整式的加减
题型一 用字母表示数及列代数式
典例 [2018 秋·台州期中]某商店在甲批发市场以每包 m 元的价格进了 20 包茶叶，
又在乙批发市场以每包 n 元(m＞n)的价格进了同样的 40 包茶叶，如果商家以每
包m＋n
2
元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店( A )
A．盈利了 B．亏损了
C．不盈不亏 D．盈亏不能确定
【解析】 由题意可得m＋n
2
×(20＋40)－(20m＋40n)＝30m＋30n－20m－40n＝
10m－10n＝10(m－n)，
∵m＞n，∴10(m－n)＞0，∴卖完后这家商店盈利了．
【点悟】 列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，将先读到的先写，若
含有不同级的运算，且又要体现出先低级运算时，要把代数式中代表低级运算的
这部分括起来．
变式跟进 1.设某数为 m，那么代数式3m2－5
2
表示( D )
A．某数的 3 倍的平方减去 5 除以 2
B．某数的 3 倍减 5 的一半
C．某数与 5 的差的 3 倍除以 2
D．某数平方的 3 倍与 5 的差的一半
2．如图 Z2－1，表示阴影部分面积的代数式是( B )
图 Z2－1
A．ab＋bc
B．ad＋c(b－d)
C．c(b－d)＋d(a－c)
D．ab－cd
题型二 代数式的值典例 [2018 秋·曲阜期中]如果代数式 4y2－2y＋5 的值为 1，那么代数式 2y2－y＋
1 的值为( A )
A．－1 B．2 C．3 D．4
【解析】 根据题意知 4y2－2y＋5＝1，则 4y2－2y＝－4，∴2y2－y＝－2，∴2y2－
y＋1＝－2＋1＝－1.
【点悟】 求代数式的值常用的有三种方法：(1)直接代入法；(2)先化简，再代
入求值；(3)整体代入法．
变式跟进 3.[2017 秋·安平期末]已知－a＋2b＋8＝0，则代数式 2a－4b＋10 的值
为( A )
A．26 B．16 C．2 D．－6
【解析】 ∵－a＋2b＋8＝0，∴a－2b＝8，则原式＝2(a－2b)＋10＝2×8＋10＝
16＋10＝26.
4．当 x＝1 时，代数式 ax5＋bx3＋1 的值为 6，则 x＝－1 时，ax5＋bx3＋1 的值是
( D )
A．－6 B．－5
C．4 D．－4
【解析】 把 x＝1 代入得 a＋b＋1＝6，即 a＋b＝5，则当 x＝－1 时，原式＝－(a
＋b)＋1＝－5＋1＝－4.
题型三 整式的有关概念
典例 下列结论中正确的是( B )
A．单项式πxy2
4
的系数是1
4
，次数是 4
B．单项式－xy2z 的系数是－1，次数是 4
C．单项式 m 的次数是 1，没有系数
D．多项式 2x2＋xy2＋3 是二次三项式
【解析】 A．单项式πxy2
4
的系数是π
4
，次数是 3，故 A 错误；B.单项式－xy2z 的
系数是－1，次数是 4，正确；C.单项式 m 的次数是 1，系数为 1，故 C 错误；
D.多项式 2x2＋xy2＋3 是三次三项式，故 D 错误．
【点悟】 (1)确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字
母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．注意 π 是数字，应作为系数；(2)几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的
项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
变式跟进 5.下列说法正确的是( C )
A．单项式是整式，整式也是单项式
B．25 与 x5 是同类项
C．单项式－1
2πx3y 的系数是－1
2π，次数是 4
D.1
x
＋2 是一次二项式
6．[2017 秋·锦江区校级期末]若关于 a，b 的多项式 3(a2－1
2ab－b2)－(a2－mab＋
2b2)中不含有 ab 项，则 m＝__3
2__．
【解析】 3(a2－1
2ab－b2)－(a2－mab＋2b2)
＝3a2－3
2ab－3b2－a2＋mab－2b2
＝2a2＋(m－3
2)ab－5b2，
∵该多项式中不含有 ab 项，
∴m－3
2
＝0，即 m＝3
2.
题型四 同类项
典例 [2018·包头]如果 2xa＋1y 与 x2yb－1 是同类项，那么a
b
的值是( A )
A.1
2 B.3
2 C．1 D．3
【解析】 根据同类项的特征可得 a＋1＝2，b－1＝1，解得 a＝1，b＝2，∴a
b
＝
1
2.故选 A.
【点悟】 所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．注意同类项定
义中的两个“相同”：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数相同．这两个“相
同”是易混点，另外还需要注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的
顺序无关；②与系数无关．变式跟进 7.[2018 秋·路南区期中]下列运算中，正确的是( C )
A．3a＋2b＝5ab
B．2a3＋3a2＝5a5
C．－4a2b＋3ba2＝－a2b
D．5a2－4a2＝1
8．已知－1
5x3y2n 与 2x3my2 是同类项，则 mn 的值是( A )
A．1 B．3 C．6 D．9
【解析】 ∵－1
5x3y2n 与 2x3my2 是同类项，∴3m＝3，2n＝2，∴m＝1，n＝1，∴mn
＝1.
题型五 整式的加减
典例 计算：
(1)5x2－2xy＋4y2＋xy－4y2－6x2；
(2)－3(3a2－2b2)－2(2a2＋3b2)．
解：(1)原式＝－x2－xy；
(2)原式＝－9a2＋6b2－4a2－6b2＝－13a2.
【点悟】 整式的加减的实质是合并同类项．
变式跟进 9.若 a>3，化简|a|－|3－a|的结果为( A )
A．3 B．－3
C．2a－3 D．2a＋3
10．化简：(1)3a2＋5b－2a2－2a＋3a－8b；
(2)(8x－7y)－2(4x－5y)；
(3)－(3a2－4ab)＋[a2－2(2a2＋2ab)]．
解：(1)原式＝3a2－2a2－2a＋3a＋5b－8b＝a2＋a－3b；
(2)原式＝8x－7y－8x＋10y＝3y；
(3)原式＝－3a2＋4ab＋a2－4a2－4ab＝－6a2.
