八年级（上）期中数学试卷

八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，） 1．（3 分）下列说法① ；② 是无理数；③ 是 7 的平方根；④圆周率 是有理 数．正确个数为 　　 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（3 分）下列运算正确的是 　　 A． B． C． D． 3．（3 分）若 中不含 的一次项，则 的值为 　　 A．8 B． C．0 D．8 或 4．（3 分）已知多项式 因式分解的结果为 ，则 为 　　 A．12 B．9 C． D． 5 ．（ 3 分 ） 如 图 ， 点 、 在 线 段 的 同 侧 ， 连 接 、 、 、 ， 已 知 ，老师要求同学们补充一个条件使 ．以下是四个同学补充 的条件，其中错误的是 　　 A． B． C． D． 6．（3 分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解分解正确的是 　　 A． B． C． D． 7．（3 分）已知下列命题，其中真命题的个数 　　 （1）27 的立方根是 ； 9 3= ± 8 7 π ( ) ( ) 2 3 2x x x÷ = 3 3( 2 ) 6x x− = − 22x x x− = 3 3 9( )x x= ( )( 8)x m x+ − x m ( ) 8− 8− 2ax bx c+ + ( 1)( 4)x x− + abc ( ) 9− 12− A D BC AB AC DB DC ABC DCB∠ = ∠ ABC DCB∆ ≅ ∆ ( ) AC DB= AB DC= A D∠ = ∠ ABD DCA∠ = ∠ ( ) 2( 1)( 1) 1x x x+ − = − 2 2 1 ( 2) 1x x x x− + = − + 2 24 ( 4 )( 4 )x y x y x y− = + − 22( 2 ) (2 ) ( 2 )(2 2 )x y y x x y y x− − − = − + − ( ) 3−（2）有理数与数轴上的点一一对应； （3）平方根是它本身的数有 和 0； （4）同位角相等； （5）等腰三角形两腰上的高相等； （6）若 ，则 ． A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 8．（3 分）如图，在等边三角形 的 边上取中点 ， 为 的延长线上取一点，且 ，则 的度数是 　　 A． B． C． D． 9．（3 分）如图， 中， 于 ， 于 ， 与 相交于 ，若 ， ，则 的大小是 　　 A． B． C． D． 10．（3 分）如图，已知在 中， ，点 是 边的中点，分别以 、 为圆心，大于线段 长度一半的长为半径画弧，两弧在直线 上方的交点为 ，直线 交 于点 ，连接 ，则下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 中，一定正确的是 　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 1± 2 2a b= a b= ABC AC D E BC BD DE= CDE∠ ( ) 20° 25° 30° 35° ABC∆ AD BC⊥ D BE AC⊥ E AD BE F BF AC= 26EBC∠ = ° ABE∠ ( ) 15° 19° 25° 30° Rt ABC∆ 90ABC∠ = ° D BC B C BC BC P PD AC E BE ED BC⊥ A EBA∠ = ∠ EB AED∠ 1 2ED AB= ( )二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．（3 分）计算： 　　． 12．（3 分）已知一个正数 的平方根是 和 ，则 　 　． 13．（3 分）利用乘法公式计算： 　 　． 14．（3 分）若 是一个单项式，且 ，则 　　． 15．（3 分）如图，在 中， ， ， 是 的平分线上的一点， 且 ，点 沿 折叠后与点 重合，则 的度数是　　． 三、解答题（共 75 分） 16．（8 分）先化简，再求值： ，其中 ， ． 17．（8 分）将下面证明中每一步的理由写在括号内． 已知：如图， ， 求证： 证明：连接 ． 在 和 中， 　　 　　 　　 　　 　　 18．（8 分）先因式分解，然后计算求值： （1） ，其中 ， ； 3 24 2x y xy÷ = m 5 1a + 13a − m = 2123 124 122− × = B 2 2 3(4 ) 8 2B a b a b ab− = − + B = ABC∆ AB AC= 50BAC∠ = ° O BAC∠ OA OB= C EF O OEF∠ 4 5 3 4 3 3 3 31(9 6 3 ) ( )3a x a x a x a x− − ÷ − 1x = − 1a = − AB CD= AD CB= A C∠ = ∠ BD BAD∆ DCB∆ AB CD= ( ) AD CB= ( ) BD DB= ( ) BAD DCB∴∆ ≅ ∆ ( ) A C∴∠ = ∠ ( ) 2 29 12 4x xy y+ + 4 3x = 1 2y = −（2） ，其中 ， ． 