中考复习宝典之：二次函数中平行四边形存在性问题

第 1 页（共 30 页） 二次函数平行四边形存在性问题例题 一．解答题（共 9 小题） 1．如图，抛物线经过 A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； （3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四 点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理 由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线 y=﹣3x﹣3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于 点 C．抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C 两点，且与 x 轴交于另一点 B（点 B 在点 A 右 侧）． （1）求抛物线的解析式及点 B 坐标； （2）若点 M 是线段 BC 上一动点，过点 M 的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交 抛物线于点 E．求 ME 长的最大值； （3）试探究当 ME 取最大值时，在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以 M，F ，B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在， 试说明理由． 第 2 页（共 30 页） 3．已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与 x 轴、y 轴的交点 分别为 A、B 两点，将∠OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C． （1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）若（1）中抛物线的顶点为 D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）若把（1）中的抛物线向左平移 3.5 个单位，则图象与 x 轴交于 F、N（点 F 在点 N 的左侧）两点，交 y 轴于 E 点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点 Q ，使点 Q 到 E、N 两点的距离之差最大？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在 ，请说明理由． 4．已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与 x 轴、y 轴的交点 分别为 A、B，将∠OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴 于点 C． （1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平 行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线 BC 的交点为 T，Q 为线段 BT 上一点，直接写出 |QA﹣QO|的取值范围． 第 3 页（共 30 页） 5．如图，Rt△OAB 如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA 与 x 轴重合，∠ OAB=90°，OA=4，AB=2，把 Rt△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90°，点 B 旋转到点 C 的 位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M ，分别过点 P，点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F 两点，问：四边形 PEFM 的 周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明 理由． （3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、C、H、 N 四点构成以 OC 为一边的平行四边形？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在， 请说明理由． 6．如图，直线 y=﹣ x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=ax2+ x+c 经过 B、C 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求 第 4 页（共 30 页） 出点 E 的坐标和△BEC 面积的最大值？ （3）在（2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M，连接 AM， 点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在 ，请说明理由． 7．如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与坐标轴交于 A、B、C 三点，其中 B（4，0）、C（ ﹣2，0），连接 AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点 D，过 D 作 DE⊥x 轴，垂足为 E，交 AB 于点 F． （1）求此抛物线的解析式； （2）在 DE 上作点 G，使 G 点与 D 点关于 F 点对称，以 G 为圆心，GD 为半径作 圆，当⊙G 与其中一条坐标轴相切时，求 G 点的横坐标； （3）过 D 点作直线 DH∥AC 交 AB 于 H，当△DHF 的面积最大时，在抛物线和直 线 AB 上分别取 M、N 两点，并使 D、H、M、N 四点组成平行四边形，请你直接 写出符合要求的 M、N 两点的横坐标． 8．已知直线 y=kx+b（k≠0）过点 F（0，1），与抛物线 y= x2 相交于 B、C 两点 第 5 页（共 30 页） ． （1）如图 1，当点 C 的横坐标为 1 时，求直线 BC 的解析式； （2）在（1）的条件下，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 y 轴的平行线， 与抛物线交于点 D，是否存在这样的点 M，使得以 M、D、O、F 为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，设 B（m．