平行四边形（含答案））

一、选择题(每小题 4 分,共 28 分) 1.下列语句正确的是() A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C.矩形的对角线相等 D.平行四边形是轴对称图形 【解析】选 C.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,故 A 错;两边及其夹角对应相等的两个三角形全等, 故 B 错;矩形的对角线相等,故 C 正确;平行四边形是中心对称图形,故 D 错. 【变式训练】下列命题: ①平行四边形的对边相等;②对角线相等的四边形是矩形; ③正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形;④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形. 其中真命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】.平行四边形的对边相等,①正确;对角线相等的平行四边形是矩形,②错误;正方形既是轴对称图 形,又是中心对称图形,③正确;一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,④正确,所以有 3 个真命题. 2.如图,在▱ABCD 中,AD=8,点 E,F 分别是 BD,CD 的中点,则 EF 等于() A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选 C.∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴BC=AD=8.∵点 E,F 分别是 BD,CD 的中点, ∴EF= BC= ×8=4. 3.如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=4,BC=6,将△ABC 沿 AC 折叠,使点 B 落在点 E 处,CE 交 AD 于点 F,则 DF 的长 等于()A. B. C. D. 【解析】选 B.∵矩形 ABCD 沿对角线 AC 对折,使△ABC 落在△AEC 的位置, ∴AE=AB,∠E=∠B=90°, 又∵四边形 ABCD 为矩形,∴AB=CD,∴AE=DC,而∠AFE=∠CFD, ∵在△AEF 与△CDF 中, ∴△AEF≌△CDF(AAS),∴EF=DF. ∵四边形 ABCD 为矩形,∴AD=BC=6,CD=AB=4,∵Rt△AEF≌Rt△CDF,∴FC=FA, 设 FA=x,则 FC=x,FD=6-x,在 Rt△CDF 中,CF2=CD2+DF2,即 x2=42+(6-x)2,解得 x= ,则 FD=6-x= . 4 如图,四边形 ABCD 是菱形,A(3,0),B(0,4),则点 C 的坐标为() A.(-5,4) B.(-5,5) C.(-4,4) D.(-4,3) 【解析】选 A.∵A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4, ∴AB= =5,∵四边形 ABCD 是菱形, ∴BC=AD=AB=5,∴点 C 的坐标为(-5,4). 5.顺次连接矩形 ABCD 各边中点,所得四边形必定是() A.邻边不等的平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 【解析】选 D. 如图,E,F,G,H 为矩形各边的中点, 连接 AC,BD. 根据 三角形中位线定理, 得 EF ∥AC,EF= AC,HG∥AC,HG= AC,EH= BD.∴EF∥HG,EF=HG,∴四边形 EFGH 为平行四边形.又∵AC=BD,∴EF=EH.∴四边形 EFGH 为菱 形. 6.在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=4,E 为 CD 的中点,连接 AE 交 BC 的延长线于 F 点,P 为 BC 上一点,当∠PAE=∠ DAE 时,AP 的长为() A.4 B. C. D.5 【解析】选 B.∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F,又∵∠PAE=∠DAE,∴∠PAE=∠F, ∴PA=PF.∵E 为 DC 中点,∴DE=CE.又∵∠AED=∠FEC,∴△ADE≌△FCE,∴CF=AD=4, 设 CP=x,PA=PF=x+4,BP=4-x,在直角△ABP 中,22+(4-x)2=(x+4)2,解得:x= ,∴AP 的长为 . 【变式训练】如图,把矩形 ABCD 沿 EF 翻 折,点 B 恰好落在 AD 边的 B'处,若 AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形 ABCD 的面积是() A.12B.24C.12 D.16 【解析】选 D.由两直线平行内错角相等,知∠DEF=∠EFB=60°,∴∠AEF= ∠A'EF=120°,∴∠A'EB'=60°,A'E=AE=2,求得 A'B'=2 ,∴AB=2 ,矩形 ABCD 的面积为 S=2 × 8=16 . 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 8.△ABC 中,点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,DE=7,则 BC=________. 