中考数学题型训练及答案六

中考题型训练及答案六 1.某童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装每天可售出20件．为了迎接“六 一”节，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1 元，那么每天就可多售出2件． (1)如果童装店想每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降 价多少元？ (2)每件童装降价多少元时童装店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 2．如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且C是弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D， 交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若 ，求证：AE=AO； (3)连接AD，在(2)的条件下，若CD=2 ，求AD的长． 3. 如图(1)，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 A(-1，0)、B(0，3)两点，与 轴交于另一点C，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式及点C、D的坐标； OF FD 2 3 = 3 abxaxy 32 −+= x(2)经过点B、D两点的直线与 轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平 行四边形，求点F的坐标； (3)如图(2)P(2，3)是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点 的坐标． 图(1) 图(2) 4. 如图所示，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A、B 两点 （点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C(0，-3)，对称轴是直线 x＝1， 直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线 BC 的函数表达式； 21 教育网 （3）点 E 为 y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交 CE 于点 F， 交抛物线于 P、Q 两点，且点 P 在第三象限． ①当线段 PQ 时，求 tan∠CED 的值； ②当以 C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点 P 的坐标． （参考公式：抛物线 的顶点坐标是 ） 3 4 AB= 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 24( , )2 4 b ac b a a −− x5.．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，经过 B、D 两点的⊙O 交 AB 于 点 E，交 BC 于点 F，EB 为⊙O 的直径． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）当 BC=2，cos∠ABC= 时，求⊙O 的半径． 6.如图，已知直线 y= x 与双曲线 y= 交于 A、B 两点，点 B 的坐标为（﹣4，﹣2），C 为第一象限内双曲线 y= 上一点，且点 C 在直线 y= x 的上方． （1）求双曲线的函数解析式； （2）若△AOC 的面积为 6，求点 C 的坐标．7.如图，△ABC 的边 AB 为⊙O 的直径，BC 与圆交于点 D，D 为 BC 的中点，过 D 作 DE⊥AC 于 E． （1）求证：AB=AC； （2）求证：DE 为⊙O 的切线； （3）若 AB=13，sinB= ，求 CE 的长． 8.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0），与 y 轴交于点 C（0，3），其对称轴 l 为 x=﹣1． （1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； （2）若动点 P 在第二象限内的抛物线上，动点 N 在对称轴 l 上． ①当 PA⊥NA，且 PA=NA 时，求此时点 P 的坐标； ②当四边形 PABC 的面积最大时，求四边形 PABC 面积的最大值及此时点 P 的坐标．9.如图，在△ABC 中，∠C=90°,AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E,O 是 AB 上一点，经过 A,E 两点的⊙O 交 AB 于点 D，连接 DE，作∠DEA 的平分线 EF 交⊙O 于点 F，连接 AF. （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若 sin∠EFA= ,AF= ,求线段 AC 的长. 10.