n）（m＜0），过点 E（0．﹣1）的直线 l∥x 轴，BR⊥ l 于 R，CS⊥l 于 S，连接 FR、FS．试判断△RFS 的形状，并说明理由． 9．抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2），B（3，2）两点，若两动点 D、E 同时从 原点 O 分别沿着 x 轴、y 轴正方向运动，点 E 的速度是每秒 1 个单位长度，点 D 的速度是每秒 2 个单位长度． （1）求抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）若点 C 为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、B、C、D 四点围成 的四边形是平行四边形？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由； （3）问几秒钟时，B、D、E 在同一条直线上？   第 6 页（共 30 页） 2017 年 05 月 03 日 1587830199 的初中数学组卷 参考答案与试题解析   一．解答题（共 9 小题） 1．（2016•安顺）如图，抛物线经过 A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三 点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； （3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四 点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理 由． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三点在抛物线上， ∴ ， 解得 ． ∴抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣ ； 第 7 页（共 30 页） （2）∵抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣ ， ∴其对称轴为直线 x=﹣ =﹣ =2， 连接 BC，如图 1 所示， ∵B（5，0），C（0，﹣ ）， ∴设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（k≠0）， ∴ ， 解得 ， ∴直线 BC 的解析式为 y= x﹣ ， 当 x=2 时，y=1﹣ =﹣ ， ∴P（2，﹣ ）； （3）存在． 如图 2 所示， ①当点 N 在 x 轴下方时， ∵抛物线的对称轴为直线 x=2，C（0，﹣ ）， ∴N1（4，﹣ ）； ②当点 N 在 x 轴上方时， 第 8 页（共 30 页） 如图，过点 N2 作 N2D⊥x 轴于点 D， 在△AN2D 与△M2CO 中， ∴△AN2D≌△M2CO（ASA）， ∴N2D=OC= ，即 N2 点的纵坐标为 ． ∴ x2﹣2x﹣ = ， 解得 x=2+ 或 x=2﹣ ， ∴N2（2+ ， ），N3（2﹣ ， ）． 综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4，﹣ ），（2+ ， ）或（2﹣ ， ）．   2．（2016•十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=﹣3x﹣3 与 x 轴交于 点 A，与 y 轴交于点 C．抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C 两点，且与 x 轴交于另一点 B（点 B 在点 A 右侧）． （1）求抛物线的解析式及点 B 坐标； （2）若点 M 是线段 BC 上一动点，过点 M 的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交 抛物线于点 E．求 ME 长的最大值； （3）试探究当 ME 取最大值时，在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以 M，F ，B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在， 第 9 页（共 30 页） 试说明理由． 【解答】解：（1）当 y=0 时，﹣3x﹣3=0，x=﹣1 ∴A（﹣1，0） 当 x=0 时，y=﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴ ∴ ， 抛物线的解析式是：y=x2﹣2x﹣3． 当 y=0 时，x2﹣2x﹣3=0， 解得：x1=﹣1，x2=3 ∴B（3，0）． （2）由（1）知 B（3，0），C（0，﹣3）直线 BC 的解析式是：y=x﹣3， 设 M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则 E（x，x2﹣2x﹣3） ∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ； ∴当 x= 时，ME 的最大值为 ． （3）答：不存在． 由（2）知 ME 取最大值时 ME= ，E（ ，﹣ ），M（ ，﹣ ） ∴MF= ，BF=OB﹣OF= ． 第 10 页（共 30 页） 设在抛物线 x 轴下方存在点 P，使以 P、M、F、B 为顶点的四边形是平行四边形， 则 BP∥MF，BF∥PM． ∴P1（0，﹣ ）或 P2（3，﹣ ） 当 P1（0，﹣ ）时，由（1）知 y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣ ∴P1 不在抛物线上． 当 P2（3，﹣ ）时，由（1）知 y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣ ∴P2 不在抛物线上． 综上所述：在 x 轴下方抛物线上不存在点 P，使以 P、M、F、B 为顶点的四边形 是平行四边形．   3．