题型六 整式的化简求值
典例 已知 A－2B＝7a2－7ab，且 B＝－4a2＋6ab＋7.
(1)求 A 等于多少？
(2)若|a＋1|＋(b－2)2＝0，求 A 的值．解：(1)∵A－2B＝A－2(－4a2＋6ab＋7)＝7a2－7ab，
∴A＝(7a2－7ab)＋2(－4a2＋6ab＋7)＝－a2＋5ab＋14；
(2)依题意得 a＋1＝0，b－2＝0，∴a＝－1，b＝2.
则 A＝－(－1)2＋5×(－1)×2＋14＝3.
【点悟】 应用整式的加减进行化简求值，一般先去括号，合并同类项，再代入
求值．从已知条件中无法求出字母的值时，要观察已知条件与所求代数式之间的
关系，有时可以通过整体代入的方法求出．
变式跟进 11.化简：(1)(12xy－x2＋y2)－4(x2－y2＋3xy－3)；
(2)5ab2－[a2b＋2(a2b－3ab2)]．
解：(1)原式＝12xy－x2＋y2－4x2＋4y2－12xy＋12
＝(－1－4)x2＋(1＋4)y2＋12＝－5x2＋5y2＋12；
(2)原式＝5ab2－(a2b＋2a2b－6ab2)＝5ab2－a2b－2a2b＋6ab2＝11ab2－3a2b.
12．先化简，再求值：
3x2y－[2xy－2(xy－3
2x2y)＋xy]，其中 x＝3，y＝－1
3.
解：原式＝3x2y－(2xy－2xy＋3x2y＋xy)＝3x2y－3x2y－xy＝－xy，
当 x＝3，y＝－1
3
时，原式＝－3×(－1
3 )＝1.
题型七 规律探索型问题
典例 [2018·徐州]图 Z2－2 中，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规
律拼接而成，照此规律，第 n 个图案中白色正方形比黑色正方形多__4n＋3__个
(用含 n 的代数式表示)．
图 Z2－2
【解析】 方法一：
第 1 个图案黑、白两色正方形共 3×3 个，其中黑色 1 个，白色 3×3－1 个；
第 2 个图案黑、白两色正方形共 3×5 个，其中黑色 2 个，白色 3×5－2 个；
第 3 个图案黑、白两色正方形共 3×7 个，其中黑色 3 个，白色 3×7－3 个；依此类推，第 n 个图案黑、白两色正方形共 3×(2n＋1)个，
其中黑色 n 个，白色 3×(2n＋1)－n 个，则第 n 个图案中白色正方形比黑色正方
形多 3(2n＋1)－n－n＝4n＋3 个．
方法二：
第 1 个图案白色正方形 8 个，黑色 1 个，白色比黑色多 7 个；
第 2 个图案比第 1 个图案白色比黑色又多了 4 个，即白色比黑色多(7＋4)个；
第 3 个图案比第 2 个图案白色比黑色又多了 4 个，即白色比黑色多(7＋4×2)个；
依此类推，第 n 个图案中白色正方形比黑色正方形多[7＋4(n－1)]个，即(4n＋3)
个．
变式跟进 13.[2018·绥化]将一些圆按照如图 Z2－3 方式摆放，其中第一行有 2
个圆，第二行有 4 个圆，第三行有 6 个圆…按此规律排列下去，则前 50 行共有
圆__2__550__个．
图 Z2－3
【解析】 ∵第一行有 2 个圆，第二行有 4 个圆，第三行有 6 个圆…∴第 n 行有 2n
个圆，
∴前 50 行共有圆 2＋4＋6＋…＋100
＝（2＋100） × 50
2
＝51×50＝2 550 个．
1．一个两位数，个位上的数字是 a，十位上的数字是 b，用代数式表示这个两位
数是( D )
A．ab B．ba
C．10a＋b D．10b＋a
2．[2017·河北一模]如果代数式－2a＋3b＋8 的值为 18，那么代数式 9b－6a＋2
的值等于( C )A．28 B．－28
C．32 D．－32
【解析】 ∵－2a＋3b＋8＝18，∴－2a＋3b＝10.
原式＝3(－2a＋3b)＋2＝3×10＋2＝32.
3．单项式－3πxy2z3 的系数和次数分别是( C )
A．－3π，5 B．－3，6
C．－3π，6 D．－3，7
4．下列各组整式中，是同类项的一组是( D )
A．2t 与 t2 B．2t 与 t＋2
C．t2 与 t＋2 D．2t 与 t
5．[2018·重庆 B 卷]根据如图 1 所示的程序计算函数 y 的值，若输入的 x 的值是 4
或 7 时，输出的 y 的值相等，则 b 等于 ( C )
图 1
A．9 B．7 C．－9 D．－7
【解析】 由题意得 2×4＋b＝6－7，解得 b＝－9.
6．[2018·武汉]将正整数 1 至 2 018 按一定规律排列如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
…
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是( D )
A．2 019 B．2 018
C．2 016 D．2 013
【解析】 设中间的数为 x，则这三个数分别为 x－1，x，x＋1，∴这三个数的和为 3x，是 3 的倍数，又∵2 019÷3＝673，673 除以 8 的余数为 1，∴x 在第 1 列(舍
去)；2 016÷3＝672，672 被 8 整除，∴x 在第 8 列(舍去)；2 013÷3＝671，671 除
以 8 的余数为 7，∴x 在第 7 列，符合题意，故这三数的和可以是 2 013.
7．计算：
(1)12a＋5b－8a－7b；
(2)5a2b－[2ab2－3(ab2－a2b)]．
解：(1)原式＝12a－8a＋5b－7b＝4a－2b；
(2)原式＝5a2b－2ab2＋3ab2－3a2b＝2a2b＋ab2.
