浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元测试卷【附详解】

2019-2020 浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元测试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.若3x = 2y （xy≠0），则下列比例式成立的是（ ） A. x 3 = y 2 B. x 3 = 2 y C. x y = 3 2 D. x 2 = y 3 解：A、由x 3 = y 2得：2x=3y,故 A 不符合题意； B、由x 3 = 2 y得：xy=6, 故 B 不符合题意； C、由x y = 3 2得：2x=3y，故 C 不符合题意； D、由x 2 = y 3得：3x=2y , 故 D 符合题意； 故答案为：D。 2.如图，直线 1l//l2//l3 ， 直线 AC 分别交 l1 ， l2 ， l3 于点 A，B，C，直线 DF 分别交 l1 ， l2 ， l3 于点 D，E， F. 若 AB BC = 2 3 ，则 DE DF 的值为（ ） A. 2 3 B. 2 5 C. 3 5 D. 5 2 解： ∵ AB BC = 2 3 ， ∴ AB AC = 2 5 ， ∵ l1//l2//l3 ， ∴ DE DF = AB AC = 2 5 。 故答案为：B。 3.已知△ABC∽△A'B'C'，AD 和 A'D'是它们的对应中线，若 AD＝10，A'D'＝6，则△ABC 与△A'B'C' 的周长比是（ ） A. 3：5 B. 9：25 C. 5：3 D. 25：9 解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD 和 A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6， ∴△ABC 与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3. 故答案为：C. 4.下列命题是真命题的是（ ） A. 如果两个三角形相似，相似比为 4:9，那么这两个三角形的周长比为 2:3； B. 如果两个三角形相似，相似比为 4:9，那么这两个三角形的周长比为 4:9； C. 如果两个三角形相似，相似比为 4:9，那么这两个三角形的面积比为 2:3； D. 如果两个三角形相似，相似比为 4:9，那么这两个三角形的面积比为 4:9. 解： A：如果两个三角形相似，相似比为 4:9，那么这两个三角形的周长比为 4:9，故此答 案错误，不符合题意； B：如果两个三角形相似，相似比为 4:9，那么这两个三角形的周长比为 4:9， 故此答案正 确，符合题意； C：如果两个三角形相似，相似比为 4:9，那么这两个三角形的面积比为 16:81， 故此答案 错误，不符合题意； D：如果两个三角形相似，相似比为 4:9，那么这两个三角形的面积比,14:81. 故此答案错误 ，不符合题意。 故答案为：B。 5.如图，将 ΔABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到 ΔA'B'C' 的位置，已知 ΔABC 的面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4.若 AA' = 1 ，则 A'D 等于（ ） A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 3 2 解：由平移的性质可得 A'B'∥AB，A'C'∥AC，B'C'∥BC， ∴∠A'EF=∠B，∠A'FE=∠C， ∴△A'EF~△ABC， 又∵A'D 与 AD 是对应边上的中线， ∴ (A'D AD ) 2 = S阴 SΔABC = 4 9 ， ∵A A'=1， ∴ A'D A'D + 1 = 2 3 ，解得 A'D=2. 故答案为：A 6.如图，DE∥FG∥BC，若 DB=4FB，则 EG 与 GC 的关系是（ ）A. EG=4GC B. EG=3GC C. EG= 5 2 GC D. EG=2GC 解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴ EG GC = DF FB = 3 1 = 3 ． 故答案为：B 7.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带 的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看 到旗杆的顶端 E，标记好脚掌中心位置为 B，测得脚掌中心位置 B 到镜面中心 C 的距离是 50cm ，镜面中心 C 距离旗杆底部 D 的距离为 4m，如图所示．