2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷

2019-2020 学年九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在题后对应的括号内. 1．下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A．2x2﹣1＝3x B．2x2﹣y＝1 C．ax2+bx+c＝0 D．2x2+ ＝1 2．抛物线 y＝﹣（x﹣2）2+3 的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3） 3．估计 ﹣ 的计算结果应在下列哪两个自然数之间（　　） A．3 和 4 B．4 和 5 C．5 和 6 D．6 和 7 4．下列一元二次方程中没有实数根是（　　） A．x2+3x+4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2﹣2x﹣5＝0 D．x2+2x﹣4＝0 5．三角形的两边长分别是 3 和 6，第三边是方程 x2﹣6x+8＝0 的解，则这个三角形的周长是（　　） A．11 B．13 C．11 或 13 D．11 和 13 6．已知抛物线 y＝x2﹣x﹣1 与 x 轴的一个交点为（m，0），则代数式 m2﹣m+2014 的值为（　　） A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 7．关于 x 的一元二次方程 kx2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＞1 C．k≠0 D．k＞﹣1 且 k≠0 8．下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字，其中第①个“山”字中有 7 颗棋子，第②个 “山”字中有 12 颗棋子，第③个“山”字中有 17 颗棋子，…，按照此规律，第⑥个“山”字中棋子颗数为（　　） 颗． A．32 B．37 C．22 D．42 9．二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a≠0）中的 x 与 y 的部分值对应如下表： x …… ﹣2 ﹣1 0 1 2 …… y …… ﹣13 ﹣4 1 2 ﹣1 ……则下列说法中错误的是（　　） A．图象与 y 轴交点坐标为（0，1） B．抛物线开口向下 C．图象与 x 轴有两个交点 D．函数的最大值为 2 10．如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E、F 分别在 AB，AD 上，若 CE＝3 ，且∠ECF＝45°，则 CF 的长为 （　　） A．2 B．3 C． D． 11．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A．abc＞0 B．3a＞2b C．m（am+b）≤a﹣b（m 为任意实数） D．4a﹣2b+c＜0 12．若整数 a 既使得关于 x 的分式方程 +1＝ 有正整数解，又使得关于 y 的不等式组 至少 有 3 个整数解，则符合条件的所有 a 之和为（　　） A．6 B．7 C．11 D．10 二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）在每小题中，请将正确答案直接填在题后的横线上 13．使代数式 有意义的 x 的取值范围是　 　．14．一元二次方程 x（x﹣2）＝0 的根是　 　． 15．若抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴的交点为（4，0）与（2，0），则抛物线的对称轴为直线 x＝　 　． 16．二次函数 y＝﹣x2+bx+c 的对称轴是 x＝﹣2，若点 A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数的图象上且 x1＜x2＜﹣2， 则 y1　 　y2（填＜或＞或＝）． 17．为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子 800 米耐力测试中，小静和小茜在校 园内 200 米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程 S（米）与所用的时间 t（秒）之间的函数图象 如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第　 　秒． 18．