8．已知多项式 A＝2x2－xy＋my－8，B＝－nx2＋xy＋y＋7，A－2B 中不含有 x2 项
和 y 项，求 nm＋mn 的值．
解：∵A＝2x2－xy＋my－8，B＝－nx2＋xy＋y＋7，
∴A－2B＝2x2－xy＋my－8＋2nx2－2xy－2y－14＝(2＋2n)x2－3xy＋(m－2)y－22，
由结果不含有 x2 项和 y 项，得
2＋2n＝0，m－2＝0，
解得 m＝2，n＝－1，则 nm＋mn＝1－2＝－1.
9．[2018·日照]定义一种对正整数 n 的“F”运算：①当 n 是奇数时，F(n)＝3n＋1；
②当 n 为偶数时，F(n)＝ n
2k(其中k是使n
2k为奇数的正整数)…两种运算交替重复进
行．例如，取 n＝24，则
24 ― ― ― ― ―→F②
第一次 3 ― ― ― ― ―→F①
第二次 10 ― ― ― ― ―→F②
第三次 5
若 n＝13，则第 2 018 次“F”运算的结果是( A )
A．1 B．4 C．2 018 D．42 018
【解析】 根据题意，得
第一次：n＝13，F①＝3×13＋1＝40；
第二次：n＝40，F②＝40
23
＝5；
第三次：n＝5，F①＝3×5＋1＝16；
第四次：n＝16，F②＝16
24
＝1；第五次：n＝1，F①＝3×1＋1＝4；
第六次：n＝4，F②＝ 4
22
＝1；…
从第四次开始，每 2 次运算一个循环，
∵(2 018－3)÷2＝1 007……1，
∴第 2 018 次“F”运算的结果是 1.故选 A.
10．[2018 秋·北碚区期末]阅读下列材料：
让我们规定一种运算|a b
c d |＝ad－cb，如|2 3
4 5 |＝2×5－3×4＝－2，再如|x 1
2 4 |＝
4x－2.按照这种运算规定，请解答下列问题．
(1)计算|6 0.5
4 1
2 |＝__1__，|－3 －2
4 5 |＝__－7__，|2 －3x
3 －5x|＝__－x__；
(2)当 x＝－1 时，求|－3x2＋2x＋1 －2x2＋x－2
－3 －2 |的值(要求写出计算过程)．
解：(2)原式＝(－3x2＋2x＋1)×(－2)－(－2x2＋x－2)×(－3)＝(6x2－4x－2)－(6x2
－3x＋6)＝－x－8，
当 x＝－1 时，原式＝－x－8＝－(－1)－8＝－7.
一元一次方程
题型一 一元一次方程及其解的概念
典例 已知(a2－1)x2－(a＋1)x＋8＝0 是关于 x 的一元一次方程．
(1)求代数式 2 019(a＋x)(x－2a)＋3a＋5 的值；
(2)求关于 y 的方程 a|y|＝x 的解．
解：(1)根据题意得 a2－1＝0，且－(a＋1)≠0，
解得 a＝1，则方程是－2x＋8＝0，解得 x＝4，
原式＝2 019×(1＋4)×(4－2)＋3＋5＝20 198；
(2)当 a＝1，x＝4 时，|y|＝4，∴y＝±4.
【点悟】 一元一次方程的一般形式，未知数的指数是 1，一次项系数不是 0，
特别容易忽视的一点就是系数不是 0 的条件，这是这类题目考查的重点．
变式跟进 1.已知方程 x2k－1＋k＝0 是关于 x 的一元一次方程，则方程的解等于
( A )A．－1 B．1 C.1
2 D．－1
2
2．关于 x 的方程 3(x＋1)－6a＝0 的解是－2，则 a 的值是( C )
A．－2 B．2 C．－1
2 D.1
2
【解析】 把 x＝－2 代入原方程得到 3×(－2＋1)－6a＝0，解得 a＝－1
2.
题型二 等式的性质
典例 [2018 秋·台州期中]已知等式 3a＝2b＋5，则下列等式中不一定成立的是
( B )
A．3a－5＝2b B．3ac＝2bc＋5
C．3a＋1＝2b＋6 D．a＝2
3b＋5
3
【解析】 A．等式的两边同时减去 5 即可成立；
C．等式的两边同时加上 1 即可成立；
D．等式的两边同时除以 3 即可成立．故选 B.
【点悟】 等式性质：1.等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成
立；2.等式的两边同时乘以或除以同一个不为 0 的数或字母，等式仍成立．
变式跟进 3.若 x＝y，m 为任意有理数，则下列等式一定成立的有( B )
①mx＝my；②m＋x＝m＋y；③x
m
＝y
m.
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D ．0 个
4．下列变形正确的是( D )
①由－3＋2x＝5，得 2x＝5－3；
②由 3y＝－4，得 y＝－3
4
；
③由 x－3＝y－3，得 x－y＝0；
④由 3＝x＋2，得 x＝3－2.
A．①② B．①④
C．②③ D．③④
题型三 一元一次方程的解法
典例 解下列方程：
(1)4－4(x－3)＝2(9－x)；(2)x－x－2
5
＝2x－5
3
－3.
解：(1)去括号得 4－4x＋12＝18－2x，移项得－4x＋2x＝18－4－12，合并得－2x
＝2，解得 x＝－1；
(2)去分母得 15x－3(x－2)＝5(2x－5)－45，去括号得 15x－3x＋6＝10x－25－45，
移项合并得 2x＝－76，解得 x＝－38.
【点悟】 解一元一次方程的步骤为去分母，去括号，移项合并，把未知数系数
化为 1.
变式跟进 5.[2018 秋·南开区期中]下列各项中：
①由 3x＝－4 系数化为 1，得 x＝－3
4
；
②由 5＝2－x 移项，得 x＝5－2；
③由2x－1
3
＝1＋x－3
2
去分母，得 2(2x－1)＝1＋3(x－3)；
④由 2(2x－1)－3(x－3)＝1 去括号，得 4x－2－3x－9＝1.
正确的个数有( A )
A．0 个 B．1 个
C．3 个 D．4 个
6．某同学解方程 5x－1＝□x＋3 时把□处数字看错，得 x＝－4
3
，则他把□处看
成了( C )
A．3 B．－9
C．8 D．－8
【解析】 把 x＝－4
3
代入 5x－1＝□x＋3，得－20
3
－1＝－4
3
□＋3，解得□＝8.
