北师大版九年级上册数学单元测试题全套

北师大版九年级上册数学单元测试题全套 第一章检测题 (时间：120 分钟　　满分：120 分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(内江)下列命题中，真命题是( C ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2．(西宁)如图，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，OM∥AB 交 AD 于点 M，若 OM＝3，BC ＝10，则 OB 的长为( D ) A．5 B．4 C. 34 2 D. 34 3．(河北)关于▱ABCD 的叙述，正确的是( C ) A．若 AB⊥BC，则▱ABCD 是菱形 B．若 AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形 C．若 AC＝BD，则▱ABCD 是矩形 D．若 AB＝AD，则▱ABCD 是正方形 　　 ,第 4 题图)　　 ,第 5 题图)　　 ,第 6 题图) 4．如图，两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一 个四边形，则下列结论中，不一定成立的是( D ) A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BC C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB＋∠BCD＝180° 5．(衡阳)如图所示，在平面直角坐标系中，菱形 MNPO 的顶点 P 的坐标是(3，4)，则顶点 M、N 的坐标分别是( A ) A．M(5，0)，N(8，4) B．M(4，0)，N(8，4) C．M(5，0)，N(7，4) D．M(4，0)，N(7，4) 6．(陕西)如图，在正方形 ABCD 中，连接 BD，点 O 是 BD 的中点，若 M、N 是边 AD 上的两点， 连接 MO、NO，并分别延长交边 BC 于点 M′、N′，则图中的全等三角形共有( C ) A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对 7．(广东)如图，正方形 ABCD 的面积为 1，则以相邻两边中点连接 EF 为边的正方形 EFGH 的周长 为( B )A. 2 B．2 2 C. 2＋1 D．2 2＋1 8．(葫芦岛)如图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 落在 AD 边的中点 C′处，点 B 落在 点 B′处，其中 AB＝9，BC＝6，则 FC′的长为( D ) A.10 3 B．4 C．4.5 D．5 ,第 7 题图)　　 ,第 8 题图)　　 , 第 9 题图)　　 ,第 10 题图) 9．(广州)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD，转动这个四边形，使它 形状改变，当∠B＝90°时，如图 1，测得 AC＝2，当∠B＝60°时，如图 2，AC＝( A ) A. 2 B．2 C. 6 D．2 2 10．(宜宾)如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点，矩形的两条边 AB、BC 的长分别是 6 和 8，则点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是( A ) A．4.8 B．5 C．6 D．7.2 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．(成都)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 垂直平分 OB 于点 E，则 AD 的长为__3 3__. 12．(青岛)如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E 为对角线 AC 的中点，连接 BE， ED，BD.若∠BAD＝58°，则∠EBD 的度数为__32__度． ,第 11 题图)　　 ,第 12 题图)　　 ,第 14 题图)　　 ,第 16 题图) 13．(兰州)在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，要使四边形 ABCD 是正方形， 还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且 AB＝AD；②AB＝BD，且 AB⊥BD；③OB＝OC，且 OB⊥OC；④AB＝AD，且 AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__. 14．(江西)如图，矩形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，连接 DE 和 BF，分别取 DE、 BF 的中点 M、N，连接 AM，CN，MN，若 AB＝2 2，BC＝2 3，则图中阴影部分的面积为__2 6__. 15．(哈尔滨)在矩形 ABCD 中，AD＝5，AB＝4，点 E，F 在直线 AD 上，且四边形 BCFE 为菱形．若 线段 EF 的中点为点 M，则线段 AM 的长为__5.5 或 0.5__. 16．已知，如图，∠MON＝45°，OA 1＝1，作正方形 A1B1C1A2，周长记作 C1；再作第二个正方 形 A2B2C2A3，周长记作 C2；继续作第三个正方形 A3B3C3A4，周长记作 C3；点 A1、A2、A3、A4…在射 线 ON 上，点 B1、B2、B3、B4…在射线 OM 上，…依此类推，则第 n 个正方形的周长 Cn＝__2n＋1__. 三、解答题(共 72 分) 17．(6 分)已知：如图，矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于 O 点，若点 E 是 AO 的中点，点 F 是 OD 的中点．求证：BE＝CF. 证明：易证△OBE≌△OCF(SAS)，∴BE＝CF 18．(7 分)(怀化)如图，四边形 ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形． (1)求证：△ABE≌△DCE； (2)求∠AED 的度数． (1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，△ABC 是等边三角形，∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝ ∠BCD ＝ 90 ° ， ∠ EBC ＝ ∠ECB ＝ 60 ° ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠ECD ＝ 30 ° ， 在 △ABE 和 △DCE 中 ， {AB＝DC， ∠ 퐴 BE＝∠DCE， 퐵 퐸 ＝CE， ∴△ABE≌△DCE(SAS) (2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝1 2(180°－30°)＝75°，∵∠BAD＝90°，∴∠EAD＝ 90°－75°＝15°，同理可得∠ADE＝15°，∴∠AED＝180°－15°－15°＝150° 19．(7 分)(贺州)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BD 平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点 O. (1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(2)若 CD＝3，BD＝2 5，求四边形 ABCD 的面积． (1)证明：易证△AOD≌△COB(ASA)，∴AO＝OC，∵AC⊥BD，∴四边形 ABCD 是菱形 (2)解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴OD＝1 2BD＝ 5，∴OC＝ CD2－OD2＝2，∴AC＝2OC＝4，∴ S 菱形 ABCD＝1 2AC·BD＝4 5 20．(7 分)(上海)已知：如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝CD，E 是对角线 BD 上一点，且 EA＝EC. (1)求证：四边形 ABCD 是菱形； (2)如果 BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形 ABCD 是正方形． 证明：(1)在△ADE 与△CDE 中，{AD＝CD DE＝DE EA＝EC ，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴四边形 ABCD 为平行四 边形，∵AD＝CD，∴四边形 ABCD 是菱形 (2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180× 2 2＋3＋3＝45°，∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，∴四边形 ABCD 是正方形 21．(7 分)(遵义)如图，矩形 ABCD 中，延长 AB 至 E，延长 CD 至 F，BE＝DF，连接 EF，与 BC、 AD 分别相交于 P、Q 两点． (1)求证：CP＝AQ； (2)若 BP＝1，PQ＝2 2，∠AEF＝45°，求矩形 ABCD 的面积．