人教版八年级上第11章《三角形》单元测试(2)含答案解析

第 1 页（共 18 页）24 《第 11 章 三角形》w 　 一、选择题：t 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）h A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cmY 2．在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的 3 倍，那么这个外角是（　　）6 A．150° B．135° C．120° D．100°O 3．如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3 是 （　　）5 A．59° B．60° C．56° D．22°I 4．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（　　）a A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 h 5．坐标平面内下列个点中，在坐标轴上的是（　　）P A．（3，3） B．（﹣3，0） C．（﹣1，2） D．（﹣2，﹣3）6 6．将某图形的横坐标都减去 2，纵坐标不变，则该图形（　　）y A．向右平移 2 个单位 B．向左平移 2 个单位 6 C．向上平移 2 个单位 D．向下平移 2 个单位 8 7．点 P（x，y）在第三象限，且点 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为 5，3，则 P 点的坐标为（　　）Z A．（﹣5，3） B．（3，﹣5） C．（﹣3，﹣5） D．（5，﹣3）k 8．如图，如果 AB∥CD，那么下面说法错误的是（　　）4 A．∠3=∠7 B．∠2=∠60第 2 页（共 18 页）24 C．∠3+∠4+∠5+∠6=180° D．∠4=∠8A 　 二、填空题 f 9．如图，△ABC 中，AD⊥BC，AE 平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE 的大小是　　度．A 10．已知等腰三角形两边长是 4cm 和 9cm，则它的周长是　　．= 11．一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是　　边形．= 12．直角三角形两锐角的平分线的夹角是　　． 13．若 P 是△ABC 内任一点，则∠BPC 与∠A 的大小关系是　　． 14．如图，B 处在 A 处的南偏西 45°方向，C 处在 A 处的南偏东 15°方向，C 处在 B 处的北偏东 80°方向， 则∠ACB 等于　　度． 15．如图，已知 AB∥CD，BE 平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C=　　°． 16．已知线段 CD 是由线段 AB 平移得到的，点 A（﹣2，3）的对应点为 C（3，6），则点 B（﹣5，﹣1） 的对应点 D 的坐标为　　． 　 三、解答题 17．如图，AB∥CD，∠A=38°，∠C=80°，求∠M．第 3 页（共 18 页）24 18．如图，∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，求∠BDC 的度数． 19．如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE 的理由． 20．如图，已知在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是 AC 边上的高，求∠DBC 的度数． 21．如图，在六边形 ABCDEF 中，AF∥CD，AB∥ED，∠A=140°，∠B=100°，∠E=90°．求∠C、∠D、 ∠F 的度数． 22．如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求证：AB∥CD．第 4 页（共 18 页）24 　 五、附加题： 23．如图，△ABC 中，分别延长△ABC 的边 AB、AC 到 D、E，∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点 P， 爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律： （1）若∠A=50°，则∠P=　　°； （2）若∠A=90°，则∠P=　　°； （3）若∠A=100°，则∠P=　　°； （4）请你用数学表达式归纳∠A 与∠P 的关系，并说明理由． 　第 5 页（共 18 页）24 《第 11 章 三角形》 参考答案与试题解析 　 一、选择题： 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm 【考点】三角形三边关系． 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【解答】解：根据三角形的三边关系，知 A、2+3=5，不能组成三角形； B、5+6＞10，能够组成三角形； C、1+1＜3，不能组成三角形； D、3+4＜9，不能组成三角形． 故选 B． 【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于 第三个数． 　 2．在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的 3 倍，那么这个外角是（　　） A．150° B．135° C．120° D．100° 【考点】对顶角、邻补角． 【分析】设这个内角为 α，则与其相邻的外角为 3α，根据邻补角的和等于 180°列式进行计算即可得解． 【解答】解：设这个内角为 α，则与其相邻的外角为 3α， 所以，α+3α=180°， 解得 α=45°， 3α=3×45°=135°． 故选 B． 【点评】本题考查了邻补角的和等于 180°的性质，列出方程是解题的关键． 　 3．如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3 是 （　　）第 6 页（共 18 页）24 A．59° B．60° C．56° D．22° 【考点】三角形内角和定理． 【分析】根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB，再根据角平分线 的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于 180°列式计算即可得解． 