手拉手模型
教学目标:
1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点
2：掌握手拉手模型的应用
知识梳理：
1、等边三角形
条件：△OAB，△OCD 均为等边三角形
结论： ； ；
导角核心：
2、等腰直角三角形
条件：△OAB，△OCD 均为等腰直角三角形
结论： ； ；
导角核心：
3、任意等腰三角形
条件：△OAB，△OCD 均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD
结论： ； ；
核心图形：
核心条件： ； ；
典型例题：
例 1:在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE，连接 AE 与 CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；
（3）AE 与 DC 的夹角为 60°；（4）△AGB≌△DFB；
（5）△EGB≌△CFB；（6）BH 平分∠AHC；GF∥AC
例 2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE，连接 AE 与 CD，证明：
（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE 与 DC 的夹角为 60°；
（4）AE 与 DC 的交点设为 H,BH 平分∠AHC
例 3：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE，连接 AE 与 CD，证明：
（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE 与 DC 的夹角为 60°；
（4）AE 与 DC 的交点设为 H,BH 平分∠AHC
H
F
G
E
D
A B C
E
B
D
A
C
例 4：如图，两个正方形 ABCD 和 DEFG，连接 AG 与 CE，二者相交于 H
问：（1）△ADG≌△CDE 是否成立？（2）AG 是否与 CE 相等？
（3）AG 与 CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE？
例 5：如图两个等腰直角三角形 ADC 与 EDG，连接 AG,CE,二者相交于 H.问 （1）△ADG≌△CDE 是否成立？（2）
AG 是否与 CE 相等？
（3）AG 与 CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE？
H E
B
D
A
C
H
E
F
A D
B C
G
例 6：两个等腰三角形 ABD 与 BCE，其中 AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE，连接 AE 与 CD. 问（1）△ABE≌△DBC 是否
成立？
（2）AE 是否与 CD 相等？（3）AE 与 CD 之间的夹角为多少度？
（4）HB 是否平分∠AHC？
例 7：如图，分别以△ABC 的边 AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD，∠BAE =∠CAD=90
°，点 G 为 BC 中点，点 F 为 BE 中点，点 H 为 CD 中点。探索 GF 与 GH 的位置及数量关系并说明理由。
H G
A D
C
E
H
D
A
B
C
E
例 8：如图 1，已知∠DAC=90°，△ABC 是等边三角形，点 P 为射线 AD 任意一点（P 与 A 不重合），连结 CP，将
线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CQ，连结 QB 并延长交直线 AD 于点 E.
（1）如图 1，猜想∠QEP=_______°；
（2）如图 2，3，若当∠DAC 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图 3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且 AC=4，求 BQ 的长．
例 9：在△ABC 中， ，点 D 是射线 CB 上的一动点（不与点 B、C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右侧作
△ADE，使 ， ，连接 CE．
1）如图 1，当点 D 在线段 CB 上，且 时，那么 _______度；
（2）设 ， ．
①如图 2，当点 D 在线段 CB 上， 时，请你探究 与 之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图 3，当点 D 在线段 CB 的延长线上， 时，请将图 3 补充完整，并直接写出此时 与 之间的数
量关系．
（3）结论： 与 之间的数量关系是____________．
例 10：在 中， ， ，BD 为斜边 AC 上的中线，将 绕点 D 顺时针旋转
( )得到 ，其中点 A 的对应点为点 E，点 B 的对应点为点 F，BE 与 FC 相交于点 H.
（1）如图 1，直接写出 BE 与 FC 的数量关系：____________;
（2）如图 2，M、N 分别为 EF、BC 的中点.求证： __________;
（3）连接 BF，CE，如图 3，直接写出在此旋转过程中，线段 BF、CE 与 AC 之间的数量关系： .
