2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷

2019-2020 学年九年级上学期期中数学试卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 2 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项 A、B、C、D 中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填涂在答题卡相应的位置．） 1．（2 分）在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，则 cosB 的值是（　　） A． B． C． D．2 2．（2 分）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝ ，则 AC 的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2 分）如图，△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，下列条件中，不能判定△ABC∽△AED 的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 4．（2 分）如图，AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 O， ，AD＝10，则 OA 的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2 分）如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝26°，则∠OBC 的度数为（　　） A．52° B．62° C．64° D．74° 6．（2 分）如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A，连结 PO 并延长交⊙O 于点 C，连结 AC， AB＝10，∠P＝30°，则 AC 的长度是（　　）A． B． C．5 D． 7．（2 分）如图，△ABC 中，D 是 AB 边上一点，∠ACD＝∠B，AD＝2，AC＝4，△ADC 的面积为 2，则△BCD 的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（2 分）如图，小明在 300 米高的楼顶上点 A 处测得一塔的塔顶 D 与塔基 C 的俯角分别为 30° 和 60°，则塔高 CD 为（　　） A．100 米 B．100 米 C．180 米 D．200 米 9．（2 分）如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 为 CD 上一点，CD＝4CF，下列结论： （1）∠BAE＝30°； （2）AE⊥EF； （3）AE＝2EF．其中正确的个数为（　　）A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 10．（2 分）如图，△ABC 中，∠A＝90°，AC＝6，AB＝8，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心，OC 为 半径的圆与 AB 相切于 D，则⊙O 的半径为（　　） A． B． C．4 D．5 二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区 域内） 11．（2 分）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 AB＝2AC，则 tanA＝　 　． 12．（2 分）如图，AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝6，则 CE 的长为　 　． 13．（2 分）如图，矩形 ABCD 中，BE⊥AC 分别交 AC，AD 于点 F、E，AF＝2，AC＝6，则 AB 的 长为　 　． 14．（2 分）如图，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为，正方形 BEFG 的边长为 6，则点 C 的坐标为　 　． 15．（2 分）如果等边三角形内切圆的半径为 2，那么这个等边三角形的边长为　 　． 16．（2 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 9cm，sin∠BAC＝ ，则对角线 AC 的长为　 　． 17．（2 分）如图，矩形 AOBC 中，点 A 的坐标为（﹣2，1），OB＝5，则点 B 的坐标为　 　． 18．（2 分）如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心 A 的坐标为（﹣1，0），半径为 1，点 P 为直线 y ＝﹣ x+3 上的动点，过点 P 作⊙A 的切线，切点为 Q，则切线长 PQ 的最小值是　 　． 三、解答题（本大题共 84 分，把解答或证明过程写在答题卡的相应的区域内） 19．（6 分）计算：cos230°﹣ cos45°+tan30°•sin60°． 20．（6 分）如图，△ABC 中，AD⊥BC，垂足是 D，若 BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝ ，求 sinC 的值．21．（8 分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，﹣3），B（3，﹣1），C（5，﹣4），以 P（1，﹣1）位似中心，在第四象限内，画出△ABC 和它的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1 与△ ABC 的相似比为 2：1，并写出点 A1、B1、C1 的坐标． 22．（8 分）如图，D 是△ABC 边 BC 上一点，AC＝6，CD＝4，BD＝5，说明∠B＝∠CAD 的理由． 23．（9 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP＝2，∠APC＝30°，⊙O 的半径为 4，求 CD 的长． 24．（9 分）如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，E 是边 CD 的中点，连接 AE，过 B 作 BF⊥AE 交 AE 于点 F，求 BF 的长．