2019-2020学年十校联考九年级（上）期中数学试卷

2019-2020 学年江西省南昌市十校联考九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，每小题只有一个正确选项） 1．（3 分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3 分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+2x﹣3 B．x2+3＝0 C．（x2+3）2＝9 D． 3．（3 分）抛物线 y＝﹣x2+2x+6 的对称轴是（　　） A．直线 x＝1 B．直线 x＝﹣1 C．直线 x＝﹣2 D．直线 x＝2 4．（3 分）有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，作出了如下图所示的树形图，则此次 摸球的游戏规则是（　　） A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出 1 个球 B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出 1 个球 C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出 3 个球 D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出 3 个球 5．（3 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB 的大小为（　　） A．40° B．30° C．45° D．50° 6．（3 分）抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x＝﹣1，与 x 轴的一个交点在（﹣3，0 和（﹣ 2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论： ①2a﹣b＝0： ②4ac﹣b2＜0： ③点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上若 x1＜x2，则 y1＜y2；④a+b+c＜0． 正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 7．（3 分）当 m＝　 　时，方程 是关于 x 的一元二次方程． 8．（3 分）已知 m 是方程 2x2+3x﹣1＝0 的根，求 m2+ m 的值为　 　． 9．（3 分）如图所示，折叠矩形 ABCD，使点 A 落在 BC 边的点 E 处，DF 为折痕，已知 AB＝8cm， BC＝10cm，则 BE 的长等于　 　cm． 10．（3 分）如图，▱ABCD 中，∠B＝65°，BC＝10，以 AD 为直径的⊙O 交 CD 于点 E，则 的 长为　 　． 11．（3 分）某地 2018 年农民人均年收入为 49000 元，计划到 2020 年，农民人均年收入达到 90000 元，设人均年收入的平均增长率为 x，则可列方程　 　． 12．（3 分）如图，已知直线 y＝ x+1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 y＝ x2+bx+c 与 直线交于 A、E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找 一点 M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点 M 的坐标　 　三、解答题（本大题共 4 个小题，共 30 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12 分）解方程 ①4﹣x2＝0． ②x2﹣3x+2＝0． ③x2+6x﹣1＝0． 14．（6 分）请仅用无刻度的直尺，用连线的方法在图 1、图 2 中分别过圆外一点 A 作直径 BC 所在 直线的垂线． 15．（6 分）如图，在△ABC 中，AB＝ m，BC＝40m，∠C＝90°，点 P 从点 A 开始沿边 AC 边向点 C 以 2m/s 的違度匀速移动，同时另一点 Q 由 C 点开始以 3m/s 的速度沿着边 CB 匀速移动 ，几秒时，△PCQ 的面积等于 432m2？ 16．（6 分）某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分 别记为 a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾” 箱，分别记为 A，B，C． （1）若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请画树状图或列表求垃圾投放正确的概率； （2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共 100 吨生活垃 圾，数据统计如下表（单位：吨）： A B C a 40 10 10 b 3 24 3 c 2 2 6 试估计该小区居民“厨余垃圾”投放正确的概率约是多少． 四、解答题（本大题共 4 个小题：每小题 8 分，共 32 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 17．（8 分）如图，点 D 为⊙O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且∠CDA＝∠CBD． （1）判断直线 CD 和⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）过点 B 作⊙O 的切线 BE 交直线 CD 于点 E，若 BE＝5，CD＝8，求⊙O 的半径． 18．（8 分）如图，△ABC 中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点 A 按逆时针方 向旋转得到的，连接 BE、CF 相交于点 D． （1）求证：BE＝CF； （2）当四边形 ABDF 为菱形时，求 CD 的长． 19．（8 分）音乐喷泉（图 1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边 18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线 y＝kx 上变 动，从而产生一组不同的抛物线（图 2），这组抛物线的统一形式为 y＝ax2+bx． （1）若已知 k＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达 3m，求此时 a、b 的值； （2）若 k＝1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？ （3）若 k＝3，a＝﹣ ，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？ 20．