数 和 在区间 上单调性一致,求实数b的取值范围； （2）设 且 ，若函数 和 在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求 |a－b|的最大值. 解： ⑴因为函数 和 在区间 上单调性一致， 所以， 即 即 实数b的取值范围是 ⑵由 若 ,则由 , , 和 在区间 上不是单调 性一致,所以 . ;又 . 所以要使 ,只有 , 取 ,当 时, 因此 当 时 ， 因 为 ， 函 数 和 在 区 间 （ b,a ） 上 单 调 性 一 致 ， 所 以 ， 即 ， 设 ，考虑点(b,a)的可行域，函数 的斜率为1的切线的切点 设为 则 ； 当 时 ， 因 为 ， 函 数 和 在 区 间 （ a, b ） 上 单 调 性 一 致 ， 所 以 ， ( ) 2f x x= + [ ]1 2， [ ]3 2− −， k { }3,1− ,)(,)( 23 bxxxgaxxxf +=+= )(xf ′ )(xg′ )(),( xgxf 0)()( ≥′′ xgxf )(xf )(xg 0>a )(xf )(xg ),1[ +∞− ,0 + > ∴∀ ∈ − +∞ ≥ 2x+b [ 1, ), , 2;x b∴∀ ∈ − +∞ ≥ − ∴ ≥b 2x [2, )+∞ ( ) 0, 3 af x x′ = = ± − 0b > 0a < 0 ( , ), (0) (0) 0a b f g ab′ ′∈ = < ( )f x ( )g x ( , )a b 0b ≤ ( ,0), ( ) 0x g x′∈ −∞ ∈ − − < ( ) ( ) 0f x g x′ ′ ≥ ,3 3 a aa b≥ − − ≥ − − 1 1 10, 0,| |3 3 3a b a b− ≤ < − ≤ ≤ − ≤ 21 1, 0, ( ) ( ) 6 ( )3 9a b f x g x x x′ ′= − = = − 1( ,0)3x∈ − ' '( ) ( ) 0,f x g x ≥ max 1| | 3a b− = b a< )(xf )(xg ' '( , ), ( ) ( ) 0,x b a f x g x∀ ∈ ≥ ( , ), x 0,x b a∀ ∈ ≥2（3 +a）( 2x+b) 0, ( , ),2 0b a x b a x b< < ∴∀ ∈ + ln 1( ) ln 11 xf x x x  = + + +   ln 2 1(2 ) ln 11 2 2 n n n nf  = + + +   n 2 2 2 1 1ln 1 1 log ( 1)2 2 2 n n n n a e n e + < ⇔ < − ⇔ > − −   2 2 2 1 1ln 1 1 log ( 1)2 2 2 n n n n a e n e + < ⇔ < − ⇔ > − −   2n≥ ln 2 ln 2 ln 2 2ln 2 ( 1)1 2 1 (1 1) 1 2 n n n n n n n n = < =−+ + + − 2ln 2 4ln 2 11 2 a nn n < ⇔ > +− 0n 2 0 2log ( 1) n n e> − − 0 4ln 2 1n a > + 0 2n ≥ 0 0 0 0 ln 2 1(2 ) ln 11 2 2 2 2 n n n n a af a = + + < + = +   0a > x ( )f x a≥ (0 )+，∞ a x ( )f x a≥ (0 )+，∞ a ( ]0−∞， 2( ) ( ) ( ) xf x x a x b e= − + a b R∈、 x a= ( )f x 0a = b a 1 2 3x x x， ， ( )f x b 4x R∈ 1 2 3 4x x x x， ， ， 1 2 3 4 , , ,i i i ix x x x { }1 2 3 4i i i i， ， ， { }1 2 3 4，，， b 4x 0a = ( ) ( )2 xf x x x b e= + ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 3 2x x xf x x x b e x x b e e x x b x b′′′    ∴ = + + + = + + +    ( ) ( )2 3 2g x x b x b= + + + ( ) ( )2 23 8 1 8 0b b b∆ = + − = − + > ∴ 1 2x x< ( ) 0g x = 1 0x = 2 0x = 0x = 1 0x ≠ 2 0x ≠ 0x = ( )f x 1 20x x .< 则 1 2x x， ( ) 0g x = 1 2x x .< 1 2x a x< < 1 2x a x、 、 ( )f x ( ) ( )2 1 3 1 8 2 a b a bx − − − + − += ( ) ( )2 2 3 1 8 2 a b a bx − − + + − += b 4x 1 2x a x， ， 2 1x a a x− = − 4 22x x a= − 4 12x x a= − 1 22 3a x x a b= + = − − 3b a .