某商店为促进销售，将 A、B、C 三种糖果以甲、乙两种方式进行搭配销售，两种方式均配成本价为 5 元的包 装袋，甲方式每袋含 A 糖果 1 千克，B 糖果 1 千克，C 糖果 3 千克，乙方式每袋含 A 糖果 3 千克，B 糖果 1 千克， C 糖果 1 千克，已知每千克 C 糖果比每千克 A 糖果成本价高 2.5 元，甲种方式（含包装袋）每袋成本为 55 元， 现甲、乙两种方式分别在成本价（含包装袋）基础上提价 20%和 35%进行销售，两种方式销售完毕后利润率达 到 30%，则甲、乙两种方式的销量之比为　 　． 三、解答题解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 19．（1）解方程：2x2﹣3x+1＝0． （2）计算 ． 20．已知：如图，在△ABC 中，D 是边 AC 上一点，AB＝BD＝DC，∠ABD＝20°，AE∥BD 交 CB 延长线于点 E．求∠AEB 的度数． 四、解答题 21．垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理，能有效提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用，为了了解同学 们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校对八年级甲，乙两班各 60 名学生进行了垃极分类相关知识的测试，并分别抽取了 15 份成绩，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 甲班 15 名学生测试成绩统计如下：（满分 100 分） 68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80 乙班 15 名学生测试成绩统计如下：《满分 100 分） 86，89，83，76，73，78，67，80，80，79，80，84，82，80，83 【整理数据】 （1）按如下分数段整理、描述这两组样本数据 组别 频数 65.5～70.5 70.5～75.5 75.5～80.5 80.5～85.5 85.5～90.5 90.5～95.5 甲 2 2 4 5 1 1 乙 1 1 a b 2 0 在表中，a＝　 　，b＝　 　． （2）补全甲班 15 名学生测试成绩频数分布直方图： 【分析数据】 （3）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示： 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 80 x 80 47.6 乙 80 80 y 26.2 在表中：x＝　 　，y＝　 　． （4）若规定得分在 80 分及以上（含 80 分）为合格，请估计乙班 60 名学生中垃极分类及投放相关知识合格的学 生有　 　人． （5）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，说明理由．22．如图，抛物线与 x 轴交于 A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，﹣3），设抛物线的顶点为 D． （1）求该抛物线的解析式和顶点 D 的坐标？ （2）求出△BCD 的面积是多少？ 23．小东根据学习函数的经验，对函数 y＝ 图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完 整，并解决相关问题： （1）函数 y＝ 的自变量 x 的取值范围是　 　； （2）如表是 y 与 x 的几组对应值． x … ﹣2 ﹣1 ﹣ 0 1 2 3 4 … y … 2 4 2 m … 表中 m 的值为　 　； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数 y＝ 的大致图象； （4）结合函数图象，请写出函数 y＝ 的一条性质：　 　 （5）解决问题：如果函数 y＝ 与直线 y＝a 的交点有 2 个，那么 a 的取值范围是　 　． 24．“绿色苗圃基地”种植的某种树苗除了运往外地销售外，还可以让厂家亲自去苗圃基地购买，今年 6 月份该树苗在外地、苗圃基地的销售价格分别是 50 元/棵、40 元/棵，6 月份一共销售了 300 棵，总销售金额为 14000 元． （1）今年 6 月份该树苗在外地、苗圃基地各销售了多少棵？ （2）7 月份由于天气炎热，该树苗在苗圃基地的销售量在 6 月份的基础上下降了 a%（a＜20），销售价相当于 6 份的 ．而运往外地销售的树苗，它的销售价格和销售量与 6 月份持平，这样 7 月份的总销售金额比 6 月份下 降了 %，求 a 的值． 五、解答题 25．如图，在正方形 ABCD 中，线段 CE 交四边形的边于点 E，点 H 为 BD 的中点，BF、DG 分别垂直 CE 于点 F 和点 G，连接 HF、HG． （1）若 AB＝3，AE＝2EB，求 BF 的长： （2）求证：FG＝ FH． 26．