19．（9 分）阅读下面的文字，解答问题 大家都知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全 部写出来，于是用 来表示 的小数部分．事实上，这种表示方法是有道理的，因为 的整数部分是 1，差就是小数部分． 请解答：（1） 的整数部分为　　，小数部分可以表示为　　； （2）已知 ，其中 是整数，且 ，求 的值． 20．（10 分）按要求完成下列问题： （1）用尺规作图作角平分线：如图所示，已知点 是 的 边上的一点，在 上 取一点 ，使 ，再分别过点 ， 作 ， 的垂线，两垂线交于点 ；（保 留作图痕迹） （2）思考射线 为什么就是 的平分？写出证明过程； （3）直接写出 与 的数量关系，尝试用文字语言准确表述这条性质． 21．（10 分）已知：如图， ，点 是 的中点， 平分 ， ，垂 足为 ． （1）求证： ． （2）若 ，试判断 的形状，并说明理由． 22．（10 分）（1）如图 1 在边长为 的正方形中，挖掉一个边长为 的小正方形 ：把 余下的部分拼成一个长方形，（如图 ，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，可以验证 2 2( ) ( )2 2 a b a b+ −− 1 8a = − 2b = 2 2 2 1− 2 2 7 10 7 x y+ = + x 0 1y< < 2( 2)x y− + M AOB∠ OA OB N ON OM= M N OA OB P OP AOB∠ PM PN AB AC= D BC AB DAE∠ AE BE⊥ E AD AE= / /BE AC ABC∆ a b ( )a b> 2)一个等式，请写出这个等式． （2）通过以上方法构图验证 （画出图形，并加以简要说明）． 23．（12 分）已知点 为线段 上一点，分别以 、 为边在线段 同侧作 和 ，且 ， ， ，直线 与 交于点 ， （1）如图 1，若 ，则 　 　；如图 2，若 ，则 　 　； 如图 3，若 ，则 　 　； （2）如图 4，若 ，则 　 　（用含 的式子表示）； （3）将图 4 中的 绕点 顺时针旋转任意角度（交点 至少在 、 中的一条线 段上），变成如图 5 所示的情形，若 ，则 与 的有何数量关系？并给予 证明． 2 2( ) ( ) 4a b a b ab+ − − = C AB AC BC AB ACD∆ BCE∆ CA CD= CB CE= ACD BCE∠ = ∠ AE BD F 60ACD∠ = ° AFB∠ = 90ACD∠ = ° AFB∠ = 120ACD∠ = ° AFB∠ = ACD α∠ = AFB∠ = α ACD∆ C F BD AE ACD α∠ = AFB∠ α参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，） 1．（3 分）下列说法① ；② 是无理数；③ 是 7 的平方根；④圆周率 是有理 数．正确个数为 　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据平方根、立方根及算术平方根的定义，即可求解． 【解答】解：① ；故不符合题意； ② 是无理数，故符合题意； ③ 是 7 的平方根，故符合题意； ④圆周率 是无理数，故不符合题意； 故选： ． 【点评】此题主要考查了立方根、算术平方根、平方根的定义，解题时要注意平方根和算术 平方根的区别：一个非负数的平方根有两个，算术平方根有一个，是非负数． 2．（3 分）下列运算正确的是 　　 A． B． C． D． 【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、同底数幂的乘法和除法，对各项计算后即可判 断． 【解答】解： 、 ，错误； 、 ，错误； 、 与 不是同类项，不能合并，错误； 、 ，正确； 故选： ． 【点评】本题考查包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法和除法，需熟练掌握且区分 清楚，才不容易出错． 3．（3 分）若 中不含 的一次项，则 的值为 　　 9 3= ± 8 7 π ( ) 9 3= 8 7 π C ( ) 2 3 2x x x÷ = 3 3( 2 ) 6x x− = − 22x x x− = 3 3 9( )x x= A 2 3 1x x x−÷ = B 3 3( 2 ) 8x x− = − C 22x x D 3 3 9( )x x= D ( )( 8)x m x+ − x m ( )A．