21.2 降次——解一元二次方程

第 1 页（共 20 页） 《21.2 降次——解一元二次方程》 　 一、选择题（共 13 小题） 1．一元二次方程 x2﹣4x+5=0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．下列关于 x 的方程有实数根的是（　　） A．x2﹣x+1=0B．x 2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=0 3．关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．有两个一元二次方程 M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中 a•c≠0，a≠c．下列四个结论中， 错误的是（　　） A．如果方程 M 有两个相等的实数根，那么方程 N 也有两个相等的实数根 B．如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同 C．如果 5 是方程 M 的一个根，那么 是方程 N 的一个根 D．如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 x=1 5．方程 x2﹣2x+3=0 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 6．一元二次方程 4x2+1=4x 的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 7．已知一元二次方程 2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两个根都是自然数 D．无实数根 8．若一元二次方程 x2+2x+a=0 的有实数解，则 a 的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1 9．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x2第 2 页（共 20 页） 10．一元二次方程 2x2+3x+1=0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 11．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=0 12．若 a 满足不等式组 ，则关于 x 的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+ =0 的根的情况 是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能 13．下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0 　 二、填空题（共 12 小题） 14．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个相等的实数根，则 m=______． 15．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是______（写出一 个即可）． 16．关于 x 的方程 mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当 m=0 时，方程只有一个实数解；②当 m≠0 时，方程有两个不等的实数解；③无论 m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是______（填 序号）． 17．关于 x 的方程 x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根，则 m=______． 18．若关于 x 的一元二次方程 ax2+3x﹣1=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是______． 19．关于 x 的一元二次方程 x2﹣x+m=O 没有实数根，则 m 的取值范围是______． 20．已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是______． 21．关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+ =0 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数 a，b 的值 ：a=______，b=______． 22．已知关于 x 的方程 x2﹣2x+a=0 有两个实数根，则实数 a 的取值范围是______． 23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0 没有实数根，则 m 的取值范围是______． 24．关于 x 的一元二次方程 x2+a=0 没有实数根，则实数 a 的取值范围是______．第 3 页（共 20 页） 25．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2 x﹣k=0 有两个相等的实数根，则 k 值为______． 　 三、解答题（共 5 小题） 26．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m=0． （1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； （2）若方程两实数根为 x1，x2，且满足 5x1+2x2=2，求实数 m 的值． 27．已知：关于 x 的方程 x2+2mx+m2﹣1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为 3，求 m 的值． 28．已知关于 x 的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|． （1）求证：对于任意实数 m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是 1，求 m 的值及方程的另一个根． 29．已知关于 x 的一元二次方程 mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 30．已知关于 x 的一元二次方程 mx2+mx+m﹣1=0 有两个相等的实数根． （1）求 m 的值； （2）解原方程． 　第 4 页（共 20 页） 《21.2 降次——解一元二次方程》 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共 13 小题） 1．一元二次方程 x2﹣4x+5=0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【考点】根的判别式． 【分析】把 a=1，b=﹣4，c=5 代入△=b2﹣4ac 进行计算，根据计算结果判断方程根的情况． 【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5， ∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0， 所以原方程没有实数根． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac． 当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实 数根． 　 2．下列关于 x 的方程有实数根的是（　　） A．x2﹣x+1=0B．x 2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=0 【考点】根的判别式． 【专题】计算题． 【分析】分别计算 A、B 中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对 C 进行判 断；根据非负数的性质对 D 进行判断． 【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以 A 选项错误； B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以 B 选项错误； C、x﹣1=0 或 x+2=0，则 x1=1，x2=﹣2，所以 C 选项正确； D、（x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为 0，所以方程没有实数根，所以 D 选项错误． 故选：C．第 5 页（共 20 页） 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有 两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 　 3．关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【考点】根的判别式． 【专题】判别式法． 【分析】先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0， 解得 m＜ ． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有 两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 　 4．有两个一元二次方程 M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中 a•c≠0，a≠c．下列四个结论中， 错误的是（　　） A．如果方程 M 有两个相等的实数根，那么方程 N 也有两个相等的实数根 B．如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同 C．如果 5 是方程 M 的一个根，那么 是方程 N 的一个根 D．如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 x=1 【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系． 【专题】压轴题． 【分析】利用根的判别式判断 A；利用根与系数的关系判断 B；利用一元二次方程的解的定义判断 C 与 D． 【解答】解：A、如果方程 M 有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程 N 也有两个相等的 实数根，结论正确，不符合题意； B、如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0， ＞0，所以 a 与 c 符号相同， ＞0，所以方程 N 的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；第 6 页（共 20 页） C、如果 5 是方程 M 的一个根，那么 25a+5b+c=0，两边同时除以 25，得 c+ b+a=0，所以 是方 程 N 的一个根，结论正确，不符合题意； D、如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么 ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由 a≠c， 得 x2=1，x=±1，结论错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根 ；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次 方程的解的定义． 　 5．方程 x2﹣2x+3=0 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【考点】根的判别式． 【分析】把 a=1，b=﹣2，c=3 代入△=b2﹣4ac 进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3， ∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0， 所以方程没有实数根． 故选 C． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac． 当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方 程没有实数根． 　 6．一元二次方程 4x2+1=4x 的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【考点】根的判别式． 【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可． 【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0， ∵△=42﹣4×4×1=0，第 7 页（共 20 页） ∴方程有两个相等的实数根． 故选 C． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答 此题的关键． 　 7．已知一元二次方程 2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两个根都是自然数 D．无实数根 【考点】根的判别式． 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac 的值的符号就可以了． 【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3， ∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方 程没有实数根，是解决问题的关键． 　 8．若一元二次方程 x2+2x+a=0 的有实数解，则 a 的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1 【考点】根的判别式． 【分析】若一元二次方程 x2+2x+a=0 的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于 a 的不等 式，通过解不等式即可求得 a 的值． 【解答】解：因为关于 x 的一元二次方程有实根， 所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0， 解之得 a≤1． 故选 C． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方 程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 　第 8 页（共 20 页） 9．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x2 【考点】根的判别式． 【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断各方程根的情况． 【解答】解：A、x2﹣8=0， 这里 a=1，b=0，c=﹣8， ∵△=b2﹣4ac=02﹣4×1×（﹣8）=32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误； B、2x2﹣4x+3=0， 这里 a=2，b=﹣4，c=3， ∵△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×3=﹣8＜0， ∴方程没有实数根，故本选项错误； C、9x2+6x+1=0， 这里 a=9，b=6，c=1， ∵△=b2﹣4ac=62﹣4×9×1=0， ∴方程有两个相等的实数根，故本选项正确； D、5x+2=3x2， 3x2﹣5x﹣2=0， 这里 a=3，b=﹣5，c=﹣2， ∵△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误； 故选 C． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有 两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 　 10．一元二次方程 2x2+3x+1=0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【考点】根的判别式． 【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．第 9 页（共 20 页） 【解答】解：∵△=32﹣4×2×1=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选 A． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答 此题的关键． 　 11．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=0 【考点】根的判别式． 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【解答】解：A、∵△=4﹣4=0， ∴方程 x2﹣2x+1=0 有两个相等实数根； B、∵△=1﹣4×2＜0， ∴方程 2x2﹣x+1=0 无实数根； C、∵△=4+4×4×3=52＞0， ∴方程 4x2﹣2x﹣3=0 有两个不相等实数根； D、∵△=36＞0， ∴方程 x2﹣6x=0 有两个不相等实数根； 故选 A． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 　 12．若 a 满足不等式组 ，则关于 x 的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+ =0 的根的情况 是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能 【考点】根的判别式；一元一次方程的解；解一元一次不等式组．第 10 页（共 20 页） 【分析】求出 a 的取值范围，表示出已知方程根的判别式，判断得到根的判别式的值小于 0，可得 出方程没有实数根． 【解答】解：解不等式组 得 a＜﹣3， ∵△=（2a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+ ）=2a+5， ∵a＜﹣3， ∴△=2a+5＜0， ∴方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+ =0 没有实数根， 故选 C． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于 0，方 程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于 0 时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值 小于 0 时，方程无实数根． 　 13．下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0 【考点】根的判别式． 【分析】利用判别式分别判定即可得出答案． 【解答】解：A、x2﹣4x+4=0，△=16﹣16=0 有相同的根； B、x2﹣2x+5=0，△=4﹣20＜0 没有实数根； C、x2﹣2x=0，△=4﹣0＞0 有两个不等实数根； D、x2﹣2x﹣3=0，△=4+12＞0 有两个不等实数根． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是熟记判别式的公式． 　 二、填空题（共 12 小题） 14．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个相等的实数根，则 m=　 　． 【考点】根的判别式． 【分析】根据题意可得△=0，据此求解即可． 【解答】解：∵方程 x2﹣3x+m=0 有两个相等的实数根，第 11 页（共 20 页） ∴△=9﹣4m=0， 解得：m= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根 ． 　 15．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是　0　（写出一个 即可）． 【考点】根的判别式． 【专题】开放型． 【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于 m 的不等式，求 出 m 的取值范围． 【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣x+m=0 有两个不相等的实数根， ∴△=1﹣4m＞0， 解得 m＜ ， 故 m 的值可能是 0， 故答案为 0． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac． 当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方 程没有实数根．注意本题答案不唯一，只需满足 m＜ 即可． 　 16．关于 x 的方程 mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当 m=0 时，方程只有一个实数解；②当 m≠0 时，方程有两个不等的实数解；③无论 m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是　①③　（ 填序号）． 【考点】根的判别式；一元一次方程的解． 【专题】分类讨论． 【分析】分别讨论 m=0 和 m≠0 时方程 mx2+x﹣m+1=0 根的情况，进而填空． 【解答】解：当 m=0 时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；第 12 页（共 20 页） 当 m≠0 时，方程 mx2+x﹣m+1=0 是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方 程有两个实数解，②错误； 把 mx2+x﹣m+1=0 分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0， 当 x=﹣1 时，m﹣1﹣m+1=0，即 x=﹣1 是方程 mx2+x﹣m+1=0 的根，③正确； 故答案为①③． 【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判 别式的意义以及分类讨论的思想． 　 17．关于 x 的方程 x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根，则 m=　﹣1　． 【考点】根的判别式． 【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为 0，据此求出 m 的值即可． 【解答】解：∵关于 x 的方程 x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根， ∴△=0， ∴22﹣4×1×（﹣m）=0， 解得 m=﹣1． 故答案为；﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 　 18．若关于 x 的一元二次方程 ax2+3x﹣1=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是　a＞﹣ 且 a≠0　． 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得 a≠0 且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1） =9+4a＞0，解不等式组即可求出 a 的取值范围． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 ax2+3x﹣1=0 有两个不相等的实数根， ∴a≠0 且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0， 解得：a＞﹣ 且 a≠0．第 13 页（共 20 页） 故答案为：a＞﹣ 且 a≠0． 【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系 ：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔ 方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义． 　 19．关于 x 的一元二次方程 x2﹣x+m=O 没有实数根，则 m 的取值范围是　m＞ 　． 【考点】根的判别式． 【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于 0 列出关于 m 的不等式，求出不等式的解集即 可得到 m 的范围． 【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=1﹣4m＜0， 解得：m＞ ． 故答案为：m＞ ． 【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于 0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等 于 0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于 0，方程没有实数根． 　 20．已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是　m≤1　． 【考点】根的判别式． 【专题】探究型． 【分析】先根据一元二次方程 x2+2x+m=0 得出 a、b、c 的值，再根据方程有实数根列出关于 m 的不 等式，求出 m 的取值范围即可． 【解答】解：由一元二次方程 x2+2x+m=0 可知 a=1，b=2，c=m， ∵方程有实数根， ∴△=22﹣4m≥0，解得 m≤1． 故答案为：m≤1． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于 m 的不等式是解答此题的关键． 　 21．关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+ =0 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数 a，b 的值 ：a=　4　，b=　2　．第 14 页（共 20 页） 【考点】根的判别式． 【专题】开放型． 【分析】由于关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+ =0 有两个相等的实数根，得到 a=b2，找一组满足条 件的数据即可． 【解答】关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+ =0 有两个相等的实数根， ∴△=b2﹣4× a=b2﹣a=0， ∴a=b2， 当 b=2 时，a=4， 故 b=2，a=4 时满足条件． 故答案为：4，2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键． 　 22．已知关于 x 的方程 x2﹣2x+a=0 有两个实数根，则实数 a 的取值范围是　a≤1　． 【考点】根的判别式． 【专题】计算题． 【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于 0，即可确定出 a 的范围． 【解答】解：∵方程 x2﹣2x+a=0 有两个实数根， ∴△=4﹣4a≥0， 解得：a≤1， 故答案为：a≤1 【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关 键． 　 23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0 没有实数根，则 m 的取值范围是　m＜ 　． 