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 H，连结 AC，过 上一点 E 作 EG∥AC 交 CD 的延长线于点 G，连结 AE 交 CD 于点 F，且 EG=FG，连结 CE． （1）求证：△ECF∽△GCE； （2）求证：EG 是⊙O 的切线； （3）延长 AB 交 GE 的延长线于点 M，若 tanG= ，AH=3 ，求 EM 的值． 5 4 2511.如图，四边形 ABCD 的顶点在⊙O 上，BD 是⊙O 的直径，延长 CD、BA 交于点 E，连接 AC、BD 交于点 F， 作 AH⊥CE，垂足为点 H，已知∠ADE=∠ACB． （1）求证：AH 是⊙O 的切线； （2）若 OB=4，AC=6，求 sin∠ACB 的值； （3）若 ，求证：CD=DH． 12. 3 2= FO DF13. 14.15. 1．解(1)设每件童装降价 x 元，根据题意,得 …………1 分 …………2 分 解得： ， …………3 分 ∵要使顾客得到较多的实惠 ∴取 1200)220)(60100( =+−− xx 1 10x = 2 20x = 20=x答：童装店应该降价 20 元. …………4 分 (2)设每件童装降价 x 元，可获利 y 元，根据题意,得 …………6 分 化简得： ∴ …………8 分 答：每件童装降价 15 元童装店可获得最大利润，最大利润是 1250 元. …9 分 2．(1) 证明：连接 OC，， ∵点 C 是弧 AG 的中点，∴ = ， ∴∠ABC=∠CBG， …………1 分 ∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OCB=∠CBG， ∴OC∥BD， …………2 分 ∵CD⊥BD，∴OC⊥CD， ∴CD 是⊙O 的切线； …………3 分 (2)证明：∵OC∥BD，∴△OCF∽△DBF ∴ = = ， …………4 分 又∵OC∥BD，∴△EOC∽△EBD ∴ ，即 …………5 分 ∴3EA+3AO=2EA+4AO， ∴AE=AO， …………6 分 (3)解：过 A 作 AH⊥DE 于 H，则由(2)得 ∵CD=2 ，∴ ， )220)(60100( xxy +−−= 22 60 800y x x= − + + 22( 15) 1250y x= − − + 3 2== BD OC EB EO 3 2 2 =+ + AOEA AOEA 3 2= ED EC 3 2=+ CDEC EC E A O B B C D H F G解得 EC=4 ，则 DE=6 ， …………7 分 在 Rt△ECO 中，AE=AO=OC ∴ ∴∠E=30° ∵tanE= , EC=4 ∴OC=4, ∴EA=4 …………8 分 在 Rt△DAH 中，EA=4, ∠E=30° ∴AH=2，EH=2 ∴DH=DE-EH=4 在 Rt△DAH 中，AD= = =2 ． …………9 分 3．解：(1)∵抛物线 经过A(-1，0)、B(0，3)两点， ∴ 　 解得： 　 　 抛物线的解析式为： …………1分 ∵由 ，解得： ∴ ∵由 ∴D(1,4) …………2分 (2)∵四边形AEBF是平行四边形， ∴BF=AE． …………3分 设直线BD的解析式为： ，则 ∵B(0，3)，D(1,4) ∴ 解得： ∴直线BD的解析式为： …………4分 当y=0时，x=-3 ∴E(-3，0)， ∴OE=3， 2 1= EO OC EC OC 484 + abxaxy 32 −+= aba 30 −−= 1−=a a33 −= 2=b 322 ++−= xxy 0322 =++− xx 3,1 21 =−= xx )0,3(C 322 ++−= xxy 4)1( 2 +−−= x n+= kxy n=3 1=k nk +=4 3=n 3+= xyB A Q D O P SR C ∵A(-1，0) ∴OA=1， ∴AE=2 ∴BF=2， ∴F的横坐标为2， ∴y=3， ∴F(2，3)； …………5分 (3)如图，设Q ， 作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，且P(2，3)， ∴AR= ，QR= ， PS=3，RS=2-m，AS=3 ∴S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA = = ∴S△PQA= …………7分 ∴当 时，S△PQA的最大面积为 ， …………8分 此时 Q 4.解：（1）依题意得 ， 解得 ，…………………………1 分 所以抛物线的函数表达式为 ． …………………………2 分 （2）令 =0，得 ， 所以 A(-1，0)，B(3，0)．………………………………………………3 分 设直线 BC 的函数表达式为 ， 3 12 1 c b = −− = × 2 3 b c = −  = − 2 2 3y x x= − − 2 2 3y x x= − − 1 21, 3x x= − = y kx b= + )32,( 2 ++− mmm 1+m 322 ++− mm 222 )( ASPSQRARRSQRPS ×−×+×+ 2 33 2 )32()1()2(2 )323( 22 ×−++−×++−×++− mmmmmm 32 3 2 3 2 ++− mm 8 27)2 1(2 3 2 +−−= m 2 1=m 27 8 )4 15,2 1(代入点 B(3，0)和点 C(0，-3)，得 …………………………4 分 解得 ． 