(1)证明：易证△CFP≌△AEQ(ASA)，∴CP＝AQ (2)解：∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠A＝90°， ∵∠AEF＝45°，∴△BEP、△AEQ 是等腰直角三角形，∴BE＝BP＝1，AQ＝AE，∴PE＝2BP＝ 2，∴EQ＝PE＋PQ＝ 2＋2 2＝3 2，∴AQ＝AE＝3，∴AB＝AE－BE＝2，∵CP＝AQ，AD＝BC，∴ DQ＝BP＝1，∴AD＝AQ＋DQ＝3＋1＝4，∴矩形 ABCD 的面积＝AB·AD＝2×4＝8 22．(8 分)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，分别延长 OA，OC 到点 E，F，使 AE ＝CF，依次连接 B，F，D，E 各点． (1)求证：△BAE≌△BCF； (2)若∠ABC＝40°，求当∠EBA 为多少度时，四边形 BFDE 是正方形． (1)证明：易证△BAE≌△BCF(SAS) (2)解：若∠ABC＝40°，则当∠EBA＝25°时，四边形 BFDE 是正方形．理由如下：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABO＝1 2∠ABC＝20°，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四 边形 BFDE 是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形 BFDE 是菱形，∵∠EBA＝25°，∴∠OBE＝25°＋ 20°＝45°，∴△OBE 是等腰直角三角形，∴OB＝OE，∴BD＝EF，∴菱形 BFDE 是正方形 23．(8 分)(云南)如图，△ABC 是以 BC 为底的等腰三角形，AD 是边 BC 上的高，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点． (1)求证：四边形 AEDF 是菱形； (2)如果四边形 AEDF 的周长为 12，两条对角线的和等于 7，求四边形 AEDF 的面积 S.解：(1)∵AD⊥BC，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点，∴Rt△ABD 中，DE＝1 2AB＝AE，Rt△ACD 中，DF＝1 2AC＝AF，又∵AB＝AC，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝ DF，∴四边形 AEDF 是菱形 (2)如图，∵菱形 AEDF 的周长为 12，∴AE＝3，设 EF＝x，AD＝y，则 x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝ 49①，∵AD⊥EF 于 O，∴Rt△AOE 中，AO2＋EO2＝AE2，∴(1 2y)2＋(1 2x)2＝32，即 x2＋y2＝36②，把② 代入①，可得 2xy＝13，∴xy＝13 2 ，∴菱形 AEDF 的面积 S＝1 2xy＝13 4 24．(10 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，过点 C 的直线 MN∥AB，D 为 AB 边上一点， 过点 D 作 DE⊥BC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接 CD，BE. (1)求证：CE＝AD； (2)当 D 在 AB 中点时，四边形 CDBE 是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若 D 为 AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 CDBE 是正方形？请说明你的理 由． 证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB， 即 CE∥AD，∴四边形 ADEC 是平行四边形，∴CE＝AD (2) 四 边 形 CDBE 是 菱 形 ， 理 由 ： ∵D 为 AB 中 点 ， ∴ AD ＝ BD.∵CE ＝ AD ， ∴ BD ＝ CE.∵BD∥CE，∴四边形 CDBE 是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D 为 AB 中点，∴CD＝BD.∴四边 形 CDBE 是菱形 (3)当∠A＝45°时，四边形 CDBE 是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A ＝45°，∴AC＝BC.∵D 为 AB 中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∵四边形 CDBE 是菱形，∴四边 形 CDBE 是正方形，即当∠A＝45°时，四边形 CDBE 是正方形 25．(12 分)(1)如图 1，正方形 ABCD 中，点 P 为线段 BC 上一个动点，若线段 MN 垂直 AP 于点 E，交线段 AB 于 M，交线段 CD 于 N，证明：AP＝MN； (2)如图 2，正方形 ABCD 中，点 P 为线段 BC 上一动点，若线段 MN 垂直平分线段 AP，分别交 AB、AP、BD、DC 于点 M、E、F、N.求证：EF＝ME＋FN； (3)若正方形 ABCD 的边长为 2，求线段 EF 的最大值与最小值．(1)证明：过 B 点作 BH∥MN 交 CD 于 H，∵BM∥NH，BH∥MN，∴四边形 MBHN 为平行四边 形．∴BH＝MN.∵MN⊥AP，∴∠BAP＋∠ABH＝90°.又∵∠ABH＋∠CBH＝90°，∴∠BAP＝ ∠CBH.在△ABP 与△BCH 中，{∠BAP＝∠CBH AB＝BC ∠ABP＝∠BCH ∴△ABP≌△BCH.∴AP＝BH.∴AP＝MN (2)连接 FA，FP，FC.∵正方形 ABCD 是轴对称图形，F 为对角线 BD 上一点，∴FA＝FC.又∵FE 垂直平分 AP，∴FA＝FP.∴FP＝FC.∴∠FPC＝∠FCP.∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝∠FPC.又∵∠FPC ＋∠FPB＝180°，∴∠FAB＋∠FPB＝180°.∴∠ABC＋∠AFP＝180°.∴∠AFP＝90°.∴FE＝1 2AP.又 ∵AP＝MN，∴ME＋EF＋FN＝AP.∴EF＝ME＋FN (3)由(2)有 EF＝1 2MN，∵AC，BD 是正方形的对角线，∴BD＝2 2.当点 P 和点 B 重合时，EF 最小 ＝1 2MN＝1 2AB＝1.当点 P 和点 C 重合时，EF 最大＝1 2MN＝1 2BD＝ 2 第二章检测题 (时间：100 分钟　　满分：120 分) 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(朝阳)方程 2x2＝3x 的解为( D ) A．0 B.3 2 C．－3 2 D．0，3 2 2．(泰安)一元二次方程 x2－6x－6＝0 配方后化为( A ) A．(x－3)2＝15 B．(x－3)2＝3 C．(x＋3)2＝15 D．(x＋3)2＝3 3．(上海)下列方程中，没有实数根的是( D ) A．x2－2x＝0 B．x2－2x－1＝0 C．x2－2x＋1＝0 D．x2－2x＋2＝0 4．根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09判断方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c 为常数)的一个解 x 的范围是( C ) A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26 5．(咸宁)已知 a、b、c 为常数，点 P(a，c)在第二象限，则关于 x 的方程 ax 2＋bx＋c＝0 根的情况 是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 6．对于方程(x－1)(x－2)＝x－2，下面给出的说法不正确的是( B ) A．与方程 x2＋4＝4x 的解相同 B．两边都除以 x－2，得 x－1＝1，可以解得 x＝2 C．方程有两个相等的实数根 D．移项、分解因式，得(x－2)2＝0，可以解得 x1＝x2＝2 7．(呼和浩特)关于 x 的一元二次方程 x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0 的两个实数根互为相反数，则 a 的值 为( B ) A．2 B．0 C．1 D．2 或 0 8．在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果 要使整个挂图的面积是 5000 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么满足的方程是( C ) A．x2＋130x－1400＝0 B．x2－130x－1400＝0 C．x2＋65x－250＝0 D．x2－65x－250＝0 9．定义：如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足 a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰” 方程．已知 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( A ) A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c 10．