【解答】解：∵BE 为△ABC 的高， ∴∠AEB=90° ∵∠C=70°，∠ABC=48°， ∴∠CAB=62°， ∵AF 是角平分线， ∴∠1= ∠CAB=31°， 在△AEF 中，∠EFA=180°﹣31°﹣90°=59°． ∴∠3=∠EFA=59°， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是 解题的关键． 　 4．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理． 【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【解答】解：①因为∠A+∠B=∠C，则 2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC 是直角三角形； ②因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，则 x+2x+3x=180，x=30°，∠C=30°×3=90°，所以△ABC 是直 角三角形； ③因为∠A=90°﹣∠B，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC 是直角三角形；第 7 页（共 18 页）24 ④因为∠A=∠B=∠C，所以三角形为等边三角形． 所以能确定△ABC 是直角三角形的有①②③共 3 个． 故选：C． 【点评】解答此题要用到三角形的内角和为 180°，若有一个内角为 90°，则△ABC 是直角三角形． 　 5．坐标平面内下列个点中，在坐标轴上的是（　　） A．（3，3） B．（﹣3，0） C．（﹣1，2） D．（﹣2，﹣3） 【考点】点的坐标． 【专题】计算题． 【分析】根据各象限内和坐标轴上的点的坐标特点得到点（3，3）在第一象限；点（﹣3，0）在 x 轴上； 点（﹣1，2）在第二象限；点（﹣2，﹣3）在第三象限． 【解答】解：A、点（3，3）在第一象限，所以 A 选项错误； B、点（﹣3，0）在 x 轴上，所以 B 选正确； C、点（﹣1，2）在第二象限，所以 C 选项错误； D、点（﹣2，﹣3）在第三象限，所以 D 选项错误． 故选 B． 【点评】本题考查了点的坐标：坐标平面内的点与有序实数对一一对应，记住各象限内和坐标轴上的点的 坐标特点． 　 6．将某图形的横坐标都减去 2，纵坐标不变，则该图形（　　） A．向右平移 2 个单位 B．向左平移 2 个单位 C．向上平移 2 个单位 D．向下平移 2 个单位 【考点】坐标与图形变化-平移． 【分析】根据只是横坐标改变判断平移的方向为左右平移，根据减 2 可判断平移的具体方向和单位． 【解答】解：∵横坐标改变， ∴该图形是左右平移， ∵横坐标变小， ∴是向左平移， ∵横坐标减 2， ∴向左平移 2 个单位．第 8 页（共 18 页）24 故选 B． 【点评】考查图形的平移问题；用到的知识点为：横坐标改变，图形是左右平移，左减右加． 　 7．点 P（x，y）在第三象限，且点 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为 5，3，则 P 点的坐标为（　　） A．（﹣5，3） B．（3，﹣5） C．（﹣3，﹣5） D．（5，﹣3） 【考点】点的坐标． 【分析】根据点的到 x 轴的距离等于纵坐标的长度，到 y 轴的距离等于横坐标的长度解答即可． 【解答】解：∵点 P（x，y）在第三象限，点 P 到 x 轴的距离为 5， ∴点 P 的纵坐标为﹣5， ∵点 P 到 y 轴的距离为 3， ∴点 P 的横坐标为﹣3， ∴点 P 的坐标为（﹣3，﹣5）． 故选 C． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记点的到 x 轴的距离等于纵坐标的长度，到 y 轴的距离等于横坐标的长 度是解题的关键． 　 8．如图，如果 AB∥CD，那么下面说法错误的是（　　） A．∠3=∠7 B．∠2=∠6 C．∠3+∠4+∠5+∠6=180° D．∠4=∠8 【考点】平行线的性质． 【专题】计算题． 【分析】根据两直线平行，内错角相等得到∠3=∠7，∠2=∠6；根据两直线平行，同旁内角互补得到 ∠3+∠4+∠5+∠6=180°．而∠4 与∠8 是 AD 和 BC 被 BD 所截形成得内错角，则∠4=∠8 错误． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠3=∠7，∠2=∠6，∠3+∠4+∠5+∠6=180°． 故选 D．第 9 页（共 18 页）24 【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行 ，内错角相等． 　 二、填空题 9．如图，△ABC 中，AD⊥BC，AE 平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE 的大小是　18　度． 【考点】三角形内角和定理． 【专题】计算题． 【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC 的度数，再根据角平分线的定义可求得∠BAE 的度数，由三 角形内角和定理可求得∠BAD 的度数，从而不难求得∠DAE 的度数． 【解答】解：∵△ABC 中，∠B=70°，∠C=34°． ∴∠BAC=180°﹣（70°+34°）=76°． ∵AE 平分∠BAC， ∴∠BAE=38°． ∵Rt△ABD 中，∠B=70°， ∴∠BAD=20°． ∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=38°﹣20°=18° 【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理的理解及运用能力． 　 10．已知等腰三角形两边长是 4cm 和 9cm，则它的周长是　22cm　． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析． 【解答】解：当腰长为 4cm 时，4+4＜9cm，不符合三角形三边关系，故舍去； 当腰长为 9cm 时，符合三边关系，其周长为 9+9+4=22cm． 故该三角形的周长为 22cm． 故答案为：22cm．第 10 页（共 18 页）24 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两 种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 　 11．一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是　四　边形． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】任何多边形的外角和是 360 度，因而这个多边形的内角和是 360 度．n 边形的内角和是（n﹣2） •180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【解答】解：根据题意，得 （n﹣2）•180=360， 解得 n=4，则它是四边形． 【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决． 　 12．直角三角形两锐角的平分线的夹角是　45°或 135°　． 【考点】直角三角形的性质． 【分析】作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC+∠BAC=90°，再根据角平分线的定义可得 ∠OAB+∠OBA= （∠ABC+∠BAC），然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 ∠AOE，即为两角平分线的夹角． 【解答】解：如图，∠ABC+∠BAC=90°， ∵AD、BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线， ∴∠OAB+∠OBA= （∠ABC+∠BAC）=45°， ∴∠AOE=∠OAB+∠OBA=45°， ∴∠AOB=135° ∴两锐角的平分线的夹角是 45°或 135°． 故答案为：45°或 135°． 【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键，作 出图形更形象直观． 　第 11 页（共 18 页）24 13．若 P 是△ABC 内任一点，则∠BPC 与∠A 的大小关系是　∠BPC＞∠A　． 【考点】三角形的外角性质． 【分析】如图，延长 BP 交 AC 于 D．根据△PDC 外角的性质知∠BPC＞PDC；根据△ABD 外角的性质知 ∠PDC＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A． 【解答】证明：如图，延长 BP 交 AC 于 D． ∵∠BPC＞PDC，∠PDC＞∠A， ∴∠BPC＞∠A． 故答案是：∠BPC＞∠A． 【点评】本题考查了三角形的外角的性质．解题时是结合三角形的内角和与外角的关系来证明结论的． 　 14．如图，B 处在 A 处的南偏西 45°方向，C 处在 A 处的南偏东 15°方向，C 处在 B 处的北偏东 80°方向， 则∠ACB 等于　85　度． 【考点】方向角． 【分析】先求出∠ABC 和∠BAC，再利用三角形内角和求出∠ACB． 【解答】解：∵B 处在 A 处的南偏西 45°方向，C 处在 B 处的北偏东 80°方向， ∴∠ABC=80°﹣45°=35°， ∵C 处在 A 处的南偏东 15°方向， ∴∠BAC=45°+15°=60°， ∴∠ACB=180°﹣35°﹣60°=85°． 故答案为：85． 【点评】本题主要考查了方向角，解题的关键是根据图正确找出各角之间的关系即可计算．第 12 页（共 18 页）24 　 15．如图，已知 AB∥CD，BE 平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C=　120　°． 【考点】平行线的性质；角平分线的定义；对顶角、邻补角． 【专题】计算题． 【分析】本题主要利用邻补角互补，平行线性质及角平分线的性质进行做题． 【解答】解：∵∠CDE=150°， ∴∠CDB=180﹣∠CDE=30°， 又∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB=30°； ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABC=60°， ∴∠C=180°﹣60°=120°． 故答案为：120． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，同旁内角互补． 　 16．已知线段 CD 是由线段 AB 平移得到的，点 A（﹣2，3）的对应点为 C（3，6），则点 B（﹣5，﹣1） 的对应点 D 的坐标为　（0，2）　． 【考点】坐标与图形变化-平移． 【分析】对应点之间的关系是横坐标加 5，纵坐标加 3，那么让点 B 的横坐标加 5，纵坐标加 3 即为点 D 的坐标． 【解答】解：由点 A（﹣2，3）的对应点为 C（3，6），坐标的变化规律可知：各对应点之间的关系是横 坐标加 5，纵坐标加 3， 故点 D 的横坐标为﹣5+5=0；纵坐标为﹣1+3=2； 即所求点的坐标为（0，2）， 故答案为：（0，2）． 【点评】此题主要考查了点的坐标平移变化问题，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的 变化规律．第 13 页（共 18 页）24 　 三、解答题 17．如图，AB∥CD，∠A=38°，∠C=80°，求∠M． 【考点】平行线的性质；三角形的外角性质． 【分析】先根据平行线的性质得出∠MEB 的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AB∥CD，∠C=80°， ∴∠MEB=∠C=80°． 又∵∠A=38°， ∴∠M=∠MEB﹣∠A=80°﹣38°=42°． 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 　 18．如图，∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，求∠BDC 的度数． 【考点】三角形的外角性质． 【分析】连接 AD 并延长 AD 至点 E，根据三角形的外角性质求出∠BDE=∠BAE+∠B， ∠CDE=∠CAD+∠C，即可求出答案． 【解答】解：如图，连接 AD 并延长 AD 至点 E， ∵∠BDE=∠BAE+∠B，∠CDE=∠CAD+∠C ∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠CAD+∠C+∠BAD+∠B=∠BAC+∠B+∠C ∵∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°， ∴∠BDC=90°+21°+32°=143°．第 14 页（共 18 页）24 【点评】本题考查了三角形的外角性质的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ． 　 19．