2019年山东省烟台市中考数学试卷-参考答案与试题解析

第 1 页（共 20 页） 2019 年山东省烟台市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12 个小题,每小题 3 分,满分 36 分）每小题都给出标号为 A，B，C，D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1．（3 分）﹣8 的立方根是（  ） A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣2 【解答】解：∵﹣2 的立方等于﹣8， ∴﹣8 的立方根等于﹣2． 故选：B． 2．（3 分）下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 3．（3 分）如图所示的几何体是由 9 个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后， 所得几何体的三视图没有发生变化的是（  ） A．主视图和左视图 B．主视图和俯视图 C．左视图和俯视图 D．主视图、左视图、俯视图 【解答】解：将正方体①移走后，主视图不变，俯视图变化，左视图不变， 故选：A． 4．（3 分）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率 为（  ） 第 2 页（共 20 页） A． B． C． D．无法确定 【解答】解：设正六边形边长为 a，则灰色部分面积为 3× ＝ ， 白色区域面积为 a× ＝ ， 所以正六边形面积为 a2， 镖落在白色区域的概率 P＝ ＝ ， 故选：B． 5．（3 分）某种计算机完成一次基本运算的时间约为 1 纳秒（ns），已知 1 纳秒＝0.000 000 001 秒，该计算机完成 15 次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（  ） A．1.5×10﹣9 秒 B．15×10﹣9 秒 C．1.5×10﹣8 秒 D．15×10﹣8 秒 【解答】解：所用时间＝15×0.000 000 001＝1.5×10﹣8． 故选：C． 6．（3 分）当 b+c＝5 时，关于 x 的一元二次方程 3x2+bx﹣c＝0 的根的情况为（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【解答】解：∵b+c＝5， ∴c＝5﹣b． △＝b2﹣4×3×（﹣c）＝b2+12c＝b2﹣12b+60＝（b﹣6）2+24． ∵（b﹣6）2≥0， ∴（b﹣6）2+24＞0， ∴△＞0， ∴关于 x 的一元二次方程 3x2+bx﹣c＝0 有两个不相等的实数根． 故选：A． 7．（3 分）某班有 40 人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参 加本次集体测试因此计算其他 39 人的平均分为 90 分，方差 s2＝41．后来小亮进行了补 第 3 页（共 20 页） 测，成绩为 90 分，关于该班 40 人的测试成绩，下列说法正确的是（  ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 【解答】解：∵小亮的成绩和其他 39 人的平均数相同，都是 90 分， ∴该班 40 人的测试成绩的平均分为 90 分，方差变小， 故选：B． 8．（3 分）已知∠AOB＝60°，以 O 为圆心，以任意长为半径作弧，交 OA，OB 于点 M， N，分别以点 M，N 为圆心，以大于 MN 的长度为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点 P ，以 OP 为边作∠POC＝15°，则∠BOC 的度数为（  ） A．15° B．45° C．15°或 30° D．15°或 45° 【解答】解：（1）以 O 为圆心，以任意长为半径作弧，交 OA，OB 于点 M，N，分别以 点 M，N 为圆心， 以大于 MN 的长度为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点 P，则 OP 为∠AOB 的平分线， （2）两弧在∠AOB 内交于点 P，以 OP 为边作∠POC＝15°，则为作∠POB 或∠POA 的角平分线， 则∠BOC＝15°或 45°， 故选：D． 9．（3 分）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n 为非负整数） 展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 第 4 页（共 20 页） （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 则（a+b）9 展开式中所有项的系数和是（  ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【解答】解：由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）9 展开式中所有项的系数和为（1+1） 9＝29＝512 故选：C． 10．（3 分）如图，面积为 24 的▱ABCD 中，对角线 BD 平分∠ABC，过点 D 作 DE⊥BD 交 BC 的延长线于点 E，DE＝6，则 sin∠DCE 的值为（  ） A． B． C． D． 【解答】解：连接 AC，过点 D 作 DF⊥BE 于点 E， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵▱ABCD 中，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝BC， 第 5 页（共 20 页） ∴四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD， ∵DE⊥BD， ∴OC∥ED， ∵DE＝6， ∴OC＝ ， ∵▱ABCD 的面积为 24， ∴ ， ∴BD＝8， ∴ ＝ ＝5， 设 CF＝x，则 BF＝5+x， 由 BD2﹣BF2＝DC2﹣CF2 可得：82﹣（5+x）2＝52﹣x2， 解得 x＝ ， ∴DF＝ ， ∴sin∠DCE＝ ． 