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，动点 P，Q 分别从点 A，B 同时开始运动．点 P 的速度为 1 cm/s，点 Q 的速度为 2 cm/s，点 P 运动到点 B 停止，点 Q 运动到点 C 后停 止．经过多长时间，能使△PBQ 的面积为 15 cm2.( B ) A．2 s B．3 s C．4 s D．5 s 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．方程 2x2＋4x＋1＝0 的解是 x1＝__ －2＋ 2 2 __；x2＝ －2－ 2 2 __. 12．(南京)已知关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0 的两根为－3 和－1，则 p＝__4__，q＝__3__． 13．(梅州)用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 64 cm2 的矩形．设矩形的一边长为 x cm，则可列 方程为__x(20－x)＝64__． 14．(岳阳)在△ABC 中，BC＝2，AB＝2 3，AC＝b，且关于 x 的方程 x2－4x＋b＝0 有两个相等的 实数根，则 AC 边上的中线长为__2__． 15．(白银)若关于 x 的一元二次方程(k－1)x 2＋4x＋1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是__k≤5 且 k≠1__. 16．定义新运算“*”，规则：a*b＝{a（a ≥ b） b（a＜b） ，如 1*2＝2，(－ 5)* 2＝ 2.若 x2＋x－1＝0 的两 根为 x1，x2，则 x1*x2＝__ －1＋ 5 2 __． 三、解答题(共 72 分) 17．(10 分)用适当的方法解下列方程： (1)x(x－2)＋x－2＝0; (2)x2－4x－192＝0； 解：x1＝2，x2＝－1 解：x1＝16，x2＝－12 (3)3x2－5x＋1＝0; (4) 4x2－3＝12x. 解： x1＝5＋ 13 6 ，x2＝5－ 13 6 解：x1＝3＋2 3 2 ，x2＝3－2 3 2 18．(6 分)已知方程 x2－ax－3a＝0 的一个根是 6，求 a 的值和方程的另一个根． 解：根据题意得 62－6a－3a＝0，即 36－9a＝0，解得 a＝4；则方程为 x2－4x－12＝0，解得 x1＝－ 2，x2＝6，即方程的另一根是－219．(6 分)先化简，再求值： m－3 3m2－6m÷(m＋2－ 5 m－2)，其中 m 是方程 x2＋3x－1＝0 的根． 解：原式＝ m－3 3m（m－2）÷ m2－9 m－2 ＝ m－3 3m（m－2）· m－2 （m＋3）（m－3）＝ 1 3m（m＋3）＝ 1 3（m2＋3m）， ∵m 是方程 x2＋3x－1＝0 的根．∴m2＋3m－1＝0，即 m2＋3m＝1，∴原式＝1 3 20．(7 分)一张长为 30 cm，宽为 20 cm 的矩形纸片，如图 1 所示，将这张纸片的四个角各剪去一个 边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图 2 所示，如果折成的长方体纸盒的 底面积为 264 cm2，求剪掉的正方形纸片的边长． 解：设剪掉的正方形纸片的边长为 x cm. 由题意得：(30－2x)(20－2x)＝264. 整理得：x2－25x＋84＝0. 解方程得：x1＝4，x2＝21(不符合题意，舍去)． 答：剪掉的正方形的边长为 4 cm 21．(7 分)(十堰)已知关于 x 的方程 x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0 有两个实数根 x1，x2. (1)求实数 k 的取值范围； (2)若 x1，x2 满足 x12＋x22＝16＋x1x2，求实数 k 的值． 解：(1)∵关于 x 的方程 x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0 有两个实数根 x1，x2， ∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，解得：k≤5 4，∴实数 k 的取值范围为 k≤5 4 (2)∵关于 x 的方程 x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0 有两个实数根 x1，x2， ∴x1＋x2＝1－2k，x1·x2＝k2－1.∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝16＋x1·x2， ∴(1－2k)2－2×(k2－1)＝16＋(k2－1)，即 k2－4k－12＝0， 解得：k＝－2 或 k＝6(不符合题意，舍去)．∴实数 k 的值为－2 22．(8 分)阅读下列内容，并答题：我们知道，计算 n 边形的对角线条数公式为：1 2n(n－3)．如果一个 n 边形共有 20 条对角线，那么可以得到方程1 2n(n－3)＝20.整理得 n2－3n－40＝0；解得 n＝8 或 n＝－ 5，∵n 为大于等于 3 的整数，∴n＝－5 不合题意，舍去．∴n＝8，即多边形是八边形． 根据以上内容，问： (1)若一个多边形共有 14 条对角线，求这个多边形的边数； (2)A 同学说：“我求得一个多边形共有 10 条对角线”，你认为 A 同学说法正确吗？为什么？ 解：(1)根据题意得：1 2n(n－3)＝14，整理得：n2－3n－28＝0，解得：n＝7 或 n＝－4.∵n 为大于等 于 3 的整数，∴n＝－4 不合题意，舍去．∴n＝7，即多边形是七边形 (2)A 同学说法是不正确的，理由如下：当 1 2n(n－3)＝10 时，整理得：n2－3n－20＝0，解得：n＝ 3 ± 89 2 ，∴符合方程 n2－3n－20＝0 的正整数 n 不存在，∴多边形的对角线不可能有 10 条 23．(8 分)(眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产 76 件，每件利润 10 元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元． (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为 14 元，此批次蛋糕属第几档次产品； (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件．若生产的某档次产品一 天的总利润为 1080 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)． 答：此批次蛋糕属第三档次产品 (2)设烘焙店生产的是第 x 档次的产品， 根据题意得：(2x＋8)×(76＋4－4x)＝1080，整理得：x2－16x＋55＝0， 解得：x1＝5，x2＝11(不合题意，舍去)． 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品 24．(10 分)(烟台)今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间” 活动，现需要购进 100 个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球 2015 年单价为 200 元，2017 年单价为 162 元． (1)求 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率； (2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案，试问去哪个商场购买足球更 优惠？解：(1)设 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 x， 根据题意得：200×(1－x)2＝162， 解得：x＝0.1＝10%或 x＝1.9(舍去)． 答：2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 10% (2)100×10 11＝1000 11 ≈90.91(个)， 在 A 商城需要的费用为 162×91＝14742(元)， 在 B 商城需要的费用为 162×100× 9 10＝14580(元)． 14742＞14580. 答：去 B 商场购买足球更优惠 25．(10 分)某汽车销售公司 6 月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有 如下关系：若当月仅售出 1 部汽车，则该部汽车的进价为 27 万元，每多售出 1 部，所有售出的汽车的 进价均降低 0.1 万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在 10 部以内(含 10 部)， 每部返利 0.5 万元；销售量在 10 部以上，每部返利 1 万元． (1)若该公司当月售出 3 部汽车，则每部汽车的进价为__26.8__万元； (2)如果汽车的售价为 28 万元/部，该公司计划当月盈利 12 万元，那么需要售出多少部汽车？(盈利 ＝销售利润＋返利) 解：(1)26.8 (2)设需要售出 x 部汽车， 由题意可知，每部汽车的销售利润为： 28－[27－0.1(x－1)]＝(0.1x＋0.9)(万元)， 当 0≤x≤10，根据题意，得 x·(0.1x＋0.9)＋0.5x＝12， 整理，得 x2＋14x－120＝0， 解这个方程，得 x1＝－20(不合题意，舍去)，x2＝6， 当 x＞10 时，根据题意，得 x·(0.1x＋0.9)＋x＝12，整理，得 x2＋19x－120＝0，解这个方程，得 x1＝－24(不合题意，舍去)，x2＝5， 因为 5＜10，所以 x2＝5 舍去． 