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《第 11 章 三角形》
一、填空题
1．在△ABC 中，∠A=40°，∠B=∠C，则∠C= °．
2．小华要从长度分别为 5cm、6cm、11cm、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他
选的三根木棒的长度分别是： ， ， （单位：cm）．
3．如果等腰三角形的一个底角是 40°，它的顶角是 ．
4．三角形的一边为 5cm，一边为 7cm，则第三边的取值范围是 ．
5．△ABC 中，若∠A=35°，∠B=65°，则∠C= ；若∠A=120°，∠B=2∠C，则∠C= ．
6．三角形三个内角中，最多有 个直角，最多有 个钝角，最多有 个锐角，至少有 个
锐角．
7．三角形按角的不同分类，可分为 三角形， 三角形和 三角形．
8．一个三角形三个内角度数的比是 2：3：4，那么这个三角形是 三角形．
9．在△ABC 中，∠A﹣∠B=36°，∠C=2∠B，则∠A= ，∠B= ，∠C= ．
10．若△ABC 中，∠A+∠B=∠C，则此三角形是 三角形．
11．已知等腰三角形的两个内角的度数之比为 1：2，则这个等腰三角形的顶角为 ．
12．已知△ABC 为等腰三角形，①当它的两个边长分别为 8cm 和 3cm 时，它的周长为 ；②如果
它的一边长为 4cm，一边的长为 6cm，则周长为 ．
二、判断题．
13．有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形． （判断对错）
14．一个等腰三角形的顶角是 80°，它的两个底角都是 60°． （判断对错）
15．两个内角和是 90°的三角形是直角三角形． （判断对错）
16．一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角． （判断对错）
17．在锐角三角形中，任意的两个锐角之和一定要大于 90°． （判断对错）
18．一个三角形，已知两个内角分别是 85°和 25°，这个三角形一定是钝角三角形． （判断对
错）
三、选择题第 2 页（共 21 页）
19．如果三角形的三个内角的度数比是 2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
20．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的内角中最多有一个锐角
B．三角形的内角中最多有两个锐角
C．三角形的内角中最多有一个直角
D．三角形的内角都大于 60°
21．已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A 的度数为（ ）
A．100° B．120° C．140° D．160°
22．已知三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
23．等腰三角形的底边 BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长 AC 的长为（ ）
A．10cm 或 6cm B．10cm C．6cm D．8cm 或 6cm
24．在下列长度的四根木棒中，能与 4cm、9cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm
25．已知△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形（ ）
A．一定有一个内角为 45° B．一定有一个内角为 60°
C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形
26．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=
∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
27．已知三角形的三边分别为 2，a，4，那么 a 的取值范围是（ ）
A．1＜a＜5 B．2＜a＜6 C．3＜a＜7 D．4＜a＜6
28．在△ABC 中，∠A= ∠B= ∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
四、解答题第 3 页（共 21 页）
29．如图，△ABC 中，点 D 在 BC 上，点 E 在 AB 上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．
（1）给出下列四个条件：
①AD=CE②AE=CD③∠BAC=∠BCA④∠ADB=∠CEB
请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB 的条件，并给出证明；
你选出的条件是 ．
证明：
30．如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E、F，BE=CF．
（1）图中有几对全等的三角形请一一列出；
（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明．
31．如图所示，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE．
32．如图，BF⊥AC，CE⊥AB，BE=CF，BF、CE 交于点 D，求证：AD 平分∠BAC．
33．如图，已知∠A=∠B，CE∥DA，CE 交 AB 于点 E．求证：CE=CB．第 4 页（共 21 页）
34．如图，∠BDA=∠CEA，AE=AD．求证：AB=AC．
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《第 11 章 三角形》
参考答案与试题解析
一、填空题
1．在△ABC 中，∠A=40°，∠B=∠C，则∠C= 70 °．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由三角形的内角和定理直接列式计算，即可解决问题．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠A=40°，∠B=∠C，
∴∠C=（180°﹣40°）÷2=70°，
故答案为 70．
【点评】该题主要考查了三角形的内角和定理及其应用问题；灵活运用是解题的关键．
2．小华要从长度分别为 5cm、6cm、11cm、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他
选的三根木棒的长度分别是： 6 ， 11 ， 16 （单位：cm）．
【考点】三角形三边关系．
