人教版八年级上《第11章三角形》单元测试含答案解析

《第 11 章 三角形》 　 一、选择题 1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 2．若一个三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长可能是（　　） A．6 B．3 C．2 D．11 3．在△ABC 中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C 的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 4．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（　　） A．35° B．95° C．85° D．75° 5．若一个正 n 边形的每个内角为 144°，则这个正 n 边形的所有对角线的条数是（　　） A．7 B．10 C．35 D．70 6．如图的七边形 ABCDEFG 中，AB、ED 的延长线相交于 O 点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4 的外角的 角度和为 220°，则∠BOD 的度数为何？（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 7．六边形的内角和是（　　） A．540° B．720° C．900° D．1080° 8．一个正多边形的内角和为 540°，则这个正多边形的每一个外角等于（　　） A．108° B．90° C．72° D．60°9．如图所示，小华从 A 点出发，沿直线前进 10 米后左转 24°，再沿直线前进 10 米，又向左转 24°， …，照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走的路程是（　　） A．140 米 B．150 米 C．160 米 D．240 米 10．下列说法不正确的是（　　） A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的角平分线在三角形的内部 C．三角形的高在三角形的内部 D．三角形必有一高线在三角形的内部 11．若一个三角形的三条边长分别为 3，2a﹣1，6，则整数 a 的值可能是（　　） A．2，3 B．3，4 C．2，3，4 D．3，4，5 12．已知△ABC 中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC 是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 13．如图，△ABC 中，AE 是∠BAC 的角平分线，AD 是 BC 边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠ EAD 的度数（　　） A．35° B．5° C．15° D．25° 　 三、填空题 14．十边形的外角和是______°． 15．如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有______性．16．如图，已知在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点 P．当∠A=70°时，则∠BPC 的度数为______． 17．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______°． 　 三、解答 18．在△ABC 中，CD⊥AB 于 D，CE 是∠ACB 的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD 和∠ECD 的度 数． 19．如图，△ABC 中，AD 是高，AE、BF 是角平分线，它们相交于点 O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠ DAE 和∠BOA 的度数． 20．已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为 AB 边上的高，BE 平分∠ABC，分别交 CD、AC 于点 F、E，求 证：∠CFE=∠CEF．21．如图，在四边形 ABCD 中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB 的度数． 22．如图，已知 AB∥CD，EF 与 AB、CD 分别相交于点 E、F，∠BEF 与∠EFD 的平分线相交于点 P，求 证：EP⊥FP． 23．如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C 的 度数． 24．如图，在△BCD 中，BC=4，BD=5， （1）求 CD 的取值范围； （2）若 AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C 的度数． 25．如图所示，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC 的度数． 　《第 11 章 三角形》 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 【考点】三角形三边关系． 【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判 断． 【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意； B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意； C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意； D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意． 故选 D． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边． 　 2．若一个三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长可能是（　　） A．6 B．3 C．2 D．11 【考点】三角形三边关系． 【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【解答】解：设第三边为 x，则 4＜x＜10， 所以符合条件的整数为 6， 故选 A． 【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题， 中考常考题型． 　 3．在△ABC 中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C 的度数为（　　）A．35° B．40° C．45° D．50° 【考点】三角形内角和定理． 【分析】在△ABC 中，根据三角形内角和是 180 度来求∠C 的度数． 【解答】解：∵三角形的内角和是 180°， 又∠A=95°，∠B=40° ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B =180°﹣95°﹣40° =45°， 故选 C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理：三角形内角和是 180°是解答此 题的关键． 　 4．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（　　） A．35° B．95° C．85° D．75° 【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义． 【分析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A 即可． 【解答】解：∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACE=60°， ∴∠ACD=2∠ACE=120°， ∵∠ACD=∠B+∠A， ∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和． 　 5．若一个正 n 边形的每个内角为 144°，则这个正 n 边形的所有对角线的条数是（　　） A．7 B．10 C．35 D．70【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线． 【分析】由正 n 边形的每个内角为 144°结合多边形内角和公式，即可得出关于 n 的一元一次方程， 解方程即可求出 n 的值，将其代入 中即可得出结论． 【解答】解：∵一个正 n 边形的每个内角为 144°， ∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10． 这个正 n 边形的所有对角线的条数是： = =35． 故选 C． 【点评】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正 n 边形的边数．本题 属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键． 　 6．如图的七边形 ABCDEFG 中，AB、ED 的延长线相交于 O 点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4 的外角的 角度和为 220°，则∠BOD 的度数为何？（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【考点】多边形内角与外角． 