答：需要售出 6 部汽车 第三章检测题 (时间：120 分钟　　满分：120 分) 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(大连)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为( A ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.3 4 2．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯 盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是( B ) A.1 4 B.1 2 C.3 4 D．1 3．在一个不透明的袋子中装有 1 个白球，1 个黄球，2 个红球，这 4 个球大小形状质地等完全相同， 从袋中摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是( C ) A.1 2 B.1 3 C.1 6 D.1 8 4．(恩施州)小明和他的爸爸妈妈共 3 人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是( D ) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 5．某超市举行购物“翻牌抽奖”活动，如图所示，四张牌分别对应价值 5，10，15，20(单位：元) 的四件奖品，如果随机翻两张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总价值不低于 30 元的概率为( C ) A.1 2 B.2 3 C.1 3 D.3 4 6．忽如一夜春风来，千树万树梨花开，在清明假期期间，小梅和小北姐弟二人准备一起去采摘园 赏梨花，但因家中临时有事，必须留下一人在家，于是姐弟二人采用游戏的方式来确定谁去赏梨花，游 戏规则：在不透明的口袋中分别放入 2 个白色和 1 个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同，游戏时 先由小梅从中任意摸出 1 个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小北从口袋中摸出 1 个乒乓球，记下颜 色，如果姐弟二人摸到的乒乓球颜色相同，则小梅赢，否则小北赢．则小北赢的概率是( D ) A.1 2 B.1 3 C.5 9 D.4 97．由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘， 如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说法正确的是( D ) A．两个转盘转出蓝色的概率一样大 B．如果 A 转盘转出了蓝色，那么 B 转盘转出蓝色的可能性变小了 C．先转动 A 转盘再转动 B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同 D．游戏者配成紫色的概率为1 6 ,第 5 题图)　　　　 ,第 7 题图)　　　　 ,第 10 题图) 8．在一个不透明的口袋中装有 4 个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸 球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 25%附近，则口袋中白球可能有( D ) A．16 个 B．15 个 C．13 个 D．12 个 9．一项“过关游戏”规定：在过第 n 关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有 1 到 6 的点 数)抛掷 n 次，若 n 次抛掷所出现的点数之和大于 5 4n2，则算过关；否则不算过关，则能过第二关的概率 是( A ) A.13 18 B. 5 18 C.1 4 D.1 9 10．如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2 在 x 轴上，点 B1，B2 在 y 轴上，其坐标分别为 A1(1， 0)，A2(2，0)，B1(0，1)，B2(0，2)，分别以 A1、A2、B1、B2 其中的任意两点与点 O 为顶点作三角形， 所作三角形是等腰三角形的概率是( D ) A.3 4 B.1 3 C.2 3 D.1 2 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．(深圳)在一个不透明的袋子里，有 2 个黑球和 1 个白球，除了颜色外全部相同，任意摸两个球， 摸到 1 黑 1 白的概率是__2 3__．12．如图所示，一只蚂蚁从 A 点出发到 D，E，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都等可能的 随机选择一条向左下或右下的路径(比如 A 岔路口可以向左下到达 B 处，也可以向右下到达 C 处，其中 A，B，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从 A 出发到达 E 处的概率是__1 2__． 13．(青海)有两个不透明的盒子，第一个盒子中有 3 张卡片，上面的数字分别为 1，2，2；第二个 盒子中有 5 张卡片，上面的数字分别为 1，2，2，3，3.这些卡片除了数字不同外，其它都相同，从每个 盒子中各抽出一张，都抽到卡片数字是 2 的概率为__ 4 15__． 14．在一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共 40 个，除颜色外其他完全相同．小明从这个 袋子中随机摸出一球，放回．通过多次摸球实验后发现，摸到黄色球的概率稳定在 15%附近，则袋中 黄色球可能有__6__个． 15．(山西)如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相 等的三部分，且分别标有“1”，“2”，“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每 次转盘停止后，记录指针指向的数(当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域)，则两次指针指 向的数都是奇数的概率为__4 9__. 16．已知 a、b 可以取－2、－1、1、2 中任意一个值(a≠b)，则直线 y＝ax＋b 的图象不经过第四象限的概率是__1 6__. 三、解答题(共 72 分) 17．(6 分)(长春)一个不透明的口袋中有一个小球，上面分别标有字母 a，b，c，每个小球除字母不 同外其余均相同，小园同学从口袋中随机摸出一个小球，记下字母后放回且搅匀，再从口袋中随机摸出 一个小球记下字母．用画树状图(或列表)的方法，求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率． 解：列表如下：　 a b c a (a，a) (b，a) (c，a) b (a，b) (b，b) (c，b) c (a，c) (b，c) (c，c) 所有等可能的情况有 9 种，其中两次摸出的小球的标号相同的情况有 3 种，则 P＝3 9＝1 3 18．(6 分)如图，甲、乙用 4 张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背面朝上，放置在桌面上，每 人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回．甲、乙约定：只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜；否 则乙胜．请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的机会是否相同． 解：画树状图略，共有 12 种等可能的结果，甲抽到的牌面数字比乙大的有 5 种情况，小于等于乙 的有 7 种情况，∴P(甲胜)＝ 5 12，P(乙胜)＝ 7 12，∴甲、乙获胜的机会不相同 19．(7 分)(日照)若 n 是一个两位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，则称 n 为“两位递增 数”(如 13，35，56 等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字 1，2，3，4，5，6 构成的所 有的“两位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次． (1)写出所有个位数字是 5 的“两位递增数”； (2)请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被 10 整除的概 率． 解：(1)根据题意所有个位数字是 5 的“两位递增数”是 15、25、35、45 这 4 个 (2)画树状图为： 共有 15 种等可能的结果数，其中个位数字与十位数字之积能被 10 整除的结果数为 3，所以个位数 字与十位数字之积能被 10 整除的概率＝ 3 15＝1 5 20．