【分析】首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：每三根组合，有 5，6，11；5，6，16；11，16，5；11，6，16 四种情况．
根据三角形的三边关系，得其中只有 11，6，16 能组成三角形．
【点评】此题要特别注意看是否符合三角形的三边关系．
3．如果等腰三角形的一个底角是 40°，它的顶角是 100° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】等腰三角形的两个底角相等，根据三角形的内角和即可解决问题．
【解答】解：180°﹣40°×2=100°，
答：顶角是 100°．
故答案为：100°
【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和的应用，解答此题的关键：根据三角形的内
角和、等腰三角形的两底角和顶角三个量之间的关系进行解答即可．第 6 页（共 21 页）
4．三角形的一边为 5cm，一边为 7cm，则第三边的取值范围是 2cm＜xcm＜12cm ．
【考点】三角形三边关系．
【分析】设第三边长为 xcm，再由三角形三边关系即可得出结论．
【解答】解：设第三边长为 xcm，
∵三角形的一边为 5cm，一边为 7cm，
∴7﹣5＜x＜7+5，即 2＜x＜12．
故答案为：2cm＜xcm＜12cm．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小
于第三边是解答此题的关键．
5．△ABC 中，若∠A=35°，∠B=65°，则∠C= 80° ；若∠A=120°，∠B=2∠C，则∠C= 20° ．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理，求得∠C 的度数和∠B+∠C=60°，进而得出∠C 的度数．
【解答】解：∵△ABC 中，∠A=35°，∠B=65°，
∴∠C=180°﹣35°﹣65°=80°；
∵∠A=120°，
∴∠B+∠C=60°，
又∵∠B=2∠C，
∴∠C=20°．
故答案为：80°，20°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是 180°．
6．三角形三个内角中，最多有 1 个直角，最多有 1 个钝角，最多有 3 个锐角，至少有 2
个锐角．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】依据三角形的内角和是 180 度，假设一个三角形中可以有多于 1 个的钝角或直角，则会得
出违背三角形内角和是 180 度的结论，假设不成立，从而可以得出一个三角形中最多有 1 个钝角或
直角，如果一个三角形中只有 1 个锐角，也就是出现 2 个或 3 个直角，再加上第三个角，那么三角
形的内角和就大于 180°，也不符合三角形内角和是 180°．第 7 页（共 21 页）
【解答】解：因为三角形的内角和等于 180°，
所以在三角形内角中，最多有 1 个直角；最多有 1 个钝角，最多有 3 个锐角，至少有 2 个锐角．
故答案为：1，1，3，2
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为 180 度．
7．三角形按角的不同分类，可分为 锐角 三角形， 直角 三角形和 钝角 三角形．
【考点】三角形．
【分析】根据三角形的分类方法进行填空即可．
【解答】解：三角形按角的不同分类，可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．
故答案为：锐角；直角；钝角．
【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形分类一种是按边分类，一种是按角分类．
8．一个三角形三个内角度数的比是 2：3：4，那么这个三角形是 锐角 三角形．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】计算题．
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为 k°，根据三角形的内角和等于 180°列方
程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．
【解答】解：设一份为 k°，则三个内角的度数分别为 2k°，3k°，4k°．
则 2k°+3k°+4k°=180°，
解得 k°=20°，
∴2k°=40°，3k°=60°，4k°=80°，
所以这个三角形是锐角三角形．
故答案是：锐角．
【点评】本题主要考查了内角和定理．解答此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算．
9．在△ABC 中，∠A﹣∠B=36°，∠C=2∠B，则∠A= 72° ，∠B= 36° ，∠C= 72° ．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和定理可得出∠A+∠B+∠C=180°，再与∠A﹣∠B=36°，∠C=2∠B，联
立列出方程组，即可求得答案．第 8 页（共 21 页）
【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
故答案为 72°，36°，72°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是利用三角形内角和定理和已知条件列方程
组求解计算．
10．若△ABC 中，∠A+∠B=∠C，则此三角形是 直角 三角形．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由三角形内角和定理和直角三角形的判定可知．
【解答】解：∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴此三角形是直角三角形．
【点评】本题考查了三角形内角和定理．三角形的内角和是 180°．
11．已知等腰三角形的两个内角的度数之比为 1：2，则这个等腰三角形的顶角为 36°或 90° ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】先可求出两角，然后分两种情况：顶角与底角的度数比是 1：2 或底角与顶角的度数比是 1
：2．根据三角形的内角和定理就可求解．
【解答】解：当顶角与底角的度数比是 1：2 时，则等腰三角形的顶角是 180°× =36°；
当底角与顶角的度数比是 1：2 时，则等腰三角形的顶角是 180°× =90°．
即该等腰三角形的顶角为 36°或 90°．
