人教版九年级数学下册期中试题期末试题

人教版九年级数学下册期中试题期末试题 期中检测题 (时间：100 分钟  满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列各点中，在函数 y＝－8 x图象上的是 A A．(－2，4)       B．(2，4)       C．(－2，－4)       D．(8，1) 2．已知△ABC∽△A′B′C′且 AB A′B′＝1 2，则 S△ABC∶S△A′B′C′为 C A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 3．点 A(－1，y1)，B(－2，y2)在反比例函数 y＝2 x的图象上，则 y1，y2 的大小关系是 C A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 4．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC 的是 D A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD·AC D.AD AB＝AB BC ,第 4 题图)   ,第 5 题图)   ,第 6 题 图)   ,第 7 题图) 5．如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB.若 AD＝ 2BD，则CF BF的值为 A A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.2 3 6．(2019·赤峰)如图，点 P 是反比例函数 y＝k x(k≠0)的图象上任意一点，过点 P 作 PM⊥x 轴，垂足 为 M.若△POM 的面积等于 2，则 k 的值等于 A A．－4 B．4 C．－2 D．2 7．如图，△ABE 和△CDE 是以点 E(1，0)为位似中心的位似图形，已知点 A(3，4)，C(2，2)， D(3，1)，则点 D 的对应点 B 的坐标是 C A．(4，2) B．(4，1) C．(5，2) D．(5，1) 8．如图，反比例函数 y＝－6 x在第二象限的图象上有两点 A，B，它们的横坐标分别为－1，－3， 直线 AB 与 x 轴交于点 C，则△AOC 的面积为 C A．8 B．10 C．12 D．24 ,第 8 题图)     ,第 9 题图)     ,第 10 题图) 9．(2019·温州)如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD 于点 H，在边 BE 上取点 M 使 BM＝BC，作 MN∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N，欧几里得在《几 何原本》中利用该图解释了(a＋b)(a－b)＝a2－b2，现以点 F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段 DH 于点 P，连接 EP，记△EPH 的面积为 S1，图中阴影部分的面积为 S2.若点 A，L，G 在同一直线上，则S1 푆 2的 值为 C A. 2 2 B. 2 3 C. 2 4 D. 2 6 10．(2019·十堰)如图，平面直角坐标系中，A(－8，0)，B(－8，4)，C(0，4)，反比例函数 y＝ k x的 图象分别与线段 AB，BC 交于点 D，E，连接 DE.若点 B 关于 DE 的对称点恰好在 OA 上，则 k＝C A．－20 B．－16 C．－12 D．－8 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2019·无锡)某个函数具有性质：当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 y ＝－1 x(答案不唯一)(只要写出一个符合题意的答案即可)． 12．(乐山中考)如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且 DE∥BC，若△ADE 与△ABC 的周长之比为 2∶3，AD＝4，则 DB＝2. ,第 12 题图)    ,第 13 题图)    ,第 14 题 图)    ,第 15 题图) 13．(2019·百色)如图，△ABC 与△A′B′C′是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形，若点 A(2，2)， B(3，4)，C(6，1)，B′(6，8)，则△A′B′C′的面积为 18. 14．(2019·邵阳)如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(－4，2)，反比例函数 y＝k x(x＜0)的图 象经过线段 OA 的中点 B，则 k＝－2. 15．(2019·荆门)如图，在平面直角坐标系中，函数 y＝k x(k＞0，x＞0)的图象与等边三角形 OAB 的 边 OA，AB 分别交于点 M，N，且 OM＝2MA，若 AB＝3，那么点 N 的横坐标为3＋ 5 2 . 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(－1，2)，B(－3， 4)，C(－2，6)． (1)画出△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°后得到的△A1B1C1； (2)以原点 O 为位似中心，画出将△A1B1C1 三条边放大为原来的 2 倍后的△A2B2C2. 