25．（9 分）如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点 D，交 BC 于点 P，∠APB＝75°，∠BAC ＝90°，BD＝4，求△ABC 的外接圆的半径及∠ADB 的度数． 26．（9 分）如图，等边△ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，∠ADE＝60° （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若 BD＝4，CE＝ ，求△ABC 的边长． 27．（10 分）如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点 P 是⊙O 外一点，连接 PB、AB，∠PBA ＝∠C． （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）连接 OP，若 OP∥BC，且 OP＝8，⊙O 的半径为 2 ，求 BC 的长． 28．（10 分）如图，某游船从小岛 P 处出发，沿北偏东 60°的方向航行 800 米到达 A 处，再向正 南方向航行一段时间到 B 处，此时从 B 处观测小岛 P 在北偏西 45°的方向上，求此时游船与小 岛 P 的距离 PB．参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 2 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项 A、B、C、D 中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填涂在答题卡相应的位置．） 1．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝2，AC＝1， ∴BC＝ ＝ ， ∴cosB＝ ＝ ． 故选：C． 2．【解答】解：sinA＝ ， ∴ ＝ ， 解得，AB＝10， 由勾股定理得，AC＝ ＝ ＝8， 故选：C． 3．【解答】解：A、∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故 A 选项不符合题意； B、∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故 B 选项不符合题意； C、 ＝ 且夹角∠A＝∠A，则能判定△ADE∽△ACB，故 C 选项不符合题意； D、 ＝ ，不能确定△ADE∽△ACB，故 D 选项符合题意． 故选：D． 4．【解答】解：∵AB∥CD， ∴ ， 即 ， 解得，AO＝4， 故选：B． 5．【解答】解：如图，连接 OC，∵∠A＝26°，∠BOC＝2∠A， ∴∠BOC＝52° ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝ ＝64° 故选：C． 6．【解答】解： 方法 1、过点 D 作 OD⊥AC 于点 D， ∵AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A， ∴AB⊥AP， ∴∠BAP＝90°， ∵∠P＝30°， ∴∠AOP＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∵OA＝OC， ∴∠OAD＝30°， ∵AB＝10， ∴OA＝5， ∴OD＝ AO＝2.5， ∴AD＝ ＝ ， ∴AC＝2AD＝5 ， 故选 A， 方法 2、如图， 连接 BC，∵AP 是⊙O 的切线， ∴∠BAP＝90°，∵∠P＝30°， ∴∠AOP＝60°， ∴∠BOC＝60°， ∴∠ACP＝∠BAC＝ ∠BOC＝30°＝∠P， ∴AP＝AC， ∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ACB＝90°， 在 Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，AB＝10， ∴AC＝5 ， 故选：A． 7．【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴ ， ∵S△ACD＝2， ∴S△ABC＝8， ∴S△BCD＝S△ABC﹣S△ACD＝8﹣2＝6． 故选：C． 8．【解答】解：延长 CD 交过 A 的水平线于点 E．∵在 300m 高的峭壁上测得一塔的塔基的俯角为 60°． ∴BC＝ ． 易得 AE＝ ，CE＝AB＝300． ∵在 300m 高的峭壁上测得一塔的塔顶的俯角分别为 30°，且 BC＝ ． ∴DE＝100 ∴CD＝200． 故选：D． 9．【解答】解：如图所示： （1））∠BAE＝30°是错误的，其原因如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90° 又∵E 是 BC 的中点， ∴BE＝CE＝ BC＝ AB， 又∵在 Rt△ABE 中，tan∠BAE＝ ＝ ， tan30°＝ ， ∴ ∴∠BAE＜30°，∴（1）不正确； （2）AE⊥EF 是正确的，其原因如下： ∵CD＝4CF， ∴CD＝2CE， ∵ ，∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECF， ∴∠BAE＝∠CEF， 又∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠AEB+∠CEF＝90°， 又∵∠BEA+∠AEF+∠CEF＝180°， ∴∠AEF＝90°， ∴AE⊥EF， ∴（2）正确． （3）AE＝2EF 正确，其原因如下： ∵由（2）可知△ABE∽△ECF， ∴ ， ∴AE＝2EF， 所以③正确； 综合所述，（2）（3）正确． 故选：C． 10．【解答】解：连接 OD，则 OD⊥AB． ∵∠A＝90°，AC＝6，AB＝8， ∴BC＝10， ∵∠A＝90°， ∴OD∥AC， 设半径为 r， ，r＝ ， 故选：B． 二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区 域内） 11．【解答】解：在 Rt△ABC 中， ∵∠C＝90°，AB＝2AC， ∴设 AB＝2x，AC＝x， 则 BC＝ ＝ x， 则 tanA＝ ＝ ． 故答案为： ． 12．【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴ ， 即 ， 解得：CE＝4， 故答案为：4 13．