所以直线 BC 的函数表达式为 ．………………………………5 分 （3）①如图 2 所示，因为 AB＝4，所以 PQ ．因为 P、Q 关于直线 x＝1 对称， 所以点 P 的横坐标为 ． 所以点 P 的坐标为 ，点 F 的坐标为 ． 所以 ， ． 所以 ，点 E 的坐标为 ．…………………………………6 分 直线 BC: 与抛物线的对称轴 x＝1 的交点 D 的坐标为（1，－2）． 过点 D 作 DH⊥y 轴，垂足为 H． 在 Rt△EDH 中，DH＝1， ， 所以 tan∠CED ．……………………………………………………………7 分 ②由图 3、图 4 得点 P 的坐标为 ， ．………………………9 分 图 图 2 图 3 图 4 5.【解答】（1）证明：如图，连结 OD． ∴OD=OB． ∴∠1=∠2． 3 0, 3. k b b + =  = − 1 3. k b =  = − 3y x= − 3 34 AB= = 1 2 − 1 7,2 4  − −   70, 4  −   7 53 4 4FC OC OF= − = − = 52 2EC FC= = 5 13 2 2OE OC EC= − = − = 10, 2  −   3y x= − 1 32 2 2EH OH OE= − = − = 1 2 3 3 2 DH EH = = = 1(1 2, 2)P − − 2 6 5(1 , )2 2P − −∵BD 平分∠ABC， ∴∠1=∠3． ∴∠2=∠3． ∴OD∥BC． ∴∠ADO=∠C=90°． ∴OD⊥AC． ∵OD 是⊙O 的半径， ∴AC 是⊙O 的切线． （2）解：在 Rt△ACB 中，∠C=90，BC=2，cos∠ABC= ， ∴ ． 设⊙O 的半径为 r，则 AO=6﹣r． ∵OD∥BC， ∴△AOD∽△ABC． ∴ ． ∴ ． 解得 ． ∴⊙O 的半径为 ． 6.【解答】解：（1）∵点 B（﹣4，﹣2）在双曲线 y= 上， ∴ =﹣2，∴k=8， ∴双曲线的函数解析式为 y= ． （2）过点 A 作 AE⊥x 轴于 E，过点 C 作 CF⊥x 轴于 F， ∵正比例函数与反比例函数的交点 A、B 关于原点对称， ∴A（4，2），∴OE=4，AE=2， 设点 C 的坐标为（a， ），则 OF=a，CF= ， 则 S△AOC=S△COF+S 梯形 ACFE﹣S△AOE， = × + （2+ ）（4﹣a）﹣ ×4×2 = ， ∵△AOC 的面积为 6， ∴ =6， 整理得 a2+6a﹣16=0， 解得 a=2 或﹣8（舍弃）， ∴点 C 的坐标为（2，4）． 　 7.【解答】（1）证明：连接 AD， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90° ∴AD⊥BC，又 D 是 BC 的中点， ∴AB=AC； （2）证明：连接 OD，∵O、D 分别是 AB、BC 的中点， ∴OD∥AC， ∴∠ODE=∠DEC=90°， ∴OD⊥DE， ∴DE 是⊙O 的切线； （3）解：∵AB=13，sinB= ， ∴ = ， ∴AD=12， ∴由勾股定理得 BD=5， ∴CD=5， ∵∠B=∠C， ∴ = ， ∴DE= ， ∴根据勾股定理得 CE= ． 　 8.【解答】解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0），与 y 轴交于点 C（0，3），其对称 轴 l 为 x=﹣1， ∴ ， 解得： ． ∴二次函数的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4）； （2）令 y=﹣x2﹣2x+3=0，解得 x=﹣3 或 x=1， ∴点 A（﹣3，0），B（1，0）， 作 PD⊥x 轴于点 D， ∵点 P 在 y=﹣x2﹣2x+3 上， ∴设点 P（x，﹣x2﹣2x+3） ①∵PA⊥NA，且 PA=NA， ∴△PAD≌△ANQ， ∴AQ=PD， 即 y=﹣x2﹣2x+3=2， 解得 x= ﹣1（舍去）或 x=﹣ ﹣1， ∴点 P（﹣ ﹣1，2）； ②设 P（x，y），则 y=﹣x2﹣2x+3， 由于 P 在第二象限，所以其横坐标满足：﹣3＜x＜0， ∵S 四边形 PABC=S△OBC+S△APO+S△OPC， S△OBC= OB•OC= ×3×1= ， S△APO= AO•|y|= ×3•y= y= （﹣x2﹣2x+3）=﹣ x2﹣3x+ ， S△OPC= CO•|x|= ×3•（﹣x）=﹣ x， ∴S 四边形 PABC= ﹣ x2﹣3x+ ﹣ x=6﹣ x﹣ x2=﹣ （x+ ）2+ ， ∴当 x=﹣ 时，S 四边形 PABC 最大值= ，此时 y=﹣x2﹣2x+3= ， 所以 P（﹣ ， ）．　 9.