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《第 12 章 全等三角形》
一、解答题
1．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD 是△ABC 的中线，求 AD 的取值范围．
2．如图，△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥DF，试判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论．
3．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC．
4．已知∠BAC=90°，AB=AC，M 是 AC 边的中点，AD⊥BM 交 BC 于 D，交 BM 于 E，
求证：∠AMB=∠DMC．
5．如图，在正方形 ABCD 中，P、Q 分别为 BC、CD 边上的点，且∠PAQ=45°，求证：PQ=PB+DQ．
6．如图，已知等边△ABC 边长为 1，D 是△ABC 外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．
求证：△AMN 的周长等于 2．第 2 页（共 27 页）
7．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点 P 在线段 AB 上以 1cm/s 的速度由点 A 向
点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 t（s）．
（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当 t=1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，
并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．
设点 Q 的运动速度为 x cm/s，是否存在实数 x，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的 x、
t 的值；若不存在，请说明理由．
8．如图，已知正方形 ABCD 中，边长为 10cm，点 E 在 AB 边上，BE=6cm．
（1）如果点 P 在线段 BC 上以 4cm/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CD 上以 acm/秒
的速度由 C 点向 D 点运动，设运动的时间为 t 秒，
①CP 的长为 cm（用含 t 的代数式表示）；
②若以 E、B、P 为顶点的三角形和以 P、C、Q 为顶点的三角形全等，求 a 的值．
（2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿正
方形 ABCD 四边运动．则点 P 与点 Q 会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时
间点 P 与点 Q 第一次在正方形 ABCD 的何处相遇？第 3 页（共 27 页）
9．在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，直线 MN 过点 A 且 MN∥BC，过点 B 为一锐角顶
点作 Rt△BDE，∠BDE=90°，且点 D 在直线 MN 上（不与点 A 重合），如图 1，DE 与 AC 交于点 P，易
证：BD=DP．（无需写证明过程）
（1）在图 2 中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，
请说明理由；
（2）在图 3 中，DE 与 AC 延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．
10．如图，已知∠AOB=120°，OM 平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点 P 放在射线 OM 上，两边分
别与 OA、OB（或其所在直线）交于点 C、D．
（1）如图①，当三角形绕点 P 旋转到 PC⊥OA 时，证明：PC=PD．
（2）如图②，当三角形绕点 P 旋转到 PC 与 OA 不垂直时，线段 PC 和 PD 相等吗？请说明理由．
（3）如图③，当三角形绕点 P 旋转到 PC 与 OA 所在直线相交的位置时，线段 PC 和 PD 相等吗？直接
写出你的结论，不需证明．
11．如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC=8，AB=CD，BD=12，点 E 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度
沿 DA 向点 A 匀速移动，点 F 从点 C 出发，以每秒 3 个单位的速度，沿 C→B→C 做匀速移动，点 G 从
点 B 出发沿 BD 向点 D 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运
动，假设移动时间为 t 秒．
（1）试证明：AD∥BC；第 4 页（共 27 页）
（2）在移动过程中，小明发现有△DEG 与△BFG 全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？
并分别求出此时移动时间和 G 点的移动距离．
12．如图 1，四边形 ABCD 是正方形，G 是 CD 边上的一个动点（点 G 与 C、D 不重合），以 CG 为一边
在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连接 BG，DE．我们探究下列图中线段 BG、线段 DE 的长度关系及
所在直线的位置关系．
（1）猜想图 1 中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系；
（2）将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度 a，得到如图 2、如
图 3 情形．请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图 2 证明你的
判断．
二、作图题（共 5 小题，满分 0 分）
13．如图，已知∠AOB=a 外有一点 P，画点 P 关于直线 OA 的对称点 P′，再作点 P′关于直线 OB 的
对称点 P″．
（1）试猜想∠POP″与 a 的大小关系，并说出你的理由．
（2）当 P 为∠AOB 内一点或∠AOB 边上一点时，上述结论是否成立？第 5 页（共 27 页）
14．如图，铁路和公路都经过 P 地，曲线 MN 是一条河流，现欲在河上建一个货运码头 Q，使其到铁
路和公路的距离相等，请用直尺和圆规通过画图找到码头 Q 的位置．（注意：①保留作图痕迹；②
在图中标出点 Q）
