高一下册数学期末冲刺讲义（必修5）

1 | 高一数学期末冲刺（必修五） 原创：柔软的石头 知识点一 解三角形 1.正余弦定理 设∆퐴퐵퐶的内角퐴，퐵，퐶 所对的边分别为푎，푏，푐，푅为∆퐴퐵퐶外接圆半径，则有 定理 正弦定理 余弦定理 内容 푎 sin퐴 = 푏 sin퐵 = 푐 sin퐶 = 2푅 푎2 = 푏2 + 푐2 ― 2푏푐cos퐴 푏2 = 푎2 + 푐2 ― 2푎푐cos퐵 푐2 = 푎2 + 푏2 ― 2푎푏cos퐶 变形 ①푎 = 2푅sin퐴，푏 = 2푅sin퐵，푐 = 2푅sin퐶 ②sin퐴 = 푎 2푅，sin퐵 = 푏 2푅，sin퐶 = 푐 2푅 ③푎:푏:푐 = sin퐴: sin퐵:sin퐶 cos퐴 = 푏2 + 푐2 ― 푎2 2푏푐 cos퐵 = 푎2 + 푐2 ― 푏2 2푎푐 cos퐶 = 푎2 + 푏2 ― 푐2 2푎푏 2.三角形的面积公式 （1）푆∆퐴퐵퐶 = 1 2푎ℎ (ℎ表示边푎上的高)； （2）푆∆퐴퐵퐶 = 1 2푏푐sin퐴 = 1 2푎푐sin퐵 = 1 2푎푏sin퐶. 3. 三角形中的其它关系式 （1）射影公式： 푎 = 푏cos퐶 + 푐cos퐵，푏 = 푐cos퐴 + 푎cos퐶，푐 = 푎cos퐵 + 푏cos퐴 （2）其他关系式： 利用∆퐴퐵퐶中，퐴 + 퐵 + 퐶 = 휋，퐴 + 퐵 + 퐶 2 = 휋 2，或者结合诱导公式等减少角的种类. 如：sin(퐵 + 퐶) = sin퐴，cos(퐵 + 퐶) = ― cos퐴，tan(퐵 + 퐶) = ― tan퐴；cos퐶 2 = sin퐴 + 퐵 2 .2 | 1. （广州四十七中）在 △ 퐴퐵퐶中，若푎cos퐴 = 푏cos퐵，则 △ 퐴퐵퐶的形状一定是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 2. （广州六中）已知 △ 퐴퐵퐶的内角퐴,퐵,퐶的对边分别为푎,푏,푐， → 푚 = ( 3푏 ― 푐,cos퐶)， → 푛 = (푎,cos퐴)，若 → 푚// → 푛，则cos퐴的值为（ ） A． 3 6 B． 3 4 C． 3 2 D． 3 3 3. （铁一，广外，广附三校联考）如图所示，为测一树的高度，在地面 上选取퐴、퐵两点，从퐴、퐵两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且퐴、 퐵两点间的距离为60m，则树的高度为（ ）． A．(30 + 30 3)m B．(30 + 15 3)m C．(15 + 30 3)m D．(15 + 15 3)m3 | 4. （番实、番中、象贤、仲元四校联考）已知퐴, 퐵,퐶为 △ 퐴퐵퐶的三内角，且其对边分别为푎,푏,푐，若 푎cos퐶 + 푐cos퐴 = ―2푏cos퐴. （1）求角퐴的值； （2）若푎 = 2 3，푏 + 푐 = 4，求 △ 퐴퐵퐶的面积. 4. （华附）如图，在平面四边形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐶与퐵퐷为其对角线，已知퐵퐶 = 1，且푐표푠∠퐵퐶퐷 = ― 3 5． （1）若퐴퐶平分∠퐵퐶퐷，且퐴퐵 = 2，求퐴퐶的长； （2）若∠퐶퐵퐷 = 45°，求퐶퐷的长． B C A D4 | 知识点二 数列 1. 