8 B． C．0 D．8 或 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开式子，并合并，不含 的一次项就是含 项的系 数等于 0，求解即可． 【解答】解： ， 又结果中不含 的一次项， ， ． 故选： ． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据不含某一项就是说这一项的系数等于 0 得出是解题关键． 4．（3 分）已知多项式 因式分解的结果为 ，则 为 　　 A．12 B．9 C． D． 【分析】把多项式乘法展开再根据对应项系数相等即可求解． 【解答】解： ， ， ， ， ， ． 则 ． 故选： ． 【点评】注意正确计算多项式的乘法运算，然后根据对应项系数相等求解是解题的关键． 5 ．（ 3 分 ） 如 图 ， 点 、 在 线 段 的 同 侧 ， 连 接 、 、 、 ， 已 知 ，老师要求同学们补充一个条件使 ．以下是四个同学补充 的条件，其中错误的是 　　 A． B． C． D． 【分析】因为 ， 共边，对选项一一分析，选择正确答案． 8− 8− x x 2 2( )( 8) 8 8 ( 8) 8x m x x x mx m x m x m+ − = − + − = + − − x 8 0m∴ − = 8m∴ = A 2ax bx c+ + ( 1)( 4)x x− + abc ( ) 9− 12− ( 1)( 4)x x− + 2 3 4x x= + − 2ax bx c= + + 1a∴ = 3b = 4c = − 12abc = − D A D BC AB AC DB DC ABC DCB∠ = ∠ ABC DCB∆ ≅ ∆ ( ) AC DB= AB DC= A D∠ = ∠ ABD DCA∠ = ∠ ABC DCB∠ = ∠ BC【解答】解： 、补充 ， 不能判定 ，故 错误； 、补充 ，可根据 判定 ，故 正确； 、补充 ，可根据 判定 ，故 正确； 、补充 ，可根据 判定 ，故 正确． 故选： ． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、 、 ．注意： 、 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等 时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 6．（3 分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解分解正确的是 　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用因式分解的意义分析得出答案． 【解答】解： 、 ，从左到右是整式的乘法运算，不合题意； 、 ，原式不合题意； 、 ，原式不合题意； 、 ，从左到右是因式分解，正确． 故选： ． 【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握相关定义是解题关键． 7．（3 分）已知下列命题，其中真命题的个数 　　 （1）27 的立方根是 ； （2）有理数与数轴上的点一一对应； （3）平方根是它本身的数有 和 0； （4）同位角相等； （5）等腰三角形两腰上的高相等； A AC DB= SSA ABC DCB∆ ≅ ∆ A B AB DC= SAS ABC DCB∆ ≅ ∆ B C A D∠ = ∠ AAS ABC DCB∆ ≅ ∆ C D ABD DCA∠ = ∠ ASA ABC DCB∆ ≅ ∆ D A SSS SAS ASA AAS HL AAA SSA ( ) 2( 1)( 1) 1x x x+ − = − 2 2 1 ( 2) 1x x x x− + = − + 2 24 ( 4 )( 4 )x y x y x y− = + − 22( 2 ) (2 ) ( 2 )(2 2 )x y y x x y y x− − − = − + − A 2( 1)( 1) 1x x x+ − = − B 2 22 1 ( 1)x x x− + = − C 2 24 ( 2 )( 2 )x y x y x y− = + − D 22( 2 ) (2 ) ( 2 )(2 2 )x y y x x y y x− − − = − + − D ( ) 3− 1±（6）若 ，则 ． A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【分析】根据各个小题中的说法可以判断是否为真命题，本题得以解决． 