如图①，已知抛物线 y＝ax2+bx+c 的图象经过点 A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线 l：x＝2，过点 A 作 AC ∥x 轴交抛物线于点 C，∠AOB 的平分线交线段 AC 于点 E，点 P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为 m． （1）若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上，连结 PE、PO，当 m 为何值时，四边形 AOPE 面积最大？当四边形 AOPE 面积最大时，在抛物线对称轴直线上找一点 M，使得 MB+MP 的值最小，求 M 的坐标； （2）如图②，F 是抛物线的对称轴 l 上的一点，在抛物线上是否存在点 P 使△POF 成为以点 P 为直角顶点的等 腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020 学年重庆市两江育才中学九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在题后对应的括号内. 1．【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确； B、方程含有两个未知数，故错误； C、方程二次项系数可能为 0，故错误； D、不是整式方程，故错误． 故选：A． 2．【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3， ∴其顶点坐标为（2，3）． 故选：B． 3．【解答】解： ﹣ ＝4 ， ∵4 ＝ ， ∴5＜ ＜6， 故选：C． 4．【解答】解：A、△＝b2﹣4ac＝9﹣16＝﹣7＜0，方程没有实数根． B、△＝b2﹣4ac＝16﹣16＝0，方程有两个相等的实数根． C、△＝b2﹣4ac＝4+20＝24＞0，方程有两个不相等的实数根． D、△＝b2﹣4ac＝4+16＝20，方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．【解答】解：方程 x2﹣6x+8＝0， 分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）＝0， 可得 x﹣2＝0 或 x﹣4＝0， 解得：x1＝2，x2＝4， 当 x＝2 时，三边长为 2，3，6，不能构成三角形，舍去； 当 x＝4 时，三边长分别为 3，4，6，此时三角形周长为 3+4+6＝13．故选：B． 6．【解答】解：∵抛物线 y＝x2﹣x﹣1 与 x 轴的一个交点为（m，0）， ∴m2﹣m﹣1＝0， 解得 m2﹣m＝1． ∴m2﹣m+2014＝1+2014＝2015． 故选：D． 7．【解答】解：由题意知 k≠0，△＝4+4k＞0 解得 k＞﹣1 且 k≠0． 故选：D． 8．【解答】解：设第 n 个“山”字中有 an 个棋子， 观察图形，可知：a1＝7，a2＝a1+5＝12，a3＝a1+5×2＝17，a4＝a1+5×3＝22，…，（可直接利用列举法，找出 第⑥个“山”字中棋子颗数） ∴an＝a1+5（n﹣1）＝5n+2（n 为正整数）， ∴a6＝5×6+2＝32． 故选：A． 9．【解答】解：A、由表格中的数据知，当 x＝0 时 y＝1，即抛物线与 y 轴的交点坐标是（0，1），故本选项不符合 题意． B、由表格中的数据知，当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大，且抛物线与 y 轴的交点坐标是（0，1），则该抛物线 开口方向向下，故本选项不符合题意． C、由以上分析知，抛物线开口向下，则该抛物线与 x 轴有 2 个交点，故本选项不符合题意． D、当对称轴位于 x＝1 与 x＝2 之间时，函数的最大值就不是 2，故本选项符合题意． 故选：D． 10．【解答】解：如图，延长 FD 到 G，使 DG＝BE； 连接 CG、EF； ∵四边形 ABCD 为正方形， 在△BCE 与△DCG 中， ，∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE， ∴∠GCF＝45°， 在△GCF 与△ECF 中， ， ∴△GCF≌△ECF（SAS）， ∴GF＝EF， ∵CE＝3 ，CB＝6， ∴BE＝ ＝ ＝3， ∴AE＝3， 设 AF＝x，则 DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x， ∴EF＝ ＝ ， ∴（9﹣x）2＝9+x2， ∴x＝4， 即 AF＝4， ∴GF＝5， ∴DF＝2， ∴CF＝ ＝ ＝2 ， 故选：A． 11．【解答】解：A．由函数图象可得各系数的关系：a＜0，c＞0，对称轴 x＝﹣ ＝﹣1＜0，则 b＜0， 故 abc＞0，故此选项正确，但不符合题意；B．∵x＝﹣ ＝﹣1， ∴b＝2a， ∴2b＝4a， ∵a＜0，b＜0， ∴3a＞2b，故此选项正确，但不符合题意； C．