7．[2018 春·洛宁期中]某同学在解方程2x－1
3
＝x＋a
3
－1 去分母时，方程右边的－
1 忘记了乘 3，因而求得方程的解为 x＝2.则 a 的值为__2__，原方程的解为__x＝
0__．
【解析】 方程右边的(－1)项没有乘 3，则所得的式子是 2x－1＝x＋a－1，把 x＝
2 代入，得 4－1＝2＋a－1，解得 a＝2.则原方程是 2x－1
3
＝x＋2
3
－1，去分母，
得 2x－1＝x＋2－3，解得 x＝0.
8．解方程：(1)2x－(x＋10)＝6x；
(2)x＋1
2
＝3＋2－x
4 .
解：(1)方程去括号，得 2x－x－10＝6x，移项合并，得 5x＝－10，解得 x＝－2；
(2)方程去分母，得 2(x＋1)＝12＋2－x，去括号，得 2x＋2＝12＋2－x，移项合并，
得 3x＝12，解得 x＝4.
题型四 一元一次方程的应用
典例 [2018 春·新泰期中改编]某网站在线课程有两种收费方式，用户可以任意选
择其中一种：第一种是计时制，0.06 元/分；第二种是包月制，72 元/月(限一个
账号)．此外，每一种听课方式都得加收资料费 0.01 元/分．
(1)若小明今年三月份听课的时间为 x 小时，请你分别写出两种收费方式下小明
应支付的费用；
(2)小明一个月内上课多少小时，两种方式收费相同？
(3)若小明估计他一个月内上课的时间为 25 小时，你认为他采用哪种方式较为合
算？
解：(1)采用计时制应付的费用为 0.06×60x＋0.01×60x＝4.2x 元；
采用包月制应付的费用为 72＋0.01×60x＝(72＋0.6x)元．
(2)设小明一个月内上课 m 小时两种方式收费相同，
根据题意得 4.2m＝72＋0.6m，解得 m＝20.
答：小明一个月内上课 20 小时，两种方式收费相同．
(3)当 x＝25 时，4.2x＝4.2×25＝105，
72＋0.6x＝72＋0.6×25＝87.
∵105＞87，∴小明采用包月制合算．
【点悟】 一元一次方程的应用，常见的有以下几种问题：(1)和差倍分问题；(2)
利息、利润问题；(3)行程问题；(4)分段计费问题；(5)工程问题；(6)数字问题；
(7)年龄问题；(8)决策类问题等．应熟悉每种问题的特点，以及找等量关系的常
用方法(如列表法、画线段图法等)．
变式跟进 9.最近红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡(注：此卡只作为
购物优惠凭证不能顶替货款)，花 300 元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价
的八折购物．(1)顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花费相等？在什么情况下购物
合算？
(2)小张要买一台标价为 3 500 元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？
(3)小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利 25%，这台冰
箱的进价是多少元？
解：设顾客购买 x 元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等．根据题意，得
300＋0.8x＝x，解得 x＝1 500，
所以，当顾客消费少于 1 500 元时不买卡合算；
当顾客消费等于 1 500 元时买卡与不买卡花钱相等；
当顾客消费大于 1 500 元时买卡合算．
(2)小张买卡合算，
3 500－(300＋3 500×0.8)＝400，
所以，小张能节省 400 元钱．
(3)设进价为 y 元，根据题意，得
(300＋3 500×0.8)－y＝25%y，解得 y＝2 480.
答：这台冰箱的进价是 2 480 元．
10．[2017 秋·确山期末]某校组织学生走上街头宣传雾霾的危害，他们要复印一
部分宣传资料(不少于 20 页)，校门口有两家复印店．
甲店收费标准：复印页数不超过 20 时，每页收费 0.12 元，超过 20 时，超过部
分每页收费降为 0.09 元；
乙店收费标准：不论复印多少页，每页收费 0.1 元．
(1)复印页数为多少时，两家店收费一样；
(2)请你帮他们分析去哪家店比较合算．
解：(1)设复印页数为 x 时，两家店收费一样．
根据题意，得 0.12×20＋0.09(x－20)＝0.1x，
解得 x＝60.
答：当复印页数为 60 时，两家店收费一样；
(2)由(1)得当复印页数小于 60 时，去乙店合算；当复印页数大于 60 时，去甲店
合算．11．如图 Z3－1，已知数轴上有三点 A，B，C，它们对应的数分别为 a，b，c，
且 c－b＝b－a，点 C 对应的数是 20.
图 Z3－1
(1)如图①，若 BC＝30，求 a，b 的值；
(2)如图②，在(1)的条件下，动点 P，Q 分别从 A，C 两点向左运动，同时动点 R
从 B 点出发向右运动，点 P，R，Q 的速度分别为 8 个单位长度/s、4 个单位长度
/s、2 个单位长度/s，点 M 为线段 PR 的中点，点 N 为线段 RQ 的中点，在 R，Q
相遇前多少秒时恰好满足 MR＝4RN；
(3)如图③，在(1)的条件下，O 为原点，动点 P，Q 分别从 A，C 同时运动，P 向
左运动，Q 向右运动，P 点的运动速度为 8 个单位长度/s，点 Q 的速度为 4 个单
位长度/s，N 为 OP 的中点，M 为 BQ 的中点，在 P，Q 的运动过程中，PQ 与 MN
的长存在一个确定的相等关系，请指出它们的关系，并说明理由．
解：(1)∵BC＝30，∴c－b＝b－a＝30，
∵点 C 对应的数为 20，
∴点 A 对应的数为 20－60＝－40，点 B 对应的数为 20－30＝－10，
∴a 的值为－40，b 的值为－10；
(2)由(1)可得 AB＝BC＝30，
在 R，Q 相遇前，Q 在 R 右边，设 x s 时恰好满足 MR＝4RN，
∵MR＝1
2(8x＋4x＋30)，RN＝1
2(30－4x－2x)，
∴1
2(8x＋4x＋30)＝4×1
2(30－4x－2x)，解得 x＝2.5，
∴2.5 s 时恰好满足 MR＝4RN；
(3)PQ－2MN＝10.理由：
设运动的时间为 t，则 AP＝8t，CQ＝4t，
由(1)可得 AB＝BC＝30，点 C 表示 20，
∴AO＝40，AC＝60，BO＝10，
∴PQ＝AP＋AC＋CQ＝8t＋60＋4t＝60＋12t，
∵N 为 OP 的中点，M 为 BQ 的中点，
∴NO＝1
2OP，BM＝1
2BQ，
∴MN＝NO＋MB－OB＝1
2OP＋1
2BQ－OB＝1
2(40＋8t)＋1
2(30＋4t)－10＝25＋6t，
∴PQ－2MN＝(60＋12t)－2(25＋6t)＝10，
即 PQ－2MN 的值不发生变化，是定值 10.
