2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）-参考答案与试题解析

第 1 页（共 16 页） 2019 年山东省淄博市中考数学试卷（A 卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．（4 分）比﹣2 小 1 的数是（  ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【解答】解：﹣2﹣1＝﹣（1+2）＝﹣3． 故选：A． 2．（4 分）国产科幻电影《流浪地球》上映 17 日，票房收入突破 40 亿元人民币，将 40 亿 用科学记数法表示为（  ） A．40×108 B．4×109 C．4×1010 D．0.4×1010 【解答】解：40 亿用科学记数法表示为：4×109， 故选：B． 3．（4 分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（  ） A． B． C． D． 【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意 ； B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意； C、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长 方形，不符合题意； D、球的三视图都是大小相同的圆，符合题意． 故选：D． 4．（4 分）如图，小明从 A 处沿北偏东 40°方向行走至点 B 处，又从点 B 处沿东偏南 20 方向行走至点 C 处，则∠ABC 等于（  ） 第 2 页（共 16 页） A．130° B．120° C．110° D．100° 【解答】解：如图： ∵小明从 A 处沿北偏东 40°方向行走至点 B 处，又从点 B 处沿东偏南 20 方向行走至点 C 处， ∴∠DAB＝40°，∠CBF＝20°， ∵向北方向线是平行的，即 AD∥BE， ∴∠ABE＝∠DAB＝40°， ∵∠EBF＝90°， ∴∠EBC＝90°﹣20°＝70°， ∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°， 故选：C． 5．（4 分）解分式方程 ＝ ﹣2 时，去分母变形正确的是（  ） A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2） C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2） 【解答】解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）， 故选：D． 6．（4 分）与下面科学计算器的按键顺序： 对应的计算任务是（  ） A．0.6× +124 B．0.6× +124 第 3 页（共 16 页） C．0.6×5÷6+412 D．0.6× +412 【解答】解：与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是 0.6× +124， 故选：B． 7．（4 分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 2 和 8，则图中阴影部分的面 积为（  ） A． B．2 C．2 D．6 【解答】解：由题意可得， 大正方形的边长为 ＝2 ，小正方形的边长为 ， ∴图中阴影部分的面积为： ×（2 ﹣ ）＝2， 故选：B． 8．（4 分）如图，在△ABC 中，AC＝2，BC＝4，D 为 BC 边上的一点，且∠CAD＝∠B． 若△ADC 的面积为 a，则△ABD 的面积为（  ） A．2a B． a C．3a D． a 【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA， ∴△ACD∽△BCA， ∴ ＝（ ）2，即 ＝ ， 解得，△BCA 的面积为 4a， ∴△ABD 的面积为：4a﹣a＝3a， 故选：C． 9．（4 分）若 x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以 x1，x2 为根的一元二次方程是（  ） A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0 【解答】解：∵x12+x22＝5， 第 4 页（共 16 页） ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5， 而 x1+x2＝3， ∴9﹣2x1x2＝5， ∴x1x2＝2， ∴以 x1，x2 为根的一元二次方程为 x2﹣3x+2＝0． 故选：A． 10．（4 分）从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度 h 随时间 t 的变化情况如图所 示，则对应容器的形状为（  ） A． B． C． D． 【解答】解：根据图象可知，容器大致为：容器底部比较粗，然后逐渐变细，然后又逐 渐变粗，最后又变得细小，并且最后非常细，推断可能是 C 容器． 故选：C． 11．（4 分）将二次函数 y＝x2﹣4x+a 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位．若 得到的函数图象与直线 y＝2 有两个交点，则 a 的取值范围是（  ） A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a， ∴将二次函数 y＝x2﹣4x+a 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，得到的函 数解析式为 y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即 y＝x2﹣2x+a﹣2， 将 y＝2 代入，得 2＝x2﹣2x+a﹣2，即 x2﹣2x+a﹣4＝0， 由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得 a＜5． 故选：D． 12．（4 分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以 A1，A2，A3，…为直角顶 点，一条直角边在 x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 C1（x1，y1），C2（x2 ，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数 y＝ （x＞0）的图象上．则 y1+y2+…+y10 的 第 5 页（共 16 页） 值为（  ） A．2 B．6 C．4 D．2 【解答】解：过 C1、C2、C3…分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D1、D2、D3… 其斜边的中点 C1 在反比例函数 y＝ ，∴C（2，2）即 y1＝2， ∴OD1＝D1A1＝2， 设 A1D2＝a，则 C2D2＝a 此时 C2（4+a，a），代入 y＝ 得：a（4+a）＝4， 解得：a＝ ，即：y2＝ ， 同理：y3＝ ， y4＝ ， …… ∴y1+y2+…+y10＝2+ + +…… ＝ ， 故选：A． 