已知小丽同学的身高是 1.54m，眼 睛位置 A 距离小丽头顶的距离是 4cm，则旗杆 DE 的高度等于（ ） A. 10m B. 12m C. 12.4m D. 12.32m 解：由题意可得：AB=1.5m，BC=0.4m，DC=4m， △ABC∽△EDC， 则 AB ED = BC DC ， 即 1.5 DE = 0.5 4 ， 解得：DE=12， 故选：B． 8.如图，在 ▱ ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EM∥AD，交 AB 于点 M，EN∥AB，交 AD 于点 N，则下列式子一定正确的是( ）． A. AM BM = NE DE B. AM AB = AN AD C. BC ME = BE BD D. BD BE = BC ME解：∵ EM∥AD ， EN∥AB ∴△DNE∽△DAB∽△EMB ∴ME AD = BE BD ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ∴ME BC = BE BD即BD BE = BC BE 故答案为：D 9.如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB 和 AC 边上，DE∥BC，M 为 BC 边上一点（不与点 B、 C 重合），连接 AM 交 DE 于点 N，则（ ） A. AD AN = AN AE B. BD MN = MN CE C. DN BM = NE MC D. DN MC = NE BM 解：A.∵DE∥BC， ∴ AD AB = AN AM ， AN AM = AE AC ， ∴ AD AN = AB AM ， AN AE = AM AC ， ∵ AB AM ≠ AM AC ， ∴ AD AN ≠ AN AE ， 故错误，A 不符合题意； B.∵DE∥BC， ∴ AD BD = AN NM ， AN NM = AE EC ， ∴ AD AN = BD NM ， AN AE = NM EC ， ∵ AD AN ≠ AN AE ， ∴ BD NM ≠ NM EC ， 故错误，B 不符合题意； C.∵DE∥BC，∴ DN BM = AN AM ， AN AM = NE MC ， ∴ DN BM = NE MC ， 故正确，C 符合题意； D.∵DE∥BC， ∴ ND MB = AN AM ， AN AM = NE MC ， ∴ ND MB = NE MC ， 即 ND NE = BM MC ， 故错误，D 不符合题意； 故答案为：C. 10.已知菱形 ABCD，E、F 是动点，边长为 4，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论： ①△BCE≌△ACF②△CEF 为正三角形③∠AGE=∠BEC④若 AF=1，则 EG=3FG 正确的有（ ） 个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠BAD=120°， ∴∠B=∠DAC=∠BAC=∠BCA=60°，AB=BC=AC， ∵BE=AF， ∴△BCE≌△ACF（SAS），故①正确； ∴CF=CE，∠BCE=∠ACF， ∵∠ACF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠BCA=60°， ∴△CEF 为正三角形.故②正确； ∵∠AGE=∠GAF+∠AFG=60°+∠AFG=∠AFC， ∴ ∠AGE=∠BEC 故③正确； ∵AF=1，∴BE=1， ∴AE=4-1=3 过点 E 作 EH∥BC 交 AC 于点 H. ∴EH BC = AE AB ， 即EH 4 = 3 4 ， ∴EH=3， ∵AF∥EH， ∴FG EG = AF EH = 1 3,即得 EG=3FG ，故④正确. 故答案为：D. 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11.如图，以点 O 为位似中心，将△OAB 放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则 AB CD =________. 解：∵以点 O 为位似中心，将△OAB 放大后得到△OCD，OA=2，AC=3， ∴ OA OC = AB CD = 2 2 + 3 = 2 5 。 故答案为： 2 5。 12.如图，△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，DE∥BC，AD：DB＝1：2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为________． 解：∵AD：DB＝1：2， ∴AD：AB=AD：（AD+DB）=1:3，∵DE//BC， ∴△ADE~△ABC， ∴ SΔADE SΔABC = (AD AB) 2 = (1 3) 2 = 1 9 ， 则 SΔADE:SΔABC = 1:9 故答案为：1:9. 13.如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为点 O，且 OE EA = 4 3 ，则 FG BC = ________． 