故选：A． 11．（3 分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表： x ﹣1 0 2 3 4 y 5 0 ﹣4 ﹣3 0 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线 x＝2；③当 0＜x＜4 时，y＞ 0；④抛物线与 x 轴的两个交点间的距离是 4；⑤若 A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上 两点，则 x1＜x2，其中正确的个数是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：设抛物线解析式为 y＝ax（x﹣4）， 把（﹣1，5）代入得 5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得 a＝1， ∴抛物线解析式为 y＝x2﹣4x，所以①正确； 抛物线的对称性为直线 x＝2，所以②正确； 第 6 页（共 20 页） ∵抛物线与 x 轴的交点坐标为（0，0），（4，0）， ∴当 0＜x＜4 时，y＜0，所以③错误； 抛物线与 x 轴的两个交点间的距离是 4，所以④正确； 若 A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则 x2＜x1＜2 或 2＜x1＜x2，所以⑤错误． 故选：B． 12．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，直线 DE 与⊙O 相切于点 C，过 A，B 分别作 AD⊥DE ，BE⊥DE，垂足为点 D，E，连接 AC，BC，若 AD＝ ，CE＝3，则 的长为（  ） A． B． π C． π D． π 【解答】解：连接 OC， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB， ∵∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴△ADC∽△CEB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∵tan∠ABC＝ ＝ ， ∴∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC，∠AOC＝60°， ∵直线 DE 与⊙O 相切于点 C， ∴∠ACD＝∠ABC＝30°， ∴AC＝2AD＝2 ， 第 7 页（共 20 页） ∴AB＝4 ， ∴⊙O 的半径为 2 ， ∴ 的长为： ＝ π， 故选：D． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分） 13．（3 分）|﹣6|×2﹣1﹣ cos45°＝ 2 ． 【解答】解：原式＝6× ﹣ × ＝3﹣1 ＝2． 故答案为：2． 14．（3 分）若关于 x 的分式方程 ﹣1＝ 有增根，则 m 的值为 3 ． 【解答】.解：方程两边都乘（x﹣2）， 得 3x﹣x+2＝m+3 ∵原方程有增根， ∴最简公分母（x﹣2）＝0， 解得 x＝2， 当 x＝2 时，m＝3． 故答案为 3． 15．（3 分）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，△ABO 的顶 点坐标分别为 A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1 的顶点坐标分别 为 A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO 与△A1B1O1 是以点 P 为位似中 心的位似图形，则 P 点的坐标为 （﹣5，﹣1） ． 第 8 页（共 20 页） 【解答】解：如图，P 点坐标为（﹣5，﹣1）． 故答案为（﹣5，﹣1）． 16．（3 分）如图，直线 y＝x+2 与直线 y＝ax+c 相交于点 P（m，3），则关于 x 的不等式 x+2 ≤ax+c 的解为 x≤1 ． 【解答】解：点 P（m，3）代入 y＝x+2， ∴m＝1， ∴P（1，3）， 第 9 页（共 20 页） 结合图象可知 x+2≤ax+c 的解为 x≤1； 故答案为 x≤1； 17．（3 分）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面 时（机翼间无缝隙），∠AOB 的度数是 45° ． 【解答】解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠， ∠AOB＝22.5°×2＝45°； 故答案为 45°； 18．（3 分）如图，分别以边长为 2 的等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径 作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，则阴影部 分面积为  π﹣2  ． 【解答】解：连接 OB，作 OD⊥BC 于 D，如图， ∵△ABC 为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°， ∵⊙O 是△ABC 的内切圆， ∴OH 为⊙O 的半径，∠OBH＝30°， ∵O 点为等边三角形的外心， ∴BH＝CH＝1， 在 Rt△OBH 中，OH＝ BH＝ ， ∵S 弓形 AB＝S 扇形 ACB﹣S△ABC， ∴阴影部分面积＝3S 弓形 AB+S△ABC﹣S⊙O＝3（S 扇形 ACB﹣S△ABC）+S△ABC﹣S⊙O＝3S 扇 第 10 页（共 20 页） 形 ACB﹣2S△ABC﹣S⊙O＝3× ﹣2× ×22﹣π×（ ）2＝ π﹣2 ． 