= − − 4 22 3x x a a b= − = − − + 2( 1) 8 2 6a b a a+ − + − = + 4 12 3x x a a b= − = − − 2( 1) 8 2 6a b a a− + − + − = − 2 1x a a x− ≠ − 2 12( )x a a x− = − 1 2( ) 2( )a x x a− = − ( )12 2 xaax −=− 2 2 4 xax += ( ) ( ) 2 813323 2 21 +−+−−−=+= babaxxa ( ) ( ).3381 2 ++−=+−+ baba ( ) ( )21 9 1 17 0a b a b+ − + + − + = 3 0a b+ +  ， 1a b+ − = 9 13 2 − + 7 13 2b a −= − − 1 4 2 ( 3) 3( 3) 1 1332 4 2 a x a a b a bx b a + + − − − + + −= = = − − = +86 综上所述，存在b满足题意， 当b=－a－3时， ， 时， ， 时， . 81. 已知函数 ， ，记 （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）当 时，若 ，比较： 与 的大小； （Ⅲ）若 的极值为 ，问是否存在实数 ，使方程 有四 个不同实数根？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由。 解：（Ⅰ） 的定义域为（0，+∞）， 又 ， 当 时， >0恒成立 ∴ 在（0，+∞）上单调递增； 令 得 当 时，若 ， ∴ 在（0， ）上单调递减； 若 ， ，∴ 在（ ，+∞）上单调递增 故 时， 增区间为 ； 时， 增区间为 ，减区间为（0， ）。 ……4分 （Ⅱ）令 ， 则 ，所以 在［1，+∞） 上单调递增，∴ ，∴ . （Ⅲ）由（Ⅰ）知 仅当 时，在 ＝ 处取得极值 由 可得 ＝２，方程 为 4 2 6x a= ± 7 13 2b a += − − 4 1 13 2x a += + 7 13 2b a −= − − 4 1 13 2x a −= + ( )f x = lna x 2( )g x x= ( ) ( ) ( )F x g x f x= − ( )F x 1 2a ≥ 1x ≥ ( 1)g x − 1( )f x ( )F x 2 a k 21 ( ) (1 )2 g x f x k− + = k )(xF ( ) ( ) ( )F x g x f x= − 2 lnx a x= − ∴ x ax x axxF −=−=′ 222)( 0≤a )(xF′ )(xF ( ) 0F x′ = 2 2 ax = 0a > 2 20 ax 2 2a ( ) 0F x′ > )(xF 2 2a 0a ≤ ( )F x (0, )+∞ 0a > ( )F x 2 ,2 a +∞    2 2a 21( ) ( 1) ( ) ( 1) lnh x g x f x a xx = − − = − + 0 )2 1()2 1(2 )1(2)( 2 > −+− =+−=′ x ax x axxh )(xh 0)1()( =≥ hxh )1()1( xfxg ≥− )(xF 0a > x 2 2a 2)2 2( aaF = a 21 ( ) (1 )2 g x f x k− + =87 ，令 ，得 ．．． 　 由方程有四个不同的根，得方程有两个不同的正根， 令 ，当直线 与曲线 相切时， ，得切点坐 标（３， ） ∴切线方程为 ，其在y轴上截距为 ；当直 线 在 轴上截距 时， 和 在y轴右侧有两个不同交点，所以k的取 值范围为（ ，0）. （注：也可用导数求解） 六、导数应用题 82. 某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为 常数，且2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售 量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件． (1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式； (2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值． 解：(1)设日销售量为，则＝10，∴k＝10 e40.则日销售量为， ∴日利润y＝(x－30－t)·.∴y＝，其中35≤x≤41. (2)y′＝，令y′＝0得x＝31＋t. ①当2≤t≤4时，33≤31＋t≤35.∴当35≤x≤41时，y′≤0. ∴当x＝35时，y取最大值，最大值为10(5－t)e5. ②当4>−∴ eemeem 1,1 22 +==− 即 eemeem 1,1 22 + xfx )]([)( 00 xffxf > 00 )( xxf >∴ 00 )( xxf = 2( ) ( )f x x x a= − − x∈R a∈R 1a = ( )y f x= (2 (2))f， 0a ≠ ( )f x 3a > [ ]1 0k ∈ − ， 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x− −≥ x∈R k 1a = 2 3 2( ) ( 1) 2f x x x x x x= − − = − + − (2) 2f = − 2( ) 3 4 1f x x x′ = − + − (2) 