【解答】解：27 的立方根是 3，故（1）中的命题是假命题； 有理数与数轴上的点一一对应，故（2）中的命题是真命题； 平方根是它本身的数只有 0，故（3）中的命题是假命题； 如果两直线不平行时，同位角就不相等，故（4）中的命题是假命题； 等腰三角形两腰上的高相等，故（5）中的命题是真命题； 若 ，则 ，故（6）中的命题是假命题； 故选： ． 【点评】本题考查命题与定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个小题中的命题 的真假． 8．（3 分）如图，在等边三角形 的 边上取中点 ， 为 的延长线上取一点，且 ，则 的度数是 　　 A． B． C． D． 【分析】根据等边三角形的性质可得 ， ，再根据等边对等角的性质 求出 ，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求 解得到 ． 【解答】证明： 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 2 2a b= a b= 2 2a b= a b= ± D ABC AC D E BC BD DE= CDE∠ ( ) 20° 25° 30° 35° 60ACB∠ = ° 30DBC∠ = ° 30E DBC∠ = ∠ = ° 30CDE∠ = ° ABC∆ 60ABC ACB∴∠ = ∠ = ° AD DC= 1 302DBC ABC∴∠ = ∠ = ° DB DE= 30E DBC∴∠ = ∠ = ° ACB CDE E∠ = ∠ + ∠ 30CDE∴∠ = °故选： ． 【点评】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．（3 分）如图， 中， 于 ， 于 ， 与 相交于 ，若 ， ，则 的大小是 　　 A． B． C． D． 【分析】先利用 判定 ，从而得出 ，即 为等腰直角三角 形．所以得出 ，进而解答即可． 【解答】解： 于 ， 于 ， ． ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， 故选： ． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、 ． 注意： 、 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与， 若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． C ABC∆ AD BC⊥ D BE AC⊥ E AD BE F BF AC= 26EBC∠ = ° ABE∠ ( ) 15° 19° 25° 30° AAS BDF ADC∆ ≅ ∆ BD DA= ABD∆ 45ABC∠ = ° AD BC⊥ D BE AC⊥ E 90BEA ADC∴∠ = ∠ = ° 90FBD BFD∠ + ∠ = ° 90AFE FAE∠ + ∠ = ° BFD AFE∠ = ∠ FBD FAE∴∠ = ∠ BDF∆ ADC∆ FDB ADC FBD CAD BF AC ∠ = ∠ ∠ = ∠  = ( )BDF ADC AAS∴∆ ≅ ∆ BD AD∴ = 45ABC BAD∴∠ = ∠ = ° 26EBC∠ = ° 45 26 19ABE∴∠ = ° − ° = ° B SSS SAS AAS HL AAA SSA10．（3 分）如图，已知在 中， ，点 是 边的中点，分别以 、 为圆心，大于线段 长度一半的长为半径画弧，两弧在直线 上方的交点为 ，直线 交 于点 ，连接 ，则下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 中，一定正确的是 　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据作图过程得到 ，然后利用 为 的中点，得到 垂直平分 ， 从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：根据作图过程可知： ， 为 的中点， 垂直平分 ， ① 正确； ， ， 为 的中点， ， ， ② 正确；③ 平分 错误；④ 正确， 故正确的有①②④， 故选： ． 【点评】本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难 度中等． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．（3 分）计算： 　 　． 