【解析】∵D,E 分别是△ABC 的边 AB 和 AC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∵DE=7,∴BC=2DE=14. 9.已知矩形的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若 AO=1,那么 BD=________.【解析】在矩形 ABCD 中,∵对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AO=1,∴AO=CO=BO=DO=1,∴BD=2. 10.)如图,在▱ABCD 中,AE⊥BC 于点 E,AF⊥CD 于点 F.若∠EAF=56°,则∠B=________.导学号 42684319 【解析】∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEC=∠AFC=90°,在四边形 AECF 中, ∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=360°-56°-90°-90°=124°,在▱ABCD 中, ∠B=180°-∠C=180°-124°=56°. 11.如图,在菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,AB=2,则菱形 ABCD 的面积为________. 【解析】∵菱形 ABCD,∴AD=AB,OD=OB,OA=OC,∵∠DAB=60°,∴△ABD 为等边三角形,∴BD=AB=2,∴OD=1, 在 Rt△AOD 中,根据勾股定理得:AO= = ,∴AC=2 ,则 S 菱形 ABCD= AC·BD=2 . 三、解答题(共 47 分) 13.(10 分)如图,在▱ABCD 中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为 E,F. (1)求证:△ADE≌△CBF.(2)求证:四边形 BFDE 为矩形.【证明】(1)∵DE⊥AB,BF⊥CD,∴∠AED=∠CFB=90°,∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C, 在△ADE 和△CBF 中, ∴△ADE≌△CBF(AAS). (2)∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴CD∥AB,∴∠CDE+∠DEB=180°, ∵∠DEB=90°,∴∠CDE=90°,∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°,则四边形 BFDE 为矩形. 14.如图,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折,点 B 落在点 F 处,FC 交 AD 于点 E. (1)求证:△AFE≌△CDE.(2)若 AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积. 【解析】(1)∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB=CD,∠B=∠D=90°.由折叠,得 AB=AF,∠B=∠F.∴AF=CD,∠F=∠D. 又∵∠AEF=∠DEC,∴△AFE≌△CDE. (2)∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC.∴∠CAE=∠ACB.由折叠,得∠ACB=∠ACE,AF=AB=4,CF=BC=8. ∴∠CAE=∠ACE.∴AE=CE.设 AE=x,则 CE=x,EF=8-x.在 Rt△AEF 中,由勾股定理得 AE2=AF2+EF2. ∴42+(8-x)2=x2.解得 x=5,即 AE=5.∴S 阴影= AE·AB= ×5×4=10. 15.如图,在平行四边形 ABCD 中,边 AB 的垂直平分线交 AD 于点 E,交 CB 的延长线于点 F,连接 AF,BE. (1)求证:△AGE≌△BGF.(2)试判断四边形 AFBE 的形状,并说明理由.【解析】(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AEG=∠BFG,∵EF 垂直平分 AB,∴AG=BG, 在△AGE 和△BGF 中, ∴△AGE≌△BGF(AAS). (2)四边形 AFBE 是菱形.理由如下:∵△AGE≌△BGF,∴AE=BF,∵AD∥BC,∴四边形 AFBE 是平行四边形, 又∵EF⊥AB,∴四边形 AFBE 是菱形. 一、选择题(每小题 4 分,共 28 分) 1.已知四边形 ABCD 是平行四边形,则下列各图中∠1 与∠2 一定不相等的是 2. 如图, 已知菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 的长分别是 6cm,8cm,AE⊥BC 于点 E,则 AE 的长是() A.5 cm B.2 cm C. cm D. cm3. 如 图 , 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,DE 是 ∠ ADC 的 平 分 线 ,F 是 AB 的 中 点,AB=6,AD=4,则 AE∶EF∶BE 为() A.4∶1∶2 B.4∶1∶3 C.3∶1∶2 D.5∶1∶2[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net] 4.