5f ′ = − 2( 1)y x x= − − (2 2)−， 2 5( 2)y x+ = − − 5 8 0x y+ − = 2 3 2 2( ) ( ) 2f x x x a x ax a x= − − = − + − 2 2( ) 3 4 (3 )( )f x x ax a x a x a′ = − + − = − − − ( ) 0f x′ = 3 ax = x a= 0a ≠ 0a > x ( )f x′ x 3 a −  ∞， 3 a 3 a a    ， a ( )a +，∞ ( )f x′ − 0 + 0 − ( )f x 3 ax = 3 af      34 3 27 af a  = −   ( )f x x a= ( )f a ( ) 0f a = 0a < x ( )f x′ x ( )a−∞， a 3 aa    ， 3 a 3 a +  ，∞91 因此，函数 在 处取得极小值 ，且 ； 函数 在 处取得极大值 ，且 ． （Ⅲ）证明：由 ，得 ，当 时， ， ． 由（Ⅱ）知， 在 上是减函数，要使 ， 只要 ，即 ① 设 ，则函数 在 上的最大值为 ． 要使①式恒成立，必须 ，即 或 ． 所以，在区间 上存在 ，使得 对任意的 恒成 立． 1. 已 知 函 数 ，（ 为 常 数 ） 是 实 数 集 上 的 奇 函 数 ， 函 数 是区间 上的减函数。 (1) 求 的值； (2) 若 在 恒成立，求 的取值范围； (3) 讨论关于 的方程 的根的个数。 21．解：(1)∵ 是实数集 R 上的奇函数 ∴ ∴ ……3 分 （2）∵ 是区间 的减函数 ∴ ， ∴只需 www.jk.zy.w.com ∴ ，（ ）恒成立 ……5 分 令 ，（ ） 则 ∴ ，而 恒成立，∴ ……7 分 (3)由(1)知 ∴方程 令 ， ( )f x′ − 0 + 0 − ( )f x x a= ( )f a ( ) 0f a = ( )f x 3 ax = 3 af      34 3 27 af a  = −   3a > 13 a > [ ]1 0k ∈ − ， cos 1k x− ≤ 2 2cos 1k x− ≤ ( )f x ( ]1−∞， 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x− −≥ x∈R 2 2cos cos ( )k x k x x− − ∈R≤ 2 2cos cos ( )x x k k x− − ∈R≤ 2 2 1 1( ) cos cos cos 2 4g x x x x = − = − −   ( )g x R 2 2 2k k− ≥ 2k ≥ 1k −≤ [ ]1 0− ， 1k = − 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x− −≥ x∈R ( ) ln( )xf x e a= + a R ( ) ( ) sing x f x xλ= + [ ]1,1− a 2( ) 1g x t tλ≤ + + [ 1,1]x∈ − t x 2ln 2( ) x x ex mf x = − + ( ) ln( )xf x e a= + 0(0) ln( ) 0f e a= + = 0a = ( ) ( ) sing x f x xλ= + [ 1,1]− 1λ ≤ − max[ ( )] ( 1) sin1g x g λ= − = − − 2sin1 1t tλ λ− − ≤ + + 2( 1) sin1 1 0t tλ+ + + + ≥ 1λ ≤ − 2( ) ( 1) sin1 1h t tλ λ= + + + + 1λ ≤ − 2 1 0 1 sin1 1 0 t t t + ≤ − − + + + ≥ 2 1 sin1 0 t t t ≤ −  − + ≥ 2 sin1 0t t− + ≥ 1t ≤ − ( )f x x= 2ln 2x x ex mx = − + 1 ln( ) xf x x = 2 2 ( ) 2f x x ex m= − +92 ∴ ………8 分 当 时，∴ ， 在 上是增函数 当 时，∴ ， 在 上是减函数 当 时， ……9 分 而 ∴当 ，即 时，方程无解； ……10 分 当 ，即 时，方程有一个根； ……11 分 当 ，即 时，方程有两个根； ……12 分 此时 综上所述，存在 b 满足题意， 当 b=-a-3 时， 时， 时， 4 2 ( 3) 3( 3) 1 1332 4 2 a x a a b a bx b a + + − − − + + −= = = − − = + 4 2 6x a= ± 7 13 2b a += − − 4 1 13 2x a += + 7 13 2b a −= − − 4 1 13 2x a −= + 1 2 1 ln( ) xf x x −′ = (0, )x e∈ 1( ) 0f x′ ≥ 1( )f x ( ]0,e [ ),x e∈ +∞ 1( ) 0f x′ ≥ 1( )f x [ ),e +∞ x e= 1 max 1 1[ ( )] ( )f x f e e = = 2 2 2 ( ) ( )f x x e m e= − + − 2 1m e e − > 2 1m e e > + 2 1m e e − = 2 1m e e = + 2 1m e e − < 2 1m e e < +