故填 36°或 90°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，
做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
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12．已知△ABC 为等腰三角形，①当它的两个边长分别为 8cm 和 3cm 时，它的周长为 19cm ；②
如果它的一边长为 4cm，一边的长为 6cm，则周长为 14cm 或 16cm ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要
应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：①当腰长为 8cm 时，三边是 8cm，8cm，3cm，符合三角形的三边关系，此时周长是 19cm
；
当腰长为 3cm 时，三角形的三边是 8cm，3cm，3cm，因为 3+3＜8，应舍去．
②当腰长为 4cm 时，三角形的三边是 4cm，4cm，6cm，符合三角形的三边关系，此时周长是 14cm；
当腰长为 6cm 时，三角形的三边是 6cm，6cm，4cm，符合三角形的三边关系，此时周长是 16cm．
故答案为：19cm，14cm 或 16cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要
想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也
是解题的关键．
二、判断题．
13．有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形． √ （判断对错）
【考点】三角形．
【分析】根据三角形的分类：有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形；进行解答即可．
【解答】解：根据钝角三角形的定义可知：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；
所以“有一个角是钝角的三角形是钝角三角形”的说法是正确的．
故答案为：√．
【点评】此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有
一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．
14．一个等腰三角形的顶角是 80°，它的两个底角都是 60°． × （判断对错）
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】三角形的内角和是 180°，等腰三角形的两个底角相等，先用“180°﹣80°”求出两个底
角的度数和，然后除以 2 进行解答即可．
【解答】解：（180°﹣80°）÷2，第 10 页（共 21 页）
=100°÷2，
=50°；
它的一个底角度数是 50°；
故错，
故答案为：×
【点评】此题考查等腰三角形的性质，解答此题的关键：根据三角形的内角和、等腰三角形的两底
角和顶角三个量之间的关系进行解答即可．
15．两个内角和是 90°的三角形是直角三角形． 对 （判断对错）
【考点】三角形．
【分析】根据三角形内角和为 180°可得两个内角和是 90°的三角形，第三个角是 90°，是直角三
角形．
【解答】解：两个内角和是 90°的三角形是直角三角形，说法正确；
故答案为：对．
【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形内角和为 180°．
16．一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角． 正确 （判断对错）
【考点】三角形．
【分析】这个结论正确，可以利用反证法证明．
【解答】解：一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角．
理由：假如一个三角形有两个钝角或两个直角，那么这个三角形的内角和大于 180°，
这与三角形内角和为 180°矛盾，
所以假设不成立，
所以一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角．
故答案为正确．
【点评】本题考查三角形，三角形的内角和、反证法等知识，解题的关键是灵活运用三角形内角和
定理，属于中考常考题型．
17．在锐角三角形中，任意的两个锐角之和一定要大于 90°． 正确 （判断对错）
【考点】三角形．第 11 页（共 21 页）
【分析】这个结论是正确的，可以用反证法证明．
【解答】解：这个结论是正确的．
假如两个锐角之和小于等于 90，那么第三个角是 90°或钝角，这个三角形是钝角三角形，与已知条
件矛盾，
所以假设不成立，故在锐角三角形中，任意的两个锐角之和一定要大于 90°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，反证法等知识，解题的关键是学会利用反证法证明，属于中
考常考题型．
18．一个三角形，已知两个内角分别是 85°和 25°，这个三角形一定是钝角三角形． 错 （判断
对错）
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理，求得第三个内角，进而判定三角形的形状．
【解答】解：∵一个三角形的两个内角分别是 85°和 25°，
∴第三个内角为 70°，
∴这个三角形一定是锐角三角形．
故答案为：错
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握：三角形内角和是 180°
．
三、选择题
19．如果三角形的三个内角的度数比是 2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
【考点】三角形内角和定理．
【分析】利用“设 k 法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．
【解答】解：设三个内角分别为 2k、3k、4k，
则 2k+3k+4k=180°，
解得 k=20°，
所以，最大的角为 4×20°=80°，
所以，三角形是锐角三角形．第 12 页（共 21 页）
故选 A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设 k 法”表示出三个内角求解更加简便．
20．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的内角中最多有一个锐角
B．三角形的内角中最多有两个锐角
C．三角形的内角中最多有一个直角