解： ∵ 四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为点 O，且 OE EA = 4 3 ， ∴ OE OA = 4 7 ， 则 FG BC = OE OA = 4 7 ， 故答案为： 4 7 14.如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面 镜，光线从点 A 出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD ，且测得 AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12 米，那么该古城墙的高度是________米（平面镜的 厚度忽略不计）． 解：由题意知：光线 AP 与光线 PC，∠APB=∠CPD， ∴Rt△ABP∽Rt△CDP， ∴AB BP = CD PD， ∴CD=1.2 × 12 1.8 =8（米）． 故答案为：8． 15.如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，CD 平分∠ACB.若 AD＝2，BD＝3， 则 AC 的长为________. 解：作 AM⊥BC 于 E，如图所示， ∵CD 平分∠ACB， ∴ AC BC = AD BD = 2 3 ， 设 AC＝2x，则 BC＝3x， ∵MN 是 BC 的垂直平分线， ∴MN⊥BC，BN＝CN＝ 3 2 x， ∴MN∥AE， ∴ EN BN = AD BD = 2 3 ， ∴NE＝x， ∴BE＝BN＋EN＝ 5 2 x，CE＝CN−EN＝ 1 2 x， 由勾股定理得：AE2＝AB2−BE2＝AC2−CE2 ， 即 52−（ 5 2 x）2＝（2x）2−（ 1 2 x）2 ， 解得：x＝ 10 2 ， ∴AC＝2x＝ 10 ； 故答案为： 10 . 16.如图， ▱ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O ， CE 平分 ∠BCD 交 AB 于点 E ，交 BD 于 点 F ，且 ∠ABC = 60°,AB = 2BC ，连接 OE ．下列结论：① EO ⊥ AC ；② S△AOD = 4 S△OCF ；③ AC:BD = 21:7 ；④ FB2 = OF•DF ．其中正确的结论有________（填写所有 正确结论的序号） 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ CD ∥ AB,OD = OB,OA = OC ， ∴ ∠DCB + ∠ABC = 180° ， ∵ ∠ABC = 60° ， ∴ ∠DCB = 120° ， ∵ EC 平分 ∠DCB ， ∴ ∠ECB = 1 2∠DCB = 60° ， ∴ ∠EBC = ∠BCE = ∠CEB = 60° ， ∴ △ ECB 是等边三角形， ∴ EB = BC ， ∵ AB = 2BC ， ∴ EA = EB = EC ， ∴ ∠ACB = 90° ， ∵ OA = OC,EA = EB ， ∴ OE ∥ BC ， ∴ ∠AOE = ∠ACB = 90° ， ∴ EO ⊥ AC ，故①正确， ∵ OE ∥ BC ， ∴ △ OEF ∽△ BCF ， ∴ OE BC = OF FB = 1 2 ， ∴ OF = 1 3OB ， ∴ S△AOD = S△BOC = 3S△OCF ，故②错误， 设 BC = BE = EC = a ，则 AB = 2a ， AC = 3a ， OD = OB = a2 + ( 3 2 a) 2 = 7 2 a ， ∴ BD = 7a ， ∴ AC:BD = 3a: 7a = 21:7 ，故③正确， ∵ OF = 1 3OB = 7 6 a ， ∴ BF = 7 3 a ， ∴ BF2 = 7 9a2,OF ⋅ DF = 7 6 a ⋅ ( 7 2 a + 7 6 a) = 7 9a2 ， ∴ BF2 = OF ⋅ DF ，故④正确，故答案为①③④． 三、解答题（每小题 6 分，共 18 分） 17.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对 岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直， 并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 共 线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根 据相关测量信息，求河宽 AB． 解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴∆ABC∽∆ADE， ∴ AD AB = DE BC ， 又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ∴ AB + 8.5 AB = 1.5 1 ， ∴AB＝17， 即河宽为 17 米 18.