人教版九年级上册 第二十四章圆单元测试卷【附详解】

第 1 页，共 11 页 人教版九年级上册数学第二十四章圆 单元测试卷 一、选择题（本大题共 10 小题） 1. 如图,圆内接四边形 ABCD 的边 AB 过圆心 O,过点 C 的切线与边 AD 所在直线垂直 于点 M,若∠퐴퐵퐶 = 55∘,则∠퐴퐶퐷等于(　　) A. 20∘ B. 35∘ C. 40∘ D. 55∘ 【答案】A 2. 如图, ⊙ 푂的外切正六边形 ABCDEF 的边长为 2,则图中阴 影部分的面积为( ) A. 3−휋 2 B. 3−2휋 3 C. 2 3−휋 2 D. 2 3−2휋 3 【答案】A 3. 如图,点 I 为 △ 퐴퐵퐶的内心,点 O 为 △ 퐴퐵퐶的外心,若 ,求∠퐵퐼퐶的度数． A. B. C. D. 【答案】B第 2 页，共 11 页 4. 下列说法中错误的有( ) ①弧分为优弧和劣弧.②直径是弦,但弦不一定是直径.③平分弦的直径垂直于弦.④ 劣弧比优弧短.⑤圆的每一条直径都是它的对称轴.⑥半径相等的两个圆是等圆． A. 6 个 B. 5 个 C. 4 个 D. 3 个 【答案】C 5. 若一个圆锥的底面积是其侧面积的1 3,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】A 6. 在数轴上,点 A 所表示的实数为 3,点 B 所表示的实数为 a, ⊙ 퐴的半径为 2,当点 B 在 ⊙ 퐴内时,实数 a 的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 7. 如图,四边形 ABCD 内接于 ⊙ 푂,AC 平分∠퐵퐴퐷,则下列结论正确的是( ) A. 퐴퐵 = 퐴퐷 B. 퐵퐶 = 퐶퐷 C. 퐴퐵 = 퐴퐷 D. ∠퐵퐶퐴 = ∠퐷퐶퐴 【答案】B 【 8. 已知一个扇形的圆心角是 ,扇形的半径为 9,则这个扇形的弧长是( ) A. 휋 B. 2휋 C. 3휋 D. 4휋 【答案】C 9. 如图,水平放置的圆柱形排水管的截面半径为 10cm,截面中有水部分弓形高为 5cm, 则水面宽 AB 为( )cm．第 3 页，共 11 页 A. 10 B. 15 C. 5 3 D. 10 3 10. 如图,直角三角形 ABC 中, ,分别以 AC、BC 为直径作半圆,则 图中阴影部分的面积为( ) A. 2휋− 3 B. 휋 + 3 C. 휋 + 2 3 D. 2휋−2 3 【答案】D 二、填空题（本大题共 10 小题） 11. 如图,PA、PB 切 ⊙ 푂于 A、B,点 C 在 AB 上,DE 切 ⊙ 푂于 C,交 PA、PB 于 D、E,已 知푃푂 = 13푐푚, ⊙ 푂的半径为 5cm,则 △ 푃퐷퐸的周长是 ______ ． 【答案】24cm 12. 一个圆锥体的体积是 15 立方米,高是 6 米,它的底面积是( )平方米。 【答案】7.5 13. 如图,PA,PB 是 ⊙ 푂是切线,A,B 为切点,AC 是 ⊙ 푂的 直径,若 ,则∠퐵퐴퐶 = ______ 度.第 4 页，共 11 页 【答案】23 14. 如图,EB,EC 是 ⊙ 푂的两条切线,与 ⊙ 푂相切于 B,C 两点,点 A,D 在圆上.若 , ,则∠퐴的度数是______ 【答案】99 15. 如图, ⊙ 푂是 △ 퐴퐵퐶的外接圆, ,则∠퐵푂퐶的大小是______． 【答案】 16. .半径为 3 的圆内接正方形的边心距等于________________． 【答案】 17. 在푅푡 △ 퐴퐵퐶中, ,퐴퐶 = 3,퐵퐶 = 4,以 C 为圆心,r 为半径作圆,若 ⊙ 퐶与直线 AB 相切,则푟 = 【答案】2.4푐푚 18. 