江苏省南京市鼓楼区2019年中考一模数学试卷

x + 1 6 2 元 300 280 260 240 220 200 180 160 南京市鼓楼区2019年中考一模试卷 九年级数学 2019.04 一、选择题 1．4 的算术平方根是（ ） A． ±2 B．2 C． −2 D．16 2. 鼓楼区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑 15000 次.用科学记数 法表示 15000 是（ ） A． 0.15 ×106 3．计算(−a)2 ⋅ (a2 )3 A. a8 B．1.5 ×105 的结果是（ ） B. −a8 C．1.5 ×104 C. a7 D．15 ×103 D. −a7 4 若顺次连接四边形 ABCD 各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（ ） A. AB∥CD B. AB ⊥ BC C. AC ⊥ BD D. AC = BD 5 下图是某家庭 2018 年每月交通费支出的条形统计图，若该家庭 2018 年月交通费平均支 出为 a 元，则下列结论中正确的是（ ） 0 1月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9月 10月 11月 12月 月份 A． 200 ≤ a ≤ 220 B． 220 ≤ a ≤ 240 （第5题） C． 240 ≤ a ≤ 260 D． 260 ≤ a ≤ 280 6 A、B 两地相距 900km，一列快车以 200km/h 的速度从 A 地匀速驶往 B 地，到达 B 地后 立刻原路返回 A 地，一列慢车以 75km/h 的速度从 B 地匀速驶往 A 地.两车同时出发， 截止到它们都到达终点时，两车恰好相距 200km 的次数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 7 −3的绝对值是 ． 8 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ． 9 计算 − 的结果是 ．27 x − 3( x − 2) ≥ 4 10 方程 1 x + 2 = 2 的解是 ． x 11 正五边形的每个外角的大小是 °． 12 已知关于 x 的方程 x2 + mx − 2 = 0 有一根是 2，则另一根是 ， m = ?． 13．如图，AB∥EG∥CD，EF 平分∠BED，若∠D=69°，∠GEF=21°，则∠B= °． 14 如图，圆锥底面圆心为 O，半径 OA=1，顶点为 P，将圆锥置于平面上，若保持顶点 P 位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点 A 恰好回到原处，则圆锥的高 OP= ． 15 如图，点 A、B、C、D 在⊙O 上，B 是 AC 的中点，过 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长 线于点 E.若∠AEC=84°，则∠ADC= °． A B E G F A C D （第13题） （第14题） A O D B E C （第15题） 16 在△ ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3.若点 P 在△ ABC 内部（含边界）且满足 PC ≤ PA ≤ PB ,则所有点 P 组成的区域的面积为 ． 三、解答题 17．（7 分）解不等式组 3x > 2x − 2 ．  18．（7 分）计算푎 ― 2 푎 ― 1 ÷ (푎 + 1 ― 3 푎 ― 1) 19．（8 分）⑴解方程 x2 − x − 1 = 0 ． ⑵在实数范围内分解因式 x2 − x − 1 = 0 的结果为 ． O P 20．（8 分）如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，点 E 在 BC 上 ⑴求证△ABC≌△ADE； A⑵求证∠EAC=∠DEB. D B E C (第20题） 21.（8 分） ⑴两只不透明的袋子中均有红球、黄球、白球各 1 个，这些球除颜色外无其他差别.分 别从每个袋子中随机摸出一个球，求摸出两个球都是红球的概率. ⑵鼓楼区实施全面均衡分班，某校为七年级各班随机分配任课教师.已知该校七年级共 有 10 个班，语文洪老师、数学胡老师都执教该年级，则他俩都任教七⑴班的概率 为 . 22．