D．三角形的内角都大于 60°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】探究型．
【分析】根据三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、直角三角形中有两个锐角，故本选项错误；
B、等边三角形的三个角都是锐角，故本选项错误；
C、三角形的内角中最多有一个直角，故本选项正确；
D、若三角形的内角都大于 60°，则三个内角的和大于 180°，这样的三角形不存在，故本选项错误
．
故选 C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是 180°．
21．已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A 的度数为（ ）
A．100° B．120° C．140° D．160°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件即可得到∠A 的方程，从而求解．
【解答】解：∵∠A=2（∠B+∠C），∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+ ∠A=180°，
∠A=120°．
故选 B．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理．
第 13 页（共 21 页）
22．已知三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【考点】三角形内角和定理．
【分析】设三角形三个内角分别为∠A、∠B、∠C，且∠A﹣∠B=∠C，则∠B+∠C=∠A，根据三角形
内角和定理得到∠A+∠B+∠C=180°，于是可计算出∠A=90°，由此可判断三角形为直角三角形．
【解答】解：设三角形三个内角分别为∠A、∠B、∠C，且∠A﹣∠B=∠C，则∠B+∠C=∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴这个三角形为直角三角形．
故选 C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是 180°．利用三角形内角和可直接根据两
已知角求第三个角或依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角，也可在直角三角形中，已知一
锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
23．等腰三角形的底边 BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长 AC 的长为（ ）
A．10cm 或 6cm B．10cm C．6cm D．8cm 或 6cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】根据绝对值的性质求出 AC 的长即可．
【解答】解：∵|AC﹣BC|=2cm，
∴AC﹣BC=2cm 或﹣AC+BC=2cm，
∵BC=8cm，
∴AC=（2+8）cm 或 AC=（8﹣2）cm，即 10cm 或 6cm．
故选 A
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知“等腰三角形的两腰相等”是解答此题的关键．
24．在下列长度的四根木棒中，能与 4cm、9cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可．第 14 页（共 21 页）
【解答】解：设第三边为 c，则 9+4＞c＞9﹣4，即 13＞c＞5．只有 9 符合要求．
故选 C．
【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
25．已知△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形（ ）
A．一定有一个内角为 45° B．一定有一个内角为 60°
C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由三角形内角和定理知．
【解答】解：∵∠B+∠C+∠A=180°，∠B+∠C=3∠A，
∴∠B+∠C+∠A=4∠A=180°，
∴∠A=45°．
故选 A．
【点评】本题利用了三角形内角和为 180°求解．
26．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=
∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，再根据已知的条件逐个求出∠C 的度数
，即可得出答案．
【解答】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC 是直角三角形，∴①正确；
②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C= ×180°=90°，
∴△ABC 是直角三角形，∴②正确；
③∵∠A=90°﹣∠B，第 15 页（共 21 页）
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC 是直角三角形，∴③正确；
④∵∠A=∠B= ∠C，
∴∠C=2∠A=2∠B，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠A+2∠A=180°，
∴∠A=45°，
∴∠C=90°，
∴△ABC 是直角三角形，∴④正确；
故选 D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出每种情况的∠C 的度数是解此题的关键，题
目比较好，难度适中．
27．已知三角形的三边分别为 2，a，4，那么 a 的取值范围是（ ）
A．1＜a＜5 B．2＜a＜6 C．3＜a＜7 D．4＜a＜6
【考点】三角形三边关系．
【专题】应用题．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【解答】解：由于在三角形中任意两边之和大于第三边，
∴a＜2+4=6，
任意两边之差小于第三边，
∴a＞4﹣2=2，
∴2＜a＜6，
故选 B．
【点评】本题考查了构成三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
难度适中．
第 16 页（共 21 页）
28．在△ABC 中，∠A= ∠B= ∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【考点】三角形内角和定理．
