人教版八年级上第12章《全等三角形》单元测试(5)含答案解析

第 1 页（共 14 页） 《第 12 章 全等三角形》 　 一、选择题 1．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样 的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 2．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．95° 3．如图，在 CD 上求一点 P，使它到 OA，OB 的距离相等，则 P 点是（　　） A．线段 CD 的中点 B．OA 与 OB 的中垂线的交点 C．OA 与 CD 的中垂线的交点 D．CD 与∠AOB 的平分线的交点 4．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（　　） A．△ABD 和△CDB 的面积相等 B．△ABD 和△CDB 的周长相等 C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且 AD=BC 5．如图，已知 AB=DC，AD=BC，E、F 在 DB 上两点且 BF=DE，若∠AEB=120°，∠ADB=30°，则∠BCF=（　　）第 2 页（共 14 页） A．150° B．40° C．80° D．90° 　 二、填空题 6．如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：　　，使 OC=OD（只添一个即可）． 7．如图，在△ABC 中，AB=AC，BE、CF 是中线，则由　　可得△AFC≌△AEB． 8．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，图中全等三角形共有　　对． 9．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC，∠CED=35°， 如图，则∠EAB 是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是　　度． 10．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC 和△A′B′C′中 BC 与 B′C′边上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′， 若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件　　．（只需填写一个你认为适当的条件）第 3 页（共 14 页） 　 三、解答题 11．已知：△DEF≌△MNP，且 EF=NP，∠F=∠P，∠D=48°，∠E=52°，MN=12cm，则∠P=　　度，DE=　　cm ． 12．如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为 A、B．试说明 AD+AB=BE． 13．如图，工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是 这样操作的： ①分别在 BA 和 CA 上取 BE=CG； ②在 BC 上取 BD=CF； ③量出 DE 的长 a 米，FG 的长 b 米． 如果 a=b，则说明∠B 和∠C 是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？ 14．（1）如图 1，以△ABC 的边 AB、AC 为边分别向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，连接 EG，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由． （2）园林小路，曲径通幽，如图 2 所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间 的所有正方形的面积之和是 a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是 b 平方米，这条小路一共占地多少 平方米．第 4 页（共 14 页） 　第 5 页（共 14 页） 《第 12 章 全等三角形》 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样 的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【考点】全等三角形的应用． 【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一 样的三角形． 故选 D． 【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键． 　 2．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．95° 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】根据图形，利用折叠的性质，折叠前后形成的图形全等． 【解答】解：∠ABC+∠DBE+∠DBC=180°，且∠ABC+∠DBE=∠DBC；故∠CBD=90°． 故选 C． 【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的 折叠，易于找到图形间的关系． 　第 6 页（共 14 页） 3．如图，在 CD 上求一点 P，使它到 OA，OB 的距离相等，则 P 点是（　　） A．线段 CD 的中点 B．OA 与 OB 的中垂线的交点 C．OA 与 CD 的中垂线的交点 D．CD 与∠AOB 的平分线的交点 【考点】角平分线的性质． 【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知 CD 与∠AOB 的平分线的交点． 【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知 CD 与∠AOB 的平分线的交 P． 故选 D． 【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．做题时注意题目要求要满足两个条 件①到角两边距离相等，②点在 CD 上，要同时满足． 　 4．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（　　） A．△ABD 和△CDB 的面积相等 B．△ABD 和△CDB 的周长相等 C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且 AD=BC 【考点】全等三角形的性质． 