15．（1）如图（1），已知∠AOB 和线段 CD，求作一点 P，使 PC=PD，并且点 P 到∠AOB 的两边距离
相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）；
（2）如图（2）在道路 L 上键一个水坝站 P，使向 A′B 两村送水所用水管 PA+PB 最短，水坝站 P 应
建何处？
16．已知，P 为∠AOB 内一点，PO=24cm，∠AOB=30°，试在 OA、OB 上分别找出两点 C、D，使△PCD
周长最小，并求这个最小周长．
17．（1）如图 1，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，使得它到三个小区的距离
相等，请作图找到购物中心的位置．
（2）如图 2，有 a、b、c 三条公路，先要建一个货物中转站到三条公路的距离相等，请作图找到货
物中转站的位置．
第 6 页（共 27 页）
《第 12 章 全等三角形》
参考答案与试题解析
一、解答题
1．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD 是△ABC 的中线，求 AD 的取值范围．
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．
【分析】延长 AD 到 E，使 AD=DE，连结 BE，证明△ADC≌△EDB 就可以得出 BE=AC，根据三角形的三
边关系就可以得出结论．
【解答】解：延长 AD 到 E，使 AD=DE，连结 BE．
∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD=CD．
在△ADC 和△EDB 中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE．
∵AB﹣AE＜AE＜AB+BE，
∴AB﹣AC＜2AD＜AB+AC．
∵AB=8，AC=5，
∴1.5＜AD＜6.5．第 7 页（共 27 页）
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关
系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
2．如图，△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥DF，试判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】可延长 ED 至 P，使 DP=DE，连接 FP，连接 CP，将 BE 转化为 PC，EF 转化为 FP，进而在△PCF
中即可得出结论．
【解答】答：BE+CF＞FP=EF．
证明：延长 ED 至 P，使 DP=DE，连接 FP，CP，
∵D 是 BC 的中点，
∴BD=CD，
在△BDE 和△CDP 中，
∴△BDE≌△CDP（SAS），
∴BE=CP，
∵DE⊥DF，DE=DP，
∴EF=FP，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
在△CFP 中，CP+CF=BE+CF＞FP=EF．第 8 页（共 27 页）
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握．
3．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，再证明 ED=EC 即可．
【解答】证明：在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
在△ABD 和△AED 中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B=∠AED，BD=DE，又∠B=2∠C，
∴∠AED=2∠C，
而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，
∴∠C=∠EDC，
∴DE=CE，
∴AB+BD=AE+CE=AC．第 9 页（共 27 页）
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线﹣截长补短法
构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．
4．已知∠BAC=90°，AB=AC，M 是 AC 边的中点，AD⊥BM 交 BC 于 D，交 BM 于 E，
求证：∠AMB=∠DMC．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】先延长 AD 至 F，使得 CF⊥AC，得出∠ABM=∠DAC，再根据 AB=AC，CF⊥AC，得出△ABM≌△CAF
，从而证出∠BMA=∠F，AM=CF，再根据所给的条件得出△FCD≌△MCD，即可得出∠AMB=∠F=∠CMD．
【解答】证明：如图，延长 AD 至 F，使得 CF⊥AC．
∵AB⊥AC，AD⊥BM，
∴∠ABM=∠DAC，
在△ABM 与△CAF 中，
，
∴△ABM≌△CAF（ASA），
∴∠BMA=∠F，AM=CF，
在△FCD 与△MCD 中，
，
∴△FCD≌△MCD（SAS），
∴∠F=∠CMD，
∴∠AMB=∠DMC．第 10 页（共 27 页）
【点评】此题考查了解等腰直角三角形；解题的关键是根据题意画出图形，再根据解等腰直角三角
形的性质和全等三角形的判断与性质进行解答即可．
5．如图，在正方形 ABCD 中，P、Q 分别为 BC、CD 边上的点，且∠PAQ=45°，求证：PQ=PB+DQ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】将△ADQ 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABE，根据旋转的性质可得 BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ
，然后求出∠EAP=∠PAQ=45°，再利用“边角边”证明△APE 和△APQ 全等，根据全等三角形对应边
相等可得 PQ=PE，再根据 PE=PB+BE 等量代换即可得证．
【解答】证明：如图，将△ADQ 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABE，
由旋转的性质得，BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，
∵∠PAQ=45°，
∴∠EAP=∠PAQ=45°，
在△APE 和△APQ 中，
，
∴△APE≌△APQ（SAS），
∴PQ=PE，
∵PE=PB+BE，
∴PQ=PB+DQ．第 11 页（共 27 页）
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角
形是解题的关键，也是本题的难点．
6．如图，已知等边△ABC 边长为 1，D 是△ABC 外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．