若圆锥的母线长为４푐푚,其侧面积 ,则圆锥底面半径为 cm． 【答案】３第 5 页，共 11 页 19. 如图,AC 是 ⊙ 푂的切线,切点为 C,BC 是 ⊙ 푂的直径,AB 交 ⊙ 푂 于点 D,连接 OD,若 ,则∠퐶푂퐷的度数为______ ． 【答案】 20. 设点 O 为훥퐴퐵퐶内切圆圆心,∠퐵푂퐶 = 120∘,则∠퐵퐴퐶 = ． 【答案】 三、解答题（本大题共 8 小题） 21. 如图,AB 为 ⊙ 푂的直径,C 是 ⊙ 푂上一点,过点 C 的直线交 AB 的延长线于点 D, 퐴퐸 ⊥ 퐷퐶,垂足为 E,F 是 AE 与 ⊙ 푂的交点,AC 平分∠퐵퐴퐸． (1)求证：DE 是 ⊙ 푂的切线； (2)若퐴퐸 = 6, ,求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接 OC, ∵ 푂퐴 = 푂퐶, ∴ ∠푂퐴퐶 = ∠푂퐶퐴, ∵ 퐴퐶平分∠퐵퐴퐸, ∴ ∠푂퐴퐶 = ∠퐶퐴퐸, ∴ ∠푂퐶퐴 = ∠퐶퐴퐸, ∴ 푂퐶 ∥ 퐴퐸, ∴ ∠푂퐶퐷 = ∠퐸, ∵ 퐴퐸 ⊥ 퐷퐸, , , ∴ 푂퐶 ⊥ 퐶퐷, ∵ 点 C 在圆 O 上,OC 为圆 O 的半径, ∴ 퐶퐷是圆 O 的切线；第 6 页，共 11 页 (2)解：在푅푡 △ 퐴퐸퐷中, ,퐴퐸 = 6, ∴ 퐴퐷 = 2퐴퐸 = 12, 在푅푡△ 푂퐶퐷中, , ∴ 퐷푂 = 2푂퐶 = 퐷퐵 + 푂퐵 = 퐷퐵 + 푂퐶, ∴ 퐷퐵 = 푂퐵 = 푂퐶 = 1 3퐴퐷 = 4,퐷푂 = 8, ∴ 퐶퐷 = 퐷푂2−푂퐶2 = 82−42 = 4 3, ∴ 푆△ 푂퐶퐷 = 퐶퐷 ⋅ 푂퐶 2 = 4 3 × 4 2 = 8 3, , , , ∴ 푆扇形푂퐵퐶 = 1 6 × 휋 × 푂퐶2 = 8 3휋, ∵ 푆阴影 = 푆△ 퐶푂퐷−푆扇形푂퐵퐶 ∴ 푆阴影 = 8 3−8휋 3 , ∴ 阴影部分的面积为8 3−8휋 3 ． 【解析】(1)连接 OC,先证明∠푂퐴퐶 = ∠푂퐶퐴,进而得到푂퐶 ∥ 퐴퐸,于是得到푂퐶 ⊥ 퐶퐷,进而 证明 DE 是 ⊙ 푂的切线；(2)分别求出 △ 푂퐶퐷的面积和扇形 OBC 的面积,利用푆阴影 = 푆△ 퐶푂퐷−푆扇形푂퐵퐶即可得到答案.本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算,解(1)的 关键是证明푂퐶 ⊥ 퐷퐸,解(2)的关键是求出扇形 OBC 的面积,此题难度一般． 22. 如图,AB 为 ⊙ 푂的直径,点 E 在 ⊙ 푂上,C 为퐵퐸的中点,过点 C 作直线퐶퐷 ⊥ 퐴퐸于 D, 连接 AC、BC． 试判断直线 CD 与 ⊙ 푂的位置关系,并说明理由； 【答案】解：(1)相切,连接 OC, ∵ 퐶为퐵퐸的中点, ∴ ∠1 = ∠2, ∵ 푂퐴 = 푂퐶, ∴ ∠1 = ∠퐴퐶푂,第 7 页，共 11 页 ∴ ∠2 = ∠퐴퐶푂, ∴ 퐴퐷 ∥ 푂퐶, ∵ 퐶퐷 ⊥ 퐴퐷, ∴ 푂퐶 ⊥ 퐶퐷． 【解析】本题考查了直线与圆的位置关系,切线的判定和性质,圆周角定理,平行线的性质, 熟练掌握各定理是解题的关键.连接 OC,由 C 为퐵퐸的中点,得到∠1 = ∠2,等量代换得到 ∠2 = ∠퐴퐶푂,根据平行线的性质得到푂퐶 ⊥ 퐶퐷,即可得到结论. 23. 如图：已知直径퐶퐷 ⊥ 弦 BF 于 E,AB 为ʘ푂的直径． (1)求证：퐹퐷 = 퐴퐶； (2)若∠퐷퐴퐵 = ∠퐵,求∠퐵的度数． 【答案】(1)证明： ∵ 直径퐶퐷 ⊥ 弦 BF, ∴ 퐹퐷 = 퐷퐵, ∵ ∠퐴푂퐶 = ∠퐵푂퐷, ∴ 퐷퐵 = 퐴퐶, ∴ 퐹퐷 = 퐴퐶； 因此퐹퐷 = 퐴퐶． (2)解：由圆周角定理得, ∠퐵푂퐷 = 2∠퐷퐴퐵, ∵ ∠퐷퐴퐵 = ∠퐵, ∴ ∠퐵푂퐷 = 2∠퐵, ∵ 퐶퐷 ⊥ 퐵퐹, ． 