2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷

2019-2020 学年九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：（每题 4 分，共 40 分） 1．（4 分）两三角形的相似比是 2：3，则其面积之比是（　　） A． ： B．2：3 C．4：9 D．8：27 2．（4 分）对于抛物线 y＝ （x﹣2）2，下列说法正确的是（　　） A．开口向下，顶点坐标（2，0） B．开口向上，顶点坐标（﹣20） C．开口向下，顶点坐标（2，0） D．开口向上，顶点坐标（2，0） 3．（4 分）若⊙P 的半径为 5，圆心 P 的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点 O 与⊙P 的 位置关系是（　　） A．在⊙P 内 B．在⊙P 上 C．在⊙P 外 D．无法确定 4．（4 分）将抛物线 y＝﹣5x2+1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物 线为（　　） A．y＝﹣5（x+1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y＝﹣5（x+1）2+3 D．y＝﹣5（x﹣1）2+3 5．（4 分）如图，⊙O 的半径为 6，点 A、B、C 在⊙O 上，且∠BCA＝45°，则点 O 到弦 AB 的距 离为（　　） A．3 B．6 C．3 D．6 6．（4 分）已知抛物线 y＝ax2+1 过点（﹣2，0），则方程 a（x﹣2）2+1＝0 的根是（　　） A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝﹣2，x2＝6 C．x1＝﹣4，x2＝0 D．x1＝ ，x2＝ 7．（4 分）如图，△ABC 中，D 是 AB 的中点，DE∥BC，连接 BE．若 AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90 °，则△BCE 的周长是（　　）A．12 B．24 C．36 D．48 8．（4 分）已知⊙O 的直径 CD＝10cm，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 M，且 AB＝8cm，则 AC 的长为（　　） A．2 cm B．4 cm C．2 cm 或 4 cm D．2 cm 或 4 cm 9．（4 分）如图，要在一个长 10m，宽 8m 的院子中沿三边辟出宽度相等的花园（如图阴影部分）， 使花园的面积等于院子面积的 30%，则这花圃的宽度为（　　） A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m 10．（4 分）抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴为直线 x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中， ①4ac＜b2； ②a＞b＞c； @次函数 y＝a+c 的图象不经第四象限； ④m（am+b）+b＜a（m 是任意实数）； ⑤3b+2c＞0； 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）11．（4 分）二次根式 在实数范围内有意义的条件是　 　． 12．（4 分）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出 了一条“路”，他们仅仅少走了　 　步路（假设 2 步为 1 米），却踩伤了花草． 13．（4 分）抛物线 y＝（x﹣2）2﹣3 与 y 轴的交点坐标为　 　． 14．（4 分）设 a，b 是方程 x2﹣2018x﹣1＝0 的两个实数根，则 a+b＝　 　． 15．（4 分）如图，△ABC 内接于⊙O，AH⊥BC 于点 H，若 AC＝8，AH＝6，⊙O 的半径 OC＝5， 则 AB 的值为　 　． 16．（4 分）已知 y＝﹣x（x+3﹣a）+1 是关于 x 的二次函数，当 1≤x≤5 时，如果 y 在 x＝1 时取得 最小值，则实数 a 的取值范围是　 　． 三、解答题（共 9 小题，满分 86 分） 17．（6 分）计算： +（﹣3）0﹣6cos45°+（ ）﹣1． 18．（8 分）解方程： （1）x2＝2x （2）x2﹣4x+2＝0（用配方法） 19．（9 分）泉州市旅游资源丰富，①清源山、②开元寺、③崇武古城二个景区是人们节假日玩的 热点景区，张老师对八（1）班学生“五•”小长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查 ，调查分四个类别：A、游三个景区；B，游两个景区；C，游一个景区：D，不到这三个景区游 玩现根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和廟形统计图，请结合图中信息解答下列问题： （1）八（1）班共有学生　 　人在扇形统计图中，表示“B 类别的扇形的圆心角的度数为　 　； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若小华、小刚两名同学，各自从三个最区中随机选一个作为 5 月 1 日游玩的景区，请用树状图或列表法求他们选中同个景区的概率． 