证 明 ： （ 1） 连 接 OE， ∵ OE=OA， ∴ ∠ OEA=∠ OAE， ∵ AE 平 分 ∠ BAC， ∴ ∠ OAE=∠ CAE， ∴ ∠ CAE=∠ OEA， ∴ OE∥ AC， ∴ ∠ BEO=∠ C=90° ， ∴ BC 是 ⊙ O 的 切 线 ； （ 2） 过 A 作 AH⊥ EF 于 H， ∵ AD 是 ⊙ O 的 直 径 ， ∴ ∠ AED=90° ， ∵ EF 平 分 ∠ AED， ∴ ∠ AEF=45° ，∴ △ AEH 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ∴ AC=6.4． 10.【解答】（1）证明：如图 1 中， ∵AC∥EG， ∴∠G=∠ACG， ∵AB⊥CD， ∴ = ，∴∠CEF=∠ACD， ∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG， ∴△ECF∽△GCE． （2）证明：如图 2 中，连接 OE， ∵GF=GE， ∴∠GFE=∠GEF=∠AFH， ∵OA=OE， ∴∠OAE=∠OEA， ∵∠AFH+∠FAH=90°， ∴∠GEF+∠AEO=90°， ∴∠GEO=90°， ∴GE⊥OE， ∴EG 是⊙O 的切线． （3）解：如图 3 中，连接 OC．设⊙O 的半径为 r．在 Rt△AHC 中，tan∠ACH=tan∠G= = ， ∵AH=3 ， ∴HC=4 ， 在 Rt△HOC 中，∵OC=r，OH=r﹣3 ，HC=4 ， ∴（r﹣3 ）2+（4 ）2=r2， ∴r= ， ∵GM∥AC， ∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC， ∴△AHC∽△MEO， ∴ = ， ∴ = ， ∴EM= ． 11.（1）证明：连接 OA， ∵弧 AB=弧 AB, ∴ 又∵ , ∴ . ∵BD 是直径，∴ ,AD=AD,∴ ≌ ∴AB=AE, 又∵OB=OD, ∴OA∥DE, 又∵ , ∴ , ∴AH 是圆 O 的切线 .........3 分 ,ADBACB ∠=∠ ACBADE ∠=∠ ADBADE ∠=∠ 090=∠=∠ DAEDAB DAB∆ DAE∆ DEAH ⊥ AHOA ⊥（2）解：由（1）知， , ∴ , ∴AE=AC=AB=6. 在 中，AB=6，BD=8， , ∴ ,即 . .........6 分 （3）证明：由（2）知，OA 是 的中位线，∴OA∥DE 且 OA= DE. ∴ ∽ , ∴ , ∴ ,即 . 又∵AC=AE,AH CE, ∴CH=HE= CE, ∴CD= CH, ∴CD=DH. 12.解（1）∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC=90°， 又∠ABC=30°， ∴∠ACB=60°， 又 OA=OC， ∴△OAC 为等边三角形，即∠OAC=∠AOC=60°， ∵AF 为⊙O 的切线， ∴∠OAF=90°， ∴∠CAF=∠AFC=30°， ∵DE 为⊙O 的切线， ∴∠DBC=∠OBE=90°， ∴∠D=∠DEA=30°， ∴∠D=∠CAF，∠DEA=∠AFC， ∴△ACF∽△DAE； （2）∵△AOC 为等边三角形， ∴S△AOC= = ， ∴OA=1， ∴BC=2，OB=1， ACDDBEDBEE ∠=∠∠=∠ , ACDE ∠=∠ ABDRt∆ ACBADB ∠=∠ 4 3 8 6sin ==∠ADB 4 3sin =∠ACB BDE∆ 2 1 CDF∆ AOF∆ 3 2== OF DF AO CD DEDEOACD 3 1 2 1 3 2 3 2 =×== CECD 4 1= ⊥ 2 1 2 1 23 4 OA 3 4又∠D=∠BEO=30°， ∴BD= ，BE= ， ∴DE= ； （3）如图，过 O 作 OM⊥EF 于 M， ∵OA=OB，∠OAF=∠OBE=90°，∠BOE=∠AOF， ∴△OAF≌△OBE， ∴OE=OF， ∵∠EOF=120°， ∴∠OEM=∠OFM=30°， ∴∠OEB=∠OEM=30°，即 OE 平分∠BEF， 又∠OBE=∠OME=90°， ∴OM=OB， ∴EF 为⊙O 的切线. 13.解：（1）四边形 APQD 为平行四边形； （2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°， ∵OQ⊥BD， ∴∠PQO=45°， ∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°， ∴OB=OQ， ∴△AOB≌△OPQ， ∴OA=OP，∠AOB=∠POQ， ∴∠AOP=∠BOQ=90°， ∴OA⊥OP； （3）如图，过 O 作 OE⊥BC 于 E. ①如图 1，当点 P 在点 B 右侧时， 则 BQ= ，OE= ， 2 3 3 3 3 2x + 2 2 x +∴ ，即 ， 又∵ ， ∴当 时， 有最大值为 2； ②如图 2，当点 P 在 B 点左侧时， 则 BQ= ，OE= ， ∴ ，即 ， 又∵ ， ∴当 时， 有最大值为 ； 综上所述，∴当 时， 有最大值为 2； 1 2 2 2 xy x+= ´ ´ ( )21 114 4y x= + - 0 2x≤ ≤ 2x = y 2 x- 2 2 x- 1 2 2 2 xy x-= ´ ´ ( )21 114 4y x= - - + 0 2x≤ ≤ 1x = y 1 4 2x = y