【解析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理的应用,掌握在同圆和等圆 中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等是解题的关键． (1)根据垂径定理得到퐹퐷 = 퐷퐵,根据圆心角、弧、弦的关系定理证明即可； (2)根据圆周角定理得到∠퐵푂퐷 = 2∠퐷퐴퐵,根据三角形内角和定理计算即可． 24. 如图, ⊙ 푂的半径为 4,B 是 ⊙ 푂外一点,连接 OB,且푂퐵 = 6,延 长 BO 交 ⊙ 푂于点 A,点 D 为 ⊙ 푂上一点,过点 A 作直线 BD 的垂线,垂足为 C,AD 平分∠퐵퐴퐶． (1)求证：BC 是 ⊙ 푂的切线；第 8 页，共 11 页 (2)求 AC 的长． 【答案】(1)证明：连结 OD,如图, ∵ 푂퐴 = 푂퐷, ∴ ∠1 = ∠2, ∵ 퐴퐷平分∠퐵퐴퐶, ∴ ∠1 = ∠3, ∴ ∠2 = ∠3, ∴ 푂퐷 ∥ 퐴퐶, 而퐴퐶 ⊥ 퐵퐷, ∴ 푂퐷 ⊥ 퐵퐷, ∴ 퐵퐶是 ⊙ 푂的切线； (2)解： ∵ 푂퐷 ∥ 퐴퐶, ∴△ 퐵푂퐷∽ △ 퐵퐴퐶, ∴ 퐵푂 퐵퐴 = 푂퐷 퐴퐶,即 6 6 + 4 = 4 퐴퐶, ∴ 퐴퐶 = 20 3 ． 【解析】(1)连结 OD,如图,由푂퐴 = 푂퐷得∠1 = ∠2,由 AD 平分∠퐵퐴퐶得∠1 = ∠3,则 ∠2 = ∠3,于是可判断푂퐷 ∥ 퐴퐶,根据平行线的性质得푂퐷 ⊥ 퐵퐷,则根据切线的判定定理 即可得到 BC 是 ⊙ 푂的切线； (2)利用푂퐷 ∥ 퐴퐶得到 △ 퐵푂퐷∽ △ 퐵퐴퐶,然后利用相似比可计算出 AC． 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.在判定 一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作 该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点 时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线． 25. 如图,四边形 ABCD 内接于 ⊙ 푂,AB 是 ⊙ 푂的直径,点 P 在 CA 的延长线上, 若퐵퐶 = 퐴퐷,퐴퐷 = 퐴푃,求证：PD 是 ⊙ 푂的切线．第 9 页，共 11 页 【答案】证明：如图： ∵ 퐵퐶 = 퐴퐷, ∴ ∠퐵푂퐶 = ∠퐴푂퐷, ∵ ∠퐶푂퐷 = 2∠퐶퐴퐷, , , , ∵ 푂퐴 = 푂퐷, ∴ ∠푂퐷퐴 = ∠푂퐴퐷． , ． ∵ 퐴퐷 = 퐴푃, ∴ ∠퐴퐷푃 = ∠퐴푃퐷, ∵ ∠퐶퐴퐷 = ∠퐴퐷푃 + ∠퐴푃퐷, , , , ∴ 푃퐷是 ⊙ 푂的切线． 【解析】本题考查了圆周角定理及其推论,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,三角形 外角性质和切线的判定.利用圆周角定理得∠퐵푂퐶 = ∠퐴푂퐷和∠퐶푂퐷 = 2∠퐶퐴퐷,再利用等 腰三角形的性质得∠푂퐷퐴 = ∠푂퐴퐷,再利用三角形内角和定理得 ,再利用等 腰三角形的性质得∠퐴퐷푃 = ∠퐴푃퐷,再利用三角形外角性质得∠퐶퐴퐷 = ∠퐴퐷푃 + ∠퐴푃퐷, 最后利用切线的判定得结论． 26. 如图,AB是 ⊙ 푂的直径,AD是弦, ,延长AB到点C, 使得 ． (1)求证：CD 是 ⊙ 푂的切线． (2)若퐴퐵 = 2 2,求 OC 的长． 