【分析】根据整式的除法法则：系数相除、相同字母相除即可得结论． Rt ABC∆ 90ABC∠ = ° D BC B C BC BC P PD AC E BE ED BC⊥ A EBA∠ = ∠ EB AED∠ 1 2ED AB= ( ) PB PC= D BC PD BC PB CP= D BC PD∴ BC ∴ ED BC⊥ 90ABC∠ = ° / /PD AB∴ E∴ AC EC EA∴ = EB EC= ∴ A EBA∠ = ∠ EB AED∠ 1 2ED AB= B 3 24 2x y xy÷ = 22x y【解答】解： 故答案为 ． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握除法法则是解题的关键． 12．（3 分）已知一个正数 的平方根是 和 ，则 　121　． 【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出 ，求出 即 可． 【解答】解： 和 是一个正数 的两个平方根， ， ， ， ． 故答案为：121． 【点评】本题考查了平方根和解一元一次方程的应用，关键是求出 的值，注意：一个正数 有两个平方根，它们互为相反数． 13．（3 分）利用乘法公式计算： 　1　． 【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 【解答】解：原式 ， 故答案为：1 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 14．（3 分）若 是一个单项式，且 ，则 　 　． 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解： ， ． 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确将原式变形是解题关键． 3 2 24 2 2x y xy x y÷ = 22x y m 5 1a + 13a − m = 5 1 13 0a a+ + − = a 5 1a + 13a − m 5 1 13 0a a∴ + + − = 2a = 5 1 11a + = 211 121m = = a 2123 124 122− × = 2 2 2 2 2123 (123 1) (123 1) 123 (123 1) 123 123 1 1= − + × − = − − = − + = B 2 2 3(4 ) 8 2B a b a b ab− = − + B = 22ab− 2 2 3(4 ) 8 2B a b a b ab− = − +  2 2 3( 8 2 ) (4 )B a b ab a b∴ = − + ÷ − 22 (4 ) (4 )ab a b a b= − − ÷ − 22ab= − 22ab−15．（3 分）如图，在 中， ， ， 是 的平分线上的一点， 且 ，点 沿 折叠后与点 重合，则 的度数是　 　． 【 分 析 】 利 用 全 等 三 角 形 的 判 定 以 及 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 出 ， 以 及 ，再利用翻折变换的性质得出 ， ，进而求出 即可． 【解答】解： ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 沿 折叠后与点 重合， ， ， ， 故答案为： ． ABC∆ AB AC= 50BAC∠ = ° O BAC∠ OA OB= C EF O OEF∠ 50° 40OBC∠ = ° 40OBC OCB∠ = ∠ = ° EO EC= CEF FEO∠ = ∠ 50BAC∠ = ° OA BAC∠ 25OAB ABO∴∠ = ∠ = ° OA OB= 25OAB OBA∴∠ = ∠ = ° AB AC= 50BAC∠ = ° 65ABC ACB∴∠ = ∠ = ° 65 25 40OBC∴∠ = ° − ° = °  AB AC BAO CAO AO AO = ∠ = ∠  = ( )ABO ACO SAS∴∆ ≅ ∆ BO CO∴ = 40OBC OCB∴∠ = ∠ = °  C EF O EO EC∴ = CEF FEO∠ = ∠ 180 2 40 502CEF FEO ° − × °∴∠ = ∠ = = ° 50°【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知 识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键． 三、解答题（共 75 分） 16．（8 分）先化简，再求值： ，其中 ， ． 【分析】先根据多项式除以单项式法则算除法，再代入求出即可． 【解答】解： ， 当 ， 时，原式 ． 【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题 的关键． 17．（8 分）将下面证明中每一步的理由写在括号内． 已知：如图， ， 求证： 证明：连接 ． 