（8 分）妈妈准备用 5 万元投资金融产品，她查询到有 A、B 两款“利滚利”产品，即上 一周产生的收益将计入本金以计算下一周的收益。例如：投资 100 元，第一周的周收益 率为 5%，则第一周的收益为 100×5%=5 元，第二周投资的本金将变为 100+5=105 元. 下图是这两款产品过去 5 周的周收益率公告信息.（第一周：3 月 1 日~3 月 7 日） ⑴若妈妈 3 月 1 日投资产品 B，到第二周结束时会不赚不赔，这种说法对吗？请判断并 说明理由. ⑵请运用学过的统计知识，为妈妈此次投资金融产品提出建议并简要说明理由。 10% 周期收益率 产品A 产品B 7% 6% 5% 0% 5% 10% 2.9% 2% 3.0% 2% 2.9% 2.9% 1% 2.8% 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 （第22题） 23．（8 分）已知点 A（1 , 1），B（2 , 3），C（4 , 7），请用两种不同的方法判断这三点是否在 一条直线上.（写出必要的推理过程） 24．（8 分）已知：如图，在□ABCD 中，G、H 分别是 AD、BC 的中点，AE⊥BD，CF⊥BD， 垂足分别为 E、F. ⑴求证：四边形 GEHF 是平行四边形； ⑵已知 AB=5，AD=8。求四边形 GEHF 是矩形时 BD 的长. 25. 某商品的进价是每件 40 元，原售价每件 60 元.进行不同程度的涨价后，统计了商品调 价当天的售价和利润情况，以下是部分数据： 售价（元/件） 60 61 62 63 ··· 利润（元） 6000 6090 6160 6210 ··· ⑴当售价为每件 60 元时，当天售出 件； 当售价为每件 60 元时，当天售出 件. ⑵若对该商品原售价每件涨价 x 元（ x 为正整数）时当天售出该商品的利润为 y 元. ①用所学过的函数知识直接写出 y 与 x 之间满足的函数表达式： . ②如何定价才能使当天的销售利润不等于 6200 元？ 26. 如图①，一座石拱桥坐落在秦淮河上，它的主桥拱为圆弧形.如图②，乔宽 AB 为 8 米， 水面 BC 宽 16 米， BC 表示的是主桥拱在水面以上的部分，点 P 表示主桥拱拱顶.小明 乘坐游船，沿主桥拱的中轴线向主桥拱行驶. ⑴图③是主桥拱在水面以上部分的主视图，请用直尺和圆规作出主桥拱在静水中的倒影 （保留作图痕迹，不写作法）. 第26题图③ ⑵已知小明眼睛距离水平 1.6 米，游船的速度为 0.2 米/秒.某一时刻，小明看拱顶 P 的 仰角为 37°，4 秒后，小明看拱顶 P 的仰角为 45°. （参考数据： sin 37 ≈ 0.60 ， cos 37 ≈ 0.80 ， tan 37 ≈ 0.75 .） ①求桥拱 P 到水面的距离； ②船上的旗杆高 1 米，某时刻游船背对阳光形式，小明发现旗杆在阳光下的投影所在 直线与航线平行且长为2 米.请估计此刻桥的正下方被阳光照射到的部分的面积（需 画出示意图并标注必要数据）. 27 . （9 分）把一个函数图像上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函 数图像上纵坐标为 0 的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函 数的图像，我们称这个过程为倒数变换. 例如：如图，将 y = x 的图像经过倒数变换后可得到 y = 1 的图像. x 特别地，因为 y = x 图像上纵坐标为 0 的点是原点，所以该点不作 变换，因此 y = 1 的图像上也没有纵坐标为 0 的点. x ⑴请在下面的平面直角坐标系中画出 y = −x + 1 的图像和它经过倒数变换后的图像. ⑵观察上述图像，结合学过的关于函数图像与性质的知识， ①猜想：倒数变换得到的图像和原函数的图像之间可能有怎样的联系？写出两个即可. ②说理：请简要解释你其中一个猜想. ⑶请画出函数 y = 1 x2 + c （c 为常数）的大致图像. 1− 5 1+ 5 九年级数学答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C A D C A 二、填空题 题号 7 8 9 10 11 答案 3 x ≥ −1 2 3 x = −4 72 题号 12 13 14 15 16 答案 x = −1 ， −1 27 2 2 64 27 32 三、解答题 17． −2 < x ≤ 1 ÷ 18. 