解：(1)图略 (2)图略 17．(9 分)(2019·常州)如图，在▱OABC 中，OA＝2 2，∠AOC＝45°，点 C 在 y 轴上，点 D 是 BC 的中点，反比例函数 y＝k x(x＞0)的图象经过点 A，D. (1)求 k 的值； (2)求点 D 的坐标． 解：(1)∵OA＝2 2，∠AOC＝45°，∴A(2，2)，∴k＝4，∴y＝ 4 x (2)四边形 OABC 是平行四边 形，∴AB⊥x 轴，∴B 的横纵标为 2，∵点 D 是 BC 的中点，∴D 点的横坐标为 1，把 xD＝1 代入 y＝ 4 x，得 yD＝4，∴D(1，4) 18．(9 分)(2019·襄阳)如图，已知一次函数 y 1＝kx＋b 与反比例函数 y2＝m x的图象在第一、三象限 分别交于 A(3，4)，B(a，－2)两点，直线 AB 与 y 轴，x 轴分别交于 C，D 两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)比较大小：AD＝BC(填“＞”或“＜”或“＝”)； (3)直接写出 y1＜y2 时 x 的取值范围． 解：(1)把 A(3，4)代入反比例函数 y2＝m x得，4＝m 3，解得 m＝12，∴反比例函数的解析式为 y2＝ 12 x ；∵B(a，－2)点在反比例函数 y2＝m x的图象上，∴－2a＝12，解得 a＝－6，∴B(－6，－2)，∵一次 函数 y1＝kx＋b 的图象经过 A(3，4)，B(－6，－2)两点，∴ {3k＋b＝4， －6k＋b＝－2，解得{k＝2 3， 푏 ＝2， ∴一次函数 的解析式为 y1＝2 3x＋2 (2)由一次函数的解析式为 y 1＝2 3x＋2 可知 C(0，2)，D(－3，0)，∴AD＝ （3＋3）2＋42＝2 13，BC＝ 62＋（－2－2）2＝2 13，∴AD＝BC，故答案为“＝” (3)由图象可 知：y1＜y2 时 x 的取值范围是 x＜－6 或 0＜x＜3 19．(9 分)如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，OF⊥BC 于点 F，交⊙O 于点 E，AE 与 BC 交于点 H，点 D 为 OE 的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.求证： (1)BD 是⊙O 的切线； (2)CE2＝EH·EA. 解：(1)∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，∴∠ODB＝∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°， ∴∠ODB＋∠DBF＝90°，∴∠ABC＋∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD 是⊙O 的 切线 (2)连接 AC，∵OF⊥BC，∴BE ︵ ＝CE ︵ ，∴∠ECB＝∠CAE，又∵∠HEC＝∠CEA，∴△CEH∽△ AEC，∴CE EA＝EH CE，∴CE2＝EH·EA 20．(9 分)(2019·天水)如图，一次函数 y＝kx＋b 与反比例函数 y＝4 x的图象交于 A(m，4)，B(2，n) 两点，与坐标轴分别交于 M，N 两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出 kx＋b－4 x＞0 中 x 的取值范围； (3)求△AOB 的面积． 解：(1)∵点 A 在反比例函数 y＝4 x的图象上，∴4 m＝4，解得 m＝1，∴点 A 的坐标为(1，4)，又∵ 点 B 也在反比例函数 y＝4 x的图象上，∴4 2＝n，解得 n＝2，∴点 B 的坐标为(2，2)，又∵点 A，B 在 y＝ kx＋b 的图象上，∴{k＋b＝4， 2푘 ＋b＝2，解得{k＝－2， 푏 ＝6， ∴一次函数的解析式为 y＝－2x＋6 (2)根据图象得：kx ＋b－4 x＞0 时，x 的取值范围为 x＜0 或 1＜x＜2 (3)∵直线 y＝－2x＋6 与 x 轴的交点为 N，∴点 N 的 坐标为(3，0)，S△AOB＝S△AON－S△BON＝1 2×3×4－1 2×3×2＝3 21．(10 分)(黄冈中考)月电科技有限公司用 160 万元作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市 场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为 4 元/件，在销售 过程中发现：每年的年销售量 y(万件)与销售价格 x(元/件)的关系如图所示，其中 AB 为反比例函数图象 的一部分，BC 为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为 s(万元)．(注：若上一 年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．) (1)请求出 y(万件)与 x(元/件)之间的函数关系式； (2)求出第一年这种电子产品的年利润 s(万元)与 x(元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润 的最大值． (3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润 s(万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的 盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格 x(元)定在 8 元以上(x＞8)，当第二年的年利润 不低于 103 万元时，请结合年利润 s(万元)与销售价格 x(元/件)的函数示意图，求销售价格 x(元/件)的取 值范围． 