如图，△ABC 中，D 为 AB 上一点．已知△ADC 与△DBC 的面积比为 1：3，且 AD=3，AC=6 ，请求出 BD 的长度，并完整说明为何∠ACD=∠B 的理由． 解：∵△ADC 与△DBC 同高，且△ADC 与△DBC 的面积比为 1：3，AD=3， ∴BD=9， ∴AB=12， ∵AC=6， ∴ 3 6 = 6 12 ∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB， ∴∠ACD=∠B． 19.如图，已知△ABC 和△A′B′C′是位似比为 2 的位似三角形，且 AB 的对应边是 A′B′，请用尺 规作图，将△A′B′C′补充完整（可不写作法，但保留作图痕迹）． 解：如图所示：△A′B′C′即为所求． 四．解答题（每小题 8 分，共 48 分） 20.如图，已知△ABC 和△DEC 的面积相等，点 E 在 BC 边上，DE∥AB 交 AC 于点 F，AB=12，EF=9 ，则 DF 的长是多少？ 解：∵△ABC 与△DEC 的面积相等， ∴△CDF 与四边形 AFEB 的面积相等， ∵AB∥DE， ∴△CEF∽△CBA， ∵EF=9，AB=12， ∴EF：AB=9：12=3：4， ∴△CEF 和△CBA 的面积比=9：16， 设△CEF 的面积为 9k，则四边形 AFEB 的面积=7k， ∵△CDF 与四边形 AFEB 的面积相等， ∴S△CDF=7k， ∵△CDF 与△CEF 是同高不同底的三角形， ∴面积比等于底之比，∴DF：EF=7k：9k， ∴DF=7． 21.如图示，正方形 ABCD 的顶点 A 在等腰直角三角形 DEF 的斜边 EF 上，EF 与 BC 相交于点 G ，连接 CF． ①求证：△DAE≌△DCF； ②求证：△ABG∽△CFG． 证明：①∵正方形 ABCD，等腰直角三角形 EDF， ∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF， ∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF， ∴∠ADE=∠CDF， 在△ADE 和△CDF 中， ， ∴△ADE≌△CDF； ②延长 BA 到 M，交 ED 于点 M， ∵△ADE≌△CDF， ∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF， ∵∠MAD=∠BCD=90°， ∴∠EAM=∠BCF， ∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF， ∵∠AGB=∠CGF， ∴△ABG∽△CFG． 22.在△ABC 中，∠A=90°，点 D 在线段 BC 上，∠EDB=1 2∠C，BE⊥DE，垂足为 E，DE 与 AB 相交 于点 F． （1）当 AB=AC 时，（如图 1）， ①∠EBF 的度数 ②探究线段 BE 与 FD 的数量关系，并加以证明； （2）当 AB=kAC 时（如图 2），求BE FD的值（用含 k 的式子表示）． 解：（1）①∵AB=AC∠A=90° ∴∠ABC=∠C=45° ∵∠EDB=1 2∠C ∴∠EDB=22.5° ∵BE⊥DE ∴∠EBD=67.5° ∴∠EBF=67.5°﹣45°=22.5° ②在△BEF 和△DEB 中 ∵∠BED=∠FEB=90°，∠EBF=∠EDB=22.5° ∴△BEF∽△DEB 如图：作 BG 平分∠ABC，交 DE 于 G 点， ∴BG=GD，△BEG 是等腰直角三角形 设 EF=x，BE=y， 则：BG=GD= 2y FD= 2y+y﹣x ∵△BEF∽△DEB ∴EF BE = BE ED 即：x y= y y + 2y 得：x=（ 2﹣1）y ∴FD= 2y+y﹣（ 2﹣1）y=2y∴FD=2BE． （2）过点 D 作 DG∥AC，交 BE 的延长线于点 G，与 BA 交于点 N， ∵DG∥AC， ∴∠GDB=∠C， ∵∠EDB=1 2∠C， ∴∠EDB=∠GDE， ∵BE⊥DE， ∴∠BED=∠DEG， DE=DE， ∴△DEG≌△DEB， ∴BE=1 2GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF， ∴△GBN∽△FDN， ∴GB FD = NB DN，即BE FD = BN 2DN， 又∵DG∥AC， ∴△BND∽△BAC， ∴BN AB = DN CA，即BN DN = AB AC=k， ∴BE FD = K 2． 23.如图，在一个矩形空地 ABCD 上修建一个矩形花坛 AMPQ，要求点 M 在 AB 上，点 Q 在 AD 上，点 P 在对角线 BD 上．若 AB=6m，AD=4m，设 AM 的长为 xm，矩形 AMPQ 的面积为 S 平方米． （1）求 S 与 x 的函数关系式； （2）当 x 为何值时，S 有最大值？请求出最大值． 