21.3 实际问题与一元二次方程
一．选择题（共 20 小题）
1．（2018•宜宾）某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市 2017 年
“竹文化”旅游收入约为 2 亿元．预计 2019“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元，据此估计
该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
2．（2018•大连）如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各减去一个同样的
小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是
32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是 xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×
6﹣4x2=32
3．（2018•绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会
的人数为（ ）
A．9 人 B．10 人 C．11 人 D．12 人
4．（2018•宁夏）某企业 2018 年初获利润 300 万元，到 2020 年初计划利润达到 507 万
元．设这两年的年利润平均增长率为 x．应列方程是（ ）
A．300（1+x）=507 B．300（1+x）2=507
C．300（1+x）+300（1+x）2=507 D．300+300（1+x）+300（1+x）2=507
5．（2018•黑龙江）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，
计划安排 15 场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2018•广西）某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，
求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100
7．（2018•乌鲁木齐）宾馆有 50 间房供游客居住，当毎间房毎天定价为 180 元时，宾馆会
住满；当毎间房毎天的定价每增加 10 元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对
居住的毎间房毎天支出 20 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为 10890 元？
设房价定为 x 元．则有（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣ ）=10890 B．（x﹣20）（50﹣ ）=10890
C．x（50﹣ ）﹣50×20=10890 D．（x+180）（50﹣ ）﹣50×20=10890
8．（2018•眉山）我市某楼盘准备以每平方 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地
产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两
次下调后，决定以每平方 4860 元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
A．8% B．9% C．10% D．11%
9．（2018•赤峰）2017﹣2018 赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都
进行两场比赛），比赛总厂数为 380 场，若设参赛队伍有 x 支，则可列方程为（ ）
A． x（x﹣1）=380 B．x（x﹣1）=380
C． x（x+1）=380 D．x（x+1）=380
10．（2017•来宾）某文具店二月销售签字笔 40 支，三月、四月销售量连续增长，四月销售
量为 90 支，求月平均增长率．设月平均增长率为 x，则由已知条件列出的方程是（ ）
A．40（1+x2）=90 B．40（1+2x）=90 C．40（1+x）2=90 D．90（1﹣x）2=40
11．（2017•杭州）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014 年为 10.8 万人次，2016 年
为 16.8 万人次．设参观人次的平均年增长率为 x，则（ ）
A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8
C．10.8（1+x）2=16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8
12．（2017•无锡）某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销售额是 4.5 万元，从 1
月份到 3 月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）
A．20% B．25% C．50% D．62.5%
13．（2017•白银）如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上修建三条同
样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2．若设道路的宽为 xm，则下面
所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
14．（2017•朝阳）某校进行体操队列训练，原有 8 行 10 列，后增加 40 人，使得队伍增加
的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了 x 行或列，则列方程得（ ）
A．（8﹣x）（10﹣x）=8×10﹣40 B．（8﹣x）（10﹣x）=8×10+40
C．（8+x）（10+x）=8×10﹣40 D．（8+x）（10+x）=8×10+40
15．（2017•黔南州）“一带一路”国际合作高峰论坛于 2017 年 5 月 14 日至 15 日在北京举
行，在论坛召开之际，福田欧辉陆续向缅甸仰光公交公司交付 1000 台清洁能源公交车，以
2017 客车海外出口第一大单的成绩，创下了客车行业出口之最，同时，这也是在国家“一
带一路”战略下，福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果．预计到 2019 年，福田公司将
向海外出口清洁能源公交车达到 3000 台．设平均每年的出口增长率为 x，可列方程为（ ）
A．1000（1+x%）2=3000 B．1000（1﹣x%）2=3000
C．1000（1+x）2=3000 D．1000（1﹣x）2=3000
16．（2016•通辽）现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某
家快递公司，今年 3 月份与 5 月份完成投递的快递总件数分别为 6.3 万件和 8 万件．设该快
递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为 x，则下列方程正确的是（ ）
A．6.3（1+2x）=8 B．6.3（1+x）=8
C．6.3（1+x）2=8 D．6.3+6.3（1+x）+6.3（1+x）2=8
17．（2016•抚顺）某公司今年销售一种产品，一月份获得利润 10 万元，由于产品畅销，利
润逐月增加，一季度共获利 36.4 万元，已知 2 月份和 3 月份利润的月增长率相同．设 2，3
月份利润的月增长率为 x，那么 x 满足的方程为（ ）
A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4
18．（2016•大连）某文具店三月份销售铅笔 100 支，四、五两个月销售量连续增长．若月
平均增长率为 x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（ ）
A．100（1+x） B．100（1+x）2 C．100（1+x2） D．100（1+2x）
19．（2016•恩施州）某商品的售价为 100 元，连续两次降价 x%后售价降低了 36 元，则 x
为（ ）
A．8 B．20 C．36 D．18
20．（2016•随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014 年约
为 20 万人次，2016 年约为 28.8 万人次，设观赏人数年均增长率为 x，则下列方程中正确的
是（ ）
A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
二．填空题（共 5 小题）
21．（2018•通辽）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”
足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排 21 场比赛，应邀请多少
个球队参赛？设邀请 x 个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．
22．（2017•宜宾）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的 50 元降到 32 元，设该药
