北师大版九年级数学上册 第六章反比例函数测试试卷【含答案】.docx

第六章《反比例函数》单元测试试卷 一、选择题（共 12 小题；共 36 分） 1. 已知点 ( ―2,푦1)，( ―1,푦2)，(1,푦3) 都在反比例函数 푦 = 푘 푥(푘 < 0) 的 图象上，那么 푦1，푦2 与 푦3 的大小关系是 (  ) A. 푦3 < 푦1 < 푦2 B. 푦3 < 푦2 < 푦1 C. 푦1 < 푦2 < 푦3 D. 푦1 < 푦3 < 푦2 2. 函数 푦 = 2 푥 + 1 的图象可能是 (  ) A. B. C. D. 3. 若点 퐴( ―5,푦1)，퐵( ―3,푦2)，퐶(2,푦3) 在反比例函数 푦 = 3 푥 的图象上， 则 푦1，푦2，푦3 的大小关系是 (  ) A. 푦1 < 푦3 < 푦2 B. 푦1 < 푦2 < 푦3 C. 푦3 < 푦2 < 푦1 D. 푦2 < 푦1 < 푦3 4. 函数 푦 = 2 푥 的图象经过一组平移后，得到函数 푦 = 푥 + 1 푥 ― 1 的图象，这组 平移正确的是 (  ) A. 先向上平移 1 个单位，再向左平移 1 个单位 B. 先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位 C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位 D. 先向下平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位 5. 已知 푦1 = 푚푥(푚 ≠ 0)，푦2 = 푘 푥(푘 ≠ 0)，当 푥 = 1 时，푦1 = 푦2，当 푥 = 2 时，푦1 = 푦2 +9，当 푥 = 3 时，푦1 ― 푦2 的值为 (  ) A. 3 B. 12 C. 16 D. 21 6. 已知一次函数 푦1 = 푘푥 + 푏(푘 < 0) 与反比例函数 푦2 = 푚 푥 (푚 ≠ 0) 的图 象相交于 퐴，퐵 两点，其横坐标分别是 ―1 和 3，当 푦1 > 푦2，实数 푥 的取值范围是 (  ) A. 푥 < ―1 或 0 < 푥 < 3 B. ―1 < 푥 < 0 或 0 < 푥 < 3 C. ―1 < 푥 < 0 或 푥 > 3 D. 0 < 푥 < 3 7. 若函数 푦 = (푚 + 2)푥∣푚∣―3 是反比例函数，则 (  ) A. 푚 = 2 B. 푚 = ―2 C. 푚 =± 2 D. 푚 ≠ 2 8. 反比例函数 푦 = 푎 푥 （ 푎 > 0，푎 为常数）和 푦 = 2 푥 在第一象限内的图 象如图所示，点 푀 在 푦 = 푎 푥 的图象上，푀퐶 ⊥ 푥 轴于点 퐶，交 푦 = 2 푥 的图象于点 퐴；푀퐷 ⊥ 푦 轴于点 퐷，交 푦 = 2 푥 的图象于点 퐵，当点 푀 在 푦 = 푎 푥 的图象上运动时，以下结论： ① 푆△푂퐷퐵 = 푆△푂퐶퐴； ②四边形 푂퐴푀퐵 的面积不变； ③当点 퐴 是 푀퐶 的中点时，则点 퐵 是 푀퐷 的中点． 其中正确结论的个数是 (  ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 在四边形 퐴퐵퐶퐷 中，∠퐵 = 90∘，퐴퐶 = 4，퐴퐵 ∥ 퐶퐷，퐷퐻 垂直平分 퐴퐶，点 퐻 为垂足．