∵b＝2a，代入 m（am+b）﹣（a﹣b）得： ∴m（am+2a）﹣（a﹣2a）， ＝am2+2am+a， ＝a（m+1）2， ∵a＜0， ∴a（m+1）2≤0， ∴m（am+b）﹣（a﹣b）≤0， 即 m（am+b）≤a﹣b，故此选项正确，但不符合题意； D．当 x＝﹣2 代入 y＝ax2+bx+c，得出 y＝4a﹣2b+c， 利用图象与 x 轴交点右侧小于 1，则得出图象与坐标轴左侧交点一定小于﹣2， 故 y＝4a﹣2b+c＞0，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 12．【解答】解：解分式方程 +1＝ ，得：x＝ ， ∵分式方程的解为正整数，且 x≠3， ∴a＝2，4，7， 解不等式组 ，得： ＜y≤9， ∵不等式组至少有三个整数解， ∴ ＜7， a＜ ， ∴符合条件的所有整数 a 的和 2+4＝6，故选：A． 二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）在每小题中，请将正确答案直接填在题后的横线上 13．【解答】解：∵代数式 有意义， ∴2x﹣6≥0， 解得：x≥3． 故答案为：x≥3． 14．【解答】解：∵x（x﹣2）＝0， ∴x＝0 或 x﹣2＝0， 解得 x1＝0，x2＝2， 故答案为：x1＝0，x2＝2． 15．【解答】解：函数的对称轴为：x＝ （4+2）＝3， 故答案为：3． 16．【解答】解：∵y＝﹣x2+bx+c 的对称轴是 x＝﹣2，开口向下， ∴当 x＜﹣2 时，y 随着 x 的增大而增大， ∵x1＜x2＜﹣2， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 17．【解答】解：设直线 OA 的解析式为 y＝kx， 代入 A（200，800）得 800＝200k， 解得 k＝4， 故直线 OA 的解析式为 y＝4x， 设 BC 的解析式为 y1＝k1x+b，由题意，得 ， 解得： ， ∴BC 的解析式为 y1＝2x+240， 当 y＝y1 时，4x＝2x+240， 解得：x＝120． 则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 120 秒．故答案为 120． 18．【解答】解：∵两种方式均配成本价为 5 元的包装袋，甲方式每袋含 A 糖果 1 千克，B 糖果 1 千克，C 糖果 3 千克，乙方式每袋含 A 糖果 3 千克，B 糖果 1 千克，C 糖果 1 千克，已知每千克 C 糖果比每千克 A 糖果成本价 高 2.5 元， ∴一袋甲糖果成本比一袋乙糖果成本多：2.5×2＝5（元/袋）， ∵甲种方式（含包装袋）每袋成本为 55 元， ∴乙种方式（含包装袋）每袋成本为 50 元， 设甲、乙两种方式各自的销量分别为 x 袋和 y 袋，根据题意得， 55×0.2x+50×0.35y＝30%（55x+50y）， 整理得，5.5x＝2.5y， ∴x：y＝5：11． 故答案为：5：11． 三、解答题解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 19．【解答】解：（1）∵2x2﹣3x+1＝0， ∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0， 则 2x﹣1＝0 或 x﹣1＝0， 解得 x1＝1，x2＝﹣0.5； （2）原式＝（ ﹣ ）÷ ＝ • ＝ ． 20．【解答】解：∵AB＝BD，∠ABD＝20°， ∴∠ADB＝80°，∵BD＝DC， ∴∠CBD＝40°， ∵AE∥BD， ∴∠AEB＝40°． 四、解答题 21．【解答】解：（1）乙班 75.5～80.5 分数段的学生数为 4，80.5～85.5 分数段的学生数为 5， 故 a＝7，b＝4， 故答案为：7，4； （2）补全甲班 15 名学生测试成绩频数分布直方图如图所示， （3）甲班 15 名学生测试成绩中 85 出现的次数最多，故 x＝85； 把乙班学生测试成绩按从小到大排列为：67，73，76，78，79，80，80，80，80，82，83，83，84，86，89， 处在中间位置的数为 80，故 y＝80； 故答案为：85，80； （4）60× ×100%＝40（人）， 答：乙班 60 名学生中垃极分类及投放相关知识合格的学生有 40 人； 故答案为：40； （5）乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好， ∵甲班的方差＞乙班的方差， ∴乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好． 22．