AB AC=
AD AE= DAE BAC∠ = ∠
90BAC∠ = ° DCE∠ =
BAC α∠ = DCE β∠ =
90BAC∠ ≠ ° α β
90BAC∠ ≠ ° α β
α β
ABC∆ 2AB BC= = 90ABC∠ = ° ABD∆ α
0 180α° < < ° EFD∆ MN =
当堂练习：
1：在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D 在射线 BC 上（与 B、C 两点不重合），以 AD 为边作正方形 ADEF，
使点 E 与点 B 在直线 AD 的异侧，射线 BA 与射线 CF 相交于点 G．若点 D 在线段 BC 上，①依题意补全图 1；
②判断 BC 与 CG 的数量关系与位置关系，并加以证明；
2：已知：如图，点 为线段 上一点， 、 是等边三角形． 、 分别是 、 的
高．求证： ．
3：如图，已知 和 都是等边三角形， 、 、 在一条直线上，试说明 与 相等的理
由．
4：已知，如图， 是正方形 内一点，且 ，求 的度数．
C AB ACM∆ CBN∆ CG CH ACN∆ MCB∆
CG CH=
ABC∆ ADE∆ B C D CE AC CD+
P ABCD : : 1: 2:3PA PB PC = APB∠
5：如图所示， 是等边 中的一点， ， ， ，试求 的边长.
6：在 Rt△ABC 中， ，D 是 AB 的中点，DE⊥BC 于 E，连接 CD．
（1）如图 1，如果 ，那么 DE 与 CE 之间的数量关系是___________．
（2）如图 2，在（1）的条件下，P 是线段 CB 上一点，连接 DP，将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60°，得到线段
DF，连接 BF，请猜想 DE、BF、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图 3，如果 （ ），P 是射线 CB 上一动点（不与 B、C 重合），连接 DP，将线段 DP 绕
点 D 逆时针旋转 2α，得到线段 DF，连接 BF，请直接写出 DE、BF、BP 三者之间的数量关系（不需证明）．
D
B
F
E
D
A
BE
D
A
BC C CP
A
E
D
B
F
E
D
A
BE
D
A
BC C CP
A
E
P ABC∆ 2PA = 2 3PB = 4PC = ABC∆
90ACB∠ = °
30A∠ = °
A α∠ = 0 90α° < < °
课后练习：
1：在 中， ， ，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 得到线段 BD．
（1）如图 1，直接写出 的大小（用含 的式子表示）；
（2）如图 2， ， ，判断 的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结 DE，若 ，求 的值
2：如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，边 BA 绕点 B 顺时针旋转 α 角得到线段 BP，连结 PA，PC，过点 P 作 PD
⊥AC 于点 D．
（1）如图 1，若 α=60°，求∠DPC 的度数；
（2）如图 2，若 α=30°，直接写出∠DPC 的度数；
（3）如图 3，若 α=150°，依题意补全图，并求∠DPC 的度数．
ABC△ AB AC= BAC∠ = α ( )0 60° < α < ° 60° ABD∠ α 150BCE∠ = ° 60ABE∠ = ° ABE△ 45DEC∠ = ° α
3：在△ABC 中， ，将线段 AC 绕着点 C 逆时针旋转得到线段 CD，旋转角为 ，且 ，连接
AD、BD．
（1）如图 1，当 ， 时， 的大小为_________；
（2）如图 2，当 ， 时，求 的大小；
（3）已知∠BAC 的大小为 ，若 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出 的大小
4：如图 1，正方形 与正方形 的边 在一条直线上，正方形 以点 为旋转中
心逆时针旋转，设旋转角为 ，在旋转过程中，两个正方形只有点 重合，其它顶点均不重合，连接
．
（1）当正方形 旋转至如图 2 所示的位置时，求证： ；
（2）当点 在直线 上时，连接 ，直接写出 的度数；
（3）如图 3，如果 ，求点 到 的距离
AB AC= α 0 180α° < < ° 100BAC∠ = ° 60α = CBD∠ 100BAC∠ = ° 20α = ° CBD∠ ( )60 120m m° < < ° CBD∠ α ABCD AEFG ( )AB AE AB AE
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