新教材人教版高一数学上册单元测试题含答案全套

新教材人教版高一数学上册单元测试题含答案全套 人教版高中数学必修第一册 第一章测试题 集合与常用逻辑用语 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1．设集合 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合 ， ， ． 2． 是 的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】由 不能推得 ，反之由 可推得 ， 所以 是 的必要不充分条件． { }1,2,3,4,5A = { }2 1,B y y x x A= = − ∈ A B {2,4} {1,3,5} {2,4,7,9} {1,2,3,4,5,7,9} { }1,2,3,4,5A = { } { }2 1, 1,3,5,7,9B y y x x A= = − ∈ = { }1,3,5A B = 1x > 4x > 1x > 4x > 4x > 1x > 1x > 4x >3．已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵集合 ， ，且 ， ∴ ，因此 ． 4．下列命题中正确的是（ ） A．任何一个集合必有两个以上的子集 B．空集是任何集合的子集 C．空集没有子集 D．空集是任何集合的真子集 【答案】B 【解析】空集只有一个子集，故 A 错；B 正确； 空集是本身的子集，故 C 错； 空集不能是空集的真子集，故 D 错． 5．已知集合 ，则 中元素的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合 ， 所以满足 且 ， 的点有 ， ， ， ， ， ， ， ， 共 个． 6．已知 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ，故 A 错，B 对， 显然 ，所以 C 不对，而 ，所以 D 也不对，故本题选 B． 7．命题“存在实数 ，使 ”的否定是（ ） { 1,3}A = − 2{2, }B a= { 1,2,3,9}A B = − a 1± 3± 1− 3 { 1,3}A = − 2{2, }B a= { 1,2,3,9}A B = − 2 9a = 3a = ± ( ){ }2 2, 3, ,A x y x y x y= + ≤ ∈ ∈Z Z A 9 8 5 4 ( ){ }2 2, 3, ,A x y x y x y= + ≤ ∈ ∈Z Z 2 2 3x y+ ≤ x∈Z y∈Z ( 1, 1)− − ( 1,0)− ( 1,1)− (0, 1)− (0,0) (0,1) (1, 1)− (1,0) (1,1) 9 3a = { }2A x x= ≥ a A∉ a A∈ { }a A= { }a a∉ 3 2> a A∈ { }a A≠ { }a a∈ x 1x >A．对任意实数 ，都有 B．对任意实数 ，都有 C．不存在实数 ，使 D．存在实数 ， 【答案】B 【解析】命题“存在实数 ，使 ”的否定是“对任意实数 ，都有 ”． 8．集合 中的 不能取的值的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知 ，且 且 ， 故集合 中的 不能取的值的个数是 个． 9．下列集合中，是空集的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于 A 选项， ，不是空集， 对于 B 选项， 没有实数根，故为空集， 对于 C 选项，显然不是空集， 对于 D 选项，集合为 ，故不是空集． 10．下列各组集合中表示同一集合的是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【解析】对于 A， ， 表示点集， ， 表示数集，故不是同一集合； x 1x > x 1x ≤ x 1x ≤ x 1x ≤ x 1x > x 1x ≤ { }22, 4,0x x− − x 2 3 4 5 2 2 2 0 4 0 2 2 4 x x x x x − ≠ − ≠ ⇒ ≠ − ≠    − 2x ≠ − 1x ≠ − { }22, 4,0x x− − x 3 { }0| 2x x + = { }2 1 0,x x x+ = ∈R { }1|x x < ( ){ }2 2, , ,x y y x x y= − ∈R 2x = − 2 1 0x + = {(0,0)} {(3,2)}M = {3,2}N = {2,3}M = {3,2}N = {2,3}M = { 2, 3}N x y= = = {(2,3)}M = {(5,4)}N = {(3,2)}M = M {3,2}N = N对于 B， ， ，根据集合的无序性，集合 表示同一集合； 对于 C，集合 的元素是数，集合 的元素是等式； 对于 D， ，集合 的元素是点 ， ， 集合 的元素是点 ，集合 不表示同一集合． 11．学校先举办了一次田径运动会，某班共有 名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有 名同学参赛，两次运动会都参赛的有 人．两次运动会中，这个班总共的参赛人数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为参加田径运动会的有 名同学，参加球类运动会的有 名同学，两次运动会都参加的有 人， 所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为 ． 12．已知集合 ， ．若 ， 则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 当 为空集时， ； 当 不为空集时， ， 综上所述得 ． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上） 13．集合 ，则 集合的子集的个数为 个． 【答案】 【解析】由已知，集合 的子集个数为 ． {2,3}M = {3,2}N = ,M N M N {(2,3)}M = M (2,3) {(5,4)}N = N (5,4) ,M N 8 12 3 20 17 14 23 8 12 3 8 12 3 17+ − = { }| 2 5A x x= − ≤ ≤ { }| 1 2 1B x m x m= + ≤ ≤ − B A⊆ m 3m ≥ 2 3m≤ ≤ 2m ≥ 3m ≤ { }| 1 2 1B x m x m= + ≤ ≤ − B 2 1 1 2m m m− < + ⇒ < B 2 2 1 5 2 3 1 2 m m m m ≥  − ≤ ⇒ ≤ ≤  + ≥ − 3m ≤ 2{ }1,A = A 4 A 22 4=14．命题“ ”是命题“ ”的 （“充分不必要，必要不充分，充要，既不 充分也不必要”）条件． 【答案】必要不充分 【解析】 的解为 或 ， 所以当“ ”成立时，则“ ”未必成立； 若“ ”，则“ ”成立， 故命题“ ”是命题“ ”的必要不充分条件． 15．命题“ ， ”的否定是 ． 【答案】 ， 【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可知，命题“ ， ”的否定是 “ ， ”． 16．设全集 是实数集 ， ， ， 则图中阴影部分所表示的集合是 ． 【答案】 【解析】由 图可知，阴影部分为 ， ∵ ，∴ ， ∴ ． 三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 2 2 0x x− − = 1x = − 2 2 0x x− − = 1x = − 2x = 2 2 0x x− − = 1x = − 1x = − 2 2 0x x− − = 2 2 0x x− − = 1x = − x∀ ∈R 23 2 1 0x x− + > 0x∃ ∈R 2 0 03 2 1 0x x− + ≤ x∀ ∈R 23 2 1 0x x− + > 0x∃ ∈R 2 0 03 2 1 0x x− + ≤ U R { }2 2M x x x= < − >或 { }1 3N x x= < < { }1 2x x< ≤ Venn ( )UN M  { }2 2M x x x= < − >或 { }2 2U M x x−= ≤ ≤ ( ) { }1 2UN M x x= < ≤ 17．（10 分）已知集合 ，且 ，求 的取值集合． 【答案】 ． 【解析】∵ ，∴ 或 ，即 或 ． 当 时， ；当 时， ； 当 时， 不满足互异性， ∴ 的取值集合为 ． 18．（12 分）已知集合 ， ，若 ，求实数 ， 的值． 【答案】 或 ． 【解析】由已知 ，得① ，解得 或 ， 当 时，集合 不满足互异性， 当 时，集合 ，集合 ，符合题意； ② ，解得 （舍）或 ， 当 时，集合 ，集合 符合题意， { }21, 2, 4M m m= + + 5 M∈ m { }1,3 { }25 1, 2, 4m m∈ + + 2 5m + = 2 4 5m + = 3m = 1m = ± 3m = { }1,5,13M = 1m = { }1,3,5M = 1m = − { }1,1,5M = m { , ,2}A a b= 2{2, ,2 }B b a= A B= a b 0 1 a b =  = 1 4 1 2 a b  =  = A B= 2 2a a b b =  = 0 0 a b =  = 0 1 a b =  = 0 0 a b =  = {0,0,2}A = 0 1 a b =  = {0,1,2}A = {2,1,0}B = 2 2 a b b a  =  = 0 0 a b =  = 1 4 1 2 a b  =  = 1 4 1 2 a b  =  = 1 1{ , ,2}4 2A = 1 1{2, , }4 2B = { }1,3综上所述，可得 或 ． 