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绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.设 ,则 =
A.2 B. C. D.1
2.已知集合 ,则
A. B. C. D.
3.已知 ,则
A. B. C. D.
4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 (
≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与
咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为 105cm,头顶至脖
子下端的长度为 26 cm,则其身高可能是( )
A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm
5.函数 f(x)= 在[—π,π]的图像大致为
A. B.
C. D.
6.某学校为了解 1 000 名新生的身体素质,将这些学生编号为 1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽
样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到,则下面 4 名学生中被抽到的是
A.8 号学生 B.200 号学生 C.616 号学生 D.815 号学生
7.tan255°=
A.-2- B.-2+ C.2- D.2+
8.已知非零向量 a,b 满足 =2 ,且(a–b) b,则 a 与 b 的夹角为
A. B. C. D.
9.如图是求 的程序框图,图中空白框中应填入
A.A= B.A= C.A= D.A=
10.双曲线 C: 的一条渐近线的倾斜角为 130°,则 C 的离心率为
a b c< < a c b< < c a b< < b c a< < 3 i 1 2iz −= + z 3 2 { } { } { }1,2,3,4,5,6,7 2,3,4,5 2,3,6,7U A B= = =, , UB A = { }1,6 { }1,7 { }6,7 { }1,6,7 0.2 0.3 2log 0.2, 2 , 0.2a b c= = = 5 1 2 − 5 1 2 − 5 1 2 − 2 sin cos x x x x + + 3 3 3 3 a b ⊥ π 6 π 3 2π 3 5π 6 1 12 12 2 + + 1 2 A+ 12 A + 1 1 2A+ 11 2A + 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > >
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A.2sin40° B.2cos40° C. D.
11.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 asinA-bsinB=4csinC,cosA=- ,则 =
A.6 B.5 C.4 D.3
12.已知椭圆 C 的焦点为 ,过 F2 的直线与 C 交于 A,B 两点.若 ,
,则 C 的方程为
A. B. C. D.
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.曲线 在点 处的切线方程为___________.
14.记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 ,则 S4=___________.
15.函数 的最小值为___________.
16.已知∠ACB=90°,P 为平面 ABC 外一点,PC=2,点 P 到∠ACB 两边 AC,BC 的距离均为 ,那么 P
到平面 ABC 的距离为___________.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:60 分。
17.(12 分)
某商场为提高服务质量,随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意
或不满意的评价,得到下面列联表:
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;
(2)能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
附: .
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18.(12 分)
记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知 S9=-a5.
(1)若 a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若 a1>0,求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围.
1
sin50°
1
cos50°
1
4
b
c
1 2( 1,0), (1,0)F F− 2 2| | 2 | |AF F B=
1| | | |AB BF=
2
2 12
x y+ =
2 2
13 2
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
2 2
15 4
x y+ =
2 )3( exy x x= + (0,0)
1 3
31 4a S= =,
3π( ) sin(2 ) 3cos2f x x x= + −
3
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
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19.(12 分)
如图,直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N 分别是 BC,
BB1,A1D 的中点.
(1)证明:MN∥平面 C1DE;
(2)求点 C 到平面 C1DE 的距离.
20.(12 分)
已知函数 f(x)=2sinx-xcosx-x,f ′(x)为 f(x)的导数.
(1)证明:f ′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;
(2)若 x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求 a 的取值范围.
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21.(12 分)
已知点 A,B 关于坐标原点 O 对称,│AB│ =4,⊙M 过点 A,B 且与直线 x+2=0 相切.
(1)若 A 在直线 x+y=0 上,求⊙M 的半径;
(2)是否存在定点 P,使得当 A 运动时,│MA│-│MP│为定值?并说明理由.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修 4−4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 (t 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 .
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程;
(2)求 C 上的点到 l 距离的最小值.
23.[选修 4−5:不等式选讲](10 分)
已知 a,b,c 为正数,且满足 abc=1.证明:
(1) ;
(2) .
2 cos 3 sin 11 0ρ θ ρ θ+ + =
2
2
2
1
1
4
1
tx t
ty t
−= +
= +
,
2 2 21 1 1 a b ca b c
+ + ≤ + +
3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a+ + + ≥+ +