品平均每次降价的百分率为 x，根据题意可列方程是 ．
23．（2017•黑龙江）原价 100 元的某商品，连续两次降价后售价为 81 元，若每次降低的百
分率相同，则降低的百分率为 ．
24．（2016•十堰）某种药品原来售价 100 元，连续两次降价后售价为 81 元，若每次下降的
百分率相同，则这个百分率是 ．
25．（2016•丹东）某公司今年 4 月份营业额为 60 万元，6 月份营业额达到 100 万元，设该
公司 5、6 两个月营业额的月均增长率为 x，则可列方程为 ．
三．解答题（共 12 小题）
26．（2018•遵义）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为 20 元/千克，售价
不低于 20 元/千克，且不超过 32 元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量 y（千
克）与该天的售价 x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
销售量 y（千克） … 34.8 32 29.6 28 …
售价 x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 …
（1）某天这种水果的售价为 23.5 元/千克，求当天该水果的销售量．
（2）如果某天销售这种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为多少元？
27．（2018•德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出
一种新型高科技设备，每台设备成本价为 30 万元，经过市场调研发现，每台售价为 40 万元
时，年销售量为 600 台；每台售价为 45 万元时，年销售量为 550 台．假定该设备的年销售
量 y（单位：台）和销售单价 x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于 70 万元，如果该公司想获得 10000 万元的
年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
28．（2018•沈阳）某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐
月下降，3 月份的生产成本是 361 万元．
假设该公司 2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测 4 月份该公司的生产成本．
29．（2018•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了扩
大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时
间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件．
（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？
30．（2018•宜昌）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生
活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂
转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案进行一次
性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计
算．第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12．经过三年治理，境内长江水质
明显改善．
（1）求 n 的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年
来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加个相
同的数值 a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因
甲方案治理降低的 Q 值相等，第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5．求第一年用甲方案治
理降低的 Q 值及 a 的值．
31．（2018•安顺）某地 2015 年为做好“精准扶贫”，投入资金 1280 万元用于异地安置，
并规划投入资金逐年增加，2017 年在 2015 年的基础上增加投入资金 1600 万元．
（1）从 2015 年到 2017 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在 2017 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于 500 万元用于优先搬迁租
房奖励，规定前 1000 户（含第 1000 户）每户每天奖励 8 元，1000 户以后每户每天奖励 5
元，按租房 400 天计算，求 2017 年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
32．（2018•重庆）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改
造．
（1）原计划今年 1 至 5 月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 50 千米，其中道路硬化的
里程数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍，那么，原计划今年 1 至 5 月，道路硬化的里程数至
少是多少千米？
（2）到今年 5 月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程
数正好是原计划的最小值．2017 年通过政府投入 780 万元进行村级道路硬化和道路拓宽的
里程数共 45 千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为 1：2，且里程数之比为 2：
1．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年 6 月起至年底，如果政府投
入经费在 2017 年的基础上增加 10a%（a＞0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米
道路硬化、道路拓宽的费用也在 2017 年的基础上分别增加 a%，5a%，那么道路硬化和道路
拓宽的里程数将会在今年 1 至 5 月的基础上分别增加 5a%，8a%，求 a 的值．
33．（2017•南宁）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，
并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在 2014 年图书借阅总量是
7500 本，2016 年图书借阅总量是 10800 本．
（1）求该社区的图书借阅总量从 2014 年至 2016 年的年平均增长率；
（2）已知 2016 年该社区居民借阅图书人数有 1350 人，预计 2017 年达到 1440 人．如果 2016
年至 2017 年图书借阅总量的增长率不低于 2014 年至 2016 年的年平均增长率，那么 2017 年
的人均借阅量比 2016 年增长 a%，求 a 的值至少是多少？
34．（2017•襄阳）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因
素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014 年利润为 2 亿元，2016 年
利润为 2.88 亿元．
（1）求该企业从 2014 年到 2016 年利润的年平均增长率；
（2）若 2017 年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业 2017 年的利润能否超过 3.4
亿元？
35．（2017•铜仁市）某商店以 20 元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间
内，销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．
（1）求 y 与 x 的函数表达式；
（2）要使销售利润达到 800 元，销售单价应定为每千克多少元？
36．（2017•桂林）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已
知 2015 年该市投入基础教育经费 5000 万元，2017 年投入基础教育经费 7200 万元．
（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划 2018 年用不超过当
年基础教育经费的 5%购买电脑和实物投影仪共 1500 台，调配给农村学校，若购买一台电脑
需 3500 元，购买一台实物投影需 2000 元，则最多可购买电脑多少台？
37．（2016•朝阳）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌
粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨
0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不
能超过进价的 200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利
润为 800 元．
参考答案
一．选择题（共 20 小题）
1．C．2．B．3．C．4．B．5．C．6．A．7．B．8．C．9．B．10．C．
11．C．12．C．13．A．14．D．15．C．16．C．17．D．18．B．19．B．20．C．
二．填空题（共 5 小题）
21． x（x﹣1）=21．
22．50（1﹣x）2=32．
23．10%．
24．10%．
25．60（1+x）2=100．
三．解答题（共 12 小题）
26．解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，
将（22.6，34.8）、（24，32）代入 y=kx+b，
，解得： ，
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=﹣2x+80．
当 x=23.5 时，y=﹣2x+80=33．
答：当天该水果的销售量为 33 千克．
（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150，
解得：x1=35，x2=25．
∵20≤x≤32，
∴x=25．
答：如果某天销售这种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为 25 元．
27．解：（1）设年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y=kx+b（k≠0），
将（40，600）、（45，550）代入 y=kx+b，得：
，解得： ，
∴年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y=﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为 x 万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为
（﹣10x+1000）台，
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，
整理，得：x2﹣130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80．
∵此设备的销售单价不得高于 70 万元，
∴x=50．
答：该设备的销售单价应是 50 万元/台．
28．解：（1）设每个月生产成本的下降率为 x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为 5%．
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．
答：预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元．
29．解：（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 20+2×3=26 件．
故答案为 26；
（2）设每件商品应降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1200 元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）=1200，
整理，得 x2﹣30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于 25 元，
∴x2=20 应舍去，
解得：x=10．
答：每件商品应降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元．
30．解：（1）由题意可得：40n=12，
解得：n=0.3；
（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，
解得：m1= ，m2=﹣ （舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），
（3）设第一年用乙方案治理降低了 100n=100×0.3=30，
则（30﹣a）+2a=39.5，
解得：a=9.5，
则 Q=20.5．
设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x，
第二年 Q 值因乙方案治理降低了 100n=100×0.3=30，
解法一：（30﹣a）+2a=39.5
a=9.5
x=20.5
解法二：
解得：
31．解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x，
根据题意得：1280（1+x）2=1280+1600，
解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（舍去）．
答：从 2015 年到 2017 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为 50%．
（2）设 2017 年该地有 a 户享受到优先搬迁租房奖励，
根据题意得：8×1000×400+5×400（a﹣1000）≥5000000，
解得：a≥1900．
答：2017 年该地至少有 1900 户享受到优先搬迁租房奖励．
32．解：（1）设道路硬化的里程数是 x 千米，则道路拓宽的里程数是（50﹣x）千米，
根据题意得：x≥4（50﹣x），
解得：x≥40．
答：原计划今年 1 至 5 月，道路硬化的里程数至少是 40 千米．
（2）设 2017 年通过政府投人 780 万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数分别为 2x 千
米、x 千米，
2x+x=45，
x=15，
2x=30，
设每千米的道路硬化和道路拓宽的经费分别为 y 元、2y 元，
30y+15×2y=780，
y=13，
2y=26，
由题意得：13（1+a%）•30（1+5a%）+26（1+5a%）•15（1+8a%）=780（1+10a%），
设 a%=m，则 390（1+m）（1+5m）+390（1+5m）（1+8m）=780（1+10m），
45m2﹣m=0，
m1= ，m2=0（舍），
∴a= ．
33．解：（1）设该社区的图书借阅总量从 2014 年至 2016 年的年平均增长率为 x，根据题
意得
7500（1+x）2=10800，
即（1+x）2=1.44，
解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）
答：该社区的图书借阅总量从 2014 年至 2016 年的年平均增长率为 20%；
（2）10800（1+0.2）=12960（本）
10800÷1350=8（本）
12960÷1440=9（本）
（9﹣8）÷8×100%=12.5%．
故 a 的值至少是 12.5．
34．解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为 x．根据题意得
2（1+x）2=2.88，
解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．
答：这两年该企业年利润平均增长率为 20%．
（2）如果 2017 年仍保持相同的年平均增长率，那么 2017 年该企业年利润为：
2.88（1+20%）=3.456，
3.456＞3.4
答：该企业 2017 年的利润能超过 3.4 亿元．
35．解：（1）当 0＜x＜20 时，y=60；
当 20≤x≤80 时，设 y 与 x 的函数表达式为 y=kx+b，
把（20，60），（80，0）代入，可得
，
解得 ，
∴y=﹣x+80，
∴y 与 x 的函数表达式为 y= ；
（2）若销售利润达到 800 元，则
（x﹣20）（﹣x+80）=800，
解得 x1=40，x2=60，
∴要使销售利润达到 800 元，销售单价应定为每千克 40 元或 60 元．
36．解：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为 x，
根据题意得：5000（1+x）2=7200，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）．
答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为 20%．
（2）2018 年投入基础教育经费为 7200×（1+20%）=8640（万元），
设购买电脑 m 台，则购买实物投影仪（1500﹣m）台，
根据题意得：3500m+2000（1500﹣m）≤86400000×5%，
解得：m≤880．
答：2018 年最多可购买电脑 880 台．
37．解：设每个粽子的定价为 x 元时，每天的利润为 800 元．
根据题意，得（x﹣3）（500﹣10× ）=800，
解得 x1=7，x2=5．
∵售价不能超过进价的 200%，
∴x≤3×200%．即 x≤6．
∴x=5．
答：每个粽子的定价为 5 元时，每天的利润为 800 元．
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