(7 分)(扬州)小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去扬州马可波罗花世界 游玩． (1)小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为________； (2)求他们三人在同一个半天去游玩的概率． 解：(1) 1 4 (2)由树状图可知，他们三人在同一个半天去游玩的结果有(上，上，上)、(下，下，下)这 2 种，∴ 他们三人在同一个半天去游玩的概率为2 8＝1 4 21．(8 分)在 3×3 的方格纸中，点 A、B、C、D、E、F 分别位于如图所示的小正方形的顶点上． (1)从 A、D、E、F 四个点中任意取一点，以所取的这一点及点 B、C 为顶点画三角形，则所画三 角形是等腰三角形的概率是______； (2)从 A、D、E、F 四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点 B、C 为顶点画四边 形，求所画四边形是平行四边形的概率(用树状图或列表法求解)．解：(1)1 4 (2)用树状图列出所有可能的结果： ∵以点 A、E、B、C 为顶点及以 D、F、B、C 为顶点所画的四边形是平行四边形， ∴所画的四边形是平行四边形的概率 P＝ 4 12＝1 3 22．(10 分)(青海)某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 n 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 m 471 946 1426 1898 2370 优等品频率m n 0.942 0.946 0.951 0.949 0.948 (1)请在图中完成这批彩色弹力球“优等品”频率的折线统计图； (2)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少？(直接写出结果，精确到 0.01) (3)从这批彩色弹力球中选择 5 个黄球、13 个黑球、22 个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放 入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (4)现从第(3)问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，使从袋子中摸 出一个黄球的概率为1 4，求取出了多少个黑球？ 解：(1)如图　(2)0.95　(3)1 8　(4)设取出了 x 个黑球，则放入了 x 个黄球，则 5＋x 5＋13＋22＝1 4，解得 x＝5.答：取出了 5 个黑球 23．(8 分)随机抛掷图中均匀的正四面体(正四面体的各面依次标有 1，2，3，4 四个数字)，并且自 由转动图中的转盘(转盘被分成面积相等的五个扇形区域)． (1)求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为 4 的概率； (2)设正四面体着地的数字为 a，转盘指针所指区域内的数字为 b，求关于 x 的方程 ax2＋3x＋b 4＝0 有实数根的概率． 解：(1)画树状图略，总共有 20 种结果，每种结果出现的可能性相同，正四面体着地的数字与转盘 指针所指区域的数字之积为 4 的有 3 种情况，故正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为 4 的概率为： 3 20 (2)∵方程 ax2＋3x＋b 4＝0 有实数根的条件为：9－ab≥0， ∴满足 ab≤9 的结果共有 14 种：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2， 3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，∴关于 x 的方程 ax2＋3x＋b 4＝0 有实数根的概率 为：14 20＝ 7 10 24．(10 分)一只不透明的袋子中装有 4 个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字 3，4， 5，x.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出 1 个球，并计算摸出的这 2 个小球上数字之和，记录后都 将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表： 摸球总 次数 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450 “和为 8”出现 的频数 2 10 13 24 30 37 58 82 110 150 “和为 8”出现 的频率 0.20 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 解答下列问题：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为 8”的频率将稳定在它的概率附近，估计出 现“和为 8”的概率是________； (2)如果摸出的这两个小球上数字之和为 9 的概率是1 3，那么 x 的值可以取 7 吗？请用列表法或画树 状图法说明理由；如果 x 的值不可以取 7，请写出一个符合要求的 x 值． 解：(1)0.33 (2)当 x＝7 时，则两个小球上数字之和为 9 的概率是： 2 12＝1 6，故 x 的值不可以取 7， ∵出现和为 9 的概率是三分之一，即有 3 种可能， ∴3＋x＝9 或 5＋x＝9 或 4＋x＝9，解得 x＝4，x＝5，x＝6， 当 x＝6 时，出现和为 8 的概率为1 6，故 x＝6 舍去，故 x 的值可以为 4，5 其中一个 25．(10 分)小明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(除颜色外其余都相同)，其中红球 2 个(分别标有 1 号、2 号)，蓝球 1 个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为1 4. (1)求袋中黄球的个数； (2)第一次任意摸一个球(不放回)，第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到 不同颜色球的概率； (3)若规定摸到红球得 5 分，摸到黄球得 3 分，摸到蓝球得 1 分，小明共摸 6 次小球(每次摸 1 个球， 摸后放回)得 20 分，问小明有哪几种摸法？ 解：(1)1 个 (2)画树状图如图，所以两次摸到不同颜色球的概率为：P＝10 12＝5 6 (3)设小明摸到红球 x 次，摸到黄球 y 次，则摸到红球有(6－x－y)次，由题意得 5x＋3y＋(6－x－y) ＝20，即 2x＋y＝7，y＝7－2x.因为 x、y、(6－x－y)均为自然数，所以当 x＝1 时，y＝5，6－x－y＝0； 当 x＝2 时，y＝3，6－x－y＝1；当 x＝3 时，y＝1，6－x－y＝2；综上：小明共有三种摸法：摸到红、 黄、蓝三种球分别为 1 次、5 次、0 次；或 2 次、2 次、1 次；或 3 次、1 次、2 次第四章检测题 (时间：120 分钟　　满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．如果 mn＝ab，那么下列比例式中错误的是( C ) A. a m＝n b B.a n＝m b C.m a ＝n b D.m a ＝b n 2．如图，AC∥BD，直线 l1，l2 与这两条平行线分别交于点 A，B 和点 C，D，l1 与 l2 交于点 E， 若AE BE＝1 2，则CE CD的值是( B ) A.1 2 B.1 3 C.2 3 D．2 ,第 2 题图)　　　　 ,第 3 题图)　　　　 ,第 6 题图) 3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，那么与△ABC 相似的三角形的个数 有( D ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．在中华经典美文阅读中，刘明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长 为 20 cm，则它的宽约为( A ) A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm 5．(通辽)某人要在报纸上刊登广告，一块 10cm×5cm 的矩形版面要付广告费 180 元，他要把该版 面的边长都扩大为原来的 3 倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他应付广告费( C ) A．540 元 B．1080 元 C．1620 元 D．1800 元 6．(永州)如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC 的面积为 1，则△BCD 的面积为( C ) A．1 B．2 C．3 D．4 7．(眉山)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？” 这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( B ) A．1.25 尺 B．57.5 尺 C．6.25 尺 D．56.5 尺,第 7 题图)　　　 ,第 8 题图)　　　 ,第 9 题图)　　　 ,第 10 题图) 8．