2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷（9月份）

第 1 页（共 13 页） 2019-2020 学年九年级（上）月考数学试卷（9 月份） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要 求的） 1．（3 分）已知关于 x 的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0 是一元二次方程，则 a 的值是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣1 或 3 D．3 2．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+a2﹣1＝0 有一根为 1，则 a 的值是（　　） A．2 B． C．± D．±1 3．（3 分）如果 a 是一元二次方程 x2﹣3x﹣5＝0 的一个根，那么代数式 8﹣a2+3a 的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（3 分）若关于 x 的方程（m﹣1）x2+2x+1＝0 有实数解，则 m 的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m≤ C．m≤2 且 m≠1 D．m＜2 5．（3 分）2016 年底我市有绿化面积 300 公顷，为响应“退耕还林”的号召，计划到 2018 年底绿化面积增加到 363 公顷．设绿化面积平均每年的增长率为 x，由题意可列方程为（　　） A．300（1+x）＝363 B．300（1+x）2＝363 C．300（1+2x）＝363 D．300（1﹣x）2＝363 6．（3 分）已知点 A（1，y1），B（2，y2）在抛物线 y＝﹣（x+1）2+2 上，则下列结论正确的是（　　） A．2≤y1＜y2 B．2≤y2＜y1 C．y1＜y2＜2 D．y2＜y1＜2 7．（3 分）关于二次函数 y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（　　） A．开口方向向上 B．顶点坐标是（﹣2，1） C．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大 D．当 x＝0 时，y 有最大值﹣ 8．（3 分）已知二次函数 y＝x2+x+c 的图象与 x 轴的一个交点为（1，0），则关于 x 的方程 x2+x+c＝0 的两实数根分 别是（　　） A．1 和﹣1 B．1 和﹣2 C．1 和 2 D．1 和 3 9．（3 分）关于 x 的方程 m2x2﹣8mx+12＝0 至少有一个正整数解，且 m 是整数，则满足条件的 m 的值的个数是（　　）第 2 页（共 13 页） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 10．（3 分）抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴为直线 x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中： ①abc＞0； ②b2﹣4ac＞0； ③9a﹣3b+c＝0； ④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则 y1＞y2； ⑤5a﹣2b＜0； 其中正确的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分共 18 分） 11．（3 分）若一元二次方程 x2+x﹣2＝0 的两个根为 x1，x2，则 x1+x2＝　 　． 12．（3 分）已知方程 x2﹣6x+q＝0 可以配方成（x﹣p）2＝7 的形式，那么 p+q 的值为　 　． 13．（3 分）将抛物线 y＝ x2﹣6x+21 先向左平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位后，得到的新抛物线的解析式 为　 　． 14．（3 分）已知 4 是关于 x 的方程 x2﹣3mx+4m＝0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边 长，则△ABC 的周长为　 　． 15．（3 分）已知抛物线 p：y＝ax2+bx+c 的顶点为 C，与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧），点 C 关于 x 轴 的对称点为 C′，我们称以 A 为顶点且过点 C′，对称轴与 y 轴平行的抛物线为抛物线 p 的“梦之星”抛物线， 直线 AC′为抛物线 p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是 y＝x2+2x+1 和 y＝2x+2，则这条抛物线的解析式为　 　． 16．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴负半轴上，顶点 B 在 x 轴正半轴上．