中考数学题型训练及答案

中考题型训练及答案三 2．已知实数 a 满足 a2+2a﹣15＝0，求 ﹣ ÷ 的值． 3．如图，PA、PB 是⊙O 的切线，CD 切⊙O 于点 E，△PCD 的周长为 12，∠APB＝60°．求： （1）PA 的长； （2）∠COD 的度数． 4．某商场购进一批单价为 4 元的日用品．若按每件 5 元的价格销售，每月能卖出 3 万件；若按每件 6 元的 价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y（件）与价格 x（元/件）之间满足一次函数关系． （1）试求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？ 5．如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 为直径作半圆⊙O 交 AC 与点 D，点 E 为 BC 的中点，连接 DE．（1）求证：DE 是半圆⊙O 的切线． （2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求 AD 的长． 6．如图①，已知抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（﹣3，0），与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点 P，使△CMP 为等腰三角形？若存在， 请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图②，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此 时 E 点的坐标．7.如图，已知反比例函数 y＝m x (m≠0)的图象经过点(1，4)，一次函数 y＝－x＋b 的 图象经过反比例函数图象上的点 Q(－4，n)． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)一次函数的图象分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，与反比例函数图象的另一 个交点为 P 点，连接 OP，OQ，求△OPQ 的面积． 8.为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为 1 000 m2 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为 x(m2)， 种 草 所 需 费 用 y1( 元 ) 与 x(m2) 的 函 数 关 系 式 为 y1 ＝ {k1푥 （0 ≤ x < 600）， 푘 2푥 ＋b（600 ≤ x ≤ 1 000），其图象如图所示．栽花所需费用 y2(元)与 x(m2) 的函数关系式为 y2＝－0.01x2－20x＋30 000(0≤x≤1 000)．(1)请直接写出 k1，k2 和 b 的值； (2)设这块 1 000 m2 空地的绿化总费用为 w(元)，请利用 w 与 x 的函数关系式， 求出绿化总费用 w 的最大值； (3)若种草部分的面积不少于 700 m2，栽花部分的面积不少于 100 m2，请求出绿 化总费用 w 的最小值． 9.如图，一次函数 y＝kx＋b(k，b 为常数，且 k≠0)的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，且与反比例函数 y＝n x (n 为常数，且 n≠0)的图象在第二象限交于点 C，CD⊥x 轴，垂足为点 D，若 OB＝2OA＝3OD＝12. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)记两函数图象的另一个交点为 E，求△CDE 的面积； (3)直接写出不等式 kx＋b≤n x 的解集．10.有大小两种货车，3 辆大货车与 4 辆小货车一次可以运货 18 吨，2 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运货 17 吨． (1)请问 1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有 33 吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计 10 辆，全部货物 一次运完．其中每辆大货车一次运货花费 130 元，每辆小货车一次运货花费 100 元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？ 11.如图， 是⊙ 的直径， 是弦，连接 ，过点 的切线交 的延长线于点 ， 且 ． （1）求劣弧 的长． （2）求阴影部分弓形的面积． AB O BC OC C BA D 2OC CD= = AC12. 