【答案】(1)证明：连接 DO, ∵ 퐴푂 = 퐷푂, ． ． 又 ∵ ∠퐴퐶퐷 = 2∠퐷퐴퐵, ．第 10 页，共 11 页 ． 又 ∵ 푂퐷是 ⊙ 푂的半径, ∴ 퐶퐷是 ⊙ 푂的切线． (2)解：连接 DB, ∵ 直径퐴퐵 = 2 2, △ 푂퐶퐷为等腰直角三角形, ∴ 퐶퐷 = 푂퐷 = 2,푂퐶 = 퐶퐷2 + 푂퐷2 = 2． 【解析】(1)连接 DO,由三角形的外角与内角的关系易得 ,故有 ,即 CD 是圆的切线． (2)由 1 知,퐶퐷 = 푂퐷 = 1 2퐴퐵,在直角 △ 퐶푂퐷中,利用勾股定理即可求解． 本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即 为半径),再证垂直即可． 27. 如图,在平面直角坐标系xOy中,以点O为圆心的圆分别交x轴 的正半轴于点 M,交 y 轴的正半轴于点푁.劣弧푀푁的长为6 5휋,直 线푦 = −4 3푥 + 4与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B． (1)求证：直线 AB 与 ⊙ 푂相切； (2)求图中所示的阴影部分的面积(结果用휋表示) 【答案】(1)证明：作푂퐷 ⊥ 퐴퐵于 D,如图所示： ∵ 劣弧푀푁的长为6 5휋, ∴ 90휋 × 푂푀 180 = 6 5휋, 解得：푂푀 = 12 5 , 即 ⊙ 푂的半径为12 5 , ∵ 直线푦 = −4 3푥 + 4与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B, 当푦 = 0时,푥 = 3；当푥 = 0时,푦 = 4, ∴ 퐴(3,0),퐵(0,4), ∴ 푂퐴 = 3,푂퐵 = 4, ∴ 퐴퐵 = 32 + 42 = 5, ∵△ 퐴푂퐵的面积 = 1 2퐴퐵 ⋅ 푂퐷 = 1 2푂퐴 ⋅ 푂퐵, ∴ 푂퐷 = 푂퐴 × 푂퐵 퐴퐵 = 12 5 = 半径 OM, ∴ 直线 AB 与 ⊙ 푂相切；第 11 页，共 11 页 (2)解：图中所示的阴影部分的面积 =△ 퐴푂퐵的面积−扇形 OMN 的面积 = 1 2 × 3 × 4−1 4 휋 × (12 5 )2 = 6−36 25휋. 【解析】(1)作푂퐷 ⊥ 퐴퐵于D,由弧长公式和已知条件求出半径푂푀 = 12 5 ,由直线解析式求 出点A和B的坐标,得出푂퐴 = 3,푂퐵 = 4,由勾股定理求出퐴퐵 = 5,再由 △ 퐴푂퐵面积的计算 方法求出 OD,即可得出结论； (2)阴影部分的面积 =△ 퐴푂퐵的面积−扇形 OMN 的面积,即可得出结果． 本题考查了切线的判定、弧长公式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、扇形面 积的计算等知识；熟练掌握切线的判定,由三角形的面积求出半径是解决问题的关键． 28. 如图,AB 是 ⊙ 푂的直径,弦퐶퐷 ⊥ 퐴퐵,垂足为 E,连接 AC、BC,若 ,퐶퐷 = 6푐푚． (1)求∠퐵퐶퐷的度数； (2)求 ⊙ 푂的直径． 【答案】解：(1) ∵ 直径퐴퐵 ⊥ 퐶퐷, ∴ 퐵퐶 = 퐵퐷,(2分) ∴ ∠퐷퐶퐵 = ∠퐶퐴퐵 = 30度； (2) ∵ 直径퐴퐵 ⊥ 퐶퐷,퐶퐷 = 6푐푚, ∴ 퐶퐸 = 3푐푚,(6分) 在푅푡 △ 퐴퐶퐸中, , ∴ 퐴퐶 = 6푐푚, ∵ 퐴퐵是直径, , 在푅푡 △ 퐴퐶퐵中,퐴퐵 = 퐴퐶 cos∠퐴 = 6 푐표푠30∘ = 4 3(푐푚)． 【解析】(1)由垂径定理知,퐵퐶 = 퐵퐷, ； (2)由垂径定理知,点 E 是 CD 的中点,有퐶퐸 = 1 2퐶퐷 = 3,AB 是直径, ,再求出 AC 的长,利用∠퐴的余弦即可求解．