故答案为 π﹣2 ． 三、解答题（本大题共 7 个小题，满分 66 分） 19．（6 分）先化简（x+3﹣ ）÷ ，再从 0≤x≤4 中选一个适合的整数代入求 值． 【解答】解：（x+3﹣ ）÷ ＝（ ﹣ ）÷ ＝ • ＝ ， 当 x＝1 时，原式＝ ＝ ． 20．（8 分）十八大以来，某校已举办五届校园艺术节，为了弘扬中华优秀传统文化，每届 艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈” 等节目．小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制了如图所示不完整 的折线统计图和扇形统计图． （1）五届艺术节共有 40 个班级表演这些节目，班数的中位数为 7 ，在扇形统计 图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为 81° ； 第 11 页（共 20 页） （2）补全折线统计图； （3）第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演（“经典诵读”、“民 乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用 A，B，C，D 表示），利用树状图或表 格求出该班选择 A 和 D 两项的概率． 【解答】解：（1）第一届、第二届和第三届参加班级所占的百分比为 1﹣22.5%﹣ ＝ 45%， 所以五届艺术节参加班级表演的总数为（5+7+6）÷45%＝40（个）； 第四届参加班级数为 40×22.5%＝9（个），第五届参加班级数为 40﹣18﹣9＝13（个）， 所以班数的中位数为 7（个） 在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为 360°×22.5%＝81°； 故答案为 40，7，81°； （2）如图， （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中该班选择 A 和 D 两项的结果数为 2， 所以该班选择 A 和 D 两项的概率＝ ＝ ． 21．（9 分）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划 组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配 36 座新能源客车若干辆，则有 2 人没 有座位；若只调配 22 座新能源客车，则用车数量将增加 4 辆，并空出 2 个座位． （1）计划调配 36 座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？ （2）若同时调配 36 座和 22 座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种 第 12 页（共 20 页） 车型各需多少辆？ 【解答】解：（1）设计划调配 36 座新能源客车 x 辆，该大学共有 y 名志愿者，则需调 配 22 座新能源客车（x+4）辆， 依题意，得： ， 解得： ． 答：计划调配 36 座新能源客车 6 辆，该大学共有 218 名志愿者． （2）设需调配 36 座客车 m 辆，22 座客车 n 辆， 依题意，得：36m+22n＝218， ∴n＝ ． 又∵m，n 均为正整数， ∴ ． 答：需调配 36 座客车 3 辆，22 座客车 5 辆． 22．（9 分）如图，在矩形 ABCD 中，CD＝2，AD＝4，点 P 在 BC 上，将△ABP 沿 AP 折 叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的 E 点，O 为 AC 上一点，⊙O 经过点 A，P （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）在边 CB 上截取 CF＝CE，点 F 是线段 BC 的黄金分割点吗？请说明理由． 【解答】解：（1）连接 OP，则∠PAO＝∠APO， 而△AEP 是由△ABP 沿 AP 折叠而得： 故 AE＝AB＝4，∠OAP＝∠PAB， 第 13 页（共 20 页） ∴∠BAP＝∠OPA， ∴AB∥OP，∴∠OPC＝90°， ∴BC 是⊙O 的切线； （2）CF＝CE＝AC﹣AE＝ ﹣4＝2 ﹣2， ＝ ， 故：点 F 是线段 BC 的黄金分割点． 23．（10 分）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边 OA，OB 可绕点 O 开合 ，在 OB 边上有一固定点 P，支柱 PQ 可绕点 P 转动，边 OA 上有六个卡孔，其中离点 O 最近的卡孔为 M，离点 O 最远的卡孔为 N．当支柱端点 Q 放入不同卡孔内，支架的倾斜 角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作 和身体健康，现测得 OP 的长为 12cm，OM 为 10cm，支柱 PQ 为 8m． （1）当支柱的端点 Q 放在卡孔 M 处时，求∠AOB 的度数； （2）当支柱的端点 Q 放在卡孔 N 处时，∠AOB＝20.5°，若相邻两个卡孔的距离相同， 求此间距．（结果精确到十分位） 参考数据表 计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 2.65 6.8 11.24 0.35 0.937 41 49 49 41 第 14 页（共 20 页） 【解答】解：（1）如图，过点 P 作 PH⊥OA 于点 H． 设 OH＝x，则 HM＝10﹣x， 由勾股定理得 OP2﹣OH2＝PH2，MP2﹣HM2＝PH2， ∴OP2﹣OH2＝MP2﹣HM2， 即 122﹣x2＝82﹣（10﹣x）2， 解得 x＝9， 即 OH＝9（cm）， ∴cos∠AOB＝ ＝ ＝0.75， 由表可知，∠AOB 为 41°； （2）过点 P 作 PH⊥OA 于点 H． 