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3， 函数的对称轴为：x＝1，点 D（1，﹣4）；（2）过点 D 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H， 将点 BC 的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b 得： ，解得： ， 故直线 BC 的表达式为：y＝x﹣3，故点 H（1，﹣2），则 HD＝2， △BCD 的面积＝ HD×OB＝ 2×3＝3． 23．【解答】解：（1）函数 y＝ 的自变量 x 的取值范围是：全体实数， 故答案为：全体实数； （2）把 x＝4 代入 y＝ 得，y＝ ＝ ， ∴m＝ ， 故答案为： ； （3）如图所示 ， （4）①图象位于一二象限，②当 x＝1 时，函数由值最大 4，③当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大，④当 x＞1 时， y 随 x 的增大而减小，⑤图象与 x 轴没有交点． 故答案为：①图象位于一二象限，②当 x＝1 时，函数由值最大 4，③当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大，④当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小，⑤图象与 x 轴没有交点． （5）由图象，得 0＜a＜4． 故答案为：0＜a＜4． 24．【解答】解：（1）设今年 6 月份该树苗在外地销售了 x 棵，在苗圃基地各销售了（300﹣x）棵，由题意得， 50x+40（300﹣x）＝14000 解得：x＝200 则 300﹣x＝100 答：今年 6 月份该树苗在外地销售了 200 棵，在苗圃基地各销售了 100 棵． （2）由题意得 （100﹣100×a%）（40× ）+200×50＝14000×（1﹣ %） 解得：a1＝10，a2＝120（a＜20，舍去） 答：a 的值是 10． 五、解答题 25．【解答】解：（1）如图，∵四边形 ABCD 为正方形，AB＝3，AE＝2EB， ∴BC＝AB＝3，AE＝2，BE＝1， ∴在直角△BEC 中，由勾股定理得到：CE＝ ＝ ＝ ， 则 BE•BC＝ CE•BF， 故 BF＝ ＝ ＝ ； （2）如图，FG＝ HF．理由如下： 连接 CH， ∵在△BFC 与△CGD 中， ， ∴△BFC≌△CGD（AAS）， ∴BF＝CG，∠FBC＝∠DCG． ∵点 H 是 BD 的中点，∴CH⊥BD，且 HC＝BH＝DH， ∴∠HBC＝∠HCD＝45°， ∴∠FBH＝∠GHC． ∵在△HBF 与△HCG 中， ， ∴△HBF≌△HCG（SAS）， ∴FH＝GH，∠FHB＝∠GHC， ∴∠FHG＝∠BHC＝90°， ∴FG＝ HF． 26．【解答】解：（1）抛物线 y＝ax2+bx+c 的图象经过点 B（1，0），其对称轴为直线 l：x＝2，则与 x 轴另外一个 交点坐标为（3，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）， 即 3a＝3，解得 a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3； （2）∠AOB 的平分线交线段 AC 于点 E，则 OE＝OA＝3，故点 E（3，3）， 四边形 AOPE 面积＝△AOE 的面积+△OPE 的面积，由于△AOE 的面积是定值， 故四边形 AOPE 面积最大，只需要确定△OPE 的面积最大即可，过点 P 作 y 轴的平行线交 OE 于点 H，设点 P（m，m2﹣4m+3），则点 H（m，m）， S△OPE＝ ×PH×AE＝ ×（m﹣m2+4m﹣3）＝﹣ （m2﹣5m+3）， ∵﹣ ＜0，故△OPE 的面积有最大值，即四边形 AOPE 面积最大，此时，m＝ ， 故点 P（P′）（ ，﹣ ）， 连接 AP′交抛物线对称轴于点 M，则点 M 为所求， 将点 AP′的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 AP′的表达式为：y＝﹣ x+3， 当 x＝2 时，y＝0，即点 M（2，0）； （3）①当点 P 在一、四象限时，如下图， 过点 P 作 x 轴的平行线分别交 y 轴和直线 l 于点 R、S， 设：RP＝a，PS＝b，则 a+b＝2， ∵∠OPR+∠ROP＝90°，∠OPR+∠FPS＝90°，∴∠FPS＝∠ROP， ∠PKO＝∠FSP＝90°，PO＝PF，∴△PKO≌△FSP（AAS）， 则 FS＝RP＝a，OR＝PS， 故点 P（a，a﹣2）， 将点 P 的坐标代入抛物线表达式并解得：x＝ ， 故点 P 的坐标为：（ ， ）或（ ， ）； ②当点 P 在第二象限时， 同理可设：点 P（2﹣m，m）， 同理可得点 P（ ， ）；综上，点 P 的坐标为：（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）．