求证：△AMN 的周长等于 2．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】延长 AC 到 E，使 CE=BM，连接 DE，求证△BMD≌△CDE 可得∠BDM=∠CDE，进而求证△MDN≌△
EDN 可得 MN=NE=NC+CE=NC+BM，即可计算△AMN 周长，即可解题．
【解答】解：延长 AC 到 E，使 CE=BM，连接 DE，（如图）
∵BD=DC，∠BDC=120°，
∴∠CBD=∠BCD=30°，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，
∴△BMD≌△CDE，
∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，
又∵∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=60°，
∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，
又∵DN=DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），第 12 页（共 27 页）
∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，
所以△AMN 周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．
【点评】本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各边
长相等、各内角为 60°的性质，本题中求证 MN=NE=NC+CE=NC+BM 是解题的关键．
7．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点 P 在线段 AB 上以 1cm/s 的速度由点 A 向
点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 t（s）．
（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当 t=1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，
并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．
设点 Q 的运动速度为 x cm/s，是否存在实数 x，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的 x、
t 的值；若不存在，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】动点型．
【分析】（1）利用 SAS 证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠
ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可
．
【解答】解：（1）当 t=1 时，AP=BQ=1，BP=AC=3，
又∠A=∠B=90°，第 13 页（共 27 页）
在△ACP 和△BPQ 中，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即线段 PC 与线段 PQ 垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则 AC=BP，AP=BQ， ，
解得 ；
②若△ACP≌△BQP，
则 AC=BQ，AP=BP，
，
解得 ；
综上所述，存在 或 使得△ACP 与△BPQ 全等．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．
8．如图，已知正方形 ABCD 中，边长为 10cm，点 E 在 AB 边上，BE=6cm．
（1）如果点 P 在线段 BC 上以 4cm/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CD 上以 acm/秒
的速度由 C 点向 D 点运动，设运动的时间为 t 秒，
①CP 的长为 cm（用含 t 的代数式表示）；
②若以 E、B、P 为顶点的三角形和以 P、C、Q 为顶点的三角形全等，求 a 的值．
（2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿正
方形 ABCD 四边运动．则点 P 与点 Q 会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时
间点 P 与点 Q 第一次在正方形 ABCD 的何处相遇？第 14 页（共 27 页）
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）①根据正方形边长为 10cm 和点 P 在线段 BC 上的速度为 4cm/秒即可求出 CP 的长；
②分△BPE≌△CPQ 和△BPE≌△CQP 两种情况进行解答；
（2）根据题意列出方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）①PC=BC﹣BP=10﹣4t；
②当△BPE≌△CPQ 时，
BP=PC，BE=CQ，
即 4t=10﹣4t，at=6，
解得 a=4.8；
当△BPE≌△CQP 时，
BP=CQ，BE=PC，
即 4t=at，10﹣4t=6，
解得 a=4；
（2）当 a=4.8 时，
由题意得，4.8t﹣4t=30，
解得 t=37.5，
∴点 P 共运动了 37.5×4=150cm，
∴点 P 与点 Q 在点 A 相遇，
当 a=4 时，点 P 与点 Q 的速度相等，∴点 P 与点 Q 不会相遇．
∴经过 37.5 秒点 P 与点 Q 第一次在点 A 相遇．
【点评】本题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定和性质，正确运用数形结合思想和分类讨
论思想是解题的关键．
9．在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，直线 MN 过点 A 且 MN∥BC，过点 B 为一锐角顶
点作 Rt△BDE，∠BDE=90°，且点 D 在直线 MN 上（不与点 A 重合），如图 1，DE 与 AC 交于点 P，易
证：BD=DP．（无需写证明过程）第 15 页（共 27 页）
（1）在图 2 中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，
请说明理由；
（2）在图 3 中，DE 与 AC 延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）如答图 2，作辅助线，构造全等三角形△BDF≌△PDA，可以证明 BD=DP；