19．（12 分）设集合 ， ． （1）若 ，试判定集合 与 的关系； （2）若 ，求实数 的取值集合． 【答案】（1） 是 的真子集；（2） ． 【解析】（1） ， ，∴ 是 的真子集． （2）当 时，满足 ，此时 ； 当 时， ，集合 ， 又 ，得 或 ，解得 或 ． 综上，实数 的取值集合为 ． 20．（12 分）已知全集 ，集合 ， ．求： （1） ， ， ； （2） ， ； （3）设集合 且 ，求 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ． 【解析】（1） ，∵ ， ， ． 0 1 a b =  = 1 4 1 2 a b  =  = { }2 8 15 0A x x x= − + = { }1 0B x ax= − = 1 5a = A B B A⊆ a B A 1 10, ,3 5     {3,5}A = {5}B = B A B = ∅ B A⊆ 0a = B ≠ ∅ 0a ≠ 1B a  =    B A⊆ 1 3a = 1 5a = 1 3a = 1 5 a 1 10, ,3 5     { }6U x x= ∈ 或 { }4 5U x x xM N = < ≥ 或 2 1 1a a− < + 2a < N = ∅ N M⊆ 2 1 1a a− ≥ + 2a ≥ N ≠ ∅ N M⊆ 1 5a + ≥ 2 1 2a − ≤ − 4a ≥ a { }2 4a a a< ≥或 2 4 3y x x= − + { }| 0A x x a= ≤ ≤ x A∈ 1− a a x A∈ 3 a 2a ≥ 2 24 3 ( 2) 1y x x x= − + = − − 2x = 1− x A∈ 1− 2 A∈ 2a ≥ 2( 2) 1y x= − − 2x = x A∈ 3即 时，二次函数的最大值为 ， ，即为 ，令 ，解得 或 ， 由图像可知，当 或 时，二次函数的最大值不等于 ，不符合充分条件， 则 ，即 可取的整数值为 ， ， ， ， 任意一个． 第一册第二章测试题 一元二次函数、方程和不等式 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1．如果 ，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C x A∈ 3 x A∈ 0 x a≤ ≤ 2 4 3 3x x− + = 0x = 4x = 4x > 0x < 3 0 4a≤ ≤ a 0 1 2 3 4 0a b< < 1 1 a b < 2 2a b< 3 3a b< 2 2ac bc = − 2 2a b> 0c = 2 2ac bc= 4t a b= + 2 4s a b= + + t s t s> t s≥ t s< t s≤ ( )224 4 2 0t s b b b− = − − = − − ≤ t s≤ { | 1 2}A x x= − < < 2{ | 2 0}B x x x= + ≤ A B = { |0 2}x x< < { |0 2}x x≤ < { | 1 0}x x− < < { | 1 0}x x− < ≤ { | 1 2}A x x= − < < 2{ | 2 0} { | 2 0}B x x x x x= + ≤ = − ≤ ≤ A B = { | 1 0}x x− < ≤ 0x y+ < 0y > 2 2y x xy> > 2 2x y xy> > − 2 2x xy y< − < 2 2x xy y> − > 0x y+ 0x y∴ < − < 2x xy∴ > − 2xy y< − 2 2x xy y> − > 0a > c ax b c− < + < { | 2 1}x x− < < : :a b cA． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵不等式 的解为 ， ，且 ，解得 ， ， 则 ，故选 B． 6．若关于 的不等式 的解集为 ，则 （ ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【解析】由题意可知 ， ，即 ， 故一元二次方程 的解为 ， ， 则 ， ，解得 ． 故答案为 D． 7．若 有负值，则 的取值范围是（ ） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 有负值，所以必须满足二次函数的图象与 轴有两个不同的交点， ， ，即 或 ，故选 A． 8．某商场中秋前 30 天月饼销售总量 与时间 的关系大致满足 ， 则该商场前 t 天平均售出[如前 天的平均售出为 ]的月饼最少为（ ） 1: 2: 3 2:1: 3 3:1: 2 3: 2:1 c ax b c− < + < b c c bxa a + −− < < 2b c a +− = − 1c b a − = 2 ab = 3 2c a= 3: : : : 2:1:32 2 aa b c a a= = x 2 3ax − < 5 1 3 3x x  − < 2a < − 2 2a− < < 2a ≠ ± 1 3a< < 2 1y x ax= − + x 2( ) 4 0Δ a= − − > 2 4a > 2a > 2a < − ( )f t 3(0 )0t t< ≤ 2( ) 10 16f t t t= + + 10 (10) 10 fA． B． C． D． 【答案】A 【解析】平均销售量 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，即平均销售量的最小值为 ．故选 A． 9．已知 ， ，当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ， ， ， 所以 ． 因为不等式 恒成立，所以 ， 整理得 ，解得 ，即 ． 10．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 （件）与单价 （元）之间的关系为 ，生 产 件所需成本为 （元），其中 元，若要求每天获利不少于 1300 元，则日销量 的取 值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设该厂每天获得的利润为 元， 则 ， ， 根据题意知， ，解得 ， 18 27 20 16 2( ) 10 16 16 10 18f t t ty tt t t + += = = + + ≥ 16t t = 4t = 18 0m > 0xy > 2x y+ = 2 4m x y + ≥ m 2m ≥ 2m ≥ 0 2m< ≤ 0 2m< ≤ 0m > 0xy > 2x y+ = 2 1 2 1 2 1( ) 2 (2 2 2)2 2 2 m m mx yx y m m mx y x y y x    + = + + = + + + ≥ + +       2 4m x y + ≥ ( )1 2 2 2 42 m m+ + ≥ ( 3 2)( 2) 0m m+ − ≥ 2m ≥ 2m ≥ x P 160 2P x= − x C 500 30C x= + x 20 30x≤ ≤ 20 45x≤ ≤ 15 30x≤ ≤ 15 45x≤ ≤ y 2(160 2 ) (500 30 ) 2 130 500y x x x x x= − ⋅ − + = − + − (0 80)x< < 22 130 500 1300x x− + − ≥ 20 45x≤ ≤所以当 时，每天获得的利润不少于 元，故选 B． 11．若实数 满足 ，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ， ，解得 ， ， 的最大值是 ． 故选 B． 12．若 ，且 ， 的最小值为 ，若 ， 则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由基本不等式得 ， 当且仅当 ，即当 时，等号成立， 所以 的最小值为 ． 由题意可得 ，即 ，解得 ． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上） 20 45x≤ ≤ 1300 ,x y 2 2 1x y xy+ + = x y+ 6 2 3 3 4 2 3 ( )22 2 1 1x y xy x y xy+ + = ⇒ + − = 2 2 x yxy + ≤    ( ) 2 2 12 x yx y + ∴ + − ≤   ( )23 14 x y+ ≤ 2 23 33 3x y∴− ≤ + ≤ x y∴ + 2 33 0, 0x y> > 2 1 1x y + = 2x y+ a 2 7m m a+ < m 8 1m− < < 1 8m m> < −或 8 1m m> < −或 1 8m− < < 2 1 4 42 ( 2 ) 4 2 4 8y x y xx y x yx y x y x y  + = + + = + + ≥ ⋅ + =   4 ( , 0)y x x yx y = > 2x y= 2x y+ 8 2 7 8m m+ < 2 7 8 0m m+ − < 8 1m− < 1 22x x  − <  2 0 2 1 0 x x − > − >    2 0 2 1 0 x x − < − <    1 22 x< < 1 22x x  − < 3 0x y xy+ − = x y+ 4 3 1 13 0 3x y xy x y + − = ⇒ + = 1 1 1 1 4( ) 2 2 23 3 3 3 y x y xx yx y x y x y x y  +     ∴ + = + = + + ≥ + ⋅ =            2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + ( ) 11 4a a− ≤ 2b a a b + ≥ 2 a b ab + ≥ a b 0 2a b< < < a b−【答案】2 【解析】①因为 ， 所以 成立，所以①正确． ②因为 ，所以②正确． ③当 a，b 同号时有 ，当 a，b 异号时， ，所以③错误． ④ab＜0 时， 不成立． 