（8 分）已知：▱ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x2﹣mx+ ﹣ ＝0 的两个实数根． （1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若 AB 的长为 2，那么▱ABCD 的周长是多少？ 五、解答题（本大题共 1 个小题，共 10 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（10 分）如图，⊙O 的半径为 1，A，P，B，C 是⊙O 上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC 的形状：　 　； （2）试探究线段 PA，PB，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点 P 位于 的什么位置时，四边形 APBC 的面积最大？求出最大面积． 六、解答题（本大题共 1 个小题，共 12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22．（12 分）在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若 AO＝2 ，OC＝1，∠ACB＝90°． （1）直接写出点 B 的坐标是　 　； （2）如果抛物线 l：y＝ax2﹣ax﹣2 经过点 B，试求抛物线 l 的解析式；（3）把△ABC 绕着点 C 逆时针旋转 90°后，顶点 A 的对应点 A1 是否在抛物线 l 上？为什么？ （4）在 x 轴上方，抛物线 l 上是否存在一点 P，使由点 A，C，B，P 构成的四边形为中心对称图 形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，每小题只有一个正确选项） 1．解：A、不是轴对称图形．是中心对称图形，故错误； B、是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； D、是轴对称图形．不是中心对称图形，故错误． 故选：B． 2．解：A、不是方程，错误； B、符合一元二次方程的定义，正确； C、原式可化为 x4+6x2＝0，是一元四次方程，错误； D、是分式方程，错误． 故选：B． 3．解：∵抛物线 y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7， ∴该抛物线的对称轴是直线 x＝1， 故选：A． 4．解：观察树形图可得：袋子中共有红、黄、蓝三个小球， 此次摸球的游戏规则为：随机摸出一个球后放回，再随机摸出 1 个球． 故选：A． 5．解：△AOB 中，OA＝OB，∠ABO＝50°， ∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝80°， ∴∠ACB＝ ∠AOB＝40°， 故选：A． 6．解：①函数的对称轴是 x＝﹣1，即﹣ ＝﹣1，则 b＝2a，2a﹣b＝0，故本选项正确； ②函数与 x 轴有两个交点，则 b2﹣4ac＞0，即 4ac﹣b2＜0，故本选项正确； ③因为不知道点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上所处的位置，所以 y1 和 y2 的大小无法判断， 则本选项错误． ④∵（﹣3，0）关于直线 x＝﹣1 的对称点是（1，0），且当 x＝﹣3 时，y＜0， ∴当 x＝1 时，函数对应的点在 x 轴下方，则 a+b+c＜0，则本选项正确； 故选：C．二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 7．解：因为原方程为关于 x 的一元二次方程， 所以 ， 解得：m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 8．解：把 m 代入方程有： 2m2+3m﹣1＝0 2m2+3m＝1 两边同时除以 6 有： m2+ m＝ ． 故答案是： ． 9．解：根据题意得 DE＝AD＝BC＝10，CD＝AB＝8，∠C＝90°， ∴EC＝ ＝ ＝6． ∴BE＝10﹣6＝4（cm）． 10．解：连接 OE，如图所示： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝65°，AD＝BC＝10， ∴OA＝OD＝5， ∵OD＝OE， ∴∠OED＝∠D＝65°， ∴∠DOE＝180°﹣2×65°＝50°， ∴ 的长＝ ＝ π． 11．解：设人均年收入的平均增长率为 x， 依题意，得：49000（1+x）2＝90000．故答案为：49000（1+x）2＝90000． 12．解：∵直线 y＝ x+1 与 y 轴交于点 A， ∴点 A 的坐标为（0，1）， 将 A（0，1）、B（1，0）坐标代入 y＝ x2+bx+c 得 ， 解得： ． ∴物线的解折式为 y＝ x2﹣ x+1＝ （x﹣ ）2﹣ ； 则抛物线的对称轴为 x＝ ，B、C 关于 x＝ 对称， ∴MC＝MB， 要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当 A、B、M 在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大． 知直线 AB 的解析式为 y＝﹣x+1 ∴ ， 解得： ． 则 M（ ，﹣ ）， 故答案为：（ ，﹣ ）． 三、解答题（本大题共 4 个小题，共 30 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．解：①4﹣x2＝0， x2＝4， 开方得：x1＝2，x2＝﹣2； ②x2﹣3x+2＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0，x﹣1＝0， x1＝2，x2＝1； ③x2+6x﹣1＝0， b2﹣4ac＝62﹣4×1×（﹣1）＝40， x＝ ， x1＝﹣3+ ，x2＝﹣3﹣ ． 14．解：如图 1、如图 2，直线 AF 为所作． 15．解：在△ABC 中，AB＝ m，BC＝40m，∠C＝90°， ∴AC＝ ＝50m． 设 x 秒时，△PCQ 的面积等于 432m2， 依题意，得： ×3x×（50﹣2x）＝432， 解得：x1＝9，x2＝16． ∵3x＜40， ∴x＜13 ， ∴x＝9． 答：9 秒时，△PCQ 的面积等于 432m2． 16．解：（1）如图所示： 小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱；共有 9 种情况， 其中投放正确的有 3 种情况， ∴P（垃圾投放正确）＝ ＝ ； （2）∵ ＝ ，∴估计该小区“厨余垃圾”投放正确的概率约为 ． 四、解答题（本大题共 4 个小题：每小题 8 分，共 32 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 17．