设 퐴퐵 = 푥，퐴퐷 = 푦，则 푦 关于 푥 的函数关系用 图象大致可以表示为 (  ) A. B. C. D. 10. 反比例函数 푦 = 1 ― 6푡 푥 的图象与直线 푦 = ―푥 + 2 有两个交点，且两交 点横坐标的积为负数，则 푡 的取值范围是 (  ) A. 푡 < 1 6 B. 푡 > 1 6 C. 푡 ≤ 1 6 D. 푡 ≥ 1 6 11. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 푃(kPa) 是气体体积 푉(m3) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球 内的气压大于 120kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积 应 (  ) A. 不小于 5 4m3 B. 小于 5 4m3 C. 不小于 4 5m3 D. 小于 4 5m3 12. 如图， △ 푂퐴퐶 和 △ 퐵퐴퐷 都是等腰直角三角形，∠퐴퐶푂 = ∠퐴퐷퐵 = 90∘，反比例函数 푦 = 6 푥 在第一象限的图象经过点 퐵，则 △ 푂퐴퐶 与 △ 퐵퐴퐷 的面积之差 푆△푂퐴퐶 ― 푆△퐵퐴퐷 为 (  ) A. 36 B. 12 C. 6 D. 3 二、填空题（共 6 小题；共 24 分） 13. 已知 푃1(푥1,푦1)，푃2(푥2,푦2) 两点都在反比例函数 푦 = 2 푥 的图象上，且 푥1 < 푥2 < 0，则 푦1 푦2（填“ > ”或“ < ”）． 14. 在对物体做功一定的情况下，力 퐹（牛）与此物体在力的方向上移动 的距离 푠（米）成反比例函数关系，其图象如图所示，푃(5,1) 在图象 上 ，则 当 力 达 到 10 牛 时 ，物 体 在 力 的 方 向 上 移 动 的 距 离 是 米． 15. 一 般 地 ，如 果 两 个 变 量 푥， 푦 之 间 的 对 应 关 系 可 以 表 示 成 （푘 为常数，푘 ≠ 0）的形式，那么称 푦 是 푥 的反比例函数．其 中反比例函数的自变量 푥 的取值范围是 的全体 实数． 16. 小明家离学校 1.5km，小明步行上学需 푥min，那么小明步行速度 푦 (m/min) 可以表示为 푦 = 1500 푥 ；水平地面上重 1500N 的物体，与地 面的接触面积为 푥m3，那么该物体对地面的压强 푦(N/m2) 可以表示为 푦 = 1500 푥 ；函数关系式 푦 = 1500 푥 还可以表示许多不同环境中变量之 间的关系，请你再举 1 例： ． 17. 请 写 出 一 个 过 点 (1,1)， 且 与 푥 轴 无 交 点 的 函 数 解 析 式： ． 18. 如图，已知双曲线测 푦 = 푘 푥 与直线 푦 = ―푥 + 6 相交于 퐴，퐵 两点， 过点 퐴 作 푥 轴的垂线与过点 퐵 作 푦 轴的垂线相交于点 퐶．若 △ 퐴퐵퐶 的面积为 8，则 푘 的值为 ． 