其中恒成立的个数是 2 个． 三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10 分）已知不等式 的解集为 ． （1）若 ，求集合 ； （2）若集合 是集合 的子集，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）当 时，由 ，得 ，解得 ， 所以 ． （2）因为 ，可得 ， 又因为集合 是集合 的子集， 所以可得 ，(当 时不符合题意，舍去)，所以 ， 综上所述 ． 18．（12 分）已知函数 ． 2 2 2 2 2 22( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) 0a b c ab bc ca a b b c c a+ + − + + = − + − + − ≥ 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + ( ) 2 2 1 1 11 2 4 4a a a a a − = − + = − − + ≤   2a b b a + ≥ 2a b b a + ≤ − 2 a b ab + ≥ ( )2 1 0x a x a− + + ≤ A 2a = A A { }4 1x x− ≤ ≤ a { }1 2A x x= ≤ ≤ 4 1a− ≤ ≤ 2a = 2 3 2 0x x− + ≤ ( )( )1 2 0x x− − ≤ 1 2x≤ ≤ { }1 2A x x= ≤ ≤ ( )2 1 0x a x a− + + ≤ ( )( )1 0x x a− − ≤ A { }4 1x x− ≤ ≤ 1a ≤ 1a > { }1A x a x= ≤ ≤ 4 1a− ≤ ≤ 2( )f x x x m= − +（1）当 时，解不等式 ； （2）若 ， 的解集为 ，求 的最小值． 【答案】（1） ；（2）最小值为 ． 【解析】（1）当 时，不等式 ，即为 ， 可得 ， 即不等式 的解集为 ． （2）由题 的根即为 ， ，故 ， ，故 ， 同为正， 则 ， 当且仅当 ， 等号成立，所以 的最小值为 ． 19．（12 分）已知关于 的不等式 的解集为 ． （1）求 的值； （2）求函数 的最小值． 【答案】（1） ， ；（2）12． 【解析】（1）由题意知： ，解得 ， ． （2）由（1）知 ， ， ∴ ， ， 2m = − ( ) 0f x > 0m > ( ) 0f x < ( , )a b 1 4 a b + { }2 1x x x> < −或 9 2m = - 0f x >（ ） 2 2 0x x− − > ( )( )2 1 0x x− + > ( ) 0f x > { }2 1x x x> < −或 ( ) 0f x = a b 1a b+ = 0ab m= > a b 1 4 a b + = 1 4 4( ) 5 5 2 4 9a ba ba b b a    + + = + + ≥ + =       1 3a = 2 3b = 1 4 a b + 9 x 2 3 2 0ax x− + < { }1A x x b= < < a b， 9( ) (2 ) ( )( )f x a b x x Aa b x = + − ∈− 1a = 2b = 31 21 0 b a b a a  + =  × =  >  1a = 2b = 1a = 2b = { }1 2A x x= < < ( ) ( )94 1 2f x x xx = + < 9 94 2 4 2 6 12x xx x + ≥ ⋅ = × = 94x x = 3 2x = 3 2x A= ∈ ( )f x x ( ) ( )22 1f x x ax a= − + ∈R 3a = ( ) 0f x ≥ ( ) 0f x ≥ ( )0,x∈ +∞ a 1| 12x x x ≤ ≥  或 2 2 3a = ( ) 22 3 1f x x x= − + ( ) 0f x ≥ 22 3 1 ( 1)(2 1) 0x x x x− + = − − ≥ 1x ≥ 1 2x ≤ ( ) 0f x ≥ 1| 12x x x ≤ ≥  或 ( ) 22 1 0f x x ax= − + ≥ ( )0,x∈ +∞ 12a x x ≤ + 1 12 2 2 2 2x xx x + ≥ ⋅ = 12x x = 2 2x = 2 2a ≤ a 2 2 x m 0m ≥ 3 1 kx m = − + k y m（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1） ；（2）厂家年促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大． 【解析】（1）由题意可知，当 时， （万件）， 所以 ，所以 ，所以 ， 每件产品的销售价格为 （万元）， 所以年利润 ， 所以 ，其中 ． （2）因为 时， ，即 ， 所以 ，当且仅当 ，即 （万元）时， （万元）． 所以厂家年促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大． 22．（12 分）在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排 宽的绿化，绿化造价为 200 元/ ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/ ．设矩形的长为 ． （1）设总造价 （元）表示为长度 的函数； 1628 1y mm = − −+ 0m = 1x = 1 3 k= − 2k = 23 1x m = − + 8 161.5 x x +× 8 16 161.5 8 16 4 8 28 1 xy x x m x m mx m += × × − − − = + − = − − + 1628 1y mm = − −+ 0m ≥ 0m ≥ 116 81 mm + + ≥+ 71 16 mm + ≥+ 28 7 21y ≤ − = 16 11 mm = ++ 3m = max 21y = 2200 m 2 m 2m 2m ( )mx y ( )mx（2）当 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价． 【答案】（1） ， ；（2）当 时， 总造价最低为 元． 【解析】（1）由矩形的长为 ，则矩形的宽为 ， 则中间区域的长为 ，宽为 ，则定义域为 ， 则 ， 整理得 ， ． （2） ， 当且仅当 时取等号，即 ， 所以当 时，总造价最低为 元． 第一册第三章测试题 函数的概念与性质 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 ( )mx 20018400 400y x x  = + +   (4,50)x∈ 10 2x = 18400 8000 2+ ( )mx 200 (m)x ( )4 mx − 200 4(m)x − (4,50)x∈ 200 200100 ( 4) 4 200 200 ( 4) 4y x xx x       = × − − + − − −             20018400 400y x x  = + +   (4,50)x∈ 200 2002 20 2x xx x + ≥ ⋅ = 200x x = 10 2 (4,50)x = ∈ 10 2x = 18400 8000 2+ 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】C 【解析】对于 A，∵ 的定义域为 ， 的定义域为 ， 两个函数的对应法则不相同，∴不是同一个函数． 对于 B，∵ 的定义域 ， 的定义域为 ， ∴两个函数不是同一个函数． 对于 C，∵ 的定义域为 且 ， 的定义域为 且 ， 对应法则相同，∴两个函数是同一个函数． 对于 D， 的定义域是 ， 的定义域是 ， 定义域不相同，∴不是同一个函数． 2．函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B y x= 33( | |)y x= 2( )y x= | |y x= xy x = 0y x= 2 1 1 xy x += − 1 1y x = − y x= R 3 3( | |)y x= R 2( )y x= [0, )+∞ | |y x= R xy x = R 0x ≠ 0y x= R 0x ≠ 2 1 1 xy x += − 1x ≠ ± 1 1y x = − 1x ≠ 2 3 2 xy x −= − 3 ,2  +∞  3 ,2 (2, )2   +∞  3 ,2 (2, )2   +∞   ( ,2) (2, )−∞ +∞【解析】要使原式有意义只需 ，解得 且 ， 故函数的定义域为 ． 3．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ 的定义域为 ，∴ 满足 ， 解得 ，∴ 的定义域为 ． 