1．下列利用等式的性质，错误的是( D )
A．由 a＝b，得到 1－a＝1－b
B．由a
2
＝b
2
，得到 a＝b
C．由 a＝b，得到 ac＝bc
D．由 ac＝bc，得到 a＝b
2．在解方程 3(x－1)－2(2x＋3)＝6 时，去括号正确的是( B )
A．3x－1－4x＋3＝6
B．3x－3－4x－6＝6
C．3x＋1－4x－3＝6
D．3x－1＋4x－6＝6
3．[2017·独山校级期中]已知|m－2|＋ n－1＝0，则方程 2m＋x＝n 的解是( B )
A．x＝－4 B．x＝－3
C．x＝－2 D．x＝－1
【解析】 ∵|m－2|＋ n－1＝0，∴m＝2，n＝1，代入方程得 4＋x＝1，解得 x＝－3.
4．[2017·金牛区校级期中]要锻造直径为 2 cm，高为 16 cm 的圆柱形机器零件 10
件，则需直径为 4 cm 的圆钢柱长( D )
A．10 cm B．20 cm
C．30 cm D．40 cm
【解析】 设应截取直径 4 cm 的圆钢 x cm，由题意得 π×(2
2 )2
×16×10＝π×
(4
2 )2
·x，解得 x＝40.
5．[2018·河北模拟]大学生嘉嘉假期去图书馆做志愿者服务，并与图书馆达成如
下协议：做满 30 天，图书馆将支付给他一套名著和生活费 600 元，但他在做到 20
天时，由于学校有临时任务，只能终止服务，图书馆只付出一套名著和 300 元，
设这套名著的价格为 x 元，则下面所列方程正确的是( B )
A.x＋600
20
＝x＋300
30 B.x＋600
30
＝x＋300
20
C.x－600
30
＝x－300
20 D.x－600
20
＝x－300
30
6．[2017·虎林校级期中]定义一种新运算“⊕”，其运算规则为 a⊕b＝－2a＋3b，
如 1⊕5＝(－2)×1＋3×5＝13，则方程 x⊕2＝0 的解为__3__．
【解析】 根据题意得 x⊕2＝－2x＋6＝0，解得 x＝3.
7．一件服装的标价为 300 元，打八折销售后可获利 60 元，则该件服装的成本价
是__180__元．
【解析】 设该件服装的成本价是 x 元，依题意得 300× 8
10
－x＝60，解得 x＝
180.∴该件服装的成本价是 180 元．
8．若关于 x 的一元一次方程 2x－k
3
－x－3k
2
＝1 的解是 x＝－1，则 k 的值是
__1__．
【解析】 把 x＝－1 代入原方程得到－2－k
3
－－1－3k
2
＝1，去分母得－4－2k＋3
＋9k＝6，移项、合并同类项得 7k＝7，解得 k＝1.
9. 解下列关于 x 的一元一次方程：
(1)5x＋2(3－2x)＝－3；(2)x－3
5
－x－4
3
＝1.
解：(1)去括号，得 5x＋6－4x＝－3，
移项，得 5x－4x＝－3－6，
合并同类项，得 x＝－9；
(2)方程两边同时乘以 15，得 3(x－3)－5(x－4)＝15，
去括号，得 3x－9－5x＋20＝15，
移项，得 3x－5x＝15－20＋9，
合并同类项，得－2x＝4，
系数化为 1，得 x＝－2.
10．某车间有技术工人 85 人，平均每天每人可加工甲种部件 16 个或乙种部件 10
个.2 个甲种部件和 3 个乙种部件配成一套，问加工甲、乙部件各安排多少人才能
使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？
解：设安排 x 人加工甲部件，则安排(85－x)人加工乙部件，根据题意得
3×16x＝2×10×(85－x)，
解得 x＝25，所以 85－25＝60(人)．
答：安排 25 人加工甲部件，安排 60 人加工乙部件．
11．某公司要把一批物品运往外地，现有两种运输方式可供选择：
方式一：使用快递公司运输，装卸费 400 元，另外每千米再加收 4 元；
方式二：使用火车运输，装卸费 820 元，另外每千米再加收 2 元．
(1)若两种运输的总费用相等，则运输路程是多少？
(2)若运输路程是 800 km，这家公司应选用哪一种运输方式？
解：(1)设运输路程是 x km，根据题意得
400＋4x＝820＋2x，解得 x＝210.
答：若两种运输的总费用相等，则运输路程是 210 km；
(2)若运输路程是 800 km，
选择方式一运输的总费用是
400＋4×800＝3 600(元)，
选择方式二运输的总费用是
820＋2×800＝2 420(元)，2 420＜3 600，所以若运输路程是 800 km 时，这家公司应选用方式二的运输方式．
12．[2017·巴南区期中]如图 1①中有 1 个“圆”，图②中有 3 个“圆”，图③中有
6 个“圆”，…依此规律，图⑩中有 n 个“圆”，这里的 n 的值是( C )
图 1
A．10 B．25 C．55 D．110
【解析】 观察图形发现：第 1 个图形有 1 个圆；第 2 个图形有 1＋2＝3 个圆；
第 3 个图形有 1＋2＋3＝6 个圆，…第 n 个图形有 1＋2＋3＋…＋n＝ n（n＋1）
2
个圆，当 n＝10 时，10 × 11
2
＝55 个圆．
13．观察“田”字中各数之间的关系：
则 c 的值为__270(或 28＋14)__．
【解析】 通过观察可知：左上角格子中的顺序规律为 2n－1，左下角格子中的
顺序规律为 2n，右下角格子中的顺序规律为 2n＋(2n－1)，左上角格子中的顺序
规律为 2n＋(2n－1)－1.由 2n－1＝15，解得 n＝8，∴c＝28＋(2×8－1)－1＝28＋
14＝270.