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【分析】据关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0 没有实数根，得出△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5 ）＜0，从而求出 m 的取值范围． 【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0 没有实数根，第 15 页（共 20 页） ∴△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且 m﹣1≠0， ∴m＜ ． 故答案为：m＜ ． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有 两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 　 24．关于 x 的一元二次方程 x2+a=0 没有实数根，则实数 a 的取值范围是　a＞0　． 【考点】根的判别式． 【专题】计算题． 【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于 0，求出 a 的范围即可． 【解答】解：∵方程 x2+a=0 没有实数根， ∴△=﹣4a＜0， 解得：a＞0， 故答案为：a＞0 【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 　 25．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2 x﹣k=0 有两个相等的实数根，则 k 值为　﹣3　． 【考点】根的判别式． 【分析】因为方程有两个相等的实数根，则△=（﹣2 ）2+4k=0，解关于 k 的方程即可． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2 x﹣k=0 有两个相等的实数根， ∴△=0， 即（﹣2 ）2﹣4×（﹣k）=12+4k=0， 解得 k=﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方 程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 　 三、解答题（共 5 小题） 26．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m=0．第 16 页（共 20 页） （1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； （2）若方程两实数根为 x1，x2，且满足 5x1+2x2=2，求实数 m 的值． 【考点】根的判别式；根与系数的关系． 【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于 m 的不等式， 求出 m 的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到 x1+x2=4，又 5x1+2x2=2 求出函数实数根，代入 m=x1x2，即可得到结 果． 【解答】解：（1）∵方程有实数根， ∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m≥0， ∴m≤4； （2）∵x1+x2=4， ∴5x1+2x2=2（x1+x2）+3x1=2×4+3x1=2， ∴x1=﹣2， 把 x1=﹣2 代入 x2﹣4x+m=0 得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0， 解得：m=﹣12． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有 两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一 元二次方程根与系数的关系． 　 27．已知：关于 x 的方程 x2+2mx+m2﹣1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为 3，求 m 的值． 【考点】根的判别式；一元二次方程的解． 【分析】（1）找出方程 a，b 及 c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断； （2）将 x=3 代入已知方程中，列出关于系数 m 的新方程，通过解新方程即可求得 m 的值． 【解答】解：（1）由题意得，a=1，b=2m，c=m2﹣1， ∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0， ∴方程 x2+2mx+m2﹣1=0 有两个不相等的实数根；第 17 页（共 20 页） （2）∵x2+2mx+m2﹣1=0 有一个根是 3， ∴32+2m×3+m2﹣1=0， 解得，m=﹣4 或 m=﹣2． 【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有 两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考 查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 　 28．已知关于 x 的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|． （1）求证：对于任意实数 m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是 1，求 m 的值及方程的另一个根． 【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系． 【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0 即可； （2）将 x=1 代入方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|，求出 m 的值，进而得出方程的解． 【解答】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣2）=|m|， ∴x2﹣5x+6﹣|m|=0， ∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）=1+4|m|， 而|m|≥0， ∴△＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程的一个根是 1， ∴|m|=2， 解得：m=±2， ∴原方程为：x2﹣5x+4=0， 解得：x1=1，x2=4． 即 m 的值为±2，方程的另一个根是 4． 【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系 ：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔ 方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．第 18 页（共 20 页） 　 29．已知关于 x 的一元二次方程 mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法． 【专题】证明题． 【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出 m 的值． 【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m =m2﹣4m+4 =（m﹣2）2， ∵不论 m 为何值时，（m﹣2）2≥0， ∴△≥0， ∴方程总有实数根； （2）解：解方程得，x= ， x1= ，x2=1， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m=1 或 2，m=2 不合题意， ∴m=1． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与 判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔ 方程没有实数根是解题的关键． 　 30．已知关于 x 的一元二次方程 mx2+mx+m﹣1=0 有两个相等的实数根． （1）求 m 的值； （2）解原方程． 【考点】根的判别式． 【分析】（1）根据题意得到：△=0，由此列出关于 m 的方程并解答； （2）利用直接开平方法解方程．第 19 页（共 20 页） 【解答】解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 mx2+mx+m﹣1=0 有两个相等的实数根， ∴△=m2﹣4× m×（m﹣1）=0，且 m≠0， 解得 m=2； （2）由（1）知，m=2，则该方程为：x2+2x+1=0， 即（x+1）2=0， 解得 x1=x2=﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有 两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 　第 20 页（共 20 页）