解：(1)当 4≤x≤8 时，设 y＝k x，将 A(4，40)代入得 k＝4×40＝160，∴y 与 x 之间的函数关系式 为 y＝160 x ；当 8＜x≤28 时，设 y＝k′x＋b，将 B(8，20)，C(28，0)代入得，{8k′＋b＝20， 28푘 ′ ＋b＝0，解得{k′＝－1， 푏 ＝28， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－x＋28，综上所述，y＝{160 x （4 ≤ x ≤ 8） －x＋28（8＜x ≤ 28）  (2)当 4≤x≤8 时，s ＝(x－4)y－160＝(x－4)·160 x －160＝－640 x ，∵当 4≤x≤8 时，s 随着 x 的增大而增大，∴当 x＝8 时，smax ＝－640 8 ＝－80； 当 8＜x≤28 时，s＝(x－4)y－160＝(x－4)(－x＋28)－160＝－(x－16)2－16，∴当 x＝16 时，smax＝－ 16；∵－16＞－80，∴当每件的销售价格定为 16 元时，第一年年利润的最大值为－16 万元 (3)∵第一 年的年利润为－16 万元，∴16 万元应作为第二年的成本，又∵x＞8，∴第二年的年利润 s＝(x－4)(－x ＋28)－16＝－x2＋32x－128，令 s＝103，则 103＝－x2＋32x－128，解得 x1＝11，x2＝21，在平面直角 坐标系中，画出 z 与 x 的函数示意图如图，观察示意图可知，当 s≥103 时，11≤x≤21，∴当 11≤x≤21 时，第二年的年利润 s 不低于 103 万元 22．(10 分)(2019·武汉)已知 AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于 点 E，分别交 AM，BN 于 D，C 两点． (1)如图①，求证：AB2＝4AD·BC； (2)如图②，连接 OE 并延长交 AM 于点 F，连接 CF.若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部 分的面积． 解：(1)连接 OC，OD，如图①所示：∵AM 和 BN 是它的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM ∥BN，∴∠ADE＋∠BCE＝180°.∵DC 切⊙O 于点 E，∴∠ODE＝1 2∠ADE，∠OCE＝1 2∠BCE，∴∠ ODE＋∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠AOD＋∠COB＝90°，∵∠AOD＋∠ADO＝90°，∴∠ AOD＝∠OCB，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO，∴AD BO＝OA BC，∴OA2＝AD·BC，∴(1 2AB)2 ＝AD·BC，∴AB2＝4AD·BC  (2)连接 OD，OC，如图②所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠ BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD 垂直平分 OF，∴OD＝DF，在△COD 和△CFD 中，{OC＝CF， 푂 퐷 ＝DF， 퐶 퐷 ＝CD， ∴△COD≌△CFD(SSS)，∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA＋∠CDO＋∠CDF＝180°，∴ ∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在 Rt△DAO 中，AD＝ 3 3 OA，在 Rt△BOC 中，BC＝ 3 OB，∴AD∶BC＝1∶3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝3，∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC－S 扇形 OBE＝ 2×1 2× 3×3－120휋 × （ 3）2 360 ＝3 3－π 23．(11 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝1 2x＋2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C.