（2）如答图 3，作辅助线，构造全等三角形△BDF≌△PDA，可以证明 BD=DP．
【解答】题干引论：
证明：如答图 1，过点 D 作 DF⊥MN，交 AB 于点 F，
则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA=DF．
∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°，
∴∠1=∠2．
在△BDF 与△PDA 中，
∴△BDF≌△PDA（ASA）
∴BD=DP．第 16 页（共 27 页）
（1）答：BD=DP 成立．
证明：如答图 2，过点 D 作 DF⊥MN，交 AB 的延长线于点 F，
则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA=DF．
∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，
∴∠1=∠2．
在△BDF 与△PDA 中，
∴△BDF≌△PDA（ASA）
∴BD=DP．
（2）答：BD=DP．
证明：如答图 3，过点 D 作 DF⊥MN，交 AB 的延长线于点 F，
则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA=DF．
在△BDF 与△PDA 中，第 17 页（共 27 页）
∴△BDF≌△PDA（ASA）
∴BD=DP．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识点，
作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．如图，已知∠AOB=120°，OM 平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点 P 放在射线 OM 上，两边分
别与 OA、OB（或其所在直线）交于点 C、D．
（1）如图①，当三角形绕点 P 旋转到 PC⊥OA 时，证明：PC=PD．
（2）如图②，当三角形绕点 P 旋转到 PC 与 OA 不垂直时，线段 PC 和 PD 相等吗？请说明理由．
（3）如图③，当三角形绕点 P 旋转到 PC 与 OA 所在直线相交的位置时，线段 PC 和 PD 相等吗？直接
写出你的结论，不需证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等直接回答；
（2）过 P 作 OA、OB 的垂线，构造图①的图形，利用（1）的结论证明 PC、PD 所在的三角形全等；
（3）仿（2）的证明可得 PC=PD．
【解答】解：（1）证明：∵OP 平分∠AOB，PC⊥OA 于 C，
OM 平分∠AOB，
∴∠CPO=∠OPD=30°，∠AOP=∠POB=60°，
∴PD⊥OB 于 D，
∴PC=PD．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）第 18 页（共 27 页）
（2）解：PC=PD．
过 P 点作 PQ⊥OA 于 Q，PN⊥OB 于 N．
由（1）得 PQ=PN．
∵∠AOB=120°，
∴∠QPN=360°﹣90°﹣90°﹣120°=60°．
∴∠QPC=∠NPD=60°﹣∠CPN．
∴△PQC≌△PND．（ASA）
∴PC=PD．
（3）解：PC=PD．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，由易到难层层递进，把握解题思路是关键．
11．如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC=8，AB=CD，BD=12，点 E 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度
沿 DA 向点 A 匀速移动，点 F 从点 C 出发，以每秒 3 个单位的速度，沿 C→B→C 做匀速移动，点 G 从
点 B 出发沿 BD 向点 D 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运
动，假设移动时间为 t 秒．
（1）试证明：AD∥BC；
（2）在移动过程中，小明发现有△DEG 与△BFG 全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？
并分别求出此时移动时间和 G 点的移动距离．
【考点】全等三角形的判定与性质．第 19 页（共 27 页）
【分析】（1）由 AD=BC=8，AB=CD，BD 为公共边，所以可证得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB=∠CBD，
所以 AD∥BC；
（2）设 G 点的移动距离为 y，分两种情况，一种 F 由 C 到 B，一种 F 由 B 到 C，再结合△DEG≌△BFG
可得到 DE=BF，DG=BG，或 DE=BG，DG=BF 可得到方程，解出时间 t 和 y 的值即可．
【解答】（1）证明：
在△ABD 和△CDB 中
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）解：
设 G 点的移动距离为 y，
当△DEG 与△BFG 时有：∠EDG=∠FBG，
∴DE=BF，DG=BG，或 DE=BG，DG=BF，
当 F 由 C 到 B，即 0＜t≤ 时，
则有 ，解得 ，
或 ，解得 （舍去），
当 F 由 B 到 C，即 时，
有 ，解得 ，
或 ，解得 ，
综上可知共有三次，移动的时间分别为 2 秒、4 秒、5 秒，移动的距离分别为 6、6、5．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，第（2）题解题的关键是利用好三角形全等，从而
得到方程解得．
第 20 页（共 27 页）
12．如图 1，四边形 ABCD 是正方形，G 是 CD 边上的一个动点（点 G 与 C、D 不重合），以 CG 为一边
在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连接 BG，DE．我们探究下列图中线段 BG、线段 DE 的长度关系及
所在直线的位置关系．
（1）猜想图 1 中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系；
（2）将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度 a，得到如图 2、如
图 3 情形．请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图 2 证明你的
判断．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】动点型；操作型．
【分析】（1）根据正方形的性质，显然三角形 BCG 顺时针旋转 90°即可得到三角形 DCE，从而判断