（2016•义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B 两点，将∠OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在 直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C． （1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）若（1）中抛物线的顶点为 D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）若把（1）中的抛物线向左平移 3.5 个单位，则图象与 x 轴交于 F、N（点 F 在点 N 的左侧）两点，交 y 轴于 E 点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点 Q ，使点 Q 到 E、N 两点的距离之差最大？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在 ，请说明理由． 【解答】解：（1）连接 CH 由轴对称得 CH⊥AB，BH=BO，CH=CO ∴在△CHA 中由勾股定理，得 第 11 页（共 30 页） AC2=CH2+AH2 ∵直线 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B 两点 ∴当 x=0 时，y=6，当 y=0 时，x=8 ∴B（0，6），A（8，0） ∴OB=6，OA=8， 在 Rt△AOB 中，由勾股定理，得 AB=10 设 C（a，0），∴OC=a ∴CH=a，AH=4，AC=8﹣a，在 Rt△AHC 中，由勾股定理，得 （8﹣a）2=a2+42 解得 a=3 C（3，0） 设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，由题意，得 解得： ∴抛物线的解析式为： ∴ （2）由（1）的结论，得 D（ ） ∴DF= 设 BC 的解析式为：y=kx+b，则有 第 12 页（共 30 页） 解得 直线 BC 的解析式为：y=﹣2x+6 设存在点 P 使四边形 ODAP 是平行四边形，P（m，n） 作 PE⊥OA 于 E，HD 交 OA 于 F． ∴∠PEO=∠AFD=90°，PO=DA，PO∥DA ∴∠POE=∠DAF ∴△OPE≌△ADF ∴PE=DF=n= ∴ ×= P（ ） 当 x= 时， y=﹣2× +6=1≠ ∴点 P 不再直线 BC 上，即直线 BC 上不存在满足条件的点 P． （3）由题意得，平移后的解析式为： ∴对称轴为：x=2， 当 x=0 时，y=﹣ 当 y=0 时，0= 解得： ∵F 在 N 的左边 F（ ，0），E（0，﹣ ），N（ ，0） 连接 EF 交 x=2 于 Q，设 EF 的解析式为：y=kx+b，则有 第 13 页（共 30 页） 解得： ∴EF 的解析式为：y=﹣ x﹣ ∴ 解得： ∴Q（2， ）． 第 14 页（共 30 页）   4．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，将∠OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C． （1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平 行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线 BC 的交点为 T，Q 为线段 BT 上一点，直接写出 |QA﹣QO|的取值范围． 【解答】解：（1）点 C 的坐标为（3，0）．（1 分） ∵点 A、B 的坐标分别为 A（8，0），B（0，6）， ∴可设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y=a（x﹣3）（x﹣8）． 将 x=0，y=6 代入抛物线的解析式， 得 ．（2 分） ∴过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 ．（3 分） 第 15 页（共 30 页） （2）可得抛物线的对称轴为直线 ，顶点 D 的坐标为 ， 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G． 直线 BC 的解析式为 y=﹣2x+6.4 分） 设点 P 的坐标为（x，﹣2x+6）． 解法一：如图，作 OP∥AD 交直线 BC 于点 P， 连接 AP，作 PM⊥x 轴于点 M． ∵OP∥AD， ∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD． ∴ ， 即 ． 解得 ． 经检验 是原方程的解． 此时点 P 的坐标为 ．（5 分） 但此时 ，OM＜GA． ∵ ， ∴OP＜AD，即四边形的对边 OP 与 AD 平行但不相等， ∴直线 BC 上不存在符合条件的点 P（6 分） 解法二：如图，取 OA 的中点 E， 作点 D 关于点 E 的对称点 P，作 PN⊥x 轴于 第 16 页（共 30 页） 点 N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE． 可得△PEN≌△DEG． 由 ，可得 E 点的坐标为（4，0）． NE=EG= ，ON=OE﹣NE= ，NP=DG= ． ∴点 P 的坐标为 ．（5 分） ∵x= 时， ， ∴点 P 不在直线 BC 上． ∴直线 BC 上不存在符合条件的点 P．（6 分） （3）|QA﹣QO|的取值范围是 ．（8 分） 当 Q 在 OA 的垂直平分线上与直线 BC 的交点时，（如点 K 处），此时 OK=AK， 则|QA﹣QO|=0， 当 Q 在 AH 的延长线与直线 BC 交点时，此时|QA﹣QO|最大， 直线 AH 的解析式为：y=﹣ x+6，直线 BC 的解析式为：y=﹣2x+6， 联立可得：交点为（0，6）， ∴OQ=6，AQ=10， ∴|QA﹣QO|=4， ∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4． 第 17 页（共 30 页）   5．