푎 ― 2 푎 ― 1 ÷ (푎 +1 ― 3 푎 ― 1)=푎 ― 2 푎 ― 1 × 푎 ― 1 푎2 ― 4 = 1 푎 + 2 19．⑴ x1 = 2 x2 = 2 (2)（x-1 2- 5 2 ）(x-1 2+ 5 2 ） 20 ．⑴证明：∵AB=AD，AC=AE，BC=DE ∴△ABC≌△ADE ⑵∵△ABC≌△ADE ∴∠DAE=∠BAC ∴ ∠DAE − ∠BAE = ∠BAC − ∠BAE ∴∠EAC=∠DEB 21 ．⑴ P = 1 × 1 = 1 3 3 9 ⑵ P = 1 10 × 1 10 = 1 100 22 ．⑴这种说法不对。 设开始投资 x 元，则两周结束后总资产为： （x 1 + 2%）（⋅ 1 − 2%）= 0.9996x ≠ x ，所以 并不是不赚不赔，而是赔了。 ⑵选择 A 产品，因为由图可看出两个产品平均收益率相近，但 A 产品波动较小，方差 较小，且一直是正收益，说明收益比较稳健。 23. 结论：A、B、C 三点共线。 证明： 方法一：设 AB 两点所在直线的解析式为 y = kx + b(k ≠ 0） 5 （4 − 1）2 +（7 − 1）2 5  将 A、B 两点坐标代入可求得 y = 2x − 1，将 C 点坐标代入验证，当 x = 4 时， y = 7 ，说明点 C 也在直线 AB 上，即 A、B、C 三点共线。 方法二：通过点坐标求出线段长度，结合三边关系来证明 AB = BC = ∴A、B、C 三点共线 = ， AC = = 3 = 2 ，∴AB+BC=AC 24. ⑴∵在□ABCD 中,AD∥BC 且 AD=BC ∴∠GDE=∠FBH ∵AE⊥BD，CF⊥BD，且 G、H 分别是 AD、BC 的中点 ∴在 Rt△ADE 与 Rt△BCF 中， EG = 1 2 AD = GD , FH = 1 2 BC = HB ∴EG=FH,∠GED=∠GDE，∠FBH=∠BFH ∴∠GED=∠BFH ∴EG∥FH ∴四边形 GEHF 是平行四边形 ⑵连接 GH 当四边形 GEHF 是矩形时，∠EHF=∠BFC=90°， 又∵∠FBH=∠BFH ∴△EFH∽△CBF ∴ EF = FH CB BF 由(1)可得，GA∥HB,GA=HB ∴四边形 GABH 是平行四边形 ∴GH=AB=5 ∵在矩形 GEHF 中，EF=GH，且 AB=5，AD=8 ∴ 5 = 4 8 BF ∴ BF = 32 5 ∴BE=BF-EF= 32 5 ―5 = 7 5 在△ABE 和△CDF 中 ∠AEB = ∠CFD∠ABE = ∠CDF  AB = CD ∴△ABE≌△CDF(AAS) ∴BE=DF= 7 5 ∴BD=BF+DF=32 5 + 7 5 = 39 5 25．⑴300；290 ⑵① y = −10x2 + 100x + 6000 （2 − 1）2 +（3 − 1）2 5 (4 − 2)2 + (7 − 3)2 5 5②由题意，令 y ≥ 6200 ，即 −10x2 + 100x + 6000 ≥ 6200 ，解得 5 − ≤ x ≤ 5 + . 又 x 为正整数，所以 x = 3、4、5、6、7.故定价为 63、64、65、66、67 元. 26．⑴如图所示. ⑵①当小明刚到桥拱顶正下方时，设桥拱顶到小明眼睛距离（即 PC）为 x 米. tan 37 =푃퐶 퐴퐶 = 3 4 ⇒ AC = 4 3 x ； tan 45 =푃퐶 퐵퐶 = 1 ⇒ BC = x ； AB = AC − BC = 4 3 x − x = 0.2 × 4 ；解得： x = 2.4 . 则拱桥 P 到水面的距离 PE 为： 2.4 + 1.6 = 4 米. P C E D ②如图，红色曲线与 BC 构成的图形即为所求区域（面积设为 S），与阴影部分弓形 相比，水平长度不变，竖直距离变为其两倍，所以可以认为 S 为弓形的面积两倍由 ①可得OB = 10 ，∠BOC = 106 ∴ S弓形 = 106 × π ×102 − 1 ×16 × 6= 265 π − 48 360 2 9 ∴ S = 2S弓形 = 530 π − 96 9 AB 27 ． ⑴ ⑵①猜想一：倒数变换得到的图像和原函数的图像之间如果存在交点，则其纵坐标为 1 或 −1 ； 猜 想二：倒数变换得到的图像和原函数的图像的对称性相同，比如原函数是轴对称图形， 则倒数变换的图像也是轴对称图形。 ②猜想一：因为只有 1 和 −1 的倒数是其本身，所以如果原函数存在一个点的纵坐标为 1 或 −1 ， 那么倒数变换得到的图像上必然也存在这样对应的点的纵坐标为 1 或-1，即两个函数 图像的交点。 ⑶