如图所示，在矩形 ABCD 中，F 是 DC 上一点，AE 平分∠BAF 交 BC 于点 E，且 DE⊥AF，垂 足为点 M，BE＝3，AE＝2 6，则 MD 的长是( C ) A. 15 B. 15 10 C．1 D. 15 15 点拨：设 DM＝a，证△AEM≌△AEB，△ADM≌△DEC，可得(a＋3)2＝a2＋( 15)2 9．如图，在△ABC 中，A、B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(－1，0)．以点 C 为位似中 心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C，并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍．设点 B 的对 应点 B′的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是( D ) A．－1 2a B．－1 2(a＋1) C．－1 2(a－1) D．－1 2(a＋3) 10．如图，在矩形 ABCD 中，DE 平分∠ADC 交 BC 于点 E，点 F 是 CD 边上一点(不与点 D 重 合)．点 P 为 DE 上一动点，PE＜PD，将∠DPF 绕点 P 逆时针旋转 90°后，角的两边交射线 DA 于 H，G 两点，有下列结论：①DH＝DE；②DP＝DG；③DG＋DF＝ 2DP；④DP·DE＝DH·DC.其中一定正确的 是( D ) A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．若 x∶y＝1∶2，则x－y x＋y＝__－1 3__． 12．若△ABC∽△A′B′C′，且 AB∶A′B′＝3∶4，△ABC 的周长为 12 cm，则△A′B′C′的周长为 __16_cm__. 13．(锦州)如图，E 为▱ABCD 的边 AB 延长线上的一点，且 BE∶AB＝2∶3，连接 DE 交 BC 于点 F，则 CF∶AD＝__3∶5__． ,第13题图)　　 ,第14题图)　　 ,第 15 题图)　　 ,第 16 题图) 14．(阿坝州)如图，在平面直角坐标系中，已知 A(1，0)，D(3，0)，△ABC 与△DEF 位似，原点 O 是位似中心．若 AB＝1.5，则 DE＝__4.5__． 15．如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC，AB 的长为 10 cm，AC 被分为 60 等份．如果小玻璃管 口 DE 正好对着量具上 20 等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径 DE 是__20 3 __m. 16．如图，在△ABC 中，分别以 AC，BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE.设△ACD，△BCE，△ ABC 的面积分别是 S1，S2，S3，现有如下结论： ①S1∶S2＝AC2∶BC2；②连接 AE，BD，则△BCD≌△ECA；③若 AC⊥BC，则 S 1·S2＝3 4S32.其 中结论正确的序号是__①②③__． 三、解答题(共 72 分) 17．(6 分)如图，已知 AD∥BE∥CF，它们依次交直线 l1，l2 于点 A，B，C 和点 D，E，F，如果 AB ＝6，BC＝8，DF＝21，求 DE 的长． 解：设 DE＝x，则 EF＝21－x.∵AD∥BE∥CF，∴AB BC＝DE EF，即6 8＝ x 21－x，解得 x＝9.经检验，x＝ 9 是原分式方程的解，∴DE＝9 18．(6 分)(凉山州)如图，在边长为 1 的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC 三个顶点 分别为 A(－1，2)、B(2，1)、C(4，5)．(1)画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； (2)以原点 O 为位似中心，在 x 轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且相似比为 2，并求出△A2B2C2 的面积． 解：(1)如图所示，△A1B1C1 就是所求三角形 (2)如图所示，△A2B2C2 就是所求三角形． 分别过点 A2、C2 作 y 轴的平行线，过点 B2 作 x 轴的平行线，交点分别为 E、F，∵A(－1，2)， B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2 与△ABC 位似，且相似比为 2，∴A2(－2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)，∴S △A2B2C2＝8×10－1 2×6×2－1 2×4×8－1 2×6×10＝28 19．(6 分)九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度 CD＝ 3 m，标杆与旗杆的水平距离 BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度 EF＝1.6 m，人与标杆 CD 的水平距离 DF＝2 m，则旗杆 AB 的高度． 解：∵CD⊥FB，∴AB⊥FB，∴CD∥AB，∴△CGE∽△AHE，∴ CG AH＝EG EH，即： CD－EF AH ＝ FD FD＋BD，∴3－1.6 AH ＝ 2 2＋15，∴AH＝11.9， ∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)20．(7 分)如图，在梯形 ABCD 中，DC∥AB，AD＝BC，E 是 DC 延长线上的点，连接 AE，交 BC 于点 F. (1)求证：△ABF∽△ECF； (2)如果 AD＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，求 CE 的长． (1)证明：∵DC∥AB，∴∠B＝∠ECF，∠BAF＝∠E，∴△ABF∽△ECF (2)解：∵AD＝BC，AD＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，∴BF＝3 cm. ∵由(1)知，△ABF∽△ECF， ∴BA CE＝BF CF，即 8 CE＝3 2.∴CE＝16 3 (cm) 21．(8 分)如图，四边形 ABCD 是矩形，E 是 BD 上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED， 点 G 是 BC、AE 延长线的交点，AG 与 CD 相交于点 F. (1)求证：四边形 ABCD 是正方形； (2)当 AE＝2EF 时，判断 FG 与 EF 有何数量关系？并证明你的结论． (1)证明： 易证△ABE≌△CBE，∴AB＝BC，∴四边形 ABCD 是正方形 (2)解：当 AE＝2EF 时，FG＝3EF.证明如下： ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE. ∵AE＝2EF，∴BE∶DE＝AE∶EF＝2.∴BG∶AD＝BE∶DE＝2，即 BG＝2AD. ∵BC＝AD，∴CG＝AD.易证△ADF∽△GCF，∴FG＝AF，即 FG＝AF＝AE＋EF＝3EF 22．(8 分)(泰安)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AC＝AD，AC 平分∠BAD，点 P 是 AC 延长线 上一点，且 PD⊥AD. (1)证明：∠BDC＝∠PDC； (2)若 AC 与 BD 相交于点 E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求 AE 的长． (1)证明：∵AB＝AD，AC 平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD＋∠BDC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ ACD＝∠ADC，∴∠ADC＋∠BDC＝90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC＋∠PDC＝90°，∴∠BDC＝∠PDC (2)解：过点 C 作 CM⊥PD 于点 M，∵∠BDC＝∠PDC，∴CE＝CM，∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠ P＝∠P，∴△CPM∽△APD，∴CM AD＝PC PA，设 CM＝CE＝x，∵CE∶CP＝2∶3，∴PC＝3 2x，∵AB＝AD ＝AC＝1，∴x 1＝ 3 2x 3 2x＋1 ，解得 x＝1 3，故 AE＝1－1 3＝2 3 23．(9 分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小 聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线 NQ 移 动，如图，当小聪正好站在广场的 A 点(距 N 点 5 块地砖长)时，其影长 AD 恰好为 1 块地砖长；当小 军正好站在广场的 B 点(距 N 点 9 块地砖长)时，其影长 BF 恰好为 2 块地砖长．已知广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成，小聪的身高 AC 为 1.6 米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息， 求出小军身高 BE 的长．