【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等，对应边相等，推出两三角形面积相等，周长相等，再逐 个判断即可． 【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB， ∴△ABD 和△CDB 的面积相等，故本选项错误； B、∵△ABD≌△CDB， ∴△ABD 和△CDB 的周长相等，故本选项错误；第 7 页（共 14 页） C、∵△ABD≌△CDB， ∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB， ∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项正确； D、∵△ABD≌△CDB， ∴AD=BC，∠ADB=∠CBD， ∴AD∥BC，故本选项错误； 故选 C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 　 5．如图，已知 AB=DC，AD=BC，E、F 在 DB 上两点且 BF=DE，若∠AEB=120°，∠ADB=30°，则∠BCF=（　　） A．150° B．40° C．80° D．90° 【考点】平行四边形的性质． 【分析】由 AB=DC，AD=BC 可知四边形 ABCD 为平行四边形，根据 BF=DE，可证△ADE≌△CBF，则∠BCF=∠DAE， 因为∠AEB=120°、∠ADB=30°，所以可推得∠BCF=90°． 【解答】解：∵AB=DC，AD=BC， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴∠ADE=∠CBF， ∵BF=DE， ∴△ADE≌△CBF， ∴∠BCF=∠DAE， ∵∠DAE=180°﹣∠ADB﹣∠AED， ∵∠AED=180°﹣∠AEB=60°，∠ADB=30°， ∴∠BCF=90°． 故选 D． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，运用平行四边形的性质解决以下问题，如求角的度数、线段 的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等． 　第 8 页（共 14 页） 二、填空题 6．如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：　∠C=∠D 或 AC=BD　，使 OC=OD（只添一个即可）． 【考点】全等三角形的判定． 【专题】开放型． 【分析】本题可通过全等三角形来证简单的线段相等．△AOD 和△BOC 中，由于∠BAC=∠ABD，可得出 OA=OB ，又已知了∠AOD=∠BOC，因此只需添加一组对应角相等即可得出两三角形全等，进而的得出 OC=OD．也可 直接添加 AC=BD，然后联立 OA=OB，即可得出 OC=OD． 【解答】解：∵∠BAC=∠ABD， ∴OA=OB，又有∠AOD=∠BOC； ∴当∠C=∠D 时，△AOD≌△BOC； ∴OC=OD． 故填∠C=∠D 或 AC=BD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件 ，一般答案不唯一，只要符合要求即可． 　 7．如图，在△ABC 中，AB=AC，BE、CF 是中线，则由　SAS　可得△AFC≌△AEB． 【考点】全等三角形的判定． 【分析】由已知 AB=AC，BE、CF 是中线，可得 AF=AE，这样△AFC 与△AEB 中，有两边及它们的夹角对应相 等，符合 SAS，于是可得答案． 【解答】解：∵在△ABC 中，AB=AC，BE、CF 是中线 ∴AF=BF=AE=EC ∵∴△AFC≌△AEB（SAS）． 因为该判定是两边角且该角为两边的夹角，所以用的是 SAS． 故填 SAS．第 9 页（共 14 页） 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 根据已知条件在三角形中的位置来选择方法是正确解答本题的关键． 　 8．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，图中全等三角形共有　6　对． 【考点】全等三角形的判定． 【分析】在如上图形中可知相交的两直线和四边形的边长所组成的三角形全等，然后得到结论，再找其它 的三角形由易到难． 【解答】解：∵AD∥BC，OE=OF， ∴∠FAC=∠BCA， 又∠AOF=∠COE， ∴△AFO≌△CEO， ∴AO=CO， 进一步可得△AOD≌△COB，△FOD≌△EOB，△ACB≌△ACD，△ABD≌△DCB，△AOB≌△COD 共有 6 对． 故填 6 【点评】考查全等三角形的判定，做题时要从已知开始思考结合全等的判定方法由易到难找寻，注意顺序 别遗漏． 　 9．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC，∠CED=35°， 如图，则∠EAB 是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是　35　度． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】过点 E 作 EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，即可求得∠EAB 的度数． 【解答】解：过点 E 作 EF⊥AD，第 10 页（共 14 页） ∵DE 平分∠ADC，且 E 是 BC 的中点， ∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且 AE=AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴∠EAB=∠EAF． 又∵∠CED=35°，∠C=90°， ∴∠CDE=90°﹣35°=55°， 即∠CDA=110°，∠DAB=70°， ∴∠EAB=35°． 【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先 根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么 条件． 　 10．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC 和△A′B′C′中 BC 与 B′C′边上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′， 若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件　CD=C′D′（或AC=A′C′，或∠C=∠C′或∠CAD=∠C′A′D′）　 ．