4．函数 的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数 是奇函数，排除 B，C， 当 时， ，∴ ，图象在 轴的下方．故选 A． 5．已知 是 上的偶函数，且当 时, ，则当 时， （ ） 2 3 0 2 0 x x − ≥  − ≠ 3 2x ≥ 2x ≠ 3 ,2 (2, )2   +∞  ( )f x [ 1,4]− (2 1)f x − 50, 2      [ 7,3]− 1 ,22  −   [ 1,4]− ( )f x [ 1,4]− (2 1)f x − 1 2 1 4x− ≤ − ≤ 50 2x≤ ≤ (2 1)f x − 50, 2      2 1xy x −= 2 1xy x −= 1 2x = 2 1 0x − < 2 1 0xy x −= < x ( )f x R 0x > ( ) (1 )f x x x= − 0x < ( )f x =A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ 是 上的偶函数，∴ ， 设 ， ，则 ， ∴ 时， 的解析式是 ． 6．函数 ，则 的最大值和最小值分别为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】A 【解析】由题意得，当 时， ； 当 时， ， 所以函数 的最大值为 ，最小值为 ． 7．若函数 为奇函数，则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ 为奇函数，∴ ， 当 时， ，∴ ， 又 时， ，∴ ． 8．若 ， 均是定义在 上的函数，则“ 和 都是偶函数”是“ 是偶函数” 的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ( 1)x x− − ( 1)x x − ( 1)x x− + ( 1)x x + ( )f x R ( ) ( )f x f x− = 0x < 0x− > ( ) (1 ) ( )f x x x f x− = − + = 0x < ( )f x ( ) (1 )f x x x= − + 2 6, [1,2]( ) 7, [ 1,1) x xf x x x  + ∈=  + ∈ − ( )f x 10 6 10 8 8 6 10 7 1 2x≤ ≤ 7 ( ) 10f x≤ ≤ 1 1x− ≤ < 6 ( ) 8f x≤ < ( )f x 10 6 2 2 2 , 0( ) , 0 x x xf x x ax x  − ≥= − + 2 2( ) ( ) ( 2 ) 2f x f x x x x x= − − = − + = − − 0x < 2( )f x x ax= − + 2a = − ( )f x ( )g x R ( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x⋅【答案】A 【 解 析 】 若 和 都 是 偶 函 数 ， 则 ， ，即 是偶函数，充分性成立； 当 时， 是偶函数， 但是 和 都不是偶函数，必要性不成立， ∴“ 和 都是偶函数”是“ 是偶函数”的充分而不必要条件， ∴故选 A． 9．已知 的定义域为 ， 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ 的定义域为 ，∴ ，∴ ， ∴ 的定义域为 ，∴ ，∴ ， ∴ 的定义域为 ． 10．定义在 上的偶函数 满足，对任意的 ， ，有 ，且 ，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ 对任意的 ， 恒成立， ( )f x ( )g x ( ) ( ), ( ) ( )f x f x g x g x− = − = ( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x− ⋅ − = ⋅ ( ) ( )g x f x⋅ ( ) , ( ) 2f x x g x x= = ( ) ( )g x f x⋅ ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( ) ( )g x f x⋅ ( 1)f x + [ 2,3)− ( 2)f x − [ 2,3)− [ 1,4)− [0,5) [1,6) ( 1)f x + [ 2,3)− 2 3x− ≤ < 1 1 4x− ≤ + < ( )f x [ 1,4)− 1 2 4x− ≤ − < 1 6x≤ < ( 2)f x − [1,6) R ( )f x 1x 2 1 2[0, )( )x x x∈ +∞ ≠ 2 1 2 1 ( ) ( ) 0f x f x x x − ( )f x 2x < − ( ) 0f x < 2 0x− < < ( ) 0f x > ( ) 0xf x < ( 2,0) (2, )− +∞ ( ) 2 5, 1 , 1 x ax x f x a xx − − − ≤=  > R a [ 3,0)− ( , 2]−∞ − [ 3, 2]− − ( ,0)−∞ 1x ≤ 2( ) 5f x x ax= − − − 12 a− ≥ 2a ≤ − 1x > ( ) af x x = 0a < ( )f x R 1 5a a− − − ≤ 3a ≥ − [ 3, 2]a∈ − − ( ) 2 2 , 0 ( ) , 0 x x xf x a x ax x  + ≥= ∈ − > ( ) (0) (2 )f a f f a> > (2 ) ( ) (0)f a f a f> > (2 ) (0) ( )f a f f a> > ( ) 2 2 , 0 ( ) , 0 x x xf x a x ax x  + ≥= ∈ − > ( )f x ( )g x [ (2)]g f = 1 (2) 3f = (3) 1g = [ (2)] 1g f = ( )f x ( ,0)x∈ −∞ ( ) (1 )f x x x= − (3)f = 12 ( ,0)x∈ −∞ ( ) (1 )f x x x= − ( 3) ( 3) (1 3) 12f − = − × + = − ( )f x (3) ( 3) 12f f= − − = 2( ) 5 6f x x x= − − ( )f x [6, )+∞ 2( ) 5 6f x x x= − − 2 5 6 0x x− − ≥ 1x ≤ − 6x ≥ { | 1x x ≤ − 6}x ≥由题即求函数 在定义域内的增区间， 由二次函数的性质可得函数 在定义域内的增区间为 ． 16．符号 表示不超过 的最大整数，如 ， ，定义函数： ，在下列命题正确的是 ． ① ； ②当 时， ； ③函数 的定义域为 ，值域为 ； ④函数 是增函数，奇函数． 【答案】①②③ 【解析】 表示数 的小数部分，则 ，①正确， 当 时， ，②正确， 函数 的定义域为 ，值域为 ，③正确， 当 时， ；当 时， ， 当 时， ；当 时， ， 则 ，即有 不为增函数， 由 ， ，可得 ，即有 不为奇函数，④错误． 三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10 分）已知 ． 2 5 6y x x= − − 2 5 6y x x= − − [6, )+∞ [ ]x x [3.14] 3= [ 1.6] 2− = − ( ) [ ]f x x x= − ( 0.8) 0.2f − = 1 2x≤ < ( ) 1f x x= − ( )f x R [0,1) ( )f x ( ) [ ]f x x x= − x ( 0.8) ( 1 0.2) 0.2f f− = − + = 1 2x≤ < ( ) [ ] 1f x x x x= − = − ( )f x R [0,1) 0 1x≤ < ( ) [ ]f x x x x= − = 1 2x≤ < ( ) 1f x x= − 0.5x = (0.5) 0.5f = 1.5x = (1.5) 0.5f = (0.5) (1.5)f f= ( )f x ( 1.5) 0.5f − = (1.5) 0.5f = ( 1.5) (1.5)f f− = ( )f x 2 ( 1), 2 0 ( ) 2 1, 0 2 1, 2 f x x f x x x x x  + − < < = + ≤ a 3 2f  −   3 2a = 5a = 0 2a< < ( ) 2 1 4f a a= + = 3 2a = 0 2a< < 2a ≥ 2( ) 1 4f a a= − = 5a = 5a = − 3 2a = 5a = 3 3 1 1 1 1( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) 2 1 22 2 2 2 2 2f f f f f− = − + = − = − + = = × + = 2 1( ) 2 1 f x x x = − + − { }2 2A x m x m= − < < ( )f x D x D∈ x A∈ m { }1 2 1D x x x= < ≤ < −或 1, 2  −∞ −   ( )f x 2 2 0 1 0 x x − ≥  − > 1x < − 1 2x< ≤ ( )f x { }1 2 1D x x x= < ≤ < −或 x D∈ x A∈ A D⊆ A = ∅ 2 2m m− ≥ 2m ≤ −②当 时， 或 ，解得 ， ∴实数 的取值范围为 ． 19．（12 分）已知函数 ． （1）在图中给定的直角坐标系内画出 的图象； （2）写出 的单调递增区间． 