抛 物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是直线 x＝－3 2，且经过 A，C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B. (1)①直接写出点 B 的坐标；②求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A，M，N 为顶点的三角形 与△ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)①对于直线 y＝1 2x＋2，当 x＝0 时，y＝2；当 y＝0 时，x＝－4，∴C(0，2)，A(－4，0)， 由抛物线的对称性可知：点 A 与点 B 关于直线 x＝－3 2对称，∴点 B 的坐标为(1，0) ②∵抛物线 y＝ax2 ＋bx＋c 过 A(－4，0)，B(1，0)，∴可设抛物线解析式为 y＝a(x＋4)(x－1)，又∵抛物线过点 C(0，2)，∴ 2＝－4a，∴a＝－1 2，∴y＝－1 2x2－3 2x＋2  (2)在 Rt△AOC 中，易知△ABC∽△ACO∽△CBO，如图，①当 M 点与 C 点重合，即 M(0，2)时，△ MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当 M(－3，2)时，△MAN∽△ABC；③当点 M 在第四象限时， 设 M(n，－1 2n2－3 2n＋2)，则 N(n，0)，∴MN＝1 2n2＋3 2n－2，AN＝n＋4，当MN AN＝1 2时，MN＝1 2AN，即 1 2n2＋3 2n－2＝1 2(n＋4)，整理得 n2＋2n－8＝0，解得 n1＝－4(舍)，n2＝2，∴M(2，－3)；当MN AN＝2 1时，MN ＝2AN，即 1 2n2＋3 2n－2＝2(n＋4)，整理得 n2－n－20＝0 解得 n1＝－4(舍)，n2＝5，∴M(5，－18)．综 上所述，存在点 M1(0，2)，M2(－3，2)，M3(2，－3)，M4(5，－18)，使得以点 A，M，N 为顶点的三 角形与△ABC 相似 期末检测题 (时间：100 分钟  满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(玉林中考)sin30°＝B A. 2 2          B.1 2         C. 3 2          D. 3 3 2．(2019·通辽)下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是 B 3．△ABC 在网格中的位置如图，则 cosB 的值为 A A. 5 5 B.2 5 5 C.1 2 D．2 4．(新疆中考)如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，下列说法中不正确的是 D A．DE＝1 2BC B.AD AB＝AE AC C．△ADE∽△ABC D．S△ADE∶S△ABC＝1∶2 ,第 3 题图)   ,第 4 题图)   ,第 5 题图)   ,第 6 题图) 5．如图，点 A 的坐标是(2，0)，△ABO 是等边三角形，点 B 在第一象限．若反比例函数 y＝k x的 图象经过点 B，则 k 的值是 C A．1 B．2 C. 3 D．2 3 6．如图，在直角坐标系中，有两点 A(6，3)，B(6，0)，以原点 O 为位似中心，相似比为 1 3，在第 一象限内把线段 AB 缩小后得到线段 CD，则点 C 的坐标为 A A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 7．(2019·鄂州)在同一平面直角坐标系中，函数 y＝－x＋k 与 y＝k x(k 为常数，且 k≠0)的图象大致 是 C 8．如图，要在宽为 22 米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂 CD 长 2 米，且与灯柱 BC 成 120° 角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 DO 与灯臂 CD 垂直，当灯罩的轴线 DO 通过公路路面的中心线 时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱 BC 高度应该设计为 D A．(11－2 2)米 B．(11 3－2 2)米 C．(11－2 3)米 D．(11 3－4)米 ,第 8 题图)     ,第 9 题图)     ,第 10 题图) 9．(2019·安徽)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点 D 在边 BC 上，点 E 在线段 AD 上，EF⊥AC 于点 F，EG⊥EF 交 AB 于点 G.若 EF＝EG，则 CD 的长为 B A．3.6 B．4 C．4.8 D．5 10．(2019·遂宁)如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，△BPC 是等边三角形，连接 DP 并延 长交 CB 的延长线于点 H，连接 BD 交 PC 于点 Q，下列结论：①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB； ③DQ∶BQ＝1∶2；④S△BDP＝ 3－1 4 .其中正确的有 D A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(上海中考)已知反比例函数 y＝k x(k≠0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随 着 x 的值增大而减小，那么 k 的取值范围是 k>0. 12．如图，▱ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，AE 交 BD 于点 F，若 BE＝2，EC＝3，则BF DF的值为 2 5. ,第 12 题图)     ,第 13 题图)     ,第 14 题图)     ,第 15 题图) 13．