20．（8 分）如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，sinA＝ ，BC＝8，D 是 AB 中点，过点 B 作直线 CD 的垂线，垂足为点 E． （1）求线段 CD 的长； （2）求 cos∠ABE 的值． 21．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+k+1＝0． （1）若方程没有实数根，求 k 的取值范围； （2）若方程有两实数根为 x1 和 x2，且 x2﹣x1x2＝0，求 k 的值． 22．（10 分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价 10 元 /件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16 元/件，市场调查发 现，该产品每天的销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）求每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为 多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23．（10 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB＝AD，对角线 BD 为⊙O 的直径，AC 与 BD 交于点 E．点 F 为 CD 延长线上，且 DF＝BC． （1）证明：AC＝AF； （2）若 AD＝2，AF＝ +1，求 AE 的长； （3）若 EG∥CF 交 AF 于点 G，连接 DG．证明：DG 为⊙O 的切线． 24．（13 分）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发 现：当 a＞0，b＞0 时， ∵（ ）2＝a﹣2 +b≥0 ∴a+b≥2 ，当且仅当 a＝b 时取等号 请利用上述结论解决以下问题： （1）请直接写出答案：当 x＞0 时，x+ 的最小值为　 　．当 x＜0 时，x+ 的最大值为　 　； （2）若 y＝ ，（x＞﹣1），求 y 的最小值； （3）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，△AOB、△COD 的面积分别为 4 和 9， 求四边形 ABCD 面积的最小值． 25．（14 分）如图，已知直线 y＝﹣2x+4 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，抛物线过 A，B 两点，点 P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，交抛物线于点 D． （1）若抛物线的解析式为 y＝﹣2x2+2x+4，设其顶点为 M，其对称轴交 AB 于点 N． ①求点 M 和点 N 的坐标； ②在抛物线的对称轴上找一点 Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，请直接写出点 Q 的坐标； ③是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由； （2）当点 P 的横坐标为 1 时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P、D 为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析 一、选择题：（每题 4 分，共 40 分） 1．解：∵两三角形的相似比是 2：3， ∴其面积之比是 4：9， 故选：C． 2．解：抛物线 y＝ （x﹣2）2， ∵a＝﹣ ＜0， ∴图象开口向下，顶点坐标为（2，0） 故选：A． 3．解：由勾股定理，得 OP＝ ＝5， d＝r＝5， 原点 O 在⊙P 上． 故选：B． 4．解：将抛物线 y＝﹣5x2+1 向左平移 1 个单位长度，得到 y＝﹣5（x+1）2+1，再向下平移 2 个单 位长度， 所得到的抛物线为：y＝﹣5（x+1）2﹣1． 故选：A． 5．解：连接 OA、OB、作 OD⊥AB 于点 D． ∵△OAB 中，OB＝OA＝6，∠AOB＝2∠ACB＝90°， ∴AB＝ ＝6 ， 又∵OD⊥AB 于点 D， ∴OD＝ AB＝3 ． 故选：C．6．解：抛物线 y＝ax2+1 的对称轴为：x＝0， 抛物线与 x 轴的一个交点为：（﹣2，0），则另外一个交点为：（2，0）， 抛物线 y＝ax2+1 向右平移 2 个单位得到：y＝a（x﹣2）2+1， 故 a（x﹣2）2+1＝0 的根是：x＝0 或 4， 故选：A． 7．解：∵D 是 AB 的中点，DE∥BC， ∴DE 是△ABC 的中位线． ∴点 E 是 AC 中点， ∴CE＝AE＝6． ∵DE＝5， ∴BC＝10． ∵∠BEC＝90°， ∴△BCE 是直角三角形， ∴根据勾股定理得，BE＝8， ∴△BCE 的周长为 BC+CE+BE＝10+6+8＝24． 故选：B． 8．