2019年文科数学高考真题试卷（全国I卷）

- 1 - 绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．设 ，则 = A．2 B． C． D．1 2．已知集合 ，则 A． B． C． D． 3．已知 ，则 A． B． C． D． 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与 咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖 子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是（ ） A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 5．函数 f(x)= 在[—π，π]的图像大致为 A． B． C． D． 6．某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽 样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是 A．8 号学生 B．200 号学生 C．616 号学生 D．815 号学生 7．tan255°= A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+ 8．已知非零向量 a，b 满足 =2 ，且（a–b） b，则 a 与 b 的夹角为 A． B． C． D． 9．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入 A．A= B．A= C．A= D．A= 10．双曲线 C： 的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C 的离心率为 a b c< < a c b< < c a b< < b c a< < 3 i 1 2iz −= + z 3 2 { } { } { }1,2,3,4,5,6,7 2,3,4,5 2,3,6,7U A B= = =， ， UB A = { }1,6 { }1,7 { }6,7 { }1,6,7 0.2 0.3 2log 0.2, 2 , 0.2a b c= = = 5 1 2 − 5 1 2 − 5 1 2 − 2 sin cos x x x x + + 3 3 3 3 a b ⊥ π 6 π 3 2π 3 5π 6 1 12 12 2 + + 1 2 A+ 12 A + 1 1 2A+ 11 2A + 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > - 2 - A．2sin40° B．2cos40° C． D． 11．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA－bsinB=4csinC，cosA=－ ，则 = A．6 B．5 C．4 D．3 12．已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若 ， ，则 C 的方程为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 在点 处的切线方程为___________． 14．记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 ，则 S4=___________． 15．函数 的最小值为___________． 16．已知∠ACB=90°，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点 P 到∠ACB 两边 AC，BC 的距离均为 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为___________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17．（12 分） 某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意 或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附： ． P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18．（12 分） 记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 S9=－a5． （1）若 a3=4，求{an}的通项公式； （2）若 a1>0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围． 1 sin50° 1 cos50° 1 4 b c 1 2( 1,0), (1,0)F F− 2 2| | 2 | |AF F B= 1| | | |AB BF= 2 2 12 x y+ = 2 2 13 2 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 15 4 x y+ = 2 )3( exy x x= + (0,0) 1 3 31 4a S= =， 3π( ) sin(2 ) 3cos2f x x x= + − 3 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + - 3 - 19．（12 分） 如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC， BB1，A1D 的中点. （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求点 C 到平面 C1DE 的距离． 20．（12 分） 已知函数 f（x）=2sinx－xcosx－x，f ′（x）为 f（x）的导数． （1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若 x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求 a 的取值范围． - 4 - 21.（12 分） 已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，│AB│ =4，⊙M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切． （1）若 A 在直线 x+y=0 上，求⊙M 的半径； （2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 23．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分） 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明： （1） ； （2） ． 2 cos 3 sin 11 0ρ θ ρ θ+ + = 2 2 2 1 1 4 1 tx t ty t  −= +  = + ， 2 2 21 1 1 a b ca b c + + ≤ + + 3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a+ + + ≥+ +