在 和 中， 　已知　 　　 　　 　　 　　 【分析】根据 证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答． 4 5 3 4 3 3 3 31(9 6 3 ) ( )3a x a x a x a x− − ÷ − 1x = − 1a = − 4 5 3 4 3 3 3 31(9 6 3 ) ( )3a x a x a x a x− − ÷ − 227 18 9ax x= − + + 1x = − 1a = − 27 18 9 18= − + = AB CD= AD CB= A C∠ = ∠ BD BAD∆ DCB∆ AB CD= ( ) AD CB= ( ) BD DB= ( ) BAD DCB∴∆ ≅ ∆ ( ) A C∴∠ = ∠ ( ) SSS【解答】解：连接 ． 在 和 中， （已知） （已知） （公共边） （全等三角形的对应角相等）； 故答案为：已知；已知；公共边； ；全等三角形的对应角相等． 【点评】本题考查了全等三角形性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有 ， ， ， ，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 18．（8 分）先因式分解，然后计算求值： （1） ，其中 ， ； （2） ，其中 ， ． 【分析】（1）先根据完全平方公式分解因式，再代入求出即可； （2）先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可． 【解答】解：（1）当 ， 时， ； （2）当 ， 时， 原式 ． 【点评】本题考查了分解因式，能根据公式正确分解因式是解此题的关键． 19．（9 分）阅读下面的文字，解答问题 大家都知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全 部写出来，于是用 来表示 的小数部分．事实上，这种表示方法是有道理的，因为 的整数部分是 1，差就是小数部分． BD BAD∆ DCB∆ AB CD= AD CB= BD DB= BAD DCB∴∆ ≅ ∆ ( )SSS A C∴∠ = ∠ SSS SAS ASA AAS SSS 2 29 12 4x xy y+ + 4 3x = 1 2y = − 2 2( ) ( )2 2 a b a b+ −− 1 8a = − 2b = 4 3x = 1 2y = − 2 2 2 24 19 12 4 (3 2 ) [3 2 ( )] 93 2x xy y x y+ + = + = × + × − = 1 8a = − 2b = ( )( )2 2 2 2 a b a b a b a b+ − + −= + − ab= 1 28 = − × 4= − 2 2 2 1− 2 2请解答：（1） 的整数部分为　2　，小数部分可以表示为　　； （2）已知 ，其中 是整数，且 ，求 的值． 【分析】（1）直接利用二次根式的性质得出 的取值范围进而得出答案； （2）直接利用二次根式的性质得出 ， 的值进而得出答案． 【解答】解：（1） ， 的整数部分为：2， 小数部分可以表示为： ； 故答案为：2， ； （2） ，其中 是整数，且 ， ， ， ， ． 【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键． 20．（10 分）按要求完成下列问题： （1）用尺规作图作角平分线：如图所示，已知点 是 的 边上的一点，在 上 取一点 ，使 ，再分别过点 ， 作 ， 的垂线，两垂线交于点 ；（保 留作图痕迹） （2）思考射线 为什么就是 的平分？写出证明过程； （3）直接写出 与 的数量关系，尝试用文字语言准确表述这条性质． 【分析】（1）根据要求作出点 即可． 7 10 7 x y+ = + x 0 1y< < 2( 2)x y− + 7 x y 2 7 3< 2)（2）通过以上方法构图验证 （画出图形，并加以简要说明）． 【分析】（1）由面积的和差关系可求解； （2）利用空白面积为大正方形面积减去周围 4 个长方形面积进而得出答案． 【解答】解：（1）根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为 ，第二个图形阴影 部分的面积为 ， 即 ， （2）如图 3 所示：空白面积为： ． ． 【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，利用图形面积得出是解题关键． 23．（12 分）已知点 为线段 上一点，分别以 、 为边在线段 同侧作 和 ，且 ， ， ，直线 与 交于点 ， （ 1 ） 如 图 1 ， 若 ， 则 　 　 ； 如 图 2 ， 若 ， 则 　 　；如图 3，若 ，则 　 　； （2）如图 4，若 ，则 　 　（用含 的式子表示）； （3）将图 4 中的 绕点 顺时针旋转任意角度（交点 至少在 、 中的一条线 段上），变成如图 5 所示的情形，若 ，则 与 的有何数量关系？