2019年理科数学高考真题试卷（全国I卷）

- 1 - 绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔 将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合 ，则 = A． B． C． D． 2．设复数 z 满足 ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 3．已知 ，则 A． B． C． D． 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度 与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至 脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是（ ） A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 5．函数 f(x)= 在 的图像大致为 A． B． C． D． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分 为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个 阳爻的概率是 A． B． C． D． 7．已知非零向量 a，b 满足 ，且 b，则 a 与 b 的夹角为 A． B． C． D． 8．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入 2 sin cos + + x x x x }24 2 { 6 0{ }M x x N x x x= − < < = − − 1F A AB=  1 2 0F B F B⋅ =  ABC△ 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C− = − 2 2a b c+ = - 3 - 18．（12 分） 如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点． （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值． 19．（12 分） 已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P． （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若 ，求|AB|． 3 2 3AP PB=  - 4 - 20．（12 分） 已知函数 ， 为 的导数．证明： （1） 在区间 存在唯一极大值点； （2） 有且仅有 2 个零点． 21．（12 分） 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方 案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施 以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白 鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治 愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、 乙两种药的治愈率分别记为 α 和 β，一轮试验中甲药的得分记为 X． （1）求 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认 为甲药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中 ， ， ．假设 ， ． (i)证明： 为等比数列； (ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性． ( ) sin ln(1 )f x x x= − + ( )f x′ ( )f x ( )f x′ ( 1, )2 π− ( )f x 1− 1− X ( 0,1, ,8)ip i =  i 0 0p = 8 1p = 1 1i i i ip ap bp cp− += + + ( 1,2, ,7)i =  ( 1)a P X= = − ( 0)b P X= = ( 1)c P X= = 0.5α = 0.8β = 1{ }i ip p+ − ( 0,1,2, ,7)i =  4p 4p - 5 - （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明： （1） ； （2） ． 2 2 2 1 1 4 1 tx t ty t  −= +  = + ， 2 cos 3 sin 11 0ρ θ ρ θ+ + = 2 2 21 1 1 a b ca b c + + ≤ + + 3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a+ + + ≥+ +