【分析】用∠A 表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于 180°列方程求解即可．
【解答】解：∵∠A= ∠B= ∠C，
∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+3∠A=180°，
解得∠A=30°，
所以，∠B=2×30°=60°，
∠C=3×30°=90°，
所以，此三角形是直角三角形．
故选 B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并用∠A 列出方程是解题的关键．
四、解答题
29．如图，△ABC 中，点 D 在 BC 上，点 E 在 AB 上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件
．
（1）给出下列四个条件：
①AD=CE②AE=CD③∠BAC=∠BCA④∠ADB=∠CEB
请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB 的条件，并给出证明；
你选出的条件是 ② ．
证明：
【考点】全等三角形的判定．
【分析】要证明△ADB≌△CEB，两三角形中已知的条件有 BD=BE，有一个公共角，那么根据三角形
的判定公理和推论，我们可看出①不符合条件，没有 SSA 的判定条件，因此不正确．②AE=CD，可得第 17 页（共 21 页）
出 AB=BC，这样就构成了 SAS，因此可得出全等的结论．③构成了全等三角形判定中的 AAS，因此可
得出三角形全等的结论．④构成了全等三角形判定中的 ASA，因此可得出三角形全等的结论．
【解答】解：选择②，
证明：∵AE=CD，BE=BD，
∴AB=CB，
又∵∠ABD=∠CBE，BE=BD
∴△ADB≌△CEB（SAS）．
故答案为：②
【点评】本题考查了全等三角形的判定公理及推论．注意 SSA 和 AAA 是不能得出三角形全等的结论
的．
30．如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E、F，BE=CF．
（1）图中有几对全等的三角形请一一列出；
（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明．
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】证明题；开放型．
【分析】本题考查三角形的全等知识．第（1）小题是根据对图形的直观判断和一定的推理可得结果
，要求考虑问题要全面．第（2）个问题具有一定的开放性，选择证明不同的结论，判定方法会有不
同，这里根据 HL（斜边直角边定理）来判断两个直角三角形全等．
【解答】解：（1）3 对．分别是：
△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF．
（2）△BDE≌△CDF．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．第 18 页（共 21 页）
又 D 是 BC 的中点，
∴BD=CD．
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， ，
∴△BDE≌△CDF（HL）．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全
等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，
再去证什么条件．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
31．如图所示，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】已知∠1=∠2，∠DAC 是公共角，从而可推出∠DAE=∠BAC，已知 AB=AD，AC=AE，从而可以
利用 SAS 来判定△ABC≌△ADE．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC 和△ADE 中，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有：SSS，SAS，AAS，HL 等，做题
时注意灵活运用．
32．如图，BF⊥AC，CE⊥AB，BE=CF，BF、CE 交于点 D，求证：AD 平分∠BAC．第 19 页（共 21 页）
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】先由条件可以得出△BED≌△CFD 就有 DE=DF，就可以得出结论．
【解答】证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在△BED 和△CFD 中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．
∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴AD 平分∠BAC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的判定及性质的运用，解答时证明
三角形全等是关键．
33．如图，已知∠A=∠B，CE∥DA，CE 交 AB 于点 E．求证：CE=CB．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据平行线的性质可以得到∠A=∠CEB，则∠CEB=∠B，根据等角对等边即可证得．
【解答】证明：∵CE∥DA，
∴∠A=∠CEB，第 20 页（共 21 页）
∵∠A=∠B，
∴∠CEB=∠B，
∴CE=CB．
【点评】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定定理，理解定理是关键．
34．如图，∠BDA=∠CEA，AE=AD．求证：AB=AC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】由已知条件加上公共角相等，利用 ASA 得到三角形 ABD 与三角形 ACE 全等，利用全等三角
形对应边相等即可得证．
【解答】证明：在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AB=AC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
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