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．请直接填写最后结果. 13．（4 分）单项式 a3b2 的次数是 5 ． 【解答】解：单项式 a3b2 的次数是 3+2＝5． 第 6 页（共 16 页） 故答案为 5． 14．（4 分）分解因式：x3+5x2+6x． 【解答】解：x3+5x2+6x， ＝x（x2+5x+6）， ＝x（x+2）（x+3）． 15．（4 分）如图，在正方形网格中，格点△ABC 绕某点顺时针旋转角 α（0＜α＜180°） 得到格点△A1B1C1，点 A 与点 A1，点 B 与点 B1，点 C 与点 C1 是对应点，则 α＝ 90  度． 【解答】解：如图， 连接 CC1，AA1，作 CC1，AA1 的垂直平分线交于点 E，连接 AE，A1E ∵CC1，AA1 的垂直平分线交于点 E， ∴点 E 是旋转中心， ∵∠AEA1＝90° ∴旋转角 α＝90° 故答案为：90 16．（4 分）某校欲从初三级部 3 名女生，2 名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办 的“中国梦•青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是   ． 【解答】解：画树状图为： 第 7 页（共 16 页） 共 20 种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为 12， ∴恰好选中一男一女的概率是 ＝ ， 故答案为： ． 17．（4 分）如图，在以 A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片 ABC 中，将 B 角折起，使点 B 落在 AC 边上的点 D（不与点 A，C 重合）处，折痕是 EF． 如图 1，当 CD＝ AC 时，tanα1＝ ； 如图 2，当 CD＝ AC 时，tanα2＝ ； 如图 3，当 CD＝ AC 时，tanα3＝ ； …… 依此类推，当 CD＝ AC（n 为正整数）时，tanαn＝   ． 【解答】解：观察可知，正切值的分子是 3，5，7，9，…，2n+1， 分母与勾股数有关系，分别是勾股数 3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…， 2n+1， ， 中的中间一个． ∴tanαn＝ ＝ ． 故答案为： ． 三、解答题：本大题共 7 个小题，共 52 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 18．（5 分）解不等式 +1＞x﹣3． 第 8 页（共 16 页） 【解答】解：将不等式 两边同乘以 2 得， x﹣5+2＞2x﹣6 解得 x＜3． 19．（5 分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC． 求证：∠E＝∠C． 【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC ∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE ∴∠CAB＝∠EAD，且 AB＝AD，AC＝AE ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠C＝∠E 20．（8 分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019 年 5 月“ 亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为 了了解 10～60 岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了 100 名年龄在该范围内 的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图 和扇形统计图，如下所示： 组别 年龄段 频数（人数） 第 1 组 10≤x＜20 5 第 2 组 20≤x＜30 a 第 3 组 30≤x＜40 35 第 4 组 40≤x＜50 20 第 5 组 50≤x＜60 15 第 9 页（共 16 页） （1）请直接写出 a＝ 25 ，m＝ 20 ，第 3 组人数在扇形统计图中所对应的圆心角 是 126 度． （2）请补全上面的频数分布直方图； （3）假设该市现有 10～60 岁的市民 300 万人，问 40～50 岁年龄段的关注本次大会的人 数约有多少？ 【解答】解：（1）a＝100﹣5﹣35﹣20﹣15＝25， m%＝（20÷100）×100%＝20%， 第 3 组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：360°× ＝126°， 故答案为：25，20，126； （2）由（1）值，20≤x＜30 有 25 人， 补全的频数分布直方图如右图所示； （3）300× ＝60（万人）， 答：40～50 岁年龄段的关注本次大会的人数约有 60 万人． 21．（8 分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的 A，B 两种产品 在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为 2060 万元，总利润为 1020 万 元（利润＝售价﹣成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表： 第 10 页（共 16 页） A B 成本（单位：万元/件） 2 4 售价（单位：万元/件） 5 7 问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？ 【解答】解：设 A，B 两种产品的销售件数分别为 x 件、y 件； 由题意得： ， 解得： ； 答：A，B 两种产品的销售件数分别为 160 件、180 件． 22．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，点 E 在 AC 上，以 AE 为直径的⊙O 经过点 D． （1）求证：①BC 是⊙O 的切线； ②CD2＝CE•CA； （2）若点 F 是劣弧 AD 的中点，且 CE＝3，试求阴影部分的面积． 