解：（1）∵四边形 AMPQ 是矩形， ∴PQ=AM=x． ∵PQ∥AB， ∴△PQD∽△BAD． ∴BQ DA=PQ BA． ∵AB=6，AD=4，∴DQ=2 3x． ∴AQ=4﹣2 3x． ∴S=AQ•AM=（4﹣2 3x）x=﹣2 3x2+4x（0＜x＜6）． （注：不写自变量取值范围不扣分，若写错则扣 1 分） （2）解法一：∵S=﹣2 3x2+4x=﹣2 3（x﹣3）2+6， 又∵﹣2 3＜0， ∴S 有最大值． ∴当 x=3 时，S 的最大值为 6． 答：当 AM 的长为 3 米时，矩形 AMPQ 的面积最大；最大面积为 6 平方米． 解法二：∵﹣2 3＜0， ∴S 有最大值．（8 分） ∴当 x= 4 2 × ( - 2 3)=3 时， S 有最大值为﹣2 3×32+4×3=6． 答：当 AM 的长为 3 米时，矩形 AMPQ 的面积最大；最大面积为 6 平方米． 24.如图，在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别为（0，2）、（﹣1，0）、（4，0） ．P 是线段 OC 上的一动点（点 P 与点 O、C 不重合），过点 P 的直线 x=t 与 AC 相交于点 Q． 设四边形 ABPQ 关于直线 x=t 的对称的图形与△QPC 重叠部分的面积为 S． （1）点 B 关于直线 x=t 的对称点 B′的坐标； （2）求 S 与 t 的函数关系式． 解：（1）设 B′横坐标为 a， 则 -1 + a 2 =t， 解得 a=2t+1． 故 B′点坐标为（2t+1，0）． （2）①如图，当 1.5≤t＜4 时，重合部分为三角形， ∵△CPQ∽△COA，∵PC OC = PQ AO ， 即4 - t 2 =PQ 2 ， 则 PQ=4 - t 2 ． 于是 S=1 2（4﹣t）4 - t 2 =(4 - t)2 4 （1.5≤t＜4）， ②如图，0＜t＜1.5 时，重合部分为四边形， ∵A 点坐标为（0，2）， ∴A′点坐标为（2t，2）， 又∵B′点坐标为（2t+1，0）， 设直线 A′B′解析式为 y=kx+b，则将 A′（2t，2）， 和 B′（2t+1，0）分别代入解析式得，{ 2tk + b = 2 (2t + 1)k + b = 0) ， 解得 k=﹣2，b=2+4t． 解析式为 y=﹣2x+（2+4t）， 设直线 AC 解析式为 y=mx+n，将 A（0，2），C（4，0）分别代入解析式得，{ n = 2 4m + n = 0) ， 解得 4m+2=0，m=﹣1 2 ． 解析式为 y=﹣1 2x+2． 将 y=﹣1 2x+2 和 y=﹣2x+（2+4t）组成方程组得{ y = - 1 2x + 2 y = -2x + (2 + 4t)) 得{ x = 8t 3 y = 6 - 4t 3 ) ， D 点坐标为（8t 3 ， 6 - 4t 3 ）． 由于 B′坐标为（2t+1，0），C 点坐标为（4，0）， 故 B′C=4﹣（2t+1）=3﹣2t， ∴S=S 四边形 QPB'D=S△QPC﹣S△DB'C=﹣13t2 12 +2t+1（0＜t＜1.5）．25.在平面直角坐标系中，直线 y＝kx+4（k≠0）交 x 轴于点 A（8，0），交 y 轴于点 B. （1）k 的值是________； （2）点 C 是直线 AB 上的一个动点，点 D 和点 E 分别在 x 轴和 y 轴上. ①如图，点 E 为线段 OB 的中点，且四边形 OCED 是平行四边形时，求▱OCED 的周长； ②当 CE 平行于 x 轴，CD 平行于 y 轴时，连接 DE，若△CDE 的面积为 33 4 ，请直接写出点 C 的坐标. （1）− 1 2 （2）①由（1）可知直线 AB 的解析式为 y＝ − 1 2 x+4. 当 x＝0 时，y＝ − 1 2 x+4＝4， ∴点 B 的坐标为（0，4）， ∴OB＝4. ∵点 E 为 OB 的中点， ∴BE＝OE＝ 1 2 OB＝2. ∵点 A 的坐标为（8，0）， ∴OA＝8. ∵四边形 OCED 是平行四边形， ∴CE∥DA，∴ BC AC = BE OE = 1 ， ∴BC＝AC， ∴CE 是△ABO 的中位线， ∴CE＝ 1 2 OA＝4. ∵四边形 OCED 是平行四边形， ∴OD＝CE＝4，OC＝DE. 在 Rt△DOE 中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2， ∴DE＝ OD2 + OE2 = 2 5 ， ∴C 平行四边形 OCED＝2（OD+DE）＝2（4+2 5 ）＝8+4 5 . ②设点 C 的坐标为（x， − 1 2x +4），则 CE＝|x|，CD＝| − 1 2 x+4|， ∴S△CDE＝ 1 2 CD•CE＝|﹣ 1 4 x2+2x|＝ 33 4 ， ∴x2+8x+33＝0 或 x2+8x﹣33＝0. 方程 x2+8x+33＝0 无解； 解方程 x2+8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11， ∴点 C 的坐标为（﹣3， 11 2 ）或（11， − 3 2 ）.