(2013·邵阳中考)如图所示,点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 延长线上的一点,且 AD=DE,连接 BE 交 CD 于点 O,连接 AO,下列结论不正确的是() A.△AOB≌△BOC B.△BOC≌△EOD C.△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC 5. 如图,过矩形 ABCD 的四个顶点作对角线 AC,BD 的平行线, 分别相交于 E,F,G,H 四点,则四边形 EFGH 为() A.平行四边形 B.矩形[来源:www.shulihua.net] C.菱形 D.正方形 6.(2013·威海中考)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,且 BE=BF, 添加一个条件,仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是() A.BC=AC B.CF⊥BF C.BD=DF D.AC=BF 7.如图,△ABC 中,AB=AC,点 D,E 分别是边 AB,AC 的中 点,点 G,F 在 BC 边上,四边形 DEFG 是正方形.若 DE=2cm,则 AC 的长为() A.3 cm B.4cm C.2 cm D.2 cm 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 8.如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 C 的直线 CE⊥AB, 垂足为 E,若∠EAD=53°,则∠BCE 的度数为. 9.(2013·厦门中考)如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相 交 于 点 O, 点 E,F 分 别 是 线 段 AO,BO 的 中 点 . 若 AC+BD=24 厘米,△OAB 的周长是 18 厘米,则 EF=厘米. 10.如图,矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,CE∥BD,DE∥AC.若 AC=4,则四 边形 CODE 的周长是. 11.(2013·牡丹江中考)如图,边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°.连接对角 线 AC,以 AC 为边作第二个菱形 ACEF,使∠FAC=60°.连接 AE,再以 AE 为边作第 三个菱形 AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第 n 个菱形的边长是. 12.(2013·钦州中考)如图 ,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,BE=2,AE=3BE,P 是 AC 上一动点,则 PB+PE 的最小值是.三、解答题(共 47 分) 13.(10 分)(2013·大连中考)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E,F 分别在 AD,BC 上,且 AE=CF. 求证:BE=DF. 14. BD 是菱形 ABCD 的对角线,点 E,F 分别在边 CD,DA 上,且 CE=AF.求证:BE=BF. 16.(13 分)(2013·济宁中考)如图 1,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是边 AD,DC 上 的点,且 AF⊥BE. (1)求证:AF=BE.(2)如图 2,在正方形 ABCD 中,M,N,P,Q 分别是边 AB,BC,CD,DA 上的点,且 MP⊥NQ,判断 MP 与 NQ 是否相等?并说明理由.答案解析 1.【解析】选 C.A 项,根据两直线平行内错角相等可得到,故正确;B 项,根据对 顶角相等可得到,故正确;C 项,根据两直线平行内错角相等可得到∠1=∠ACB,∠ 2 为一外角,所以不相等,故不正确;D 项,根据平行四边形对角相等可得到,故正 确. 2.【解析】选 D.由于菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 的长分别是 6cm,8cm,所以菱形 边长为 =5,所以 ×6×8=5AE,解得 AE= . 3.【解析】选 A.∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠CDE=∠DEA. ∵DE 是∠ADC 的平分线,∴∠CDE=∠ADE, ∴∠DEA=∠ADE,∴AE=AD=4. ∵F 是 AB 的中点,∴AF= AB=3. ∴EF=AE-AF=1,BE=AB-AE=2, ∴AE∶EF∶BE=4∶1∶2. 4.【解析】选 A.∵AD=DE,DO∥AB, ∴OD 为△ABE 的中位线,∴OD=OC, ∵在△AOD 和△EOD 中, ∴△AOD≌△EOD; ∵在△AOD 和△BOC 中, ∴△AOD≌△BOC;[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net] ∵△AOD≌△EOD,∴△BOC≌△EOD; 故 B,C,D 选项均正确.5.