14．[2018 秋·和平区期中]点 A，B，C 在数轴上表示的数是 a，b，c，且满足(a＋
3)2＋|b－24|＝0，多项式 x|c＋3|y2－cx3＋xy2－1 是五次四项式．
(1)a 的值为__－3__，b 的值为__24__，c 的值为__－6__．
(2)已知点 P，Q 是数轴上的两个动点，点 P 从点 C 出发，以每秒 3 个单位的速
度向右运动，同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 7 个单位的速度向左运动：
①若点 P 和点 Q 经过 t s 后，在数轴上的点 D 处相遇，求 t 的值和点 D 所表示的数；
②若点 P 运动到点 A 处，点 Q 再出发，则点 P 运动几秒后两点之间的距离为 5
个单位长度？
解：(1)∵(a＋3)2＋|b－24|＝0，
∴a＋3＝0，b－24＝0，
∴a＝－3，b＝24；
∵多项式 x|c＋3|y2－cx3＋xy2－1 是五次四项式，
∴|c＋3|＝3，c≠0，∴c＝－6.
(2)①当运动时间为 t s 时，点 P 所表示的数是 3t－6，点 Q 所表示的数是－7t＋24，
根据题意得 3t－6＝－7t＋24，
解得 t＝3，∴3t－6＝3.
答：t 的值为 3，点 D 所表示的数是 3；
②当运动时间为 t s 时(t＞1)，点 P 所表示的数是 3t－6，点 Q 所表示的数是－7(t
－1)＋24，
根据题意得|(3t－6)－[－7(t－1)＋24]|＝5，
解得 t1＝3.2，t2＝4.2.
答：点 P 运动 3.2 或 4.2 s 后两点之间的距离为 5 个单位长度．
几何图形初步
题型一 立体图形与平面图形
典例 [2017·渠县校级期中]在图 Z4－1 中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能
折成一个正方体，问应剪去几号小正方形？所有可能的情况有( C )
图 Z4－1
A．1 种 B．2 种
C．3 种 D．4 种【解析】 ∵剩余的部分恰好能折成一个正方体，∴展开图中没有田字形，∴应
剪去 1 号、2 号或 3 号小正方形，有 3 种情况．
【点悟】 注意，正方体的展开图不会出现“凹”字型，“7”字型、“田”字型
的图形．
变式跟进 1.对于几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；
⑥圆柱．其中属于立体图形的是( A )
A．③⑤⑥ B．①②③
C．④⑤ D．④⑥
【解析】 ①②④属于平面图形，③⑤⑥属于立体图形．
2．[2018·安徽]一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图 Z4－2 水平放置，其从正面
看到的图形是( A )
图 Z4－2 A B C D
3．[2018·连云港]如图 Z4－3 是由 5 个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几
何体的从上面看到的图形是( A )
图 Z4－3 A B C D
4．圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的，那么图 Z4－4 中
的几何体是以下四个图中的哪一个绕着直线旋转一周得到的( A )
图 Z4－4 A B C D
5．沿正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图 Z4－5 所示
的几何体，其正确的展开图为( B ) 图 Z4－5 A B C D
题型二 直线、射线、线段
典例 下列说法正确的是( C )
A．线段 AB 和线段 BA 表示的不是同一条线段
B．射线 AB 和射线 BA 表示的是同一条射线
C．若点 P 是线段 AB 的中点，则 PA＝1
2AB
D．线段 AB 叫做 A，B 两点间的距离
【解析】 A 线段 AB 和线段 BA 表示的是同一条线段，故 A 错误；B 射线 AB 和
射线 BA 表示的不是同一条射线，故错误；C 由线段中点的定义可知 C 正确；D
线段 AB 的长度叫做 A，B 两点间的距离，故 D 错误．
变式跟进 6.如图 Z4－6，下列语句中，描述错误的是( C )
图 Z4－6
A．点 O 在直线 AB 上
B．直线 AB 与射线 OP 相交于点 O
C．点 P 在直线 AB 上
D．∠AOP 与∠BOP 互为补角
7．如图 Z4－7，共有线段( D )
图 Z4－7
A．3 条 B．4 条
C．5 条 D．6 条【解析】 共有线段 AB，AC，AD，BC，BD，CD 六条．
题型三 线段长短的比较
典例 已知，如图 Z4－8，线段 AD＝10 cm，点 B，C 都是线段 AD 上的点，且 AC
＝7 cm，BD＝4 cm，若 E，F 分别是线段 AB，CD 的中点，求 BC 与 EF 的长
度．
图 Z4－8
解：由线段的和差，得 AC＋BD＝AC＋BC＋CD
＝AD＋BC＝7＋4＝11(cm)，
由 AD＝10 cm，得 10＋BC＝11，解得 BC＝1 cm；
由线段的和差，得 AB＋CD＝AD－BC＝10－1＝9 cm，
由 E，F 分别是线段 AB，CD 的中点，得
AE＝1
2AB，DF＝1
2CD，
由线段的和差，得 EF＝AD－(AE＋DF)
＝AD－(1
2AB＋1
2CD)＝10－1
2(AB＋CD)
＝10－9
2
＝11
2 (cm)．
【点悟】 求线段长度问题可用代数方法解决，通常将线段的和、差、倍、分关
系转化为数量的和、差、倍、分关系，再通过设未知数列方程求解．值得注意的
是，与线段有关的计算问题通常涉及线段的中点的定义，需要灵活运用．
变式跟进 8.线段 AB＝4 cm，点 C 在 AB 的延长线上，点 D 在 AB 的反向延长线
上，且点 B 为 AC 的中点，AD 为 BC 的 2 倍，则线段 CD＝__16__cm__．
【解析】 如答图，
变式跟进 8 答图
∵AB＝4 cm，B 为 AC 的中点，
∴BC＝AB＝4 cm，
∵AD 为 BC 的 2 倍，∴AD＝8 cm，∴CD＝AD＋AB＋BC＝16 cm.