【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】（1） ． （2） 的单调递增区间是 ． 20．（12 分）函数 ． （1）证明函数的奇偶性； （2）判断函数在 上单调性，并证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析． A ≠ ∅ 2 2 1 m m > −  ≤ − 2 2 1 2 2 m m m > −  − ≥  ≤ 12 2m− < ≤ − m 1, 2  −∞ −   ( ) 25 , [ 1,2] 2 3, (2,4] x xf x x x  − ∈ −=  − ∈ ( )f x ( )f x [ 1,0) (2,4]−  ( )f x [ 1,0) (2,4]−  2( )f x x−= ( ,0)−∞【解析】（1）函数 为偶函数，∵ 的定义域为 ， ，即函数 为偶函数． （2）函数 在 上单调递增， 证明如下：任取 ， 且 ， ∴ ， ∵ ， ，且 ，故 ， ， ∴ ，即 ，则函数 在 上单调递增． 21．（12 分）已知函数 ． （1）用函数单调性的定义证明： 在 上是增函数； （2）若 在 上的值域是 ，求 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）任取 ，则 ， ∵ ，∴ ， ， ∴ ，即 ，∴ 在 上是增函数． （2）由（1）可知， 在 上为增函数， ( )f x 2 2 1( )f x x x −= = { | 0}x x ≠ 2 2 1 1( ) ( )( )f x f xx x − = = =− ( )f x ( )f x ( ,0)−∞ 1x 2 ( ,0)x ∈ −∞ 1 2x x< 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( )( )( ) ( ) x x x x x xf x f x x x x x x x − − +− = − = = 1x 2 ( ,0)x ∈ −∞ 1 2x x< 2 1 0x x− > 2 1 0x x+ < 2 1 2 1 2 2 1 2 ( )( ) 0x x x x x x − + < 1 2( ) ( )f x f x< ( )f x ( ,0)−∞ 1 1( ) ( 0)f x xa x = − > ( )f x (0, )+∞ ( )f x 1 ,22      1 ,22      a 2 5a = 1 2 0x x> > 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1( ) ( ) x xf x f x a x a x x x −− = − − + = 1 2 0x x> > 1 2 0x x− > 1 2 0x x > 1 2( ) ( ) 0f x f x− > 1 2( ) ( )f x f x> ( )f x (0, )+∞ ( )f x 1 ,22     ∴ 且 ，解得 ． 22．（12 分）已知函数 ． （1）画出 的图象； （2）写出 的单调区间，并指出单调性（不要求证明）； （3）若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ． 【解析】（1）由分段函数的画法可得 的图象． （2）单调区间： ， ， ， 在 ， 递增，在 递减． （3）函数 有两个不同的两点即为 有两个实根， 由图象可得当 或 时， 与 有两个交点， 则 的范围是 ． 第一册第四章测试题 指数函数与对数函数 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 1 1 1( ) 22 2f a = − = 1 1(2) 22f a = − = 2 5a = ( ) 23 , [ 1,2] 3, (2,4] x xf x x x  − ∈ −=  − ∈ ( )f x ( )f x ( )y a f x= − a ( 1,1] [2,3)−  ( )f x [ 1,0]− [0,2] [2,4] ( )f x [ 1,0]− [2,4] [0,2] ( )y a f x= − ( )f x a= 1 1a− < ≤ 2 3a≤ < ( )y f x= y a= a ( 1,1] [2,3)− 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1．化简 的值得（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ． 2．若函数 是指数函数，则 的值是（ ） A． B． C． 或 D． 【答案】B 【解析】函数 是指数函数， ∴ ，解得 ． 3．函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，函数 有意义，满足 ， 1 2 3 2 2 1 log 5 log 1027 −  − + −      10− 8− 10 8 1 2 13 6 3 2 2 2 1 log 5 log 10 3 log 9 1 827 10 − ×  5 − + − = + = − =      ( ) ( )2 2 2 xf x a a a= − − ⋅ a 1− 3 3 1− 2 ( ) ( )2 2 2 xf x a a a= − − ⋅ 2 2 2 1 0 1 a a a a  − − =  >  ≠ 3a = 2( ) 4 log (6 2 )f x x x= + + − { }| 3x x > { }| 4 3x x− < < { }| 4x x > − { }| 4 3x x− ≤ < 2( ) 4 log (6 2 )f x x x= + + − 4 0 6 2 0 x x + ≥  − >解得 ，即函数的定义域为 ． 4．已知函数 ，则 的图象过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，函数 ，令 ，则 ， 所以函数 的图象过定点 ． 5．设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ， ， ，所以 ． 6．在同一直角坐标系中， 与 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 的图象为过点 的递增的指数函数图象，故排除选项 C，D， 的 图象为过点 的递减的函数图象，故排除选项 A． 7．函数 的单调递增区间是（ ） { }| 4 3x x− ≤ < { }| 4 3x x− ≤ < 2( ) 3( 0)xf x a a−= + ≠ ( )f x (0,4) (2,4) (0,3) (4,3) 2( ) 3( 0)xf x a a−= + ≠ 2x = 0(2) 3 4f a= + = ( )f x (2,4) 3log 7a = 1.12b = 3.10.8c = b a c< < a c b< < c b a< < c a b< < 3 3 3log 7 (log 3,log 9)a = ∈ (1,2)a∈ 1.12 2b = > 3.1 00.8 0.8 1c = < = c a b< < 2xy = 2log ( )y x= − 2xy = (0,1) 2log ( )y x= − ( 1,0)− 2lg( 2)y x x= + −A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ，可得 或 ， ∵ 在 单调递增，而 是增函数， 由复合函数同增异减的法则可得，函数 的单调递增区间是 ． 8．若函数 在 上的最大值和最小值之和为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知 在 上单调， 因此 在 上的最值在区间端点处取得， 由其最大值与最小值之和为 可得 ， 即 ，化简得 ，解得 ． 9．设函数 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【 解 析 】 ∵ ， ． 10．若函数 是幂函数，且其图象过点 ，则函数 的单调增区 间为（ ） 1, 2  −∞ −   1 ,2  − +∞   ( ), 2−∞ − ( )1,+∞ 2 2 0x x+ − > 2x < − 1x > 2 2u x x= + − ( )1,+∞ lgy u= 2lg( 2)y x x= + − ( )1,+∞ ( ) log ( 2)x af x a x= + + [0,1] a a 1 6 1 3 1 2 3 ( ) log ( 2)x af x a x= + + [0,1] ( ) log ( 2)x af x a x= + + [0,1] a (0) (1)f f a+ = 1 log og2 l 3a aa a+ ++ = log 6 1a = − 1 6a = 2 1 1 log (2 ), 1 ( ) 2 , 1x x x f x x− + − 1x > ( )g x (1, )+∞ 3 2( ) 2 2f x x x x= + − − 3 2 2 2 0x x x+ − − = 0.05 1.25 1.375 1.42 1.5 3 2( ) 2 2f x x x x= + − − 1.40625,( 1.4375) 3 2 2 2 0x x x+ − − = 0.05 1.42 , 0( ) ln , 0 xe xf x x x  ≤=  > ( ) ( ) 2g x f x x a= + − ( )g x 2 a [ )1,− +∞ [ )1,+∞ 1 ,02  −   1, 2  −∞   ( )y f x= 2y a x= − 2 1a ≤ 1 2a ≤ ( )y f x=有两个不同的交点，所以 有两个零点． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知 ，则 ． 【答案】 【解析】∵ ，∴ ， ， ∴ ． 14．若 ，则函数 的值域为 ． 【答案】 【解析】∵ ，∴ ，令 ， ， 则 ， 由二次函数的性质可知，当 时， ；当 时， ， 故所求值域为 ． 15．已知关于 的函数 在 上时减函数，则 的取值范围是 ． 【答案】 2y a x= − ( ) ( ) 2g x f x x a= + − 3 4 6x y= = 2 1 x y + = 2 3 4 6x y= = 3log 6 x= 4log 6 y= 6 6 6 3 4 2 1 2 1 2log 3 log 4 log 36 2log 6 log 6x y + = + = + = = { | 2 3}A x x= − ≤ ≤ 14 2 ( )x xy x A+= − ∈ [ 1,48]− 2 3x− ≤ ≤ 1 2 84 x≤ ≤ 2x t= 1 84 t≤ ≤ 2 22 ( 1) 1y t t t= − = − − 1t = min 1y = − 8t = max 48y = [ 1,48]− x log (2 )ay ax= − (0,1) a (1,2]【解析】∵关于 的函数 在 上是单调递减的函数，而函数 在 上 是单调递减的函数， ∴ 且函数 在 上大于零，故有 ，解得 ． 16．若关于 的方程 有三个不相等的实数根，则实数 的值为 ． 【答案】 【解析】令 ，则由题意可得函数 与函数 的图象有三个公共点，画 出函数 的图象如图所示， 结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则 ． 三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10 分）计算下列各式的值． （1） ； （2） ． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． 18．（12 分）已知函数 （ 且 ）的图象过的 ． x log (2 )ay ax= − (0,1) 2t ax= − (0,1) 1a > t (0,1) 2 0 1 a a − ≥  > 1 2a< ≤ x 2 2 2 0x x m− − − = m 3 2( ) 2 2f x x x= − − ( )y f x= y m= 2( ) 2 2f x x x= − − 3m = 10 22 0.53 12 2 2 (0.01)5 4 − −   + −       ( )2 1 lg1log 4 12 lg lg5 2 120 + − + − 16 15 3 4 − 12 21 2 1 1 161 0.1 14 3 6 10 15  − × −   = + × − = + − =   1 1 1 320lg 1 2 14 5 4 4 = + + = − + = − ( ) xf x a= 0a > 1a ≠ ( 2,16)−（1）求函数 的解析式； （2）若 ，求 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）∵函数 （ 且 ）的图象过点 ， ∴ ，∴ ，即 ． （2）∵ 为减函数， ， ∴ ，解得 ． 19．（12 分）函数 （ 且 ）的图象经过点 和 ． （1）求函数 的解析式； （2）函数 ，求函数 的最小值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由题意得 ，解得 ，所以 ． （2）设 ， ，则 ，即 ， 所以当 ，即 时， ． 20．（12 分）已知函数 的定义域为 ． （1）求 ； ( )f x (2 5) (3 3)f m f m+ < + m 1( ) 4xf x = 2m < ( ) xf x a= 0a > 1a ≠ ( 2,16)− 2 16a− = 1 4a = 1( ) 4xf x = 1( ) 4xf x = (2 5) (3 3)f m f m+ < + ( ) logaf x b x= + 0a > 1a ≠ (8,2) (1, 1)− ( )f x 2( ) ( ) ( )g x f x f x= − ( )g x 2( ) 1 logf x x= − + 1 4 − log 8 2 log 1 1 a a b b + =  + = − 2 1 a b =  = − 2( ) 1 logf x x= − + 21 logt x= − + t ∈R 2( )g t t t= − 21 1( ) ( )2 4g t t= − − 1 2t = 2 2x = min 1 1( ) ( )2 4g x g= = − 1( ) 2 lg(3 )3 xf x x= − + − M M 2 5 3 3m m+ > + 2m  1 2x− < ≤ ( 1,2]M = − 1 2 2( ) 4 2 2 (2 ) 2 2 2 (2 1) 1x x x x xg x += − + = − ⋅ + = − + ( 1,2]x∈ − 12 ,42 x  ∈   2 1x = 0x = min( ) 1g x = 2 4x = 2x = max( ) 10g x = ( )g x [1,10] ( ) x xf x a ta−= − 0a > 1a ≠ R t (1) 0f < 2( ) ( 1) 0f kx x f x− + − ≥ x∈R k [ 3,1]− (0) 1 0f t= − = 1t = ( ) x xf x a a−= − ( ) ( )x xf x a a f x−− = − = − t 1 (1) 0f < 1 0a a − < 0 1a< < ( ) x xf x a a−= − 2( ) ( 1) 0f kx x f x− + − ≥ 2( ) (1 )f kx x f x− ≥ − 2 1kx x x− ≤ − x∈R故 对任意 恒成立， ∴ ，解得 ， 综上可知，实数 的取值范围为 ． 22．（12 分）函数 是实数集 上的奇函数，当 时， ． （1）求 的值和函数 的表达式； （2）求证：方程 在区间 上有唯一解． 【答案】（1） ， ；（2）证明见解析． 【解析】（1）函数 是实数集 上的奇函数，所以 ， 因为当 时， ，所以 ， 所以 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，所以 ， 所以 ，从而 ， ∴ ． （2）因为 ，所以方程 在区间 上有解 ， 易知 在区间 上为增函数， 由零点存在性定理可知，方程 在区间 上有唯一解． 2 ( 1) 1 0x k x− + + ≥ x∈R 2( 1) 4 0Δ k= + − ≤ 3 1k− ≤ ≤ k [ 3,1]− ( )f x R 0x > 2( ) log 3f x x x= + − ( 1)f − ( )f x ( ) 0f x = (0, )+∞ ( 1) 2f − = 2 2 log ( ) 3, 0 ( ) 0, 0 log 3, 0 x x x f x x x x x − − + +  ( )f x R ( 1) (1)f f− = − 0x > 2( ) log 3f x x x= + − 2(1) log 1 1 3 2f = + − = − ( 1) (1) 2f f− = − = 0x = ( 0) (0)f f− = − (0) 0f = 0x < 0x− > 2 2( ) log ( ) ( ) 3 log ( ) 3f x x x x x− = − + − − = − − − 2( ) log ( ) 3f x x x− = − − − 2( ) log ( ) 3f x x x= − − + + 2 2 log ( ) 3, 0 ( ) 0, 0 log 3, 0 x x x f x x x x x − − + +  2(2) log 2 2 3 0f = + − = ( ) 0f x = (0, )+∞ 2x = 2( ) log 3f x x x= + − (0, )+∞ ( ) 0f x = (0, )+∞第一册第五章测试题 三角函数 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1．如果 ，那么与 终边相同的角可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据终边相同的角相差 的整数倍，故与角 有相同的终边的角为 ， 所以 ，表示为 ． 2．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转， 则转过的角的弧度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转 弧度． 3． （ ） 21α = − ° α { | 360 21 , }k kβ β = ⋅ °+ ° ∈Z { | 360 21 , }k kβ β = ⋅ °− ° ∈Z { | 180 21 , }k kβ β = ⋅ °+ ° ∈Z { | 180 21 , }k kβ β = ⋅ °− ° ∈Z 360° α 360 ( }k kα⋅ °+ ∈Z 21α = − ° 360 21 ( )k k⋅ °− ° ∈Z π 3 π 6 π 3 − π 6 − π 6 sin300° =A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ． 4．下列不等式中，成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦函数的性质和诱导公式，可得 ， 所以 A 不正确． 