（2016•山西模拟）如图，Rt△OAB 如图所示放置在平面直角坐标系中，直角 边 OA 与 x 轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把 Rt△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90° ，点 B 旋转到点 C 的位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M ，分别过点 P，点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F 两点，问：四边形 PEFM 的 周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明 理由． （3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、C、H、 N 四点构成以 OC 为一边的平行四边形？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在， 请说明理由． 【解答】解：（1）因为 OA=4，AB=2，把△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°， 可以确定点 C 的坐标为（2，4）；由图可知点 A 的坐标为（4，0）， 又因为抛物线经过原点，故设 y=ax2+bx 把（2，4），（4，0）代入， 第 18 页（共 30 页） 得 ， 解得 所以抛物线的解析式为 y=﹣x2+4x； （2）四边形 PEFM 的周长有最大值，理由如下： 由题意，如图所示，设点 P 的坐标为 P（a，﹣a 2+4a）则由抛物线的对称性知 OE=AF， ∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a， 则矩形 PEFM 的周长 L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10， ∴当 a=1 时，矩形 PEFM 的周长有最大值，Lmax=10； （3）在抛物线上存在点 N，使 O（原点）、C、H、N 四点构成以 OC 为一边的平 行四边形，理由如下： ∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4 可知顶点坐标（2，4）， ∴知道 C 点正好是顶点坐标，知道 C 点到 x 轴的距离为 4 个单位长度， 过点 C 作 x 轴的平行线，与 x 轴没有其它交点，过 y=﹣4 作 x 轴的平行线，与抛 物线有两个交点， 这两个交点为所求的 N 点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4 解得 x1=2+ ，x2=2﹣ ∴N 点坐标为 N1（2+ ，﹣4），N2（2﹣ ，﹣4）． 第 19 页（共 30 页）   6．（2015•葫芦岛）如图，直线 y=﹣ x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B， 抛物线 y=ax2+ x+c 经过 B、C 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求 出点 E 的坐标和△BEC 面积的最大值？ （3）在（2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M，连接 AM， 点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在 ，请说明理由． 【解答】解：（1）∵直线 y=﹣ x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B， ∴点 B 的坐标是（0，3），点 C 的坐标是（4，0）， ∵抛物线 y=ax2+ x+c 经过 B、C 两点， 第 20 页（共 30 页） ∴ 解得 ∴y=﹣ x2+ x+3． （2）如图 1，过点 E 作 y 轴的平行线 EF 交直线 BC 于点 M，EF 交 x 轴于点 F， ， ∵点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点， ∴设点 E 的坐标是（x，﹣ x2+ x+3）， 则点 M 的坐标是（x，﹣ x+3）， ∴EM=﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）=﹣ x2+ x， ∴S△BEC=S△BEM+S△MEC = = ×（﹣ x2+ x）×4 =﹣ x2+3x =﹣ （x﹣2）2+3， ∴当 x=2 时，即点 E 的坐标是（2，3）时，△BEC 的面积最大，最大面积是 3． （3）在抛物线上存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形． 第 21 页（共 30 页） ①如图 2， ， 由（2），可得点 M 的横坐标是 2， ∵点 M 在直线 y=﹣ x+3 上， ∴点 M 的坐标是（2， ）， 又∵点 A 的坐标是（﹣2，0）， ∴AM= = ， ∴AM 所在的直线的斜率是： ； ∵y=﹣ x2+ x+3 的对称轴是 x=1， ∴设点 Q 的坐标是（1，m），点 P 的坐标是（x，﹣ x2+ x+3）， 则 解得 或 ， ∵x＜0， ∴点 P 的坐标是（﹣3，﹣ ）． 第 22 页（共 30 页） ②如图 3， ， 由（2），可得点 M 的横坐标是 2， ∵点 M 在直线 y=﹣ x+3 上， ∴点 M 的坐标是（2， ）， 又∵点 A 的坐标是（﹣2，0）， ∴AM= = ， ∴AM 所在的直线的斜率是： ； ∵y=﹣ x2+ x+3 的对称轴是 x=1， ∴设点 Q 的坐标是（1，m），点 P 的坐标是（x，﹣ x2+ x+3）， 则 解得 或 ， ∵x＞0， ∴点 P 的坐标是（5，﹣ ）． 第 23 页（共 30 页） ③如图 4， ， 由（2），可得点 M 的横坐标是 2， ∵点 M 在直线 y=﹣ x+3 上， ∴点 M 的坐标是（2， ）， 又∵点 A 的坐标是（﹣2，0）， ∴AM= = ， ∵y=﹣ x2+ x+3 的对称轴是 x=1， ∴设点 Q 的坐标是（1，m），点 P 的坐标是（x，﹣ x2+ x+3）， 则 解得 ， ∴点 P 的坐标是（﹣1， ）． 综上，可得 在抛物线上存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形， 点 P 的坐标是（﹣3，﹣ ）、（5，﹣ ）、（﹣1， ）．   7．