若抛物第 3 页（共 13 页） 线 p＝ax2﹣10ax+8（a＞0）经过点 C、D，则点 B 的坐标为　 　． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）用适当的方法解方程： （1）（x﹣5）2＝16 （2）x2﹣4x+1＝0 18．（8 分）关于 x 的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2mx+m+3＝0 有两个实数根． （1）求 m 的取值范围； （2）若 x1、x2 是方程的两个根，且|x1﹣x2|＝2，求 m 的值． 19．（8 分）已知 m，n 是实数，定义运算“*”为：m*n＝mn+n． （1）分别求 4*（﹣2）与 4* 的值； （2）若关于 x 的方程 x*（a*x）＝﹣ 有两个相等的实数根，求实数 a 的值． 20．（8 分）一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝6．用这块废料剪出一个平行四边形 AGEF， 其中，点 G，E，F 分别在 AB，BC，AC 上．设 CE＝x （1）求 x＝2 时，平行四边形 AGEF 的面积． （2）当 x 为何值时，平行四边形 AGEF 的面积最大？最大面积是多少？ 21．（8 分）关于 x 的一元二次方程 x2+（2k﹣1）x+k2＝0 有两个不等实根 x1，x2， （1）求实数 k 的取值范围； （2）若方程两实根 x1，x2 满足 x1+x2+x1x2﹣1＝0，求 k 的值．第 4 页（共 13 页） 22．（10 分）如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数 y2＝﹣x+m 与二次函数 y1＝ax2+bx﹣3 图象上． （1）求 m 的值和二次函数的解析式． （2）请直接写出使 y2＞y1 时，自变量 x 的取值范围． （3）说出所求的抛物线 y1＝ax2+bx﹣3 可由抛物线 y＝x2 如何平移得到？ 23．（10 分）为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设 备成本价为 30 万元，经过市场调研发现，每台售价为 35 万元时，年销售量为 550 台；每台售价为 40 万元时， 年销售量为 500 台．假定该设备的年销售量 y（单位：台）和销售单价 x（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于 60 万元，如果该公司想获得 8000 万元的年利润，则该设备的 销售单价应是多少万元？ 24．（12 分）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣1，0）和 B（3，0），与 y 轴交于点 C，点 D 的横坐标 为 m（0＜m＜3），连结 DC 并延长至 E，使得 CE＝CD，连结 BE，BC． （1）求抛物线的解析式； （2）用含 m 的代数式表示点 E 的坐标，并求出点 E 纵坐标的范围； （3）求△BCE 的面积最大值．第 5 页（共 13 页） 2019-2020 学年湖北省武汉市江夏区九年级（上）月考数学试卷（9 月 份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要 求的） 1．【解答】解：由题意得：a﹣3≠0，|a﹣1|＝2， 解得：a＝﹣1， 故选：A． 2．【解答】解：∵将 x＝1 代入 x2﹣2x+a2﹣1＝0， ∴1﹣2+a2﹣1＝0， ∴a＝± ， ∵△＝4﹣4（a2﹣1） ＝8﹣4a2， ∴当 a＝± 时，△＝0，满足题意， 故选：C． 3．【解答】解：把 x＝a 代入 x2﹣3x﹣5＝0 得 a2﹣3a﹣5＝0， 所以 a2﹣3a＝5， 所以 8﹣a2+3a＝8﹣（a2﹣3a）＝8﹣5＝3． 故选：C． 4．【解答】解：有两种情况：①当 m﹣1＝0，即 m＝1 时，方程为一元一次方程 2x+1＝0，此时方程有解，解为 x＝﹣ ； ②当 m﹣1≠0 时，方程为一元二次方程，此时△＝22﹣4（m﹣1）×1≥0 时，方程有实数根， 解得：m≤2 且 m≠1， 综合上述：当 m≤2 时，关于 x 的方程（m﹣1）x2+2x+1＝0 有实数解， 故选：A．第 6 页（共 13 页） 5．【解答】解：设绿化面积平均每年的增长率为 x， 根据题意即可列出方程 300（1+x）2＝363． 故选：B． 6．【解答】解：当 x＝1 时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2； 当 x＝2 时，y2＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7； 所以 y2＜y1＜2． 故选：D． 7．【解答】解：∵二次函数 y＝﹣2x2+1， ∴该函数图象开口向下，故选项 A 错误； 顶点坐标为（0，1），故选项 B 错误； 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，故选项 C 正确； 当 x＝0 时，y 有最大值 1，故选项 D 错误； 故选：C． 