【解答】解：∵BE⊥AC， ∴∠BAF+∠ABF＝90°， ∵矩形 ABCD 中，∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠BAF＝90°， ∴∠ACB＝∠ABF， ∵∠BAF＝∠BAC， ∴△BFA∽△CBA， ∴ ， ∴AB2＝AC•AF＝6×2＝12， ∴ ． 故答案为：2 ． 14．【解答】解：∵正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形， ∴BC∥EF，∴△OBC∽△OEF， ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ， 解得，OB＝3，BC＝2， ∴点 C 的坐标为（3，2）， 故答案为：（3，2）． 15．【解答】解： 如图，△ABC 的内切圆的半径 OD＝2，连接 OB，OC， ∵△BAC 是等边三角形， ∴∠AB＝BC＝AC，∠ABC＝60°， ∴∠OBD＝30°， ∴OB＝2OD＝4， 由勾股定理得：BD＝ ＝ ＝2 ， 同理 CD＝2 ， 即 BC＝2 +2 ＝4 ， 故答案为：4 ． 16．【解答】解：连接 BD，交 AC 与点 O， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， 在 Rt△AOB 中， ∵AB＝9cm，sin∠BAC＝ ， ∴sin∠BAC＝ ＝ ， ∴BO＝6， ∴AB2＝OB2+AO2， ∴AO＝ ＝ ＝3 ， ∴AC＝2AO＝6 ，故答案为 6 ． 17．【解答】解：如图，过点 A 作 AE⊥x 轴于 E，BF⊥x 轴于 F， ∵点 A 的坐标为（﹣2，1）， ∴AE＝1，EO＝2， ∵四边形 AOBC 是矩形， ∴∠AOB＝90°， ∴∠AOE+∠BOF＝90°， ∵∠BOF+∠OBF＝90°， ∴∠AOE＝∠OBF， ∴tan∠AOE＝tan∠OBF＝ ， 设 OF＝x，则 BF＝2x， ∵OB2＝OF2+BF2， ∴25＝5x2， ∴x＝ ， ∴OF＝ ，BF＝2 ， ∴点 B 的坐标为（ ，2 ）， 故答案为（ ，2 ）． 18．【解答】解：如图，作 AP⊥直线 y＝﹣ x+3，垂足为 P，作⊙A 的切线 PQ，切点为 Q，此时 切线长 PQ 最小， ∵A 的坐标为（﹣1，0）， 设直线与 x 轴，y 轴分别交于 C，B，∴B（0，3），C（4，0）， ∴OB＝3，AC＝5， ∴BC＝ ＝5， ∴AC＝BC， 在△APC 与△BOC 中， ， ∴△APC≌△BOC， ∴AP＝OB＝3， ∴PQ＝ ＝2 ． ∵PQ2＝PA2﹣1，此时 PA 最小，所以此时切线长 PQ 也最小，最小值为 2 ． 三、解答题（本大题共 84 分，把解答或证明过程写在答题卡的相应的区域内） 19．【解答】解：原式＝ ﹣ × + × ＝ ﹣ + ＝ ﹣ ． 20．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°， 在 Rt△ABD 中，tan∠BAD＝ ＝ ， ∴BD＝ADtan∠BAD＝9， ∵BC＝14， ∴CD＝BC﹣BD＝5， ∴AC＝ ＝13， ∴sinC＝ ＝ ． 21．【解答】解：如图所示，即为△A1B1C1，点 A1、B1、C1 的坐标：A1（3，﹣5）B1（5，﹣1）C1（9，﹣7）． 22．【解答】解：∵AC＝6，CD＝4，BD＝5， ∴BC＝CD+BD＝9， ∴ ， ∴∠ACD＝∠BCA， ∴△ACD∽△BCA， ∴∠B＝∠CAD． 23．【解答】解：作 OH⊥CD 于 H，连结 OC，如图， ∵OH⊥CD， ∴HC＝HD， ∵AP＝2，OA＝4， ∴OP＝OA﹣AP＝2， 在 Rt△OPH 中，∵∠OPH＝30°， ∴∠POH＝60°， ∴OH＝ OP＝1， 在 Rt△OHC 中，∵OC＝4，OH＝1， ∴CH＝ ， ∴CD＝2CH＝2 ．24．【解答】解：在矩形 ABCD 中，∵CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝90°， ∵E 是边 CD 的中点， ∴DE＝ CD＝2， ∴AE＝ ＝ ＝2 ， ∵BF⊥AE， ∴∠BAE+∠DAE＝∠DAE+∠AED＝90°， ∴∠BAE＝∠AED， ∴△ABF∽△AED， ∴ ， 即 ， ∴BF＝ ． 25．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD 平分∠BAC， ∴∠BAP＝∠CAP＝45°， ∵∠APB＝75°， ∴∠C＝75°﹣45°＝30°； 连接 CD，如图， ∵∠BAC＝90°， ∴BC 为直径， ∴∠BDC＝90°， ∵∠BAD＝∠CAD， ∴DB＝BC， ∴△DBC 为等腰直角三角形， ∴BC＝ BD＝4 ， ∴△ABC 外接圆的半径为 2 ．26．【解答】证明（1）∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC； ∴CD＝BC﹣BD＝AB﹣3； ∴∠BAD+∠ADB＝120° ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB+∠EDC＝120°， ∴∠DAB＝∠EDC， 又∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCE； （2）解：∵△ABD∽△DCE， ∴ ， ∵BD＝4，CE＝ ， ∴ ， 解得 AB＝6． 27．【解答】（1）证明：连接 OB，如图所示： ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠C+∠BAC＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠BAC＝∠OBA， ∵∠PBA＝∠C， ∴∠PBA+∠OBA＝90°， 即 PB⊥OB， ∴PB 是⊙O 的切线；（2）解：∵⊙O 的半径为 2 ， ∴OB＝2 ，AC＝4 ， ∵OP∥BC， ∴∠CBO＝∠BOP， ∵OC＝OB， ∴∠C＝∠CBO， ∴∠C＝∠BOP， 又∵∠ABC＝∠PBO＝90°， ∴△ABC∽△PBO， ∴ ， 即 ， ∴BC＝2． 28．【解答】解：作 PC⊥AB 于 C， 由题意得，∠APC＝30°，∠BPC＝45°， 在 Rt△APC 中，cos∠APC＝ ， 则 PC＝PA•cos∠APC＝400 ， 在 Rt△BPC 中，cos∠BPC＝ ， 则 PB＝ ＝400 ， 答：游船与小岛 P 的距离 PB 为 400 米．