9．已知线段 AB＝10 cm，直线 AB 上有一点 C，且 BC＝4 cm，M 是线段 AC 的
中点．
(1)如图 Z4－9，当点 C 在线段 AB 上时，求 AM 的长；
图 Z4－9
(2)若点 C 在直线 AB 上时，求 BM 的长．
解：(1)∵AB＝10 cm，BC＝4 cm，
∴AC＝10－4＝6 cm.
∵M 是线段 AC 的中点，
∴AM＝1
2AC＝3 cm；
(2)当点 C 在点 B 的左侧时，
由(1)得 BM＝AB－AM＝10－3＝7 cm；
当点 C 在点 B 的右侧时，如答图，
变式跟进 9 答图
∵AB＝10 cm，BC＝4 cm，∴AC＝14 cm，
∵M 是线段 AC 的中点，∴AM＝1
2AC＝7 cm，
∴BM＝AB－AM＝10－7＝3 cm.
综上所述，BM 的长为 7 或 3 cm.
题型四 角与角的大小比较
典例 已知∠A＝40°18′，∠B＝40°17′30″，∠C＝40.18°，则( A )
A．∠A＞∠B＞∠C
B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠C＞∠A＞∠B
D．∠A＞∠C＞∠B
【解析】 ∵∠C＝40.18°＝40°10′48″，40°18′＞40°17′30″＞40°10′48″，∴∠A＞∠B＞∠C，故选 A.
【点悟】 度分秒的换算，大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率，
度分秒的加减，相同单位相加减．
变式跟进 10.有下列说法：①射线是直线的一半；②线段 AB 是点 A 与点 B 的
距离；③角的大小与这个角的两边所画的长短有关；④两个锐角的和一定是钝
角．其中正确的个数有( A )
A．0 个 B．1 个
C．2 个 D．3 个
11．如图 Z4－10 所示，从 O 点发出的五条射线，可以组成小于平角的角的个数
是( A )
图 Z4－10
A．10 个 B．9 个
C．8 个 D．4 个
【解析】 可根据公式n（n－1）
2
来计算，其中，n 指从点 O 发出的射线的条
数．∵图中共有五条射线，
∴图中小于平角的角共有5 × （5－1）
2
＝10(个)．
题型五 余角和补角
典例 一个角与它的余角以及它的一个补角的和是直角的7
3
倍，求这个角的补
角．
解：设这个角为 x，则它的余角为(90°－x)，它的补角为(180°－x)，根据题意得
x＋(90°－x)＋(180°－x)＝7
3
×90°，
解得 x＝60°，∴180°－x＝120°.
答：这个角的补角是 120°.
【点悟】 解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解．
变式跟进 12.通常我们把时钟的时针与分针所成的角叫做钟面角，若某整点时
刻，钟面角∠α 恰好是∠α 的补角的 2 倍，此时对应的时间应是( D )
A．8 点 B．4 点
C．6 点 D．8 点或 4 点
【解析】 根据题意有∠α＝2(180°－∠α)，解得∠α＝120°，则此时对应的时间应
是 8 点或 4 点．
13．如图 Z4－11，已知 O 为 AD 上一点，∠AOC 与∠AOB 互补，OM，ON 分别
为∠AOC，∠AOB 的平分线，若∠MON＝40°，试求∠AOC 与∠AOB 的度数．
图 Z4－11
解：设∠AOB＝x，
∵∠AOC 与∠AOB 互补，
∴∠AOC＝180°－x.
由题意，得180°－x
2
－x
2
＝40°.
∴180°－x－x＝80°，
∴－2x＝－100°，解得 x＝50°，
故∠AOB＝50°，∠AOC＝130°.
题型六 角的度量与计算
典例 如图 Z4－12，点 O 是直线 AB 上一点，∠DOF＝90°，OC 平分∠AOD，OE
平分∠BOF，∠EOF＝20°，求∠AOC 的度数．
图 Z4－12
解：∵OE 平分∠BOF，∴∠BOF＝2∠EOF＝40°，
∵∠DOF＝90°，∴∠DOB＝50°，
∴∠AOD＝180°－50°＝130°，
∵OC 平分∠AOD，∴∠AOC＝65°.
【点悟】 角的和差运算，与线段的和差运算相类似，要注意数形结合思想、方
程思想的灵活运用，同时灵活运用同角(或等角)的余角、补角相等，角平分线的
定义等进行角度的转换．
变式跟进 14.如图 Z4－13，∠AOB 是一直角，∠AOC＝40°，OD 平分∠BOC，
则∠AOD 等于( A )
图 Z4－13
A．65° B．50°
C．40° D．25°
【解析】 ∵∠AOB 是一直角，∠AOC＝40°，∴∠COB＝50°，∵OD 平分
∠BOC，∴∠COD＝25°，∵∠AOD＝∠AOC＋∠COD，∴∠AOD＝65°.
15．如图 Z4－14，已知∠AOB＝120°，射线 OA 绕点 O 以每秒钟 6°的速度逆时
针旋转到 OP，设射线 OA 旋转到 OP 所用时间为 t s(t＜30)．
(1)当 OP 在∠AOB 内部时，直接写出∠BOP＝__(120－6t)__°(用含 t 的式子表示)；
(2)若 OM 平分∠AOP，ON 平分∠BOP.