三、解答题（共 7 小题；共 60 分） 19. （8 分）湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为 2000 m2 的长 方形鱼塘． （1）求鱼塘的长 푦(m) 关于宽 푥(m) 的函数表达式； （2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多能挖 20 m，当鱼塘的宽是 20  m 时，鱼塘的长为多少米? 20. （8 分）如图，反比例函数 푦 = 푘 푥(푘 ≠ 0,푥 < 0) 的图象过等边三角形 퐴푂퐵 的顶点 퐴( ―1, 3)，已知点 퐵 在 푥 轴上． （1）求反比例函数的表达式； （2）若要使点 퐵 在上述反比例函数的图象上，需将 △ 퐴푂퐵 向上平 移多少个单位长度? 21. （8 分）已知反比例函数 푦 = 푘 ― 1 푥 （푘 为常数，푘 ≠ 1）． （1）其图象与正比例函数 푦 = 푥 的图象的一个交点为 푃，若点 푃 的 纵坐标是 2，求 푘 的值； （2）若在其图象的每一支上，푦 随 푥 的增大而减小，求 푘 的取值范 围； （3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点 퐴(푥1,푦1)，퐵 (푥2,푦2)，当 푦1 > 푦2 时，试比较 푥1 与 푥2 的大小． 22. （8 分）解答题： （1）探究新知：如图 1，已知 △ 퐴퐵퐶 与 △ 퐴퐵퐷 的面积相等，试判断 퐴퐵 与 퐶퐷 的位置关系，并说明理由． （2）结论应用： ①如图 2，点 푀，푁 在反比例函数 푦 = 푘 푥 (푘 > 0) 的图象上，过 点 푀 作 푀퐸 ⊥ 푦 轴，过点 푁 作 푁퐹 ⊥ 푥 轴，垂足分别为 퐸， 퐹． 试证明：푀푁 ∥ 퐸퐹． ②若 ① 中的其他条件不变，只改变点 푀，푁 的位置如图 3 所示， 请判断 푀푁 与 퐸퐹 是否平行． 23. 平面直角坐标系中，点 퐴，퐵 分别在函数 푦 = 4 푥(푥 > 0) 与 푦 = ― 4 푥 (푥 < 0) 的图象上，퐴，퐵 的横坐标分别为 푎，푏．（1）若 퐴퐵 ∥ 푥 轴，求 △ 푂퐴퐵 的面积； （2）若 △ 푂퐴퐵 是以 퐴퐵 为底边的等腰三角形，且 푎 + 푏 ≠ 0，求 푎푏 的值； （3）作边长为 3 的正方形 퐴퐶퐷퐸，使 퐴퐶 ∥ 푥 轴，点 퐷 在点 퐴 的左上方，那么对大于或等于 4 的任意实数 푎，퐶퐷 边与函数 푦 = 4 푥(푥 > 0) 的图象都有交点，请说明理由． 24. （8 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 푦 = 푘 푥(푥 > 0) 的图 象上有一点 퐴(푚,4)，过点 퐴 作 퐴퐵 ⊥ 푥 轴于点 퐵，将点 퐵 向右平 移 2 个单位长度得到点 퐶，过点 퐶 作 푦 轴的平行线交反比例函数 的图象于点 퐷，퐶퐷 = 4 3．（1）点 퐷 的横坐标为 ．（用含 푚 的式子表示）； （2）求反比例函数的解析式． 25. （8 分）如图，已知正比例函数 푦 = 2푥 和反比例函数的图象交于点 퐴 (푚, ― 2)． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 푥 的取值范围； （3）若双曲线上点 퐶(2,푛) 沿 푂퐴 方向平移 5 个单位长度得到点 퐵， 判断四边形 푂퐴퐵퐶 的形状并证明你的结论．