由 ， ，根据余弦函数的单调性，可得 ，所以 ，所以 B 正确． 由 ， ， 因为 ，所以 C 不正确． ，所以 D 不正确． 5．已知 ，则 的值为（ ） 1 2 1 2 − 3 2 − 3 2 3sin300 sin(360 60 ) sin60 2 ° = °− ° = − ° = − π πsin( ) sin18 10 − > 23 17cos( π) cos( π)5 4 − < − π πcos( ) sin( )4 4 − < − 7 2tan π tan( )π5 5 < − π π πsin( ) sin sin18 18 10 − = − < 23π 23 3πcos( ) cos π cos5 5 5 − = = 17π 17π πcos( ) cos cos4 4 4 − = = 3π πcos cos5 4 < 23π 17πcos( ) cos( )5 4 − < − π π 2cos( ) cos4 4 2 − = = π π 2sin( ) sin4 4 2 − = − = − π πcos( ) sin( )4 4 − > − 7π 2π 2πtan tan tan( )5 5 5 = > − πcos( ) 13 α + = − πsin(2 )6 α +A． B． 或 C． D． 【答案】A 【解析】由 ，可得 ， ， 解得 ， ， 所以 ，则 ． 6．若 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意， ， 则 ，由于 ， 则 ． 7．已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 1− 3− 1 3 3 − 1 πcos( ) 13 α + = − π 2 π π3 kα + = + ( )k ∈Z 2π 2 π3 kα = + ( )k ∈Z π 3π2 4 π ( )6 2k kα + = + ∈Z π 3πsin(2 ) sin(4 π ) 16 2kα + = + = − 4sin cos 3 θ θ− = 3( π,π)4 θ ∈ sin(π ) cos(π )θ θ− − − = 2 3 − 2 3 4 3 − 4 3 4 16sin cos 1 2sin cos3 9 θ θ θ θ− = ⇒ − = 72sin cos 09 θ θ = − < 3( π,π)4 θ ∈ sin(π ) cos(π ) sin cosθ θ θ θ− − − = + 2 2(sin cos ) 1 2sin cos 3 θ θ θ θ= − + = − + = − π 1sin( )6 3 α − = πcos( )3 α + 2 3 3 − 2 3 3 1 3 1 3 −【解析】由题得 ． 8．在函数① ，② ，③ ，④ 中，最小正周期 为 的所有函数为（ ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 【答案】B 【解析】函数 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ， 所以最小正周期为 的函数有①③④． 9． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得 ． 10．函数 的定义域是（ ） A． B． π π π π 1cos( ) cos[( ) ] sin( )3 6 2 6 3 α α α+ = − + = − − = − cos | 2 |y x= πtan(2 )4y x= − πcos(2 )6y x= + | cos |y x= π cos | 2 |y x= π πtan(2 )4y x= − π 2 πcos(2 )4y x= − π | cos |y x= π π 2 2cos15 sin1952 2 °− ° 3 2 1 2 3 2 − 1 2 − 2 2 2 2cos15 sin195 cos15 sin(180 15 )2 2 2 2 °− ° = °− °+ ° 2 2 3cos15 sin15 cos(45 15 ) cos302 2 2 = °+ ° = °− ° = ° = ( ) 4sin cos 1f x x x= − π π[2 π ,2 π ]( )6 3k k k+ + ∈Z π π[ π , π ]( )6 3k k k+ + ∈ZC． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ， 即 ，解得 ． 11．已知函数 ，若 是 图象的一条对称轴的方程，则 下列说法正确的是（ ） A． 的图象的一个对称中心 B． 在 上是减函数 C． 的图象过点 D． 的最大值是 【答案】A 【解析】∵ 是 图象的一条对称轴的方程， ∴ ， 又 ，∴ ，∴ ， 图象的对称中心为 ，故 A 正确， 由于 A 的正负未知，所以不能判断 的单调性和最值，故 B，D 错误， ，故 C 错误． 12．函数 （其中 ， ）的图象如图所示，为了得到 的 π 5π[2 π ,2 π ]( )12 12k k k+ + ∈Z π 5π[ π , π ]( )12 12k k k+ + ∈Z ( ) 4sin cos 1f x x x= − 4sin cos 1 0x x − ≥ 2sin 2 1 0x − ≥ π 5π[ π , π ]( )12 12k k k+ + ∈Z π( ) sin(2 )( 0,| | )2f x A x Aϕ ϕ= + ≠ < 2π 3x = ( )f x ( )f x 5π( ,0)12 ( )f x π π[ , ]3 6 − ( )f x 1(0, )2 ( )f x A 2π 3x = ( )f x 2π π2 π( )3 2 k kϕ× + = + ∈Z π| | 2 ϕ < π 6 ϕ = π( ) sin(2 )6f x A x= + ( )f x π π( ,0)( )2 12 k k− ∈Z ( )f x 1(0) 2 2 Af = ≠ ( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0A > π| | 2 ϕ < ( ) sin3g x x=图象，只需将 的图象（ ） A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 【答案】C 【解析】由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图像的形状，故 ， 又函数的图象的第二个点是 ，∴ ，所以 ， 所以 ，故 ， 所以只需将函数 的图形要向右平移 个单位，即可得到 的图象． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上） 13．一个扇形的半径为 ，弧长是半径的 倍，则扇形的面积等于 ． 【答案】 【解析】设扇形的半径、弧长、面积分别为 ， ， ， 由题意可知 ，所以 ． ( )f x π 4 π 4 π 12 π 12 3ω = π( ,0)4 π3 π4 ϕ× + = π 4 ϕ = π( ) sin(3 )4f x A x= + π π( ) sin3 sin[3( ) ]12 4g x A x A x= = − + ( )f x π 12 ( )g x 2 cm π 3 2π cm3 r l S π 2π 3 3l r= = 1 1 2π π22 2 3 3S lr= = × × =14．设 是第三象限角，且 ，则 ． 【答案】 【解析】 ， 又 ， 是第三象限角，所以易得 ． 15 ． （ 其 中 ， 为 常 数 ， ）， 若 ， 则 ． 【答案】 【解析】由于 的最小正周期为 ， 若 ，则 ， 则 ． 16．将函数 图象向左平移 个单位后得到函数 的 图象，若函数 在区间 上单调递减，且函数 的最大负零点在区间 上，则 的取值范围 ． α tan 2α = πsin( )cos(π )2 3πsin( )2 α α α − + = + 5 5 − πsin( )cos(π ) cos ( cos )2 cos3π cossin( )2 α α α α ααα − + −= =−+ tan 2α = α 5cos 5 α = − ( ) tan sin 42 xf x a b x= − + a b 0ab ≠ (3) 5f = (2016π 3)f − = 3 ( ) tan sin 42 xf x a b x= − + 2π 3(3) tan sin3 4 52f a b= − + = 3tan sin3 12a b− = 3(2016π 3) ( 3) tan( ) sin( 3) 42f f a b− = − = − − − + 3( tan sin3) 4 1 4 32a b= − − + = − + = ( ) cos2f x x= π(0 )2 ϕ ϕ< < ( )g x ( )g x π π[ , ]6 6 − ( )g x π( ,0)6 − ϕ【答案】 【解析】将函数 图象向左平移 个单位得到函数 图象， 若函数 在区间 上单调递减，则 ，得 ①， ，则 ， 求得 ， 根据函数 的最大负零点在区间 上，∴ ， 求得 ②，由①②求得 的取值范围为 ． 三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10 分）计算（1） ； （2） ； （3） ． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【解析】（1）原式 ． π π( , ]4 3 ( ) cos2f x x= π(0 )2 ϕ ϕ< < ( ) cos(2 2 )g x x ϕ= + ( )g x π π[ , ]6 6 − π 2 03 π 2 π3 ϕ ϕ − + ≥  + ≤ π π 6 3 ϕ≤ ≤ ( ) cos(2 2 ) 0g x x ϕ= + = π2 2 π ( )2x k kϕ+ = + ∈Z π π ( )2 4 kx kϕ= + − ∈Z ( )g x π( ,0)6 − π π 06 4 ϕ− < − < π 5π 4 12 ϕ< < ϕ π π( , ]4 3 sin60sin90 cos270 2cos45 3 tan30cos30 °° °− − °+ °° 11π 8π 17πsin cos( ) tan6 3 4 + − cos15 cos75°+ ° 2− 1− 6 2 3 2 320 2 3 22 33 2 = − − ⋅ + ⋅ = −（2）原式 ． （3）原式 ． 18 ．（ 12 分 ） 已 知 角 的 顶 点 与 原 点 重 合 ， 始 边 与 轴 的 非 负 半 轴 重 合 ， 它 的 终 边 过 点 ． （1）求 的值； （2）若角 满足 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） 或 ． 【解析】（1）由角 的终边过点 ，得 ， 所以 ． （2）由角 的终边过点 ，得 ， 由 ，得 ， 由 ，得 ， 所以 或 ． 19．（12 分）已知函数 的最小正周期为 ． （1）求 的值及函数 的定义域； 1 1( ) 1 12 2 = − + − ⋅ = − 2 2 6sin75 cos75 2( sin75 cos75 ) 2 sin1202 2 2 = °+ ° = °+ ° = ° = α O x 3 4( , )5 5P − − sin( π)α + β 5sin( ) 13 α β+ = cosβ 4 5 56cos 65 β = − 16cos 65 β = α 3 4( , )5 5P − − 4sin 5 α = − 4sin( π) sin 5 α α+ = − = α 3 4( , )5 5P − − 3cos 5 α = − 5sin( ) 13 α β+ = 12cos( ) 13 α β+ = ± ( )β α β α= + − cos cos( )cos sin( )sinβ α β α α β α= + + + 56cos 65 β = − 16cos 65 β = π( ) tan( )( 0)4f x xω ω= + > π 2 ω ( )f x（2）若 ，求 的值． 【答案】（1） ，定义域为 且 ， ；（2） ． 【解析】（1）由 ，可得 ， 由 ，得定义域为 且 ， ． （ 2 ） 因 为 ， 即 ， ， 解 得 ， ． 20．（12 分）已知函数 ． （1）求 ， 的值； （2）求 的最小正周期及对称轴方程； （3）当 时，求 的单调递增区间． 【答案】（1） ， ；（2） ，对称轴方程为 ；（3） 和 ． 【解析】（1）函数 ， 则 ， ． ( ) 32f α = tan 2α 2ω = x∈R π π 2 8 kx ≠ + k ∈Z 4 3 π π 2ω = 2ω = π π2 π4 2x k+ ≠ + x∈R π π 2 8 kx ≠ + k ∈Z ( ) 32f α = πtan( ) 34 α + = tan 1 31 tan α α + =− 1tan 2 α = 2 2tan 1 4tan 2 11 tan 31 4 αα α= = =− − 2( ) cos sin cosf x x x x= + (0)f π( )4f ( )f x [0,π]x∈ ( )f x (0) 1f = π( ) 14f = πT = π π ( )2 8 kx k= + ∈Z π[0, ]8 5π[ ,π]8 2 1 cos2 sin 2 2 π 1( ) cos sin cos sin(2 )2 2 2 4 2 x xf x x x x x += + = + = + + 2 π 1 1 1(0) sin(0 ) 12 4 2 2 2f = + + = + = π 2 π π 1 1 1( ) sin( ) 14 2 2 4 2 2 2f = + + = + =（2）由于 ，所以函数的最小正周期 ， 令 ，解得 ， 所以函数的对称轴方程为 ． （3）令 ， 解得 ， 由于 ，所以当 或 时，函数的单调递增区间为 和 ． 21．（12 分）已知电流 与时间 的关系式为 ． （ 1 ） 如 图 是 在 一 个 周 期 内 的 图 象 ， 根 据 图 中 数 据 求 的解析式； （2）如果 在任意一段 秒（包含 秒）的时间内，电流 都能取得最大值和最 小值，那么 的最小正整数值是多少？ 【答案】（1） ；（2）943． 【解析】（1）由图可知 ，设 ， ， 2 π 1( ) sin(2 )2 4 2f x x= + + 2π π2T = = π π2 π ( )4 2x k k+ = + ∈Z π π ( )2 8 kx k= + ∈Z π π ( )2 8 kx k= + ∈Z π π π2 π 2 2 π ( )2 4 2k x k k− + ≤ + ≤ + ∈Z 3π ππ π ( )8 8k x k k− ≤ ≤ + ∈Z [0,π]x∈ 0k = 1 π[0, ]8 5π[ ,π]8 I t sin( )I A tω ϕ= + πsin( )( 0, 0,| | )2I A t Aω ϕ ω ϕ= + > > < sin( )I A tω ϕ= + t 1 150 1 150 sin( )I A tω ϕ= + ω π300sin(150π )6I = + 300A = 1 1 900t = − 2 1 180t =则周期 ， ∴ ， 时， ， 即 ，而 ，∴ ，故 ． （2）依题意，周期 ，即 ，∴ ， 又 ，故最小正周期 ． 22．（12 分）将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得的 图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象． （1）写出函数 的解析式； （2）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围； （3）求实数 和正整数 ，使得 在 上恰有 个零点． 【答案】（1） ；（2） ；（3）当 或 时， ，当 时， ． 【解析】（1）把函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍， 得 到 函 数 的 图 象 ， 再 向 左 平 移 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数 的图象， 故函数 的解析式为 ． 1 2 1 1 12( ) 2( )180 900 75T t t= − = + = 2π 150πT ω = = 1 900t = − 0I = 1sin[150π ( ) ] 0900 ϕ⋅ − + = π| | 2 ϕ < π 6 ϕ = π300sin(150π )6I = + 1 150T ≤ 2π 1 ( 0)150 ωω ≤ < 300π 942ω ≥ > ω ∈ *N 943ω = siny x= 1 2 π 6 ( )f x ( )f x π π[ , ]6 12x∈ − 2 ( ) ( ) 1 0f x mf x− − ≤ m a n ( ) ( )F x f x a= − [0, π]n 2019 π( ) sin(2 )3f x x= + 0m ≥ 1a = 1a = − 2019n = 3 2a = 2019n = siny x= 1 2 sin 2y x= π 6 π π( ) sin[2( )] sin(2 )6 3f x x x= + = + ( )f x π( ) sin(2 )3f x x= +（2）若对于任意 ，则 ，所以 ， 又 由 恒 成 立 ， 令 ， 则 恒 成 立 ， 则 ， ，解得 ． （3）因为 在 上恰有 个零点， 故函数 的图象与 在 上有 个交点， 当 时， ， ①当 或 时，函数 的图象与 在 上无交点； ②当 或 时，函数 的图象与 在 上仅有一个交点， 此时要使得函数 的图象与 在 上有 个交点，则 ； ③当 或 时，函数 的图象与 在 上 个交点，此时要使得函数 的图象与 在 上的交点个数，不能是 个； ④当 时，函数 的图象与 在 上 个交点，此时要使得函数 的图象与 在 上有 个交点，则 ， 综上可得，当 或 时， ，当 时， ． π π[ , ]6 12x∈ − π π2 [0, ]3 2x + ∈ π( ) sin(2 ) [0,1]3f x x= + ∈ 2 ( ) ( ) 1 0f x mf x− − ≤ ( ) [0,1]t f x= ∈ 2( ) 1 0g t t mt= − − ≤ (0) 1 0g = − ≤ (1) 0g m= − ≤ 0m ≥ ( ) ( )F x f x a= − [0, π]n 2019 ( )f x y a= [0, π]n 2019 [0,π]x∈ π π 7π2 [ , ]3 3 3x + ∈ 1a > 1a < − ( )f x y a= [0, π]n 1a = 1a = − ( )f x y a= [0,π] ( )f x y a= [0, π]n 2019 2019n = 31 2a− < < 3 12 a< < ( )f x y a= [0,π] 2 ( )f x y a= [0, π]n 2019 3 2a = ( )f x y a= [0,π] 3 ( )f x y a= [0, π]n 2019 1009n = 1a = 1a = − 2019n = 3 2a = 1009n =