①当 OA 旋转到如图①所示 OP 处，请完成作图并求∠MON 的度数；
②当 OA 旋转到如图②所示 OP 处，若 2∠BOM＝3∠BON，求 t 的值．
图 Z4－14解：(2)①作图略，
∵OM 平分∠AOP，ON 平分∠BOP，
∴∠MOP＝1
2
∠AOP＝3t，
∠NOP＝1
2
∠BOP＝60°－3t，
∴∠MON＝∠MOP＋∠NOP＝3t＋60°－3t＝60°；
②∵OM 平分∠AOP，ON 平分∠BOP，
∴∠MOA＝∠MOP＝1
2
∠AOP＝3t，
∠BON＝∠NOP＝1
2
∠BOP＝3t－60°，
∵2∠BOM＝3∠BON，
即 2(120－3t)＝3(3t－60)，解得 t＝28.
1．[2017·高邑期中]下列式子中错误的是( D )
A．38.78°＝38°46′48″
B．50°42′＝50.7°
C．98°45′＋2°35′＝101°20′
D．108°18′－57°23′＝51°55′
【解析】 D．108°18′－57°23′＝50°55′，故 D 错误．
2．[2017·寿光期中]下列几何体中，不同类的是( C )
3．[2017·绍兴]如图 1，已知 O 为直线 AB 上一点，OC 平分∠AOD，∠BOD＝
3∠DOE，∠COE＝α，则∠BOE 的度数为( A )图 1
A．360°－4α B．180°－4α
C．α D．2α－60°
【解析】 设∠DOE＝x，则∠BOD＝3∠DOE＝3x，∠BOE＝2x，
∴∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－3x.
∵OC 平分∠AOD，
∴∠COD＝1
2
∠AOD
＝1
2(180°－3x)＝90°－3
2x.
∵∠COE＝∠COD＋∠DOE
＝90°－3
2x＋x＝90°－x
2
，
∴90°－x
2
＝α，解得 x＝180°－2α，
∴∠BOE＝360°－4α.
4．时钟里，时针从 5 点整的位置起，__300
11 __min 后与分针第一次重合．
【解析】 设 x min 后时针与分针第一次重合，根据题意得 6x－0.5x＝30×5，
解得 x＝300
11 .即300
11 min 后时针与分针第一次重合．
5．如图 2，直线 BC 与 MN 相交于点 O，∠AOC＝90°.
(1)分别写出图中与∠AOM 互余和互补的角；
图 2
(2)已知 OE 平分∠BON，且∠EON＝20°，求∠AOM 的度数．解：(1)与∠AOM 互余的角是∠COM，∠BON；互补的角是∠AON；
(2)∵∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝180°－90°＝90°，
∵OE 平分∠BON，∴∠BON＝2∠EON＝40°，
∴∠AOM＝180°－∠BON－∠AOB＝50°.
6．如图 3，点 C 是线段 AB 上一点，点 M，N，P 分别是线段 AC，BC，AB 的中
点．
图 3
(1)若 AB＝10 cm，则 MN＝__5__cm；
(2)若 AC＝3，CP＝1，求线段 PN 的长．
解：(1)∵M，N 分别是 AC，BC 的中点，
∴MC＝1
2AC，CN＝1
2BC，
MN＝MC＋CN＝1
2(AC＋BC)
＝1
2AB＝1
2
×10＝5(cm)；
(2)∵AC＝3，CP＝1，∴AP＝AC＋CP＝4，
∵P 是线段 AB 的中点，∴AB＝2AP＝8，
∴CB＝AB－AC＝5，
∵N 是线段 CB 的中点，CN＝1
2CB＝5
2
，
∴PN＝CN－CP＝5
2
－1＝3
2.
7．如图 4，∠AOB＝110°，OD 平分∠BOC，OE 平分∠AOC.
(1)求∠EOD 的度数；
(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE 的度数．图 4
解：(1)∵OD 平分∠BOC，OE 平分∠AOC，
∴∠COD＝1
2
∠BOC，∠COE＝1
2
∠AOC，
∴∠EOD＝∠COD＋∠COE
＝1
2(∠BOC＋∠AOC)＝1
2
∠AOB＝55°；
(2)由于∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝110°－90°＝20°，
∵OE 平分∠AOC，∴∠AOE＝1
2
∠AOC＝10°.
8．[2018 春·东营区校级期中]如图 5，点 O 在直线 AC 上，OD 平分∠AOB，∠BOE
＝1
2
∠EOC，∠DOE＝70°，求∠EOC.
图 5
解：∵∠COE＋∠EOB＋∠BOA＝180°，∠EOB＋∠BOD＝70°，∠BOA＝2∠BOD，
∠COE＝2∠EOB，
∴2∠EOB＋∠EOB＋2∠BOD＝180°，
∴∠EOB＝180°－2×70°＝40°，∴∠EOC＝80°.
9．[2018 春·道里区期末]点 O 在 AB 上，∠BOC＝2∠AOC.图 6
(1)如图 9①，求∠AOC 的度数；
(2)OD，OE 的位置如图②所示，∠DOE＝3∠BOD，猜想∠COE 与∠COD 的数
量关系并给出证明；
(3)如图③，在(2)的条件下，作∠COF＝∠COD，OG 为∠AOE 的平分线，求∠FOG
的度数．
解：(1)∵点 O 在 AB 上，∠BOC＝2∠AOC，
∴∠AOC＝1
3
∠AOB＝60°；
(2)∠COE＝2∠COD.
证明：∵∠DOE＝3∠BOD，∴∠BOE＝2∠BOD，
由(1)可得∠BOC＝120°，
∴∠COE＝360°－∠BOC－∠BOE＝240°－2∠BOD，
又∵∠COD＝∠BOC－∠BOD＝120°－∠BOD，
∴∠COE＝2∠COD；
(3)∵∠COF＝∠COD，∠COE＝2∠COD，
∴∠COF＝1
2
∠COE，即 OF 是∠COE 的平分线，
∴∠EOF＝1
2
∠COE，
又∵OG 为∠AOE 的平分线，
∴∠EOG＝1
2
∠EOA，
∴∠FOG＝∠EOF－∠EOG，
＝1
2
∠COE－1
2
∠EOA＝1
2(∠COE－∠EOA)
＝1
2
∠AOC＝30°.
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