【分析】延长 BC 交 OD 与点 M，根据多边形的外角和为 360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再 根据四边形的内角和为 360°即可得出结论． 【解答】解：延长 BC 交 OD 与点 M，如图所示． ∵多边形的外角和为 360°， ∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°﹣220°=140°． ∵四边形的内角和为 360°， ∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，∴∠BOD=40°． 故选 A． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角以及角的计算，解题的关键是能够熟练的运用多边形的外 角和为 360°来解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用多边形的外角和 与内角和定理，通过角的计算求出角的角度即可． 　 7．六边形的内角和是（　　） A．540° B．720° C．900° D．1080° 【考点】多边形内角与外角． 【分析】多边形内角和定理：n 变形的内角和等于（n﹣2）×180°（n≥3，且 n 为整数），据此计 算可得． 【解答】解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°， 故选：B． 【点评】此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180°（n≥3， 且 n 为整数）．． 　 8．一个正多边形的内角和为 540°，则这个正多边形的每一个外角等于（　　） A．108° B．90° C．72° D．60° 【考点】多边形内角与外角． 【分析】首先设此多边形为 n 边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得 n=5，再由多边形的 外角和等于 360°，即可求得答案． 【解答】解：设此多边形为 n 边形， 根据题意得：180（n﹣2）=540， 解得：n=5， 故这个正多边形的每一个外角等于： =72°． 故选 C． 【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180° ，外角和等于 360°． 　9．如图所示，小华从 A 点出发，沿直线前进 10 米后左转 24°，再沿直线前进 10 米，又向左转 24°， …，照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走的路程是（　　） A．140 米 B．150 米 C．160 米 D．240 米 【考点】多边形内角与外角． 【分析】多边形的外角和为 360°每一个外角都为 24°，依此可求边数，再求多边形的周长． 【解答】解：∵多边形的外角和为 360°，而每一个外角为 24°， ∴多边形的边数为 360°÷24°=15， ∴小明一共走了：15×10=150 米． 故选 B． 【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据多边形的外角和及每一 个外角都为 24°求边数． 　 10．下列说法不正确的是（　　） A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的角平分线在三角形的内部 C．三角形的高在三角形的内部 D．三角形必有一高线在三角形的内部 【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用 排除法求解． 【解答】解：A、三角形的中线在三角形的内部正确，故本选项错误； B、三角形的角平分线在三角形的内部正确，故本选项错误； C、只有锐角三角形的三条高在三角形的内部，故本选项正确； D、三角形必有一高线在三角形的内部正确，故本选项错误． 故选 C． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置 是解题的关键．　 11．若一个三角形的三条边长分别为 3，2a﹣1，6，则整数 a 的值可能是（　　） A．2，3 B．3，4 C．2，3，4 D．3，4，5 【考点】三角形三边关系． 【分析】直接利用三角形三边关系得出 a 的取值范围，进而得出答案． 【解答】解：∵一个三角形的三条边长分别为 3，2a﹣1，6， ∴ ， 解得：2＜a＜5， 故整数 a 的值可能是：3，4． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出 a 的取值范围是解题关键． 　 12．已知△ABC 中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC 是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 【考点】三角形内角和定理． 【分析】根据已知条件和三角形的内角和是 180 度求得各角的度数，再判断三角形的形状． 【解答】解：∵∠A=20°， ∴∠B=∠C= （180°﹣20°）=80°， ∴三角形△ABC 是锐角三角形． 故选 A． 【点评】主要考查了三角形的内角和是 180 度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是 180°” 这一隐含的条件． 　 13．如图，△ABC 中，AE 是∠BAC 的角平分线，AD 是 BC 边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠ EAD 的度数（　　）A．35° B．5° C．15° D．25° 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义． 【分析】利用三角形的内角和是 180°可得∠BAC 的度数；AE 是∠BAC 的角平分线，可得∠EAC 的度 数；利用 AD 是高可得∠ADC=90°，那么可求得∠DAC 度数，那么∠EAD=∠EAC﹣∠DAC． 【解答】解：∵∠B=50°，∠C=60°， ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°， ∵AE 是∠BAC 的角平分线， ∴∠EAC= ∠BAC=35°， ∵AD 是高， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC=90°﹣∠C=30°， ∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=5°． 故选 B． 【点评】关键是得到和所求角有关的角的度数；用到的知识点为：三角形的内角和是 180°；角平 分线把一个角分成相等的两个角． 　 三、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分） 14．十边形的外角和是　360　°． 【考点】多边形内角与外角． 【专题】常规题型． 【分析】根据多边形的外角和等于 360°解答． 【解答】解：十边形的外角和是 360°． 故答案为：360． 【点评】本题主要考查了多边形的外角和等于 360°，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的 外角和都是 360°． 　 15．如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有　稳定　性．【考点】三角形的稳定性． 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【解答】解：自行车的三角形车架，这是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性． 【点评】本题考查了三角形的稳定性，是基础题． 　 16．如图，已知在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点 P．当∠A=70°时，则∠BPC 的度数为　125°　 ． 【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高． 【专题】探究型． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB 的度数，再由角平分线的定义得出∠2+∠4 的度 数，由三角形内角和定理即可求出∠BPC 的度数． 【解答】解：∵△ABC 中，∠A=70°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣70°=110°， ∴BP，CP 分别为∠ABC 与∠ACP 的平分线， ∴∠2+∠4= （∠ABC+∠ACB）= ×110°=55°， ∴∠P=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣55°=125°． 故答案为：125°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和定理是解答此题 的关键． 　17．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=　540　°． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】连接∠2 和∠5，∠3 和∠5 的顶点，可得三个三角形，根据三角形的内角和定理即可求出 答案． 【解答】解：连接∠2 和∠5，∠3 和∠5 的顶点，可得三个三角形， 根据三角形的内角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=540°． 故答案为 540． 