答案 第一部分 1. A 2. C 【解析】函数 푦 = 2 푥 + 1 是反比例 푦 = 2 푥 的图象向左移动一个单位， 即函数 푦 = 2 푥 + 1 是图象是反比例 푦 = 2 푥 的图象双曲线向左移动一个单位． 3. D 4. B 5. C 6. A 7. A 【解析】 ∵ 푦 = (푚 + 2)푥∣푚∣―3 是反比例函数， ∴ {∣푚∣ ― 3 = ―1, 푚 + 2 ≠ 0, 解得 푚 = 2． 8. D 【解析】①由于 퐴，퐵 在同一反比例函数 푦 = 2 푥 图象上，则 △ 푂퐷퐵 与 △ 푂퐶퐴 的面积相等，都为 1 2 × 2 = 1，正确； ②由于矩形 푂퐶푀퐷，三角形 푂퐷퐵，三角形 푂퐶퐴 为定值，则四边形 푀퐴푂퐵 的面积不会发生变化，正确； ③连接 푂푀，点 퐴 是 푀퐶 的中点， 则 △ 푂퐴푀 和 △ 푂퐴퐶 的面积相等， ∵△ 푂퐷푀的面积 =△ 푂퐶푀的面积 = 푎 2， △ 푂퐷퐵 与 △ 푂퐶퐴 的面积相等， ∴△ 푂퐵푀 与 △ 푂퐴푀 的面积相等， ∴△ 푂퐵퐷 和 △ 푂퐵푀 面积相等， ∴ 点 퐵 一定是 푀퐷 的中点．正确． 9. D 【解析】因为 퐷퐻 垂直平分 퐴퐶， 所以 퐷퐴 = 퐷퐶，퐴퐻 = 퐻퐶 = 2， 所以 ∠퐷퐴퐶 = ∠퐷퐶퐻， 因为 퐶퐷 ∥ 퐴퐵， 所以 ∠퐷퐶퐴 = ∠퐵퐴퐶， 所以 ∠퐷퐴퐶 = ∠퐵퐴퐶， 因为 ∠퐷퐻퐴 = ∠퐵 = 90∘， 所以 △ 퐷퐴퐻 ∽ △ 퐶퐴퐵， 所以 퐴퐷 퐴퐶 = 퐴퐻 퐴퐵，所以 푦 4 = 2 푥， 所以 푦 = 8 푥， 因为 퐴퐵 < 퐴퐶， 所以 푥 < 4． 10. B 【解析】将 푦 = ―푥 + 2 代入到反比例函数 푦 = 1 ― 6푡 푥 中， 得： ―푥 + 2 = 1 ― 6푡 푥 ， 整理，得：푥2 ―2푥 + 1 ― 6푡 = 0． 因为反比例函数 푦 = 1 ― 6푡 푥 的图象与直线 푦 = ―푥 + 2 有两个交点，且两交 点横坐标的积为负数， 所以 {( ―2)2 ― 4(1 ― 6푡) > 0, 1 ― 6푡 < 0. 解得：푡 > 1 6． 11. C 【解析】设球内气体的气压 푃(kPa) 和气体体积 푉(m3) 的关系式为 푃 = 퐾 푉 . ∵ 图象过点 (1.6,60)， ∴ 푘 = 96 . 即 푃 = 96 푉 在第一象限内，푃 随 푉 的增大而减小， ∴ 当 푃 ≤ 120 时，푉 = 96 푃 ≥ 4 5． 12. D【解析】设 △ 푂퐴퐶 和 △ 퐵퐴퐷 的直角边长分别为 푎 、 푏 .则点 퐵 的坐标为 (푎 + 푏,푎 ― 푏)． ∵ 点 퐵 在反比例函数 푦 = 6 푥 的第一象限图象上， ∴ (푎 + 푏) × (푎 ― 푏) = 푎2 ― 푏2 = 6． ∴ 푆△푂퐴퐶 ― 푆△퐵퐴퐷 = 1 2푎2 ― 1 2푏2 = 1 2(푎2 ― 푏2) = 1 2 × 6 = 3． 第二部分 13. > 【解析】因为 푘 > 0，푥1 < 푥2 < 0， 所以反比例函数在第三象限内为减函数， 所以 푦1 > 푦2． 14. 0.5 【解析】设力 퐹（牛）与此物体在力的方向上移动的距离 푠（米）的函数关 系式为 퐹 = 푘 푠，把点 푃(5,1) 代入得 1 = 푘 5，解得 푘 = 5，所以当 퐹 = 10 时， 푠 = 0.5． 