(结果精确到 0.01 米) 解：由题意得：∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，∴△CAD∽△MND，∴CA MN＝AD ND，∴ 1.6 MN＝ 1 × 0.8 （5＋1） × 0.8，∴MN＝9.6，又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△EFB∽△MFN，∴ EB MN＝BF NF，∴EB 9.6＝ 2 × 0.8 （2＋9） × 0.8，∴EB≈1.75，∴小军身高约为 1.75 米 24．(10 分)如图(1)是一种广场三联漫步机，其侧面示意图如图(2)所示，其中 AB＝AC＝120 cm，BC ＝80 cm，AD＝30 cm，∠DAC＝90°. (1)求点 A 到地面的距离； (2)求点 D 到地面的高度是多少？ 解：(1)过 A 作 AF⊥BC，垂足为 F，过点 D 作 DH⊥AF，垂足为 H.∵AF⊥BC，垂足为 F，∴BF＝ FC＝1 2BC＝40 cm.根据勾股定理，得 AF＝ AB2－BF2＝ 1202－402＝80 2(cm) (2)∵∠DHA＝∠DAC＝∠AFC＝90°，∴∠DAH＋∠FAC＝90°，∠C＋∠FAC＝90°，∴∠DAH ＝∠C，∴△DAH∽△ACF，∴AH FC＝AD AC，∴AH 40 ＝ 30 120，∴AH＝10 cm，∴HF＝(10＋80 2)cm.答：D 到 地面的高度为(10＋80 2)cm 25．(12 分)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段 把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形 相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图 1，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割 线； (2)在△ABC 中，∠A＝48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的 度数； (3)如图 2，在△ABC 中，AC＝2，BC＝ 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以 CD 为底 边的等腰三角形，求完美分割线 CD 的长． 解：(1)如图 1 中，∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形，∵CD 平 分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝1 2∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD 为等腰三角形，∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD 是△ABC 的完美分割线 (2)①当 AD＝CD 时，如图 3，∠ACD＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°； ②当 AD＝AC 时，如图 4 中，∠ACD＝∠ADC＝180° －48° 2 ＝66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD ＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°； ③当 AC＝CD 时，如图 5 中，∠ADC＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∵∠ ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB＝96°或 114° (3)由已知 AC＝AD＝2，∵△BCD∽△BAC，∴BC BA＝BD BC，设 BD＝x，∴( 2)2＝x(x＋2)，∵x＞0，∴ x＝ 3－1，∵△BCD∽△BAC，∴CD AC＝BD BC＝ 3－1 2 ，∴CD＝ 3－1 2 ×2＝ 6－ 2 第五章检测题 (时间：120 分钟　　满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列各种现象属于中心投影现象的是( B ) A．上午 10 点时，走在路上的人的影子 B．晚上走在路灯下的人的影子 C．中午用来乘凉的树影 D．早上升国旗时，地上旗杆的影子 2．(绵阳)如图所示的几何体的主视图正确的是( D ) 3．(六盘水)桌面上放置的几何体中，主视图与左视图可能不同的是( A ) A．圆柱 B．正方体C．球 D．直立圆锥 4．(长沙)某几何体的三视图如图所示，因此几何体是( B ) A．长方形 B．圆柱 C．球 D．正三棱柱 5．(河南)某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是( D ) 6．一幢 4 层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示， 则亮着灯的窗口是( B ) A．1 号窗口 B．2 号窗口 C．3 号窗口 D．4 号窗口 7．一个几何体由一些小正方体摆成，其主视图与左视图如图所示，其俯视图不可能是( C ) 8．(连云港)由 6 个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的主视图、左视图和俯视图 的面积，则( C ) A．三个视图的面积一样大 B．主视图的面积最小 C．左视图的面积最小 D．俯视图的面积最小 9．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由 A 处径直走 到 B 处，她在灯光照射下的影长 l 与行走的路程 s 之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是( C )10．如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为( B ) A．236π B．136π C．132π D．120π 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．如果物体的俯视图是一个圆，那么该物体可能是__圆柱或球体__．(写出两种) 12．三角尺在灯泡 O 的照射下在墙上形成影子(如图所示)．现测得 OA＝20 cm，OA′＝50 cm，这 个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是__2∶5__． ,第 12 题图)　　　　　　 ,第 13 题图) 13．在一仓库里堆放着若干个相同的正方体小货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来，如 图所示，则这堆正方体小货箱共有__6__个． 14．如图，直角坐标平面内，小明站在点 A(－10，0)处观察 y 轴，眼睛距地面 1.5 米，他的前方 5 米处有一堵墙 DC，若墙高 DC＝2 米，则 y 轴上 OE 的长度为__2.5__米． ,第 14 题图)　　　 ,第 15 题图)　　　 ,第 16 题图) 15．(青岛)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的表面积为__48＋12 3__． 16．如图，小军、小珠之间的距离为 2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为 1.8 m、1.5 m，已 知小军、小珠的身高分别为 1.8 m、1.5 m，则路灯的高为__3__m. 三、解答题(共 72 分) 17．(8 分)如图所示，将第一行的四个物体与第二行其相应的俯视图连接起来． 解：第一行的①、②、③、④与第二行的③、①、②、④对应 18．(6 分)画出如图所示立体图的三视图． 　　解： 19．(7 分)如图，这是从上向下看由几个小正方体搭成的几何体得到的图形，小正方形上的数字表 示在该位置上小正方体的个数，请画出它的三视图．解： 20．(7 分)如图，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱，AB＝5 m，某一时刻 AB 在阳光下的投影 BC＝3 m. (1)请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影； (2)在测量 AB 的投影时，同时测量出 DE 在阳光下的投影长为 6 m，请你计算 DE 的长． 解：(1)连接 AC，过点 D 作 DF∥AC，交地面于点 F，线段 EF 即为 DE 的投影 (2)∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE.又∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∴△ABC∽△DEF.∴AB DE＝BC EF，即 5 DE＝3 6.∴DE＝10 m 21．(8 分)如图，在一间黑屋里用一个白炽灯照射一个圆桌． (1)圆桌在地面上的阴影是什么形状？ (2)当把白炽灯向上移时，阴影的大小会怎样变化？ (3)若白炽灯到圆桌距离为 2 米，到地面的距离是 3 米，圆桌的半径是 0.6 米，则圆桌在地面上的阴 影面积是多少？