【点评】本题主要考查三角形的内角和为 180°定理，需作辅助线，比较简单． 　 三、解答 18．在△ABC 中，CD⊥AB 于 D，CE 是∠ACB 的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD 和∠ECD 的度 数． 【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【分析】由 CD⊥AB 与∠B=60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD 的度数，又由∠A=20°，∠B=60° ，求得∠ACB 的度数，由 CE 是∠ACB 的平分线，可求得∠ACE 的度数，然后根据三角形外角的性质， 求得∠CEB 的度数． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB=90°， ∵∠B=60°， ∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°； ∵∠A=20°，∠B=60°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACB=100°， ∵CE 是∠ACB 的平分线， ∴∠ACE= ∠ACB=50°， ∴∠CEB=∠A+∠ACE=20°+50°=70°， ∠ECD=90°﹣70°=20° 【点评】此题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质以及三角形高线，角平分线的定义等 知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用． 　 19．如图，△ABC 中，AD 是高，AE、BF 是角平分线，它们相交于点 O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠ DAE 和∠BOA 的度数． 【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形 ACD 中，易求∠DAC；再根据角平分线 定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE 的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三 角形外角性质，容易求出∠BOA． 【解答】解：∵∠A=50°，∠C=60° ∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°， 又∵AD 是高， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°， ∵AE、BF 是角平分线， ∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°， ∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°， ∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°， ∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°． 故∠DAE=5°，∠BOA=120°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的 性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB． 　 20．已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为 AB 边上的高，BE 平分∠ABC，分别交 CD、AC 于点 F、E，求 证：∠CFE=∠CEF． 【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【专题】证明题． 【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等 量代换可得答案． 【解答】证明： ∵∠ACB=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠2+∠4=90°， 又∵BE 平分∠ABC， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∵∠4=∠5， ∴∠3=∠5， 即∠CFE=∠CEF．【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的 关键． 　 21．如图，在四边形 ABCD 中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB 的度数． 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理． 【分析】首先根据四边形内角和为 360 度计算出∠DAB+∠ABC=360°﹣220°=140°，再根据∠1=∠2 ，∠3=∠4 计算出∠2+∠3=70°，然后利用三角形内角和为 180 度计算出∠AOB 的度数． 【解答】解：∵∠D+∠C+∠DAB+∠ABC=360°，∠D+∠C=220°， ∴∠DAB+∠ABC=360°﹣220°=140°， ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠2+∠3=70°， ∴∠AOB=180°﹣70°=110°． 【点评】此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握四边形内角和为 360°，三角形内角和为 180° ． 　 22．如图，已知 AB∥CD，EF 与 AB、CD 分别相交于点 E、F，∠BEF 与∠EFD 的平分线相交于点 P，求 证：EP⊥FP． 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质． 【专题】证明题． 【分析】要证 EP⊥FP，即证∠PEF+∠EFP=90°，由角平分线的性质和平行线的性质可知，∠PEF+∠ EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°． 【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°， 又 EP、FP 分别是∠BEF、∠EFD 的平分线， ∴∠PEF= ∠BEF，∠EFP= ∠EFD， ∴∠PEF+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°， ∴∠P=180°﹣（∠PEF+∠EFP）=180°﹣90°=90°， 即 EP⊥FP． 【点评】本题的关键就是找到∠PEF+∠EFP 与∠BEF+∠EFD 之间的关系，考查了整体代换思想． 　 23．如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C 的 度数． 【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可 得解． 【解答】解：∵AD 是 BC 边上的高，∠EAD=5°， ∴∠AED=85°， ∵∠B=50°， ∴∠BAE=∠AED﹣∠B=85°﹣50°=35°， ∵AE 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAC=2∠BAE=70°， ∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣70°=60°． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的 一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题 的关键． 　24．如图，在△BCD 中，BC=4，BD=5， （1）求 CD 的取值范围； （2）若 AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C 的度数． 【考点】三角形三边关系；平行线的性质． 【分析】（1）利用三角形三边关系得出 DC 的取值范围即可； （2）利用平行线的性质得出∠AEC 的度数，再利用三角形内角和定理得出答案． 【解答】解：（1）∵在△BCD 中，BC=4，BD=5， ∴1＜DC＜9； （2）∵AE∥BD，∠BDE=125°， ∴∠AEC=55°， 又∵∠A=55°， ∴∠C=70°． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC 的度数是解题关键． 　 25．如图所示，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC 的度数． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【分析】△ABD 中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC 中，根据三角 形内角和定理求出∠4 的度数，进而可在△DAC 中，由三角形内角和定理求出∠DAC 的度数． 【解答】解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x． 因为∠BAC=63°， 所以∠2+∠4=117°，即 x+2x=117°，所以 x=39°； 所以∠3=∠4=78°， ∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°． 【点评】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．