解：（1）直线 CD 和⊙O 的位置关系是相切，理由如下： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∵∠CDA＝∠CBD， ∴∠DAB+∠CDA＝90°， ∵OD＝OA， ∴∠DAB＝∠ADO， ∴∠CDA+∠ADO＝90°， 即∠CDO＝90°， ∴OD⊥CE， ∴直线 CD 是⊙O 的切线； （2）∵CD 是⊙O 的切线，BE 是⊙O 的切线， ∴DE＝BE＝5，∠CBE＝90°＝∠CDO， ∴CE＝CD+DE＝13， ∴BC＝ ＝ ＝12， ∵∠C＝∠C，∴△COD∽△CEB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：OC＝ ， ∴OB＝BC﹣OC＝ ， 即⊙O 的半径为 ．18．（1）证明：如图 ， ∵△AEF 是由△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到的， ∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°， ∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3， 即∠BAE＝∠CAF，在△ABE 和△ACF 中 ， ∴△ABE≌△ACF， ∴BE＝CF； （2）解：如图 ， ∵四边形 ABDF 为菱形， ∴DF＝AF＝2，DF∥AB， ∴∠1＝∠BAC＝45°， ∴△ACF 为等腰直角三角形， ∴CF＝ AF＝2 ， ∴CD＝CF﹣DF＝2 ﹣2． 19．解：（1）∵y＝ax2+bx 的顶点为（﹣ ），抛物线的顶点在直线 y＝kx 上，k＝1，抛 物线水线最大高度达 3m， ∴ ， ， 解得，a＝ ，b＝2， 即 k＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达 3m，此时 a、b 的值分别是 ；（2）∵k＝1，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边 18m，抛物线的顶点在直线 y＝kx 上， ∴此时抛物线的对称轴为 x＝9，y＝x＝9， 即此时喷出的抛物线水线最大高度是 9 米； （3）∵y＝ax2+bx 的顶点为（﹣ ）在直线 y＝3x 上，a＝﹣ ， ∴ ， 解得，b＝6， ∴抛物线 y＝ ， 当 y＝0 时，0＝ ， 解得，x1＝21，x2＝0， ∵21＞18， ∴若 k＝3，a＝﹣ ，则喷出的抛物线水线能达到岸边， 即若 k＝3，a＝﹣ ，喷出的抛物线水线能达到岸边． 20．解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝AD， ∴△＝0，即 m2﹣4（ ﹣ ）＝0， 整理得：（m﹣1）2＝0， 解得 m＝1， 当 m＝1 时，原方程为 x2﹣x+ ＝0， 解得：x1＝x2＝0.5， 故当 m＝1 时，四边形 ABCD 是菱形，菱形的边长是 0.5； （2）把 AB＝2 代入原方程得，m＝2.5， 把 m＝2.5 代入原方程得 x2﹣2.5x+1＝0，解得 x1＝2，x2＝0.5， ∴C▱ABCD＝2×（2+0.5）＝5． 五、解答题（本大题共 1 个小题，共 10 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．证明：（1）△ABC 是等边三角形． 证明如下：在⊙O 中∵∠BAC 与∠CPB 是 所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是 所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC， 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴△ABC 为等边三角形； （2）在 PC 上截取 PD＝AP，如图 1， 又∵∠APC＝60°， ∴△APD 是等边三角形， ∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°． 又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°， ∴∠ADC＝∠APB， 在△APB 和△ADC 中， ， ∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP＝CD， 又∵PD＝AP， ∴CP＝BP+AP； （3）当点 P 为 的中点时，四边形 APBC 的面积最大． 理由如下，如图 2，过点 P 作 PE⊥AB，垂足为 E． 过点 C 作 CF⊥AB，垂足为 F． ∵S△APB＝ AB•PE，S△ABC＝ AB•CF， ∴S 四边形 APBC＝ AB•（PE+CF）， 当点 P 为 的中点时，PE+CF＝PC，PC 为⊙O 的直径， ∴此时四边形 APBC 的面积最大． 又∵⊙O 的半径为 1， ∴其内接正三角形的边长 AB＝ ， ∴S 四边形 APBC＝ ×2× ＝ ．六、解答题（本大题共 1 个小题，共 12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22．解：（1）如图 1，过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为 D， ∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠AC0+∠OAC＝90°， ∴∠BCD＝∠CAO， 又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC， 在△BDC 和△COA 中， ， ∴△BDC≌△COA（AAS）， ∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2， ∴点 B 的坐标为（3，1）； （2）∵抛物线 y＝ax2﹣ax﹣2 过点 B（3，1）， ∴1＝9a﹣3a﹣2， 解得：a＝ ， ∴抛物线的解析式为 y＝ x2﹣ x﹣2； （3）旋转后如图 1 所示，过点 A1 作 A1M⊥x 轴， ∵把△ABC 绕着点 C 逆时针旋转 90°， ∴∠ABC＝∠A1BC＝90°，∴A1，B，C 共线， 在三角形 BDC 和三角形 A1CM 中 ∴三角形 BDC≌三角形 A1CM ∴CM＝CD＝3﹣1＝2，A1M＝BD＝1， ∴OM＝1， ∴点 A1（﹣1，﹣1）， 把点 x＝﹣1 代入 y＝ x2﹣ x﹣2， y＝﹣1， ∴点 A1 在抛物线上． （4）设点 P（t， t2﹣ t﹣2）， 点 A（0，2），点 C（1，0），点 B（3，1）， 若点 P 和点 C 对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得： ， ， 无解， 若点 P 和点 A 对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：， ， 无解， 若点 P 和点 B 对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得： ， ， 解得：t＝﹣2， t2﹣ t﹣2＝1 所以：存在，点 P（﹣2，1）．