8．【解答】解：y＝x2+x+c， ﹣ ＝﹣ ， 即二次函数图象的对称轴是直线 x＝﹣ ， 设二次函数 y＝x2+x+c 的图象与 x 轴的另一个交点的横坐标是 a， ∵二次函数 y＝x2+x+c 的图象与 x 轴的一个交点为（1，0）， ∴1﹣（﹣ ）＝﹣ ﹣a， 解得：a＝﹣2， ∴关于 x 的方程 x2+x+c＝0 的两实数根分别是 1 和﹣2， 故选：B． 9．【解答】解：m2x2﹣8mx+12＝0， 解法一：△＝（﹣8m）2﹣4m2×12＝16m2， ∴x＝ ＝ ，第 7 页（共 13 页） ∴x1＝ ，x2＝ ， 解法二：（mx﹣2）（mx﹣6）＝0， ∴x1＝ ，x2＝ ， ∵关于 x 的方程 m2x2﹣8mx+12＝0 至少有一个正整数解，且 m 是整数， ∴ ＞0， ＞0， ∴m＝1 或 2 或 3 或 6， 则满足条件的 m 的值的个数是 4 个， 故选：B． 10．【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ＝﹣1， ∴b＝2a＞0， ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵抛物线与 x 轴有 2 个交点， ∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（1，0）， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）， ∴9a﹣3b+c＝0，所以③正确； ∵点（﹣0.5，y1）到直线 x＝﹣1 的距离比点（﹣2，y2）到直线 x＝﹣1 的距离小， 而抛物线开口向上， ∴y1＜y2；所以④错误； ∵b＝2a， ∴5a﹣2b＝5a﹣4a＝a＞0，所以⑤错误． 故选：A．第 8 页（共 13 页） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分共 18 分） 11．【解答】解：根据题意得： x1+x2＝﹣1， 故答案为：﹣1． 12．【解答】解：∵x2﹣6x+q＝0， ∴x2﹣6x+9＝9﹣q， ∴（x﹣3）2＝9﹣q， ∴p＝3，q＝2， ∴原式＝3+2＝5， 故答案为：5 13．【解答】解：抛物线 y＝ x2﹣6x+21＝ （x﹣6）2+3，它的顶点坐标是（6，3）． 将其向左平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（4，5）， 所以新抛物线的解析式是：y＝ （x﹣4）2+5． 故答案为 y＝ （x﹣4）2+5． 14．【解答】解：把 x＝4 代入方程得 x2﹣3mx+4m＝0，解得 m＝2， 则原方程为 x2﹣6x+8＝0， 解得 x1＝2，x2＝4， 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长， ①当△ABC 的腰为 4，底边为 2，则△ABC 的周长为 4+4+2＝10； ②当△ABC 的腰为 2，底边为 4 时，不能构成三角形． 综上所述，该三角形的周长的 10． 故答案为：10． 15．【解答】解：∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2， ∴A 点坐标为（﹣1，0）， 解方程组 得 或 ， ∴点 C′的坐标为（1，4），第 9 页（共 13 页） ∵点 C 和点 C′关于 x 轴对称， ∴C（1，﹣4）， 设原抛物线解析式为 y＝a（x﹣1）2﹣4， 把 A（﹣1，0）代入得 4a﹣4＝0，解得 a＝1， ∴原抛物线解析式为 y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3． 故答案为 y＝x2﹣2x﹣3． 16．【解答】解：∵抛物线 p＝ax2﹣10ax+8＝a（x﹣5）2﹣25a+8， ∴该抛物线的顶点的横坐标是 x＝5，当 x＝0 时，y＝8， ∴点 D 的坐标为：（0，8）， ∴OD＝8， ∵抛物线 p＝ax2﹣10ax+8（a＞0）经过点 C、D，CD∥AB∥x 轴， ∴CD＝5×2＝10， ∴AD＝10， ∵∠AOD＝90°，OD＝8，AD＝10， ∴AO＝ ＝ ＝6， ∵AB＝10， ∴OB＝10﹣AO＝10﹣6＝4， ∴点 B 的坐标为（4，0）， 故答案为：（4，0） 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解答】解：（1）x﹣5＝±4， x﹣5＝4 或 x﹣5＝﹣4， x＝9 或 x＝1； （2）x2﹣4x＝﹣1 x2﹣4x+4＝3， （x﹣2）2＝3， x﹣2＝ ，第 10 页（共 13 页） x＝2+ 或 2﹣ ． 18．【解答】解：（1）由题意可知：△＝4m2﹣4（m﹣2）（m+3）≥0 且 m﹣2≠0， ∴﹣4m+24≥0 且 m≠2， ∴m≤6 且 m≠2； （2）由题意可知：x1+x2＝ ，x1x2＝ ， ∵|x1﹣x2|＝2， ∴ ＝2， ∴（ ）2﹣4× ＝4， ∴解得：m＝ ， ∵m≤6 且 m≠2， ∴m＝ ． 