两条直线之间的关系；
（2）结合正方形的性质，根据 SAS 仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论．
【解答】解：（1）BG=DE，BG⊥DE；
∵四边形 ABCD 和四边形 CEFG 是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG 和△DCE 中，
BC=DC∠BCG=∠DCE CG=CE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE；
延长 BG 交 DE 于点 H，
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∠CBG+∠BGC=90°，第 21 页（共 27 页）
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE，即 BG⊥DE；
（2）BG=DE，BG⊥DE 仍然成立，
在图（2）中证明如下
∵四边形 ABCD、四边形 CEFG 都是正方形
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（SAS）
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°
∴∠CDE+∠DHO=90°
∴∠DOH=90°
∴BG⊥DE．
【点评】此题考查的知识点是正方形的性质，解答本题关键要充分利用正方形的特殊性质，利用三
角形全等论证．
二、作图题（共 5 小题，满分 0 分）
13．如图，已知∠AOB=a 外有一点 P，画点 P 关于直线 OA 的对称点 P′，再作点 P′关于直线 OB 的
对称点 P″．
（1）试猜想∠POP″与 a 的大小关系，并说出你的理由．
（2）当 P 为∠AOB 内一点或∠AOB 边上一点时，上述结论是否成立？第 22 页（共 27 页）
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形，再由 HL 定理得出△DOP′≌△DOP，△EOP″≌△EOP′
根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据题意画出图形，同（1）可得出结论．
【解答】解：（1）猜想：∠POP″=2α．
理由：如图 1，在△DOP′与△DOP 中
∵ ，
∴△DOP′≌△DOP．
同理可得，△EOP″≌△EOP′
∴∠POP″=2α；
（2）成立．
如图 2，当点 P 在∠AOB 内时，
∵同（1）可得，
△DOP′≌△DOP，EOP″≌△EOP′，
∴∠POD=∠P′OD，∠EOP″=∠EOP′，
∴∠POP″=∠P′OP″﹣∠POP′=3α﹣α=2α．
如图 3，当点 P 在∠AOB 的边上时，
∵同（1）可得△EOP″≌△EOP，
∴∠POP″=2α．第 23 页（共 27 页）
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
14．如图，铁路和公路都经过 P 地，曲线 MN 是一条河流，现欲在河上建一个货运码头 Q，使其到铁
路和公路的距离相等，请用直尺和圆规通过画图找到码头 Q 的位置．（注意：①保留作图痕迹；②
在图中标出点 Q）
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】根据角平分线的作法，作出铁路与公路所形成的角的平分线，角平分线与河流的交点即为
所求．
【解答】解：如图所示：
，
点 Q 即为所求．
【点评】此题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
15．（1）如图（1），已知∠AOB 和线段 CD，求作一点 P，使 PC=PD，并且点 P 到∠AOB 的两边距离
相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）；第 24 页（共 27 页）
（2）如图（2）在道路 L 上键一个水坝站 P，使向 A′B 两村送水所用水管 PA+PB 最短，水坝站 P 应
建何处？
【考点】轴对称-最短路线问题；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）作∠AOB 的平分线和线段 CD 的中垂线，两者的交点就是 P；
（2）作出 A 关于 m 的对称点 A'，连接 A'B 于直线 m 的交点就是 P．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题考查了基本作图，理解角平分线的性质、以及线段的中垂线的性质是关键．
16．已知，P 为∠AOB 内一点，PO=24cm，∠AOB=30°，试在 OA、OB 上分别找出两点 C、D，使△PCD
周长最小，并求这个最小周长．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连 P1、P2，交 OA 于 C，交 OB 于 D，△PCD 的周
长=P1P2，然后证明△OP1P2 是等边三角形，即可求解．
【解答】解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连 P1、P2，交 OA 于 C，交 OB 于 D，
则 OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，
CP=P1C，PD=P2D，则△PCD 的周长的最小值=P1P2，
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2 是等边三角形，第 25 页（共 27 页）
△PCD 的周长=P1P2，
∴P1P2=OP1=OP2=OP=24cm．
【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，
结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
17．（1）如图 1，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，使得它到三个小区的距离
相等，请作图找到购物中心的位置．
（2）如图 2，有 a、b、c 三条公路，先要建一个货物中转站到三条公路的距离相等，请作图找到货
物中转站的位置．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出 P 点即可；
（2）利用角平分线的性质分别得出符合题意的答案．
【解答】解：（1）如图所示：P 点即为所求；
（2）如图所示：D，E，F，G 点即为所求．第 26 页（共 27 页）
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是
解题关键．
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