如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE 的理由． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】由∠C 与∠E 的关系，以及平行线 EB∥DC，可得出 ED 与 AC 的关系，进而求出角的关系． 【解答】解：∵EB∥DC， ∴∠C=∠ABE（两直线平行，同位角相等） ∵∠C=∠E， ∴∠E=∠ABE（等量代换） ∴ED∥AC（内错角相等，两直线平行） ∴∠A=∠ADE（两直线平行，内错角相等）． 【点评】熟练掌握平行线的性质及判定是正确解题的关键． 　 20．如图，已知在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是 AC 边上的高，求∠DBC 的度数． 【考点】三角形内角和定理．第 15 页（共 18 页）24 【专题】数形结合． 【分析】根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC 三个内角的度数，再根据直角三 角形的两个锐角互余求得∠DBC 的度数． 【解答】解：∵∠C=∠ABC=2∠A， ∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°， ∴∠A=36°． 则∠C=∠ABC=2∠A=72°． 又 BD 是 AC 边上的高， 则∠DBC=90°﹣∠C=18°． 【点评】此题主要是三角形内角和定理的运用． 三角形的内角和是 180°． 　 21．如图，在六边形 ABCDEF 中，AF∥CD，AB∥ED，∠A=140°，∠B=100°，∠E=90°．求∠C、∠D、 ∠F 的度数． 【考点】平行线的性质． 【分析】过点 B 作 BG∥AF∥CD，过点 C 作 CH 作 CH∥AB∥DE，根据平行线的性质可得 ∠A+∠B+∠C=360°，然后根据已知可求出∠B 的度数，同理也可求出∠D 和∠F 的度数． 【解答】解：过点 BG∥AF，作过点 C 作 CH 作 CH∥AB， ∵AF∥CD，AB∥ED， ∴BG∥AF∥CD，CH∥AB∥DE， ∴∠A+∠ABG=180°，∠BCD+∠CBG=180°， 即∠A+∠ABC+∠BCD=360°， ∵∠A=140°，∠ABC=100°， ∴∠BCD=120°， 同理可得， ∠ABC+∠BCD+∠D=360°，第 16 页（共 18 页）24 则∠D=140°， ∠A+∠F+∠E=360°， 则∠F=360°﹣140°﹣90°=130°． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是作出辅助线，注意掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角 互补． 　 22．如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求证：AB∥CD． 【考点】三角形内角和定理；平行线的判定． 【专题】证明题． 【分析】在△ABC 中，∠B=42°即已知∠A+∠1=180°﹣42°=138°，又∠A+10°=∠1 可以求出∠A 的大小， 只要能得到∠A=64°，根据内错角相等，两直线平行，就可以证出结论． 【解答】证明：在△ABC 中，∠A+∠B+∠1=180°，∠B=42°， ∴∠A+∠1=138°， 又∵∠A+10°=∠1， ∴∠A+∠A+10°=138°， 解得：∠A=64°． ∴∠A=∠ACD=64°， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 【点评】本题首先利用三角形内角和定理和∠A 与∠1 的关系求出∠A 的度数，然后再利用平行线的判定 方法得证． 　 五、附加题： 23．如图，△ABC 中，分别延长△ABC 的边 AB、AC 到 D、E，∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点 P， 爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：第 17 页（共 18 页）24 （1）若∠A=50°，则∠P=　65　°； （2）若∠A=90°，则∠P=　45　°； （3）若∠A=100°，则∠P=　40　°； （4）请你用数学表达式归纳∠A 与∠P 的关系，并说明理由． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质． 【分析】（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，根据角平分线 的定义可以求得∠PBC+∠PCB 的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P 的度数． （2）（3）和（1）的解题步骤相似． （4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP= （∠A+∠ABC），∠CBP= （ ∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理便可求出∠A 与∠P 的关系． 【解答】解：（1）∵∠A=50°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°， 又∵∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点 P， ∴ ， ， ∴ =115°， ∴∠P=65°． 同理得：（2）45°； （3）40° （4）∠P=90°﹣ ∠A．理由如下： ∵BP 平分∠DBC，CP 平分∠BCE， ∴∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP 又∵∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC， ∴2∠CBP=∠A+∠ACB，2∠BCP=∠A+∠ABC， ∴2∠CBP+2∠BCP=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，第 18 页（共 18 页）24 ∴∠CBP+∠BCP=90°+ ∠A 又∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°， ∴∠P=90°﹣ ∠A． 【点评】本题主要考查三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义，熟 练掌握性质和定义是解题的关键．