【解析】选 C.∵EH∥BD,FG∥BD,∴EH∥FG,又 EF∥AC,∴四边形 AEFC 是平行 四边形,∴EF=AC,同理 GH=AC,EH=BD,FG=BD.∵在矩形 ABCD 中,AC=BD, ∴EF=FG=GH=EH,∴四边形 EFGH 是菱形. 6.【解析】选 D.∵EF 垂直平分 BC, ∴BE=EC,BF=CF, ∵BF=BE,∴BE=EC=CF=BF, ∴四边形 BECF 是菱形. 当 BC=AC 时,∵∠ACB=90°,则∠A=45°. ∵∠A=45°,∠ACB=90°,∴∠EBC=45°. ∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°, ∴菱形 BECF 是正方形. 当 CF⊥BF 时,利用正方形的判定定理得出,菱形 BECF 是正方形; 当 BD=DF 时,利用正方形的判定得出,菱形 BECF 是正方形; 当 AC=BF 时,无法得出菱形 BECF 是正方形,故选项 D 符合题意. 7.【解析】选 D.∵点 D,E 分别是边 AB,AC 的中点, ∴DE= BC, ∵DE=2cm,∴BC=4cm, ∵AB=AC,四边形 DEFG 是正方形. ∴△BDG≌△CEF,∴BG=CF=1cm, ∴EC= ,∴AC=2 cm. 8.【解析】设 CE 与 AD 相交于点 F. ∵在平行四边形 ABCD 中,过点 C 的直线 CE⊥AB,∴∠E=90°, ∵∠EAD=53°, ∴∠EFA=90°-53°=37°,∴∠DFC=37°. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠BCE=∠DFC=37°. 答案:37° 9.【解析】∵▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,AC+BD=24 厘米,∴OA+OB=12 厘 米. ∵△OAB 的周长是 18 厘米,∴AB=6 厘米. ∵点 E,F 分别是线段 AO,BO 的中点, ∴EF=3 厘米. 答案:3 10.【解析】∵CE∥BD,DE∥AC, ∴四边形 CODE 是平行四边形.[来源:www.shulihua.net] ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AC=BD=4,OA=OC=OB=OD, ∴OD=OC= AC=2, ∴四边形 CODE 是菱形, ∴四边形 CODE 的周长为 4OC=4×2=8. 答案:8 11.【解析】连接 DB, ∵四边形 ABCD 是菱形,∴AD=AB,AC⊥DB, ∵∠DAB=60°, ∴△ADB 是等边三角形, ∴DB=AD=1,∴BM= , ∴AM= ,∴AC= , 同理可得 AE= AC=( )2, AG= AE=3 =( )3, 按此规律所作的第 n 个菱形的边长为( )n-1. 答案:( )n-1 12.【解析】如图,连接 DE,交 AC 于点 P,连接 BP, 则此时 PB+PE 的值最小. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴B,D 关于 AC 对称, ∴PB=PD, ∴PB+PE=PD+PE=DE. ∵BE=2,AE=3BE, ∴AE=6,AB=8, ∴DE= =10, 故 PB+PE 的最小值是 10. 答案:10 13.【证明】∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∵AE=CF,∴DE=BF,DE∥BF,∴四边形 DEBF 是平行四边形, ∴BE=DF. 14.【证明】∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=BC,∠A=∠C. 在△ABF 和△CBE 中, [来源:www.shulihua.net] ∴△ABF≌△CBE(SAS), ∴BF=BE. 15.【解析】(1)∵点 O 为 AB 的中点,连接 DO 并延长到点 E,使 OE=OD, ∴四边形 AEBD 是平行四边形, ∵AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线, ∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°, ∴平行四边形 AEBD 是矩形.即四边形 AEBD 是矩形. (2)当∠BAC=90°时,矩形 AEBD 是正方形.理由: ∵∠BAC=90°,AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线, ∴AD=BD=CD, ∵由(1)得四边形 AEBD 是矩形, ∴矩形 AEBD 是正方形. 16.【解析】(1)在正方形 ABCD 中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°, ∴∠DAF+∠BAF=90°, ∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°, ∴∠ABE=∠DAF, ∵在△ABE 和△DAF 中,∴△ABE≌△DAF(ASA),∴AF=BE. (2)MP 与 NQ 相等. 理由如下:如图,过点 A 作 AF∥MP 交 CD 于点 F,过点 B 作 BE∥NQ 交 AD 于点 E, 则与(1)的情况完全相同.而 MP=AF,NQ=BE, ∴MP=NQ.