解方程： ． 13. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，以 AB 为直径的⊙0 经过点 D，E 是⊙O 上一点，且∠AED=45°， （1）求证：CD 是⊙O 的切线． （2）若⊙O 的半径为 3，AE=5，求∠DAE 的正弦值． 14.如图， 是 的中线，点 D 是线段 上一点（不与点 重合）． 交 于点 ， ，联结 ． （1）求证： ； （2）求证： ． 1 6 1 5 1 4 2 −=−++ + x x xx x AM ABC△ AM A DE AB∥ BC K CE AM∥ AE AB CM EK CK = BD AE= A B K M C D E15.如图，己知△ABC 为直角三角形，∠C＝90°，边 BC 是⊙O 的切线，切点为 D，AB 经过圆心 O 并与圆相交 于点 E，连接 AD。 (1)求证：AD 平分∠BAC； (2)若 AC＝8，tan∠DAC＝ ，求⊙O 的半径。 16.如图，已知抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C（1， ），P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线 OP 交 该抛物线对称轴于点 B，直线 CP 交 x 轴于点 A． （1）求该抛物线的表达式； （2）如果点 P 的横坐标为 m，试用 m 的代数式表示线段 BC 的长； （3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点 P 坐标． 17.如图，四边形 ABCD 是矩形，E 是对角线 AC 上的一点，EB=ED 且∠ABE=∠ADE． （1）求证：四边形 ABCD 是正方形； 3 4 1− y P O x C B A（2）延长 DE 交 BC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G，求证： ． 18.如图（十三）所示，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过 点 作 的切线交 于点 . （1）求证： ； （2）若 ， 的半径是 5，求 的长. 2【解答】解：原式＝ ，∵a2+2a﹣15＝0，∴（a+1）2＝16，∴原式＝ ＝ ． 3【解答】解：（1）∵CA，CE 都是圆 O 的切线，∴CA＝CE， 同理 DE＝DB，PA＝PB，∴三角形 PDE 的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12， 即 PA 的长为 6； （2）∵∠P＝60°，∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°， EF AG BC BE⋅ = ⋅ ABC∆ CBAB = BC O AC E E O AB F EF AB⊥ 16=AC O EF∵CA，CE 是圆 O 的切线，∴∠OCE＝∠OCA＝ ∠ACD；同理：∠ODE＝ ∠CDB， ∴∠OCE+∠ODE＝ （∠ACD+∠CDB）＝120°，∴∠COD＝180﹣120°＝60°． 4【解答】解：（1）由题意，可设 y＝kx+b（k≠0）， 把（5，30000），（6，20000）代入得： ， 解得： ， 所以 y 与 x 之间的关系式为：y＝﹣10000x+80000； （2）设利润为 W 元，则 W＝（x﹣4）（﹣10000x+80000） ＝﹣10000（x﹣6）2+40000 所以当 x＝6 时，W 取得最大值，最大值为 40000 元． 5【解答】（1）证明：连接 OD，OE，BD，∵AB 为圆 O 的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°， 在 Rt△BDC 中，E 为斜边 BC 的中点，∴DE＝BE，在△OBE 和△ODE 中， ， ∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠ODE＝∠ABC＝90°，则 DE 为圆 O 的切线； （2）在 Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，∴BC＝ AC， ∵BC＝2DE＝4，∴AC＝8，又∵∠C＝60°，DE＝CE， ∴△DEC 为等边三角形，即 DC＝DE＝2，则 AD＝AC﹣DC＝6． 