15. 푦 = 푘 푥，不为0 16. 体积为 1500cm3 的圆柱的底面积为 푥cm2，那么圆柱的高 푦(cm) 可 以表示为 푦 = 1500 푥 ．（答案不唯一） 17. 푦 = 1 푥（答案不唯一） 18. 5第三部分 19. （1） 由长方形面积为 2000 m2，得 푥푦 = 2000．即 푦 = 2000 푥 ． （2） 当 푥 = 20 时，푦 = 2000 20 = 100． 答：当鱼塘的宽是 20 m 时，鱼塘的长为 100 m． 20. （1） ∵ 反比例函数 푦 = 푘 푥(푘 ≠ 0,푥 < 0) 的图象过等边三角形 퐴푂퐵 的顶点 퐴( ―1, 3)， ∴ 푘 = ― 3， ∴ 反比例函数的表达式为：푦 = ― 3 푥 ； （2） ∵ △ 퐴푂퐵 是等边三角形， ∴ 퐵( ―2,0)， ∵ 当 푥 = ―2 时，푦 = 3 2 ， ∴ 要使点 퐵 在上述反比例函数的图象上，需将 △ 퐴푂퐵 向上平移 3 2 个 单位长度． 21. （1） 由题意，设点 푃 的坐标为 (푚,2)， 因为点 푃 在正比例函数 푦 = 푥 的图象上， 所以 2 = 푚，即 푚 = 2． 所以点 푃 的坐标为 (2,2)．因为点 푃 在反比例函数 푦 = 푘 ― 1 푥 的图象上， 所以 2 = 푘 ― 1 2 ，解得 푘 = 5． （2） 因为在反比例函数 푦 = 푘 ― 1 푥 图象的每一支上，푦 随 푥 的增大而 减小， 所以 푘 ― 1 > 0，解得 푘 > 1． （3） 因为反比例函数 푦 = 푘 ― 1 푥 图象的一支位于第二象限， 所以在该函数图象的每一支上，푦 随 푥 的增大而增大． 因为点 퐴(푥1,푦1) 与点 퐵(푥2,푦2) 在该函数的第二象限的图象上，且 푦1 > 푦2 ， 所以 푥1 > 푥2． 22. （1） 퐴퐵 ∥ 퐶퐷 . 理由如下： 分别过点 퐶，퐷，作 퐶퐺 ⊥ 퐴퐵，퐷퐻 ⊥ 퐴퐵 . 垂足为 퐺，퐻，则 ∠퐶퐺퐴 = ∠퐷퐻퐵 = 90∘． ∴ 퐶퐺 ∥ 퐷퐻． ∵△ 퐴퐵퐶 与 △ 퐴퐵퐷 的面积相等， ∴ 퐶퐺 = 퐷퐻． ∴ 四边形 퐶퐺퐻퐷 为平行四边形． ∴ 퐴퐵 ∥ 퐶퐷． （2） ① 连接 푀퐹，푁퐸． 设点 푀 的坐标为 (푥1,푦1)，点 푁 的坐标为 (푥2,푦2)． ∵ 点 푀，푁 在反比例函数 푦 = 푘 푥 (푘 > 0) 的图象上， ∴ 푥1푦1 = 푘，푥2푦2 = 푘． ∵ 푀퐸 ⊥ 푦 轴，푁퐹 ⊥ 푥 轴， ∴ 푂퐸 = 푦1，푂퐹 = 푥2． ∴ 푆△퐸퐹푀 = 1 2푥1 ⋅ 푦1 = 1 2푘， 푆△퐸퐹푁 = 1 2푥2 ⋅ 푦2 = 1 2푘． ∴ 푆△퐸퐹푀 = 푆△퐸퐹푁． 由（1）中的结论可知：푀푁 ∥ 퐸퐹． ② 푀푁 ∥ 퐸퐹．23. （1） 设 퐴퐵 交 푦 轴于点 퐶， 因为 퐴퐵 ∥ 푥 轴， 所以 푆△푂퐴퐶 = 1 2 × ∣4∣ = 2，푆△푂퐵퐶 = 1 2 × ∣ ― 4∣ = 2 所以 푆△푂퐴퐵 = 푆△푂퐴퐶 + 푆△푂퐵퐶 = 4． （2） 因为点 퐴，퐵 分别在函数 푦 = 4 푥(푥 > 0) 与 푦 = ― 4 푥(푥 < 0) 的图 象上，퐴，퐵 的横坐标分别为 푎，푏． 