中考复习宝典之：几何辅助线之中点辅助线

中点辅助线 教学目标： 1.掌握等腰三角形的中线，三角形的中位线 2.掌握倍长中线或类中线的方法 3.建立关于中点的条件反射，当遇到中点时可以考虑的辅助线做法 知识梳理： 1.掌握倍长中线或类中线构造全等三角形方法 2.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接，用“三线合一” 3.已知三角形一边的中点，可以考虑三角形的中位线 4.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 5.有些题目中的中点不直接给出，此时需要找出隐藏的中点，例如等腰三角形底边的中点， 直角三角形斜边的中点等，然后添加辅助线△ABC 中 AD 是 BC 边中线 E D A B C N D CB A M 典型例题： 例 1：△ABC 中，AB=20，AC=12，求中线 AD 的取值范围 例 2：已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF 例 3：已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 AF=EF，延长 BE 交 AC 于 F，求证：BE=AC D A B C F E D A B C F E D A B C 例 4：已知：如图，在 中， ，D、E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作 交 AE 于点 F，DF=AC.求证：AE 平分∠BAC 例 5：如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点 D 为 BC 的中点，点 E、F 分别为 AB、AC 上的 点，且 ED⊥FD，试判断线段 BE、EF、FC 的数量关系. 例 6：已知 AD 为 △ABC 的中线 ， ∠ADB ， ∠ADC 的平分线分别交 AB 于点 E ，交 AC 于点 F 。求证：BE ＋CF ＞EF 。 第 1 题图 A B F D E C ABC∆ ACAB ≠ BADF // 例 7：在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DM⊥DN，如果 BM2+CN2=DM2+DN2，求证：AD2= （AB2+AC2）. 例 8：已知△ABC 中，AB ＝AC ，CE 是 AB 边上的中线，延长 AB 到 D ，使 BD＝AB ，求证： CD ＝2CE 例 9 已知在△ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且 DF=EF， 求证：BD=CE F E C A B D 1 4 例 10 问题 1：如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 EF 并 延长，分别与 BA、CD 的延长线交于点 M、N，求证：∠BME=∠CNE． 问题二：如图 2，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 相交于点 O，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中 点，连接 EF，分别交 DC、AB 于点 M、N，判断△OMN 的形状，请直接写出结论； 问题三：如图 3，在△ABC 中，AC＞AB，D 点在 AC 上，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点， 连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若∠EFC=60°，连接 GD，判断△AGD 的形状并证 明． 当堂练习： 1： 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，E、F 分别在 BD、AD 上，且 DE=CD，EF=AC，求证：EF ∥AB. 2：已知 CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 3：如图，在△ABC 中，BC ＝18 ，BD ⊥AC 于 D ，CE ⊥AB 于 E ，F 、G 分别是 BC 、 DE 的中点，若 ED ＝10 ，则 FG 的长为_____ 。 4：如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是 DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE. E A B CD F E D A B C 5：在四边形 ABCD 中，AB∥DC，E 为 BC 边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与 DC 的延长线相交 于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论. 6：在△ABC 中，∠ACB=90°，AC= BC，以 BC 为底作等腰直角△BCD，E 是 CD 的中点，求 证： AE⊥EB 且 AE=BE  7：已知△ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角 形，求证 EF=2AD 8：如图 ， 等腰梯形 ABCD 中 ，CD ∥AB ， 对角线 AC 、BD 交于 O ， ∠ACD＝60 °，点 S 、P 、Q 分别是 OD 、OA 、BC 的中点。求证：△PQS 是等边三角形。 F E A B C D 1 2 9：已知：在 中， ，在 中， ，连结 ，取 的中点 ，连结 和 ． ⑴ 若点 在边 上，点 在边 上且与点 不重合，如图①，探索 、 的关系 并给予证明； ⑵ 如果将图①中的 绕点 逆时针旋转小于 45°的角，如图②，那么⑴中的结论是否 仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明． 图1 A B C D E M 图2 M E D C B A Rt ABC∆ AB BC= Rt ADE∆ AD DE= EC EC M DM BM D AC E AB B BM DM ADE∆ A 课后练习： 1：已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 2：已知，E 是 AB 中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求 DC 3：如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 边的中点，G、F 分别为 AD，BC 边上的点，若 AG=1， BF=2，∠GEF=90°，则 GF 的长为多少. 4：如图，在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，E 是 AD 上一点，BE＝AC，BE 的延长线交 AC 于点 F，求证：∠AEF=∠EAF 5：如图，在△ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 中点，EF∥AD 交 CA 的延长线于点 F， 交 EF 于点 G，若 BG=CF，求证：AD 为△ABC 的角平分线. 6：如图，在五边形 ABCDE 中，∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠EAD，F 为 CD 的中点．求证：BF=EF 7：在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥DF，试判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论。 8：△ABC 中，D 为 BC 边的中点，在三角形内部取一点 P，使得∠ABP=∠ACP．过点 P 作 PE ⊥AC 于点 E，PF⊥AB 于点 F． （1）如图 1，当 AB=AC 时，判断的 DE 与 DF 的数量关系，直接写出你的结论； （2）如图 2，当 AB≠ AC，其它条件不变时，（ 1）中的结论是否发生改变？请说明理 由． 9：在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别为 BC 和 AB 的中点求证：AM=AD C E B A D FP A E F P B D C ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ｍ 10：如图甲，操作：把正方形 CGEF 的对∠线 CE 放在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上（CG＞ BC），取线段 AE 的中点 M． （1）探究线段 MD、MF 的位置及数量关系，直接写出答案即可； （2）将正方形 CGEF 绕点 C 逆时针旋转 45°（如图乙），令 CG=2BC 其他条件不变，结论是 否发生变化，并加以证明； （3）将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段 MD，MF 的位置及数量关系，并加以证明．