6【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（﹣3，0）， ∴ 解得： ∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，∴其对称轴为 x＝ ＝﹣1， ∴设 P 点坐标为（﹣1，a），当 x＝0 时，y＝3，∴C（0，3），M（﹣1，0）∴当 CP＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得 a＝ ， ∴P 点坐标为：P1（﹣1， ）； ∴当 CM＝PM 时，（﹣1）2+32＝a2，解得 a＝± ， ∴P 点坐标为：P2（﹣1， ）或 P3（﹣1，﹣ ）； ∴当 CM＝CP 时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得 a＝6， ∴P 点坐标为：P4（﹣1，6） 综上所述存在符合条件的点 P，其坐标为 P（﹣1， ）或 P（﹣1，﹣ ） 或 P（﹣1，6）或 P（﹣1， ）； （3）过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，设 E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0） ∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a ∴S 四边形 BOCE＝ BF•EF+ （OC+EF）•OF ＝ （a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+ （﹣a2﹣2a+6）•（﹣a） ＝ ＝﹣ + ∴当 a＝﹣ 时，S 四边形 BOCE 最大，且最大值为 ． 此时，点 E 坐标为（﹣ ， ）． 7.解：(1)∵反比例函数 y＝m x ( m≠0)的图象经过点(1，4)， ∴4＝m 1 ，解得 m＝4，∴反比例函数的解析式为 y＝4 x .将 Q(－4，n)代入 y＝4 x 中，得－4＝4 n ，解得 n＝－1， ∴Q 点的坐标为(－4，－1)． 将 Q(－4，－1)代入 y＝－x＋b 中， 得－1＝－(－4)＋b，解得 b＝－5， ∴一次函数的解析式为 y＝－x－5. (2)联立一次函数与反比例函数的解析式，得{y＝－x－5， 푦 ＝4 x， 解得{x＝－1， 푦 ＝－4 或{x＝－4， 푦 ＝－1. ∴点 P 的坐标为(－1，－4)． 在一次函数 y＝－x－5 中，令 y＝0，得－x－5＝0，解得 x＝－5， ∴点 A 的坐标为(－5，0)，∴OA＝5， ∴S△OPQ＝S△OPA－S△OQA＝1 2 OA·(|yP|－|yQ|)＝1 2 ×5×(4－1)＝15 2 . 8.解：(1)k1＝30，k2＝20，b＝6 000. (2)当 0≤x＜600 时， w＝30x＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01(x－500)2＋32 500. ∵－0.01＜0，∴当 x＝500 时，w 有最大值，为 32 500. 当 600≤x≤1 000 时， w＝20x＋6 000＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋36 000. ∵－0.01＜0，∴w 随 x 的增大而减小， ∴当 x＝600 时，w 有最大值，为 32 400.∵32 400＜32 500， ∴绿化总费用 w 的最大值为 32 500. (3)由题意，得 x≥700. 又 1 000－x≥100，∴700≤x≤900. ∴w＝20x＋6 000＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋36 000. ∵－0.01＜0，∴w 随 x 的增大而减小， ∴当 x＝900 时，w 有最小值，为 27 900. 答：绿化总费用 w 的最小值为 27 900. 9.解：(1)∵OB＝2OA＝3OD＝12， ∴OA＝6，OD＝4， ∴A(6，0)，B(0，12)，D(－4，0)． ∵CD⊥x 轴，∴OB∥CD， ∴△ABO∽△ACD， ∴OA DA ＝OB DC ，即 6 10 ＝ 12 DC ， ∴DC＝20，∴C(－4，20)． 将 A(6，0)，B(0，12)代入 y＝kx＋b 中， 得{6k＋b＝0， 푏 ＝12， 解得{k＝－2， 푏 ＝12. ∴一次函数的解析式为 y＝－2x＋12. 将 C(－4，20)代入 y＝n x 中，得 n＝xy＝－80， ∴反比例函数的解析式为 y＝－80 x .(2)联立一次函数和反比例函数的解析式，得{y＝－2x＋12， 푦 ＝－80 x ， 解得{x＝10， 푦 ＝－8或{x＝－4， 푦 ＝20. ∴点 E 的坐标为(10，－8)， ∴S△CDE＝S△CDA＋S△EDA＝1 2 CD·DA＋1 2 DA·|yE|＝1 2 DA·(CD＋|yE|)＝1 2 ×10×28＝ 140. 10.解：(1)设 1 辆大货车一次可以运货 x 吨，1 辆小货车一次可以运货 y 吨． 