所以 퐴(푎,4 푎)，퐵(푏, ― 4 푏)． 所以 푂퐴2 = 푎2 + (4 푎)2 ，푂퐵2 = 푏2 + ( ― 4 푏)2 当 푂퐴 = 푂퐵 时，푂퐴2 = 푂퐵2 所以 푎2 + (4 푎)2 = 푏2 + ( ― 4 푏)2 整理得 푎2푏2(푎2 ― 푏2) = 16(푎2 ― 푏2)． 因为 푎 + 푏 ≠ 0，푎 > 0，푏 < 0， 所以 푎2 ― 푏2 ≠ 0， 所以 푎2푏2 = 16， 所以 푎푏 = ―4．【解析】解法二：因为 푎 + 푏 ≠ 0， 所以 퐴퐵 与 푥 轴不平行． 因为 퐵(푏, ― 4 푏)，点 퐵 与 퐵ʹ 关于直线 푦 = ―푥 对称， 所以 퐵ʹ 坐标为 (4 푏, ― 푏)． 又因为点 퐴(푎,4 푎) 与 퐵ʹ(4 푏, ― 푏) 关于 푦 轴对称， 所以 4 푎 = ―푏，所以 푎푏 = ―4 （3） 设直线 퐶퐷 与函数 푦 = 4 푥(푥 > 0) 的图象交点为 퐹，如图， 因为 퐴 点坐标为 (푎,4 푎) 正方形 퐴퐶퐷퐸 的边长为 3， 所以 퐶 点坐标为 (푎 ― 3,4 푎)， 所以 퐹 点的坐标为 (푎 ― 3, 4 푎 ― 3)， 所以 퐹퐶 = 4 푎 ― 3 ― 4 푎 = 12 푎(푎 ― 3)． 因为 푎(푎 ― 3) = (푎 ― 3 2)2 ― 9 4，当 푎 > 3 2 时，푎(푎 ― 3) 的值随 푎 的值的增 大而增大， 所以 푎(푎 ― 3) 的最小值为 4 × (4 ― 3) = 4， 所以 퐹퐶 的最大值为 3．也就是说 퐹퐶 ≤ 퐷퐶， 因此 퐶퐷 与函数 푦 = 4 푥(푥 > 0) 的图象有交点． 特别地，当 푎 = 4 时，点 퐴 的坐标为 (4,1)，此时 퐶(1,1)，此时点 퐷 落 在函数 푦 = 4 푥(푥 > 0) 的图象上． 所以点 퐹 在线段 퐷퐶 上，即对大于或等于 4 的任意实数 푎，퐶퐷 边与函 数 푦 = 4 푥(푥 > 0) 的图象都有交点． 24. （1） 푚 + 2 （2） 因为 퐶퐷 = 4 3 ， 所以点 퐷 的坐标为 (푚 + 2,4 3)． 因为点 퐴(푚,4)，点 퐷(푚 + 2,4 3) 在函数 푦 = 푘 푥 的图象上， 所以 4푚 = 4 3(푚 + 2)， 所以 푚 = 1， 所以 푘 = 4푚 = 4 × 1 = 4， 所以反比例函数的解析式为 푦 = 4 푥． 25. （1） 设反比例函数的解析式为 푦 = 푘 푥(푘 > 0)． ∵ 퐴(푚, ― 2) 在 푦 = 2푥 上， ∴ ―2 = 2푚， ∴ 푚 = ―1， ∴ 퐴( ―1, ― 2)， 又点 퐴 在 푦 = 푘 푥 上， ∴ ―2 = 푘 ―1， ∴ 푘 = 2． ∴ 反比例函数的解析式为 푦 = 2 푥． （2） ―1 < 푥 < 0 或 푥 > 1． （3） 四边形 푂퐴퐵퐶 是菱形． 证明： ∵ 퐴( ―1, ― 2)， ∴ 푂퐴 = 12 + 22 = 5． 由题意知 퐶퐵 ∥ 푂퐴 且 퐶퐵 = 5， ∴ 퐶퐵 = 푂퐴． ∴ 四边形 푂퐴퐵퐶 是平行四边形． ∵ 퐶(2,푛) 在 푦 = 2 푥 上， ∴ 푛 = 2 2 = 1， ∴ 퐶(2,1)， ∴ 푂퐶 = 22 + 12 = 5， ∴ 푂퐶 = 푂퐴， ∴ 四边形 푂퐴퐵퐶 是菱形．