在 Rt△OPH 中， ， OH＝11.244（cm）， 第 15 页（共 20 页） ， ∴PH＝4.2（cm）， ∴HN＝ （cm）， ∴ON＝OH+HN＝11.244+6.8＝18.044（cm）， ∴MN＝ON﹣OM＝18.044﹣10＝8.044（cm） ∵电脑台面的角度可达到六档调节，相邻两个卡孔的距离相同， ∴相邻两个卡孔的距离为 8.044÷（6﹣1）≈1.6（cm） 答：相邻两个卡孔的距离约为 1.6cm． 24．（11 分）【问题探究】 （1）如图 1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点 B，D， E 在同一直线上，连接 AD，BD． ①请探究 AD 与 BD 之间的位置关系： AD⊥BD ； ②若 AC＝BC＝ ，DC＝CE＝ ，则线段 AD 的长为 4 ； 【拓展延伸】 （2）如图 2，△ABC 和△DEC 均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝ ，BC ＝ ，CD＝ ，CE＝1．将△DCE 绕点 C 在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD 为 α （0°≤α＜360°），作直线 BD，连接 AD，当点 B，D，E 在同一直线上时，画出图形， 并求线段 AD 的长． 【解答】解：【问题探究】 （1）∵△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ABC＝∠DEC＝45°＝∠CDE ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE，且 AC＝BC，CE＝CD 第 16 页（共 20 页） ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴∠ADC＝∠BEC＝45° ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90° ∴AD⊥BD 故答案为：AD⊥BD ②如图，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F， ∵∠ADC＝45°，CF⊥AD，CD＝ ∴DF＝CF＝1 ∴AF＝ ＝3 ∴AD＝AF+DF＝4 故答案为：4 【拓展延伸】 （2）若点 D 在 BC 右侧， 如图，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝ ，BC＝ ，CD＝ ，CE＝1． ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD∽△BCE ∴∠ADC＝∠BEC， 第 17 页（共 20 页） ∵CD＝ ，CE＝1 ∴DE＝ ＝2 ∵∠ADC＝∠BEC，∠DCE＝∠CFD＝90° ∴△DCE∽△CFD， ∴ 即 ∴CF＝ ，DF＝ ∴AF＝ ＝ ∴AD＝DF+AF＝3 若点 D 在 BC 左侧， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝ ，BC＝ ，CD＝ ，CE＝1． ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD∽△BCE ∴∠ADC＝∠BEC， ∴∠CED＝∠CDF ∵CD＝ ，CE＝1 ∴DE＝ ＝2 ∵∠CED＝∠CDF，∠DCE＝∠CFD＝90° ∴△DCE∽△CFD， ∴ 第 18 页（共 20 页） 即 ∴CF＝ ，DF＝ ∴AF＝ ＝ ∴AD＝AF﹣DF＝2 25．（13 分）如图，顶点为 M 的抛物线 y＝ax2+bx+3 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B 两点， 与 y 轴交于点 C，过点 C 作 CD⊥y 轴交抛物线于另一点 D，作 DE⊥x 轴，垂足为点 E， 双曲线 y＝ （x＞0）经过点 D，连接 MD，BD． （1）求抛物线的表达式； （2）点 N，F 分别是 x 轴，y 轴上的两点，当以 M，D，N，F 为顶点的四边形周长最小 时，求出点 N，F 的坐标； （3）动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OC 方向运动，运动时间为 t 秒 ，当 t 为何值时，∠BPD 的度数最大？（请直接写出结果） 【解答】解；（1）C（0，3） ∵CD⊥y， ∴D 点纵坐标是 3， ∵D 在 y＝ 上， ∴D（2，3）， 将点 A（﹣1，0）和 D（2，3）代入 y＝ax2+bx+3， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+3； 第 19 页（共 20 页） （2）M（1，4），B（3，0）， 作 M 关于 y 轴的对称点 M'，作 D 关于 x 轴的对称点 D'，连接 M'D'与 x 轴、y 轴分别交于 点 N、F， 则以 M，D，N，F 为顶点的四边形周长最小即为 M'D'+MD 的长； ∴M'（﹣1，4），D'（2，﹣3）， ∴M'D'直线的解析式为 y＝﹣ x+ ∴N（ ，0），F（0， ）； （3）设 P（0，t），N（r，t）， 作△PBD 的外接圆 N，当⊙N 与 y 轴相切时此时圆心 N 到 BD 的距离最小，圆心角∠DNB 最大，则，∠BPD 的度数最大； ∴PN＝ND， ∴r＝ ， ∴t2﹣6t﹣4r+13＝0， 易求 BD 的中点为（ ， ）， 直线 BD 的解析式为 y＝﹣3x+9， ∴BD 的中垂线解析式 y＝ x+ ， N 在中垂线上，∴t＝ r+ ， ∴t2﹣18t+21＝0， ∴t＝9+2 或 t＝9﹣2 ， ∵0＜t＜3， ∴t＝9﹣2 ． 第 20 页（共 20 页） 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/12 17:06:56；用户：初数 44；邮箱：pe_044@xyh.com；学号：25380420