【解答】解：（1）①连接 OD， ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB＝∠DAO， ∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴DO∥AB，而∠B＝90°， ∴∠ODB＝90°， 第 11 页（共 16 页） ∴BC 是⊙O 的切线； ②连接 DE， ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠CDE＝∠DAC， ∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD， ∴CD2＝CE•CA； （2）连接 DE、OE，设圆的半径为 R， ∵点 F 是劣弧 AD 的中点，∴是 OF 是 DA 中垂线， ∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠FAD， ∵DO∥AB，∴∠PDA＝∠DAF， ∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD， ∴AF＝DF＝OA＝OD， ∴△OFD、△OFA 是等边三角形， ∴∠C＝30°， ∴OD＝ OC＝（OE+EC），而 OE＝OD， ∴CE＝OE＝R＝3， S 阴影＝S 扇形 DFO＝ ×π×32＝ ． 23．（9 分）如图 1，正方形 ABDE 和 BCFG 的边 AB，BC 在同一条直线上，且 AB＝2BC， 取 EF 的中点 M，连接 MD，MG，MB． （1）试证明 DM⊥MG，并求 的值． （2）如图 2，将图 1 中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不 变，问（1）中 的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 α 的式子表示）；若无变 化，说明理由． 【解答】（1）证明：如图 1 中，延长 DM 交 FG 的延长线于 H． 第 12 页（共 16 页） ∵四边形 ABCD，四边形 BCFG 都是正方形， ∴DE∥AC∥GF， ∴∠EDM＝∠FHM， ∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM， ∴△EDM≌△FHM（AAS）， ∴DE＝FH，DM＝MH， ∵DE＝2FG，BG＝DG， ∴HG＝DG， ∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM， ∴GM⊥DM，DM＝MG， 连接 EB，BF，设 BC＝a，则 AB＝2a，BE＝2 a，BF＝ a， ∵∠EBD＝∠DBF＝45°， ∴∠EBF＝90°， ∴EF＝ ＝ a， ∵EM＝MF， ∴BM＝ EF＝ a， ∵HM＝DM，GH＝FG， ∴MG＝ DF＝ a， ∴ ＝ ＝ ． （2）解：（1）中 的值有变化． 第 13 页（共 16 页） 理由：如图 2 中，连接 BE，AD 交于点 O，连接 OG，CG，BF，CG 交 BF 于 O′． ∵DO＝OA，DG＝GB， ∴GO∥AB，OG＝ AB， ∵GF∥AC， ∴O，G，F 共线， ∵FG＝ AB， ∴OF＝AB＝DF， ∵DF∥AC，AC∥OF， ∴DE∥OF， ∴OD 与 EF 互相平分， ∵EM＝MF， ∴点 M 在直线 AD 上， ∵GD＝GB＝GO＝GF， ∴四边形 OBFD 是矩形， ∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°， ∵OM＝MD，OG＝GF， ∴MG＝ DF，设 BC＝m，则 AB＝2m， 易知 BE＝2OB＝2•2m•sinα＝4msinα，BF＝2BO°＝2m•cosα，DF＝OB＝2m•sinα， ∵BM＝ EF＝ ＝ ，GM＝ DF＝m•sinα， ∴ ＝ ＝ ． 24．（9 分）如图，顶点为 M 的抛物线 y＝ax2+bx+3 与 x 轴交于 A（3，0），B（﹣1，0） 两点，与 y 轴交于点 C． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； 第 14 页（共 16 页） （2）问在 y 轴上是否存在一点 P，使得△PAM 为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标 ；若不存在，说明理由． （3）若在第一象限的抛物线下方有一动点 D，满足 DA＝OA，过 D 作 DG⊥x 轴于点 G， 设△ADG 的内心为 I，试求 CI 的最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+3 过点 A（3，0），B（﹣1，0） ∴ 解得： ∴这条抛物线对应的函数表达式为 y＝﹣x2+2x+3 （2）在 y 轴上存在点 P，使得△PAM 为直角三角形． ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 ∴顶点 M（1，4） ∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20 设点 P 坐标为（0，p） ∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2 ①若∠PAM＝90°，则 AM2+AP2＝MP2 ∴20+9+p2＝17﹣8p+p2 解得：p＝﹣ ∴P（0，﹣ ） ②若∠APM＝90°，则 AP2+MP2＝AM2 ∴9+p2+17﹣8p+p2＝20 解得：p1＝1，p2＝3 ∴P（0，1）或（0，3） 第 15 页（共 16 页） ③若∠AMP＝90°，则 AM2+MP2＝AP2 ∴20+17﹣8p+p2＝9+p2 解得：p＝ ∴P（0， ） 综上所述，点 P 坐标为（0，﹣ ）或（0，1）或（0，3）或（0， ）时，△PAM 为直 角三角形． （3）如图，过点 I 作 IE⊥x 轴于点 E，IF⊥AD 于点 F，IH⊥DG 于点 H ∵DG⊥x 轴于点 G ∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90° ∴四边形 IEGH 是矩形 ∵点 I 为△ADG 的内心 ∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG ∴矩形 IEGH 是正方形 设点 I 坐标为（m，n） ∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n ∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m ∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m ∵DA＝OA＝3 ∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m ∴DG＝DH+HG＝m+n ∵DG2+AG2＝DA2 ∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32 ∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0 配方得：（m﹣ ）2+（n+ ）2＝ ∴点 I（m，n）与定点 Q（ ，﹣ ）的距离为 ∴点 I 在以点 Q（ ，﹣ ）为圆心，半径为 的圆在第一象限的弧上运动 ∴当点 I 在线段 CQ 上时，CI 最小 第 16 页（共 16 页） ∵CQ＝ ∴CI＝CQ﹣IQ＝ ∴CI 最小值为 ． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/12 17:06:01；用户：初数 44；邮箱：pe_044@xyh.com；学号：25380420