解：连接 AC，AO， ∵⊙O 的直径 CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm， ∴AM＝ AB＝ ×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm， 当 C 点位置如图 1 所示时， ∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB， ∴OM＝ ＝ ＝3（cm）， ∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm）， ∴AC＝ ＝ ＝4 （cm）； 当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM＝3cm，∵OC＝5cm， ∴MC＝5﹣3＝2（cm）， 在 Rt△AMC 中，AC＝ ＝ ＝2 （cm）． 故选：C． 9．解：设花圃的宽度为 xm， 依题意，得：10×8﹣（10﹣2x）（8﹣x）＝10×8×30%， 整理，得：x2﹣13x+12＝0， 解得：x1＝1，x2＝12（不合题意，舍去）． 故选：B． 10．解：∵抛物线与 x 轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即 4ac＜b2，所以①正确； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ＝﹣1， ∴b＝2a＞0， ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， ∴c＜0， ∴b＞a＞c，所以②错误； ∵a＞0，c＜0， ∴一次函数 y＝ax+c 的图象经过一三四象限，不过第二象限，所以③错误； ∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1， ∴当 x＝﹣1 时，函数有最小值 y＝a﹣b+c， ∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即 m（am+b）+b≥a，所以④错误； ∵抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线 x＝﹣1，∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）， ∴9a﹣3b+c＝0， ∴18a﹣6b+2c＝0， ∵b＝2a，则 a＝ b， ∴9b﹣6b+2c＝0，即 3b+2c＝0，所以⑤错误． 故选：A． 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11．解：根据题意得：x﹣3≥0， 解得：x≥3． 故答案是：x≥3． 12．解：由勾股定理，得 路长＝ ＝5， 少走（3+4﹣5）×2＝4 步， 故答案为：4． 13．解：当 x＝0 时，y＝（x﹣2）2﹣3＝4﹣3＝1， 所以抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，1）． 故答案为（0，1）． 14．解：∵a，b 是方程 x2﹣2018x﹣1＝0 的两个实数根， ∴a+b＝﹣ ＝2018， 故答案为：2018． 15．解：作直径 AE，连接 CE， ∵AE 是直径， ∴∠ACE＝90°， ∴∠AHB＝∠ACE，又∠B＝∠E， ∴△ABH∽△AEC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得，AB＝ ， 故答案为： ．16．解：第一种情况： 当二次函数的对称轴不在 1≤x≤5 内时，此时，对称轴一定在 1≤x≤5 的右边，函数方能在这个 区域取得最大值， x＝ ＞5，即 a＞13， 第二种情况： 当对称轴在 1≤x≤5 内时，对称轴一定是在区间 1≤x≤5 的中点的右边，因为如果在中点的左边 的话，就是在 x＝5 的地方取得最大值，即： x＝ ≥ ，即 a≥9（此处若 a 取 5 的话，函数就在 1 和 5 的地方都取得最大值） 综合上所述 a≥9． 故答案为：a≥9． 三、解答题（共 9 小题，满分 86 分） 17．解：原式＝3 +1﹣6× +2＝3 +1﹣3 +2＝3． 18．解：（1）x2＝2x， x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， x1＝0 x2＝2； （2）x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝2， （x﹣2）2＝2， x﹣2＝± ， x1＝2+ ，x2＝2﹣ ． 19．解：（1）∵A 类 5 人，占 10%，∴八（1）班共有学生有：5÷10%＝50（人）； ∴在扇形统计图中，表示“B 类别”的扇形的圆心角的度数为： ×360°＝72°； 故答案为：50，72°； （2）D 类的人数有：50﹣5﹣10﹣15＝20（人），如图： （3）分别用 1，2，3 表示清源山、开元寺、崇武古城，画树状图得： ∵共有 9 种等可能的结果，他们选中同个景区的有 3 种情况， ∴他们选中同个景区的概率为： ＝ ． 故答案为： ． 20．