（2015•梧州）如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与坐标轴交于 A、B、C 三点，其中 B 第 24 页（共 30 页） （4，0）、C（﹣2，0），连接 AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点 D， 过 D 作 DE⊥x 轴，垂足为 E，交 AB 于点 F． （1）求此抛物线的解析式； （2）在 DE 上作点 G，使 G 点与 D 点关于 F 点对称，以 G 为圆心，GD 为半径作 圆，当⊙G 与其中一条坐标轴相切时，求 G 点的横坐标； （3）过 D 点作直线 DH∥AC 交 AB 于 H，当△DHF 的面积最大时，在抛物线和直 线 AB 上分别取 M、N 两点，并使 D、H、M、N 四点组成平行四边形，请你直接 写出符合要求的 M、N 两点的横坐标． 【解答】解：（1）∵B，C 两点在抛物线 y=ax2+bx+2 上， ∴ ， 解得： ． ∴所求的抛物线为：y= ． （2）抛物线 y= ，则点 A 的坐标为（0，2）， 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， ∴ ， 解得： ． ∴直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+2， 设 F 点的坐标为（x， x+2），则 D 点的坐标为（x， ）， 第 25 页（共 30 页） ∵G 点与 D 点关于 F 点对称， ∴G 点的坐标为（x， ）， 若以 G 为圆心，GD 为半径作圆，使得⊙G 与其中一条坐标轴相切， ①若⊙G 与 x 轴相切则必须由 DG=GE， 即﹣ x2+ x+2﹣（ ）= ， 解得：x= ，x=4（舍去）； ②若⊙G 与 y 轴相切则必须由 DG=OE， 即 解得：x=2，x=0（舍去）． 综上，以 G 为圆心，GD 为半径作圆，当⊙G 与其中一条坐标轴相切时，G 点的 横坐标为 2 或 ． （3）M 点的横坐标为 2±2 ，N 点的横坐标为 ±2 ．   8．（2015•资阳）已知直线 y=kx+b（k≠0）过点 F（0，1），与抛物线 y= x2 相 交于 B、C 两点． （1）如图 1，当点 C 的横坐标为 1 时，求直线 BC 的解析式； （2）在（1）的条件下，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 y 轴的平行线， 第 26 页（共 30 页） 与抛物线交于点 D，是否存在这样的点 M，使得以 M、D、O、F 为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，设 B（m．n）（m＜0），过点 E（0．﹣1）的直线 l∥x 轴，BR⊥ l 于 R，CS⊥l 于 S，连接 FR、FS．试判断△RFS 的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）因为点 C 在抛物线上，所以 C（1， ）， 又∵直线 BC 过 C、F 两点， 故得方程组： 解之，得 ， 所以直线 BC 的解析式为：y=﹣ x+1； （2）要使以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形，则 MD=OF，如图 1 所 示， 设 M（x，﹣ x+1），则 D（x， x2）， ∵MD∥y 轴， ∴MD=﹣ x+1﹣ x2， 由 MD=OF，可得|﹣ x+1﹣ x2|=1， ①当﹣ x+1﹣ x2=1 时， 解得 x1=0（舍）或 x1=﹣3， 所以 M（﹣3， ）， ②当﹣ x+1﹣ x2，=﹣1 时， 解得，x= ， 所以 M（ ， ）或 M（ ， ）， 综上所述，存在这样的点 M，使以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形， 第 27 页（共 30 页） M 点坐标为（﹣3， ）或（ ， ）或（ ， ）； （3）过点 F 作 FT⊥BR 于点 T，如图 2 所示， ∵点 B（m，n）在抛物线上， ∴m2=4n， 在 Rt△BTF 中， BF= = = = ， ∵n＞0， ∴BF=n+1， 又∵BR=n+1， ∴BF=BR． ∴∠BRF=∠BFR， 又∵BR⊥l，EF⊥l， ∴BR∥EF， ∴∠BRF=∠RFE， ∴∠RFE=∠BFR， 同理可得∠EFS=∠CFS， ∴∠RFS= ∠BFC=90°， ∴△RFS 是直角三角形． 第 28 页（共 30 页）   9．（2015•百色）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2），B（3，2）两点，若两动点 D、E 同时从原点 O 分别沿着 x 轴、y 轴正方向运动，点 E 的速度是每秒 1 个单 位长度，点 D 的速度是每秒 2 个单位长度． （1）求抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）若点 C 为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、B、C、D 四点围成 的四边形是平行四边形？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由； （3）问几秒钟时，B、D、E 在同一条直线上？ 【解答】解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2），B（3，2）两点， ∴ ， 第 29 页（共 30 页） 解得 ， ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣3x+2， 令 y=0，则 x2﹣3x+2=0， 解得：x1=1，x2=2， ∴抛物线与 x 轴的交点坐标是（1，0），（2，0）； （2）存在，由已知条件得 AB∥x 轴， ∴AB∥CD， ∴当 AB=CD 时， 以 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形， 设 D（m，0）， 当 C（1，0）时，则 CD=m﹣1， ∴m﹣1=3， ∴m=4， 当 C（2，0）时，则 CD=m﹣2， ∴m﹣2=3， ∴m=5， ∴D（5，0）， 综上所述：当 D（4，0）或（5，0）时，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平 行四边形； （3）设 t 秒钟时，B、D、E 在同一条直线上，则 OE=t，OD=2t， ∴E（0，t），D（2t，0）， 设直线 BD 的解析式为：y=kx+b， ∴ ， 解得 k=﹣ 或 k= （不合题意舍去）， 第 30 页（共 30 页） ∴当 k=﹣ ，t= ， ∴点 D、E 运动 秒钟时，B、D、E 在同一条直线上．