根据题意，得{3x＋4y＝18， 2푥 ＋6y＝17，解得{x＝4， 푦 ＝3 2. 答：1 辆大货车一次可以运货 4 吨，1 辆小货车一次可以运货3 2 吨． (2)设大货车有 m 辆，则小货车有(10－m)(0≤m≤10)辆，设运费为 w 元． 根据题意，得 4m＋ 3 2 (10－m)≥33， 解得 m≥36 5 ，∴36 5 ≤m≤10.w＝130m＋100(10－m)＝30m＋1 000. ∵30＞0，∴w 随 x 的增大而增大． 又36 5 ≤m≤10，且 m 为整数， ∴当 m＝8 时，w 有最小值，为 1 240，此时 10－8＝2. 答：货运公司安排大货车 8 辆，小货车 2 辆时最节省费用．11..解：（1）∵CD 切圆 O 于点 C∴OC⊥CD∵OC=OD∴∠COD=45° （2） 12.解： ， 经检验 是 增根，舍去 ∴原方程的根是 ． 13. 14.（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ 是△ 的中线 ∴ ∴ = 2ACl π 弧 3= 2COBS π 扇形 3AOCS∆ = 3= - 32S π 阴 xxxx 6)1(5)1)(4( =+−−+ 11 −=x 92 =x 11 −=x 9=x DE AB∥ ABC EKC=∠ ∠ CE AM∥ AMB ECK=∠ ∠ ABM EKC△ ∽△ AB BM EK CK = AM ABC BM CM= AB CM EK CK =（2）证明：∵ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴四边形 是平行四边形 ∴ 15.解：（1）连接 OD， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴OD⊥BC ∴∠ODB=90° 又∵∠C=90° ∴AC∥OD ∴∠CAD=∠ADO 又∵OA=OD ∴∠OAD=∠ADO ∴∠CAD=∠OAD ∴ AD 平分∠BAC （2）在 Rt△ACD 中 AD= 连接 DE，∵AE 为⊙O 的直径 ∴∠ADE=90° ∴∠ADE=∠C 又∵∠CAD=∠OAD ∴△ACD∽△ADE ∴ ，即 ∴AE= ∴⊙O 的半径是 16. 解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C（1， ） ∴ 解得： ∴抛物线的表达式为：y=x2-2x； （2）∵点 P 的横坐标为 m，∴P 的纵坐标为：m2-2m 令 BC 与 x 轴交点为 M，过点 P 作 PN⊥x 轴，垂足为点 N ∵P 是抛物线上位于第一象限内的一点， ∴PN= m2-2m，ON=m，O M=1 由 得 ∴ BM=m-2 ∵ 点 C 的坐标为（1， ），∴ BC= m-2+1=m-1 （3）令 P(t，t2-2t) △ABP 的面积等于△ABC 的面积∴AC=AP 过点 P 作 PQ⊥BC 交 BC 于点 Q∴CM=MQ=1∴t2-2t=1 CE AM∥ DE CM EK CK = AB CM EK CK = DE AB= DE AB∥ ABDE BD AE= 1022 =+ CDAC AD AE AC AD = 108 10 AE= 2 25 4 25 1− 1 12 a b b a + = −− = 1 2 a b =  = − PN BM ON OM = 2 2 1 m m BM m − = 1− (第 24 题图) y P O x C B A∴ （ 舍去）∴ P 的坐标为（ ） 17. （1）证明：联结 BD ∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB ∵∠ABE=∠ADE ∴∠ABD=∠ADB∴AB=AD ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴四边形 ABCD 是正方形 （2）证明：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AD∥BC ∴ 同理 ∵DE=BE∵四边形 ABCD 是正方形 ∴BC=DC∴ ∴ 18.（1）证明：连结 OE.∵OE=OC， ∴∠OEC=∠OCA ∵AB=CB, ∴∠A=∠OCA ∴∠A=∠OEC，∴ OE∥AB ∵EF 是 的切线，∴EF⊥OE，∴EF⊥AB. （2）连结 BE. ∵BC 是 的直径 ∴∠BEC=90°, 又 AB=CB，AC=16， ∴AE=EC= AC=8， ∵AB=CB=2BO=10, ∴ . 又 ， 即 8×6=10×EF，∴ EF= 1 2t = + 1 2t = − 1 2,1+ EF EC DE EA = DC EC AG EA = EF BC BE AG = EF AG BC BE⋅ = ⋅ O O 2 1 6810 22 =−=BE EFABBEAES ABE ×=×=∆ 2 1 2 1 5 24