解：（1）在△ABC 中，∵∠ACB＝90°， ∴sinA＝ ＝ ， 而 BC＝8， ∴AB＝10， ∵D 是 AB 中点， ∴CD＝ AB＝5； （2）在 Rt△ABC 中，∵AB＝10，BC＝8， ∴AC＝ ＝6，∵D 是 AB 中点， ∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC， ∴S△BDC＝ S△ABC，即 CD•BE＝ • AC•BC， ∴BE＝ ＝ ， 在 Rt△BDE 中，cos∠DBE＝ ＝ ＝ ， 即 cos∠ABE 的值为 ． 21．解：（1）∵方程没有实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4（k+1）＜0， ∴k＞0； （2）∵原方程的两实数根为 x1 和 x2， ∴x1x2＝k+1， ∵x2﹣x1x2＝0， ∴2x﹣k﹣1﹣（k+1）＝0， ∴x＝0， 代入方程可得 0+0+k+1＝0， ∴k＝﹣1． 22．解：（1）设 y 与 x 的函数解析式为 y＝kx+b， 将（10，30）、（16，24）代入，得： ， 解得： ， 所以 y 与 x 的函数解析式为 y＝﹣x+40（10≤x≤16）； （2）根据题意知，W＝（x﹣10）y ＝（x﹣10）（﹣x+40） ＝﹣x2+50x﹣400 ＝﹣（x﹣25）2+225， ∵a＝﹣1＜0， ∴当 x＜25 时，W 随 x 的增大而增大，∵10≤x≤16， ∴当 x＝16 时，W 取得最大值，最大值为 144， 答：每件销售价为 16 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 144 元． 23．（1）证明：∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180°． ∵∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADF． 在△ABC 与△ADF 中， ， ∴△ABC≌△ADF． ∴AC＝AF； （2）解：由（1）得，AC＝AF＝ ． ∵AB＝AD， ∴ ． ∴∠ADE＝∠ACD． ∵∠DAE＝∠CAD， ∴△ADE∽△ACD． ∴ ． ∴ ； （3）证明：∵EG∥CF， ∴ ． ∴AG＝AE． 由（2）得 ， ∴ ． ∵∠DAG＝∠FAD，∴△ADG∽△AFD． ∴∠ADG＝∠F． ∵AC＝AF， ∴∠ACD＝∠F． 又∵∠ACD＝∠ABD， ∴∠ADG＝∠ABD． ∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠BAD＝90°． ∴∠ABD+∠BDA＝90°． ∴∠ADG+∠BDA＝90°． ∴GD⊥BD． ∴DG 为⊙O 的切线． 24．解；（1）当 x＞0 时，x+ ≥2 ＝2 当 x＜0 时，﹣x＞0，﹣ ＞0， ∵﹣x﹣ ≥2 ＝2 ∴则 x+ ＝﹣（﹣x﹣ ）≤﹣2 ∴当 x＞0 时，x+ 的最小值为 2．当 x＜0 时，x+ 的最大值为﹣2； 故答案为：2，；﹣2． （2）∵x＞﹣1 ∴x+1＞0 ∴y＝ ＝ ＝（x+1）+ +5 ≥2 +5 ＝4+5 ＝9 y 的最小值为 9．（3）设 S△BOC＝x，已知 S△AOB＝4，S△COD＝9 则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD ∴x：9＝4：S△AOD ∴S△AOD＝ ∴四边形 ABCD 面积＝4+9+x+ ≥13+2 ＝25 当且仅当 x＝6 时，取等号， ∴四边形 ABCD 面积的最小值为 25． 25．解：（1）①函数的对称轴为：x＝﹣ ＝ ，故点 M（ ， ）， 当 x＝ 时，y＝﹣2x+4＝3，故点 N（ ，3）； ②设抛物线与 x 轴左侧的交点为 R（﹣1，0），则点 A 与 R 关于抛物线的对称轴对称， 连接 RB 并延长交抛物线的对称轴于点 Q，则点 Q 为所求， 将 R、B 的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b 并解得： 直线 RB 的表达式为：y＝4x+4， 当 x＝ 时，y＝6， 故点 Q（ ，6）； ③不存在，理由： 设点 P（x，﹣2x+4），则点 D（x，﹣2x2+2x+4），MN＝ ﹣3＝ ， 四边形 MNPD 为菱形，首先 PD＝MN， 即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝ ，解得：x＝ 或 （舍去 ）， 故点 P（ ，1），而 PN＝ ＝ ≠MN， 故不存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形； （2）当点 P 的横坐标为 1 时，则其坐标为：（1，2），此时点 A、B 的坐标分别为：（2，0）、 （0，4）， ①当∠DBP 为直角时，以 B、P、D 为顶点的三角形与△AOB 相似， 则∠BAO＝∠BDP＝α，tan∠BAO＝ ＝2＝tanα，则 sinα＝ ， PA＝ ，PB＝AB﹣PA＝2 ﹣ ＝ ， 则 PD＝ ＝ ，故点 D（1， ）； ②当∠BDP 为直角时，以 B、P、D 为顶点的三角形与△AOB 相似， 则 BD∥x 轴，则点 B、D 关于抛物线的对称轴对称，故点 D（1，4）， 综上，点 D 的坐标为：（1，4）或（1， ）， 将点 A、B、D 的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+bx+c 并解得：y＝﹣2x2+2x+4 或 y＝﹣ x2+3x+4．