19．【解答】解：（1）4*（﹣2）＝4×（﹣2）+（﹣2）＝﹣8﹣2＝﹣10； 4* ＝4× + ＝5 ； （2）a*x＝ax+x， 由 x*（ax+x）＝﹣ 得 x（ax+x）+ax+x＝﹣ ， 整理得（a+1）x2+（a+1）x+ ＝0， 因为关于 x 的方程（a+1）x2+（a+1）x+ ＝0 有两个相等的实数根， 所以 a+1≠0 且△＝（a+1）2﹣4（a+1）× ＝0， 所以 a＝0． 20．【解答】解：设平行四边形 AGEF 的面积是 S． ∵四边形 AGEF 是平行四边形， ∴EF∥AG； ∵∠A＝30°，∠C＝90°，CE＝x，BC＝6， ∴∠A＝∠CFE＝30°，第 11 页（共 13 页） ∴CF＝ x，AC＝6 ， ∴AF＝6 ﹣ x； ∴S＝AF•CE＝（6 ﹣ x）x＝﹣ x2+6 x，即 S＝﹣ x2+6 x； （1）当 x＝2 时，S＝﹣4 +12 ＝8 ，即 S＝8 ． 答：平行四边形 AGEF 的面积为 （平方单位）…4 分 （2）由 S＝﹣ x2+6 x，得 ， ∴ ， ∴当 x＝3 时，平行四边形 AGEF 的面积最大，最大面积是 （平方单位）…9 分． 21．【解答】解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2+（2k﹣1）x+k2＝0 有两个不等实根 x1，x2， ∴△＝（2k﹣1）2﹣4×1×k2＝﹣4k+1＞0， 解得：k＜ ， 即实数 k 的取值范围是 k＜ ； （2）由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k﹣1）＝1﹣2k，x1•x2＝k2， ∵x1+x2+x1x2﹣1＝0， ∴1﹣2k+k2﹣1＝0， 解得：k＝0 或 2， ∵由（1）知：k＜ ， ∴k＝2 舍去， 即 k＝0． 22．【解答】解：（1）把 A（﹣1，0）代入 y2＝﹣x+m 得：0＝﹣（﹣1）+m， ∴m＝﹣1． 把 A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点代入 y1＝ax2+bx﹣3 得： ，第 12 页（共 13 页） 解得： ， ∴y1＝x2﹣2x﹣3； （2）∵y1＝x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3），抛物线开口向上， ∴A（﹣1，0），B（2，﹣3） ∴当 y2＞y1 时，﹣1＜x＜2； （3）∵抛物线 y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴所求抛物线可由抛物线 y＝x2 向下平移 4 个单位，再向右平移 1 个单位而得到． 23．【解答】解：（1）设年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝kx+b（k≠0）， 将（35，550）、（40，500）代入 y＝kx+b，得 ． 解得： ， ∴年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝﹣10x+900； （2）设此设备的销售单价为 x 万元/台， 则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+900）台， 根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+900）＝8000． 整理，得：x2﹣120x+3500＝0， 解得：x1＝50，x2＝70． ∵此设备的销售单价不得高于 60 万元， ∴x＝50． 答：该设备的销售单价应是 50 万元/台． 24．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝﹣x2+bx+c 过点 A（﹣1，0）和 B（3，0） ∴ ，解得： ， ∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3．第 13 页（共 13 页） （2）∵D（m，﹣m2+2m+3），C（0，3），CE＝CD， ∴点 C 为线段 DE 中点 设点 E（a，b）则 ， ∴E（﹣m，m2﹣2m+3）． ∵0＜m＜3，b＝m2﹣2m+3＝（m﹣1）2+2， ∴当 m＝1 时，纵坐标最小值为 2． 当 m＝3 时，b＝6， 点 E 纵坐标的范围的取值范围是 2≤Ey＜6． （3）连接 BD，过点 D 作 DF⊥x 轴，垂足为 F，DF 交 BC 于点 H． ∵CE＝CD ∴S△BCE＝S△BCD． 设 BC 的解析式为 y＝kx+b，则 ，解得：k＝﹣1，b＝3， ∴BC 的解析式为 y＝﹣x+3． 设 D（m，﹣m2+2m+3），则 H（m，﹣m+3） ∴DH＝﹣m2+3m． ∴S△BCE＝S△BCD＝ DH•OB＝ ×3×（﹣m2+3m）＝﹣ m2+ m． ∴当 m＝1.5 时，S△BCE 有最大值，S△BCE 的最大值＝ ．