等差数列及其性质 （1）定义：푎푛+1 ― 푎푛 = 푑（푑为公差） （2）通项公式：풂풏 = 풂ퟏ +(풏 ― ퟏ)풅 一般地，任意两项的关系为푎푛 = 푎푚 +(푛 ― 푚)푑（푚,푛 ∈ N∗） （3）前푛项和公式： 푺풏 = 풏(풂ퟏ + 풂풏) ퟐ = 풏풂ퟏ + 풏(풏 ― ퟏ)풅 ퟐ = 푑 2푛2 +(푎1 ― 푑 2)푛（푛 ∈ N∗） （4）性质：①恒等性：푚 + 푛 = 푝 + 푞，则푎푚 + 푎푛 = 푎푝 + 푎푞 特别地，푚 + 푛 = 2푝，则풂풎 + 풂풏 = ퟐ풂풑 ②等分性：푆푛，푆2푛 ― 푆푛，푆3푛 ― 푆2푛，⋯也成等差数列，公差为푛2푑 2．等比数列及其性质 （1）定义： 푎푛+1 푎푛 = 푞（푞为公比） （2）通项公式：풂풏 = 풂ퟏ풒풏―ퟏ（푛 ∈ N∗）；若푚,푛 ∈ N∗，则푎푚 = 푎푛푞푚―푛 （3）前푛项和公式：푺풏 = {풏풂ퟏ， 풒 = ퟏ 풂ퟏ(ퟏ ― 풒풏) ퟏ ― 풒 ，풒 ≠ ퟏ （4）性质：①恒等性：푚 + 푛 = 푝 + 푞，则푎푚푎푛 = 푎푝푎푞 特别地，푚 + 푛 = 2푝，则풂풎풂풏 = 풂ퟐ풑 ②等分性：푆푛，푆2푛 ― 푆푛，푆3푛 ― 푆2푛，⋯也成等比数列，公比为푞푛 3．数列求通项方法 （1）公式法：푎푛 = {푆1， 푛 = 1， 푆푛 ― 푆푛―1，푛 ≥ 2．（注意检验푛 = 1的情况） （2）累加法：푎푛 ― 푎푛―1 = 푓(푛) （3）累乘法： 푎푛 푎푛―1 = 푓(푛) （4）构造法：푎푛 = 푝푎푛―1 +푞（푝 ≠ 1且푞 ≠ 0） （5）倒数变换法：例푎푛+1 = 3푎푛 2푎푛 + 3 ⇒ 2푎푛푎푛+1 +3푎푛+1 = 3푎푛 ⇒ 2 3 + 1 푎푛 = 1 푎푛+1 4．数列求和方法 （1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的前푛项和公式求和． （2）裂项相消法，如푎푛 = 1 4푛2 ― 1 = 1 (2푛 ― 1)(2푛 + 1) = 1 2( 1 2푛 ― 1 ― 1 2푛 + 1) 常见的裂项技巧：① 1 푛(푛 + 1) = 1 푛 ― 1 푛 + 1 ② 1 푛(푛 + 푘) = 1 푘(1 푛 ― 1 푛 + 푘) ③ 2푛 (2푛 + 1)(2푛+1 + 1) = 1 2푛 + 1 ― 1 2푛+1 + 1 ④ 1 푛 + 푛 + 푘 = 1 푘( 푛 + 푘 ― 푛)5 | （3）错位相减法 （4）分组求和法  等差、等比数列定义与性质 5.（仲元中学）在等比数列{푎푛}中，若푎1=2，푎4=16，则{푎푛}的前 5 项和푆5等于（　 　） A．30 B．31 C．62 D．64 5.（六中）等差数列{푎푛}的首项为 1，公差不为 0. 若푎2,푎3,푎6成等比数列，则{푎푛}前 6 项的和为(　 　) A．－24 B．－3 C．3 D．8 6.（六中）已知数列{푎푛}是等比数列，数列{푏푛}是等差数列，若푎1푎5푎9 = ―8,푏2 + 푏5 + 푏8 = 6휋，则sin 푏4 + 푏6 1 ― 푎3푎7 的值是（ ） A．1 2 B． ― 1 2 C． 3 2 D． ― 3 2 7.（省实）已知数列 的通项公式为 ，则当푛等于（ ）时， 取得最小值？ A．16 B．17 C．18 D．16 或 17  数列求通项公式 { }na 503 −= nan nS6 | 8．（1）已知数列{푎푛}的首项푎1 = 1，푎푛+1 = 푎푛 +2푛(푛 ∈ 퐍∗)，则푎푛 = ． （2）已知数列{푎푛}满足푎1 = 1 2，且前푛项和푆푛 = 푛2푎푛，则푎푛 = ． 9．（广州中学）已知数列{푎푛}的前푛项和为푆푛，对任何正整数푛，等式푆푛 = ― 푎푛 + 1 2(푛 ― 3)都成立，则数列{푎푛 }的通项公式푎푛 = ．  