解：(1)圆形 (2)阴影会逐渐变小 (3)设圆桌在地面上的阴影的半径为 x 米，则2 3＝0.6 x ，∴x＝0.9.则 S 阴影＝πx2＝0.81π(平方米) 22．(8 分)某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合而成的一个立体雕塑，已知正方体的边 长与圆柱的直径及高相等，都是 0.8 m. (1)请画出它的主视图、左视图、俯视图； (2)为了好看，需要在这立体雕塑表面刷一层油漆，已知油漆每平方米 40 元，那么一共需要花费多 少元？(温馨提示：雕塑底面不用刷漆，结果精确到 0.1) 解：(1)图略 (2)根据题意得出：0.8×0.8×5＋0.8π×0.8＝(0.64π＋3.2)(m2)，40×(0.64π＋3.2)≈208.4(元). 答： 一共需要花费 208.4 元 23．(8 分)李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子， 针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到 点 E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得 李航落在墙上的影子高度 CD＝1.2 m，CE＝0.6 m，CA＝30 m(点 A、E、C 在同一直线上)．已知李航的 身高 EF 是 1.6 m，请你帮李航求出楼高 AB.解：过点 D 作 DN⊥AB，垂足为 N.交 EF 于 M 点， ∴四边形 CDME、ACDN 是矩形，∴AN＝ME＝CD＝1.2 m，DN＝AC＝30 m，DM＝CE＝0.6 m，∴ MF＝EF－ME＝1.6－1.2＝0.4(m)，∴依题意知，EF∥AB，∴△DFM∽△DBN，∴DM DN＝MF BN，即：0.6 30＝ 0.4 BN，BN＝20，AB＝BN＋AN＝20＋1.2＝21.2.答：楼高为 21.2 米 24．(10 分)学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干个相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度 的关系如下表： 碟子的个数 碟子的高度 (单位：cm) 1 2 2 2＋1.5 3 2＋3 4 2＋4.5 … … 　 (1)当桌子上放有 x 个碟子时，请写出此时碟子的高度；(用含 x 的式子表示) (2)分别从三个方向上看，其三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的 高度． 解：(1)碟子的高度为 2＋1.5(x－1)＝(1.5x＋0.5)cm (2)由三视图可知共有 12 个碟子， ∴叠成一摞的高度为 1.5×12＋0.5＝18.5(cm)25．(10 分)如图，小华在晚上由路灯 A 走向路灯 B，当他走到 P 点时，发现他身后影子的顶部刚 好接触到路灯 A 的底部，当他向前再步行 12 m 到达 Q 点时，发现了身前的影子的顶部刚好接触到路灯 B 的底部．已知小华的身高是 1.6 m，两个路灯的高度都是 9.6 m，且 AP＝QB. (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯 B 底部时，他在路灯 A 下的影长是多少？ 解：(1)∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，∴AP AB＝PM BD，即AP AB＝1.6 9.6，∴AP＝1 6AB，∵AP＝QB，∴ BQ＝1 6AB，而 AP＋PQ＋BQ＝AB，∴1 6AB＋12＋1 6AB＝AB，∴AB＝18.答：两个路灯之间的距离为 18 m (2)如图，他在路灯 A 下的影子为 BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴BN AN＝BM AC，即 BN BN＋18 ＝1.6 9.6，解得 BN＝3.6.答：他在路灯 A 下影长是 3.6 m 第六章检测题 (时间：120 分钟　　满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列函数中，变量 y 是 x 的反比例函数的是( B ) A．y＝ 1 x2 B．y＝5x－1 C．y＝ 2 x＋3 D．y＝1 x＋1 2．(沈阳)点 A(－2，5)在反比例函数 y＝k x(k≠0)的图象上，则 k 的值是( D ) A．10 B．5 C．－5 D．－10 3．对于函数 y＝2 x，下列说法错误的是( C )A．它的图象分布在第一、三象限，关于原点中心对称 B．它的图象分布在第一、三象限，是轴对称图形 C．当 x＞0 时，y 的值随 x 的增大而增大 D．当 x＜0 时，y 的值随 x 的增大而减小 4．如图，菱形 OABC 的顶点 C 的坐标为(3，4)，顶点 A 在 x 轴的正半轴上．反比例函数 y＝k x(x>0) 的图象经过顶点 B，则 k 的值为( D ) A．12　　　　　　B．20　　　　　　C．24　　　　　　D．32 5．(天津)若点 A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数 y＝－3 x的图象上，则 y1，y2，y3 的大 小关系是( B ) A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 6．(徐州)如图，在平面直角坐标系中，函数 y＝kx＋b(k≠0)与 y＝m x(m≠0)的图象相交于点 A(2， 3)，B(－6，－1)，则不等式 kx＋b＞m x的解集为( B ) A．x＜－6 B．－6＜x＜0 或 x＞2 C．x＞2 D．x＜－6 或 0＜x＜2 7．面积为 2 的直角三角形一直角边长为 x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象大致表 示为( C )8．(贺州)一次函数 y＝ax＋a(a 为常数，a≠0)与反比例函数 y＝ a x(a 为常数，a≠0)在同一平面直角 坐标系内的图象大致为( C ) 9．(盘锦)如图，双曲线 y＝－3 2x(x＜0)经过▱ABCO 的对角线交点 D，已知边 OC 在 y 轴上，且 AC⊥OC 于点 C，则▱OABC 的面积是( C ) A.3 2 B.9 4 C．3 D．6 10．(海南)如图，△ABC 的三个顶点分别为 A(1，2)，B(4，2)，C(4，4)．若反比例函数 y＝k x在第 一象限内的图象与△ABC 有交点，则 k 的取值范围是( C ) A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．(兰州)双曲线 y＝ m－1 x 在每个象限内，函数值 y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 __m0)的图象过 CD 的中点 E.(1)求证：△AOB≌△DCA； (2)求 k 的值； (3)△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，其中点 F 在 y 轴上，试判断点 G 是否在反比例函数的图 象上，并说明理由． 解：(1)∵点 A，B 分别在 x，y 轴上，DC⊥x 轴于点 C，∴∠AOB＝∠DCA＝90°，∵AO＝CD＝ 2，AB＝DA＝ 5，∴△AOB≌△DCA　 (2)∵∠DCA＝90°，DA＝ 5，CD＝2，∴AC＝ DA2－CD2＝ （ 5）2－22＝1，∴OC＝OA＋AC ＝3，∵E 是 CD 的中点，∴CE＝DE＝1，∴E(3，1)，∵反比例函数 y＝k x的图象过点 E，∴k＝3 (3)∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，∴BF＝DC＝2，FG＝AC＝1，∵点 F 在 y 轴上，∴OF ＝OB＋BF＝1＋2＝3，∴G(1，3)，把 x＝1 代入 y＝3 x中得 y＝3， ∴点 G 在反比例函数图象上 25．(12 分)(江西)如图，直线 y＝k1x(x≥0)与双曲线 y＝ 푘 2 푥 (x＞0)相交于点 P(2，4)．已知点 A(4， 0)，B(0，3)，连接 AB，将 Rt△AOB 沿 OP 方向平移，使点 O 移动到点 P，得到△A′PB′.过点 A′作 A′C∥y 轴交双曲线于点 C. (1)求 k1 与 k2 的值； (2)求直线 PC 的表达式； (3)直接写出线段 AB 扫过的面积． 解：(1)把点 P(2，4)代入直线 y＝k1x，可得 4＝2k1，∴k1＝2，把点 P(2，4)代入双曲线 y＝ 푘 2 푥 ，可 得 k2＝2×4＝8 (2)∵A(4，0)，B(0，3)，∴AO＝4，BO＝3，延长 A′C 交 x 轴于 D，由平移可得，A′P＝AO＝4，又∵A′C∥y 轴，P(2，4)， ∴点 C 的横坐标为 2＋4＝6，当 x＝6 时，y＝8 6＝4 3，即 C(6，4 3)，设直线 PC 的表达式为 y＝kx＋b， 把 P(2，4)，C(6，4 3)代入可得{4＝2k＋b， 4 3＝6k＋b，解得{k＝－2 3， 푏 ＝16 3 ， ∴直线 PC 的表达式为 y＝－2 3x＋16 3 (3)延长 A′C 交 x 轴于 D，由平移可得，A′P∥AO，又∵A′C∥y 轴，P(2，4)， ∴点 A′的纵坐标为 4，即 A′D＝4，过 B′作 B′E⊥y 轴于 E，∵PB′∥y 轴，P(2，4)， ∴点 B′的横坐标为 2，即 B′E＝2，又∵△AOB≌△A′PB′， ∴线段 AB 扫过的面积＝平行四边形 POBB′的面积＋平行四边形 AOPA′的面积＝BO×B′E＋ AO×A′D＝3×2＋4×4＝22