（只需填写一个你认为适当的条件） 【考点】全等三角形的判定． 【专题】开放型． 【分析】根据判定方法，结合图形和已知条件，寻找添加条件． 【解答】解：我们可以先利用 HL 判定△ABD≌△A′B′D′得出对应边相等，对应角相等． 此时若添加 CD=C´D´，可以利用 SAS 来判定其全等； 添加∠C=∠C´，可以利用 AAS 判定其全等； 还可添加 AC=A′C′，∠CAD=∠C′A′D′等．第 11 页（共 14 页） 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 添加时注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正 确解答本题的关键． 　 三、解答题 11．已知：△DEF≌△MNP，且 EF=NP，∠F=∠P，∠D=48°，∠E=52°，MN=12cm，则∠P=　80　度，DE=　12　 cm． 【考点】全等三角形的性质． 【分析】先运用三角形内角和求出∠F，再运用“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即易求，做题 时要找准对应关系． 【解答】解：△DEF 中，∠D=48°，∠E=52°， ∴∠F=180°﹣48°﹣52=80°， ∵△DEF≌△MNP，MN=12cm， ∴DE=MN=12cm，∠F=P=80°． 故分别填 80，12． 【点评】本题考查了三角形全等的性质；用到的知识点为：全等三角形的对应边相等，对应角相等．应注 意各对应顶点应在同一位置．在计算角的度数的时候各角的度数应整理到一个三角形中． 　 12．（2015 秋•东台市期中）如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为 A、B．试说明 AD+AB=BE ． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】若△ADC≌△BCE，则 AD=BC，BE=AC=AB+BC+AD+AB，所以求解 Rt△ACD≌Rt△BEC 即可得出结论． 【解答】解：∵∠DCE=90°（已知）， ∴∠ECB+∠ACD=90°， ∵EB⊥AC， ∴∠E+∠ECB=90°（直角三角形两锐角互余）．第 12 页（共 14 页） ∴∠ACD=∠E（同角的余角相等）． ∵AD⊥AC，BE⊥AC（已知）， ∴∠A=∠EBC=90°（垂直的定义） 在 Rt△ACD 和 Rt△BEC 中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△BEC（AAS）． ∴AD=BC，AC=BE（全等三角形的对应边相等）， ∴AD+AB=BC+AB=AC． ∴AD+AB=BE． 【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的性质及判定，同一题中出现多个 90°角的时候，往往通过互余求得角度相等，为三角形全等提供有用的条件，要掌握这种方法． 　 13．（2014•黄冈模拟）如图，工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等，但他手边没有量角器，只有 一个刻度尺．他是这样操作的： ①分别在 BA 和 CA 上取 BE=CG； ②在 BC 上取 BD=CF； ③量出 DE 的长 a 米，FG 的长 b 米． 如果 a=b，则说明∠B 和∠C 是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？ 【考点】全等三角形的应用． 【专题】证明题． 【分析】给出的三组相等线段都分布在△BDE，△CFG 中，判断他们全等，条件充分，利用全等的性质容易 得出∠B=∠C． 【解答】解：这种做法合理． 理由： 在△BDE 和△CFG 中，第 13 页（共 14 页） ． ∴△BDE≌△CFG（SSS）， ∴∠B=∠C． 【点评】本题考查了全等三角形的应用；判断两个角相等，或者边相等，可以把他们分别放到两个可能全 等的三角形中，围绕全等找判断全等的条件． 　 14．（2005•烟台）（1）如图 1，以△ABC 的边 AB、AC 为边分别向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，连接 EG， 试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由． （2）园林小路，曲径通幽，如图 2 所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间 的所有正方形的面积之和是 a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是 b 平方米，这条小路一共占地多少 平方米． 【考点】全等三角形的应用． 【专题】应用题． 【分析】（1）过点 C 作 CM⊥AB 于 M，过点 G 作 GN⊥EA 交 EA 延长线于 N，得出△ABC 与△AEG 的两条高， 由正方形的特殊性证明△ACM≌△AGN，是判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系的关键； （2）同（1）道理知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，求出这条小路一共 占地多少平方米． 【解答】解：（1）△ABC 与△AEG 面积相等． 理由：过点 C 作 CM⊥AB 于 M，过点 G 作 GN⊥EA 交 EA 延长线于 N，则∠AMC=∠ANG=90°， ∵四边形 ABDE 和四边形 ACFG 都是正方形， ∴∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AC=AG， ∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°， ∴∠BAC+∠EAG=180°，第 14 页（共 14 页） ∵∠EAG+∠GAN=180°， ∴∠BAC=∠GAN， 在△ACM 和△AGN 中， ， ∴△ACM≌△AGN， ∴CM=GN， ∵S△ABC= AB•CM，S△AEG= AE•GN， ∴S△ABC=S△AEG， （2）由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和． ∴这条小路的面积为（a+2b）平方米． 【点评】本题要利用正方形的特殊性，巧妙地借助两个三角形全等，寻找三角形面积之间的等量关系，解 决问题．由正方形的特殊性证明△ACM≌△AGN，是判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系的关键．