数列综合 10.（番实、番中、象贤、仲元四校联考）已知数列{푎푛}是公差为2的等差数列，它的前푛项和为푆푛，且 푎1 +1, 푎3 +1,푎7 +1成等比数列. （1）求{푎푛}的通项公式； （2）求数列{ 1 푆푛}的前푛项和푇푛. 11.（广外、铁一、广附三校联考）设公差不为0的等差数列的首项为1，且푎2,푎5,푎14构成等比数列. （1）求数列{푎푛}的通项公式；7 | （2）若数列{푏푛}满足 푏1 푎1 + 푏2 푎2 +⋯ + 푏푛 푎푛 = 1 ― 1 2푛，푛 ∈ 퐍∗，求数列{푏푛}的前푛项和푇푛.8 | 知识点三 不等式 1. 不等式性质 （1）对称性：푎 > 푏⇔푏 < 푎 （2）传递性：푎 > 푏，푏 > 푐⇔푎 > 푐 （3）可乘性：푎 > 푏，푐 > 0 ⇒ 푎푐 > 푏푐 푎 > 푏，푐 < 0 ⇒ 푎푐 < 푏푐 （4）移项法则：푎 + 푏 > 푐 ⇒ 푎 > 푐 ― 푑 （5）同向不等式相加：푎 > 푏，푐 > 푑 ⇒ 푎 + 푐 > 푏 + 푑 （6）同向同正可乘性：푎 > 푏 > 0，푐 > 푑 > 0 ⇒ 푎푐 > 푏푑 （7）可乘方性：푎 > 푏 > 0 ⇒ 푎푛 > 푏푛 (푛 ∈ N∗，푛 ≥ 2) （8）常用不等式：푎 > 푏 > 0 ⇒ 1 푎 < 1 푏 2. 常见不等式 （1）一元二次不等式 例如：(푥 ― 1)(푥 ― 3) ≥ 0⇒ (푥 ― 1)(푥 + 2) ≤ 0⇒ 口诀（푎 > 0）：大于取 ；小于取 （2）高次不等式 先将最高次的系数化为正数的形式，然后因式分解，将相应方程的所有根画在数轴上，采取“穿针引线” 的方法得出不等式的解集． （3）分式不等式解法 푓(푥) 푔(푥) > 0 ⇔ 푓(푥)푔(푥) > 0 푓(푥) 푔(푥) ≥ 0 ⇔ {푓(푥)푔(푥) ≥ 0 푔(푥) ≠ 0 3. 基本不等式 （1）如果푎,푏 ∈ 푅，那么푎2 + 푏2 ≥ 2푎푏，当且仅当푎 = 푏时等号成立 （2）如果푎,푏都是正数，那么푎 + 푏 ≥ 2 푎푏，当且仅当푎 = 푏时等号成立 （3）常见变形：푎푏 ≤ 푎2 + 푏2 2 ，푎푏 ≤ (푎 + 푏 2 ) 2 （4）应用基本不等式求最值： ①若푎 > 0，푏 > 0且푎 + 푏 = 푠（和为定值），那么当푎 = 푏时，积푎푏取得最大值푠2 4 ②若푎 > 0，푏 > 0且푎푏 = 푝（积为定值），那么当푎 = 푏时，和푎 + 푏取得最小值2 푝  解不等式9 | 12.（华附）在 R 上定义运算☆，a☆b＝ab＋2a＋b，则满足 x☆(x－2)＜0 的实数 x 的取值范围为（ ） A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞, ― 2) ∪ (1,＋∞) D．(－1,2) 13. （华附）关于푥的不等式 的解集是 .  基本不等式 14.（省实）用基本不等式求最值，下列运用正确的是（ ） A． B． C．已知 ， D． 15.（天河区统考）已知푥,푦 ∈ (0, + ∞)，2푥―3 = (1 4)푦 ，则푥푦的最大值为（ ） A．2 B．9 8 C．3 2 D．9 4 3 12 1x 0，푦 > 0，且 2 푥 + 1 푦 = 1，若任意푥 > 0，푦 > 0，有 푥 + 2푦 > 푚2 +2푚恒成立，则实数푚的取值范围为（ ） A．( ―1 ― 5, ― 1 + 5) B．( ―∞, ― 1 ― 5) ∪ ( ―1 + 5, + ∞) C．( ― 4,2) D．( ―∞, ― 4) ∪ (2, + ∞) 作者：陈炜鸿 手机：18819452367