并给予 证明． 2 2( ) ( ) 4a b a b ab+ − − = 2 2a b− ( )( )a b a b+ − 2 2 ( )( )a b a b a b− = + − 2 2( ) ( ) 4a b a b ab− = + − C AB AC BC AB ACD∆ BCE∆ CA CD= CB CE= ACD BCE∠ = ∠ AE BD F 60ACD∠ = ° AFB∠ = 120° 90ACD∠ = ° AFB∠ = 120ACD∠ = ° AFB∠ = ACD α∠ = AFB∠ = α ACD∆ C F BD AE ACD α∠ = AFB∠ α【分析】（1）如图 1，首先证明 ，得出 ，再根据 是 的外角求出其度数． 如图 2，首先证明 ，得出 ，又有 ，进而得出 ． 如图 3，首先证明 ，得出 ，又有 得到 ，进而求出 ． （2）由 得到 ，再由三角形的内角和定理得 ， 从而得出 ，得到结论 ． （3）由 得到 ，通过证明 得 ， 由三角形内角和定理得到结论 ． 【解答】解：（1）如图 1， ， ， 所以 是等边三角形． ， ， 所以 是等边三角形． ， ， ， 又 ， ． ， ， ． ． 是 的外角． BCD ECA∆ ≅ ∆ EAC BDC∠ = ∠ AFB∠ ADF∆ ACE DCB∆ ≅ ∆ AEC DBC∠ = ∠ FDE CDB∠ = ∠ 90AFB∠ = ° ACE DCB∆ ≅ ∆ EAC BDC∠ = ∠ 180BDC FBA DCB∠ + ∠ = ° − ∠ 120FAB FBA∠ + ∠ = ° 60AFB∠ = ° ACD BCE∠ = ∠ ACE DCB∠ = ∠ CAE CDB∠ = ∠ DFA ACD∠ = ∠ 180AFB α∠ = ° − ACD BCE∠ = ∠ ACE DCB∠ = ∠ ACE DCB∆ ≅ ∆ CBD CEA∠ = ∠ 180AFB α∠ = ° − CA CD= 60ACD∠ = ° ACD∆ CB CE= 60ACD BCE∠ = ∠ = ° ECB∆ AC DC= ACE ACD DCE∠ = ∠ + ∠ BCD BCE DCE∠ = ∠ + ∠ ACD BCE∠ = ∠ ACE BCD∴∠ = ∠ AC DC= CE BC= ACE DCB∴∆ ≅ ∆ EAC BDC∴∠ = ∠ AFB∠ ADF∆． 如图 2， ， ， ， ． ， 又 ， ， ． ． 如图 3， ， ． ． 又 ， ， ． ． ， ． ． 故填 ， ， ． （2） ， ． ． ． ． ． （3） ； 证明： ，则 ， 即 ． 120AFB ADF FAD ADC CDB FAD ADC EAC FAD ADC DAC∴∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ° AC CD= 90ACE DCB∠ = ∠ = ° EC CB= ACE DCB∴∆ ≅ ∆ AEC DBC∴∠ = ∠ FDE CDB∠ = ∠ 90DCB∠ = ° 90EFD∴∠ = ° 90AFB∴∠ = ° ACD BCE∠ = ∠ ACD DCE BCE DCE∴∠ − ∠ = ∠ − ∠ ACE DCB∴∠ = ∠ CA CD= CE CB= ACE DCB∴∆ ≅ ∆ EAC BDC∴∠ = ∠ 180 180 (180 ) 120BDC FBA DCB ACD∠ + ∠ = ° − ∠ = ° − − ∠ = ° 120FAB FBA∴∠ + ∠ = ° 60AFB∴∠ = ° 120° 90° 60° ACD BCE∠ = ∠ ACD DCE BCE DCE∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ ACE DCB∴∠ = ∠ CAE CDB∴∠ = ∠ DFA ACD∴∠ = ∠ 180 180 180AFB DFA ACD α∴∠ = ° − ∠ = ° − ∠ = ° − 180AFB α∠ = ° − ACD BCE α∠ = ∠ = ACD DCE BCE DCE∠ + ∠ = ∠ + ∠ ACE DCB∠ = ∠在 和 中 ， 则 ． 则 ，由三角形内角和知 ． ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识． ACE∆ DCB∆ AC DC ACE DCB CE CB = ∠ = ∠  = ( )ACE DCB SAS∆ ≅ ∆ CBD CEA∠ = ∠ EFB ECB α∠ = ∠ = 180 180AFB EFB α∠ = ° − ∠ = ° −