(2019·天门)如图，为测量旗杆 AB 的高度，在教学楼一楼点 C 处测得旗杆顶部的仰角为 60°， 在四楼点 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30°，点 C 与点 B 在同一水平线上．已知 CD＝9.6 m，则旗杆 AB 的高度为 14.4m. 14．(2019·深圳)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，C(0，－3)，CD＝3AD，点 A 在反比例函 数 y＝k x图象上，且 y 轴平分∠ACB，则 k＝4 7 7 . 15．(2019·包头)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝3，D 为斜边 AC 的中点，连接 BD， 点 F 是 BC 边上的动点(不与点 B，C 重合)，过点 B 作 BE⊥BD 与 DF 延长线交于点 E，连接 CE，下列 结论：①若 BF＝CF，则 CE2＋AD2＝DE2；②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则 CE＝15 8 ；③△ABD 和△CBE 一定相似；④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则 DE＝ 21.其中正确的是①②④.(填写所有正确结论的序 号) 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D 在 BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若 AB＝2，求△ABC 的周长．(结果保留根号) 解：△ABC 的周长是 6＋2 3 17．(9 分)(2019·岳阳)如图，双曲线 y＝m x经过点 P(2，1)，且与直线 y＝kx－4(k＜0)有两个不同的 交点． (1)求 m 的值； (2)求 k 的取值范围． 解：(1)∵双曲线 y＝m x经过点 P(2，1)，∴把 P(2，1)代入得 m＝2，即 m 的值为 2 (2)由(1)知双曲 线的解析式为 y＝2 x，联立方程组{y＝2 x， 푦 ＝kx－4， 得 kx2－4x－2＝0，∵双曲线与直线 y＝kx－4 有两个不 同的交点，∴Δ＞0，即 Δ＝42－4k×(－2)＝16＋8k＞0，解得 k＞－2，又∵k＜0，∴k 的取值范围为－ 2＜k＜0 18．(9 分)如图①是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． (1)请说出这个几何体模型的最确切的名称是直三棱柱； (2)如图②是根据 a，h 的取值画出的几何体的主视图和俯视图(图中的粗实线表示的正方形(中间一 条虚线)和三角形)，请在网格中画出该几何体的左视图； (3)在(2)的条件下，已知 h＝20 cm，求该几何体的表面积．(结果保留根号) 解：(2)图略 (3)由题意可得：a＝h 2 ＝20 2 ＝10 2，S 表面积＝1 2×(10 2)2×2＋2×10 2×20＋202＝600 ＋400 2(cm2) 19．(9 分)如图，等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC，BC 边上各取一点 E，F，使 AE＝CF，连 接 AF，BE 相交于点 P. (1)求证：AF＝BE，并求∠APB 的度数； (2)若 AE＝2，试求 AP·AF 的值． 解 ： (1)∵△ABC 为 等 边 三 角 形 ， ∴ AB ＝ AC ， ∠ C ＝ ∠CAB ＝ 60 ° ， 又 ∵AE ＝ CF ， ∴△ABE≌△CAF(SAS)，∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF.又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP＋∠BAP，∴∠APE ＝∠BAP＋∠CAF＝60°，∴∠APB＝180°－∠APE＝120° (2)∵∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝ ∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴AP AC＝AE AF，即AP 6 ＝ 2 AF，∴AP·AF＝12 20．(9 分)(2019·菏泽)如图，▱ABCD 中，顶点 A 的坐标是(0，2)，AD∥x 轴，BC 交 y 轴于点 E， 顶点 C 的纵坐标是－4，▱ABCD 的面积是 24.反比例函数 y＝k x的图象经过点 B 和 D，求： (1)反比例函数的表达式； (2)AB 所在直线的函数表达式． 解：(1)∵顶点 A 的坐标是(0，2)，顶点 C 的纵坐标是－4，∴AE＝6，又▱ABCD 的面积是 24，∴AD ＝BC＝4，则 D(4，2)，∴k＝4×2＝8，∴反比例函数解析式为 y＝8 x (2)由题意知 B 的纵坐标为－4，∴ 其横坐标为－2，则 B(－2，－4)，设 AB 所在直线解析式为 y＝kx＋b，将 A(0，2)，B(－2，－4)代入， 得：{b＝2， －2k＋b＝－4，解得：{k＝3， 푏 ＝2，所以 AB 所在直线解析式为 y＝3x＋2 21．(10 分)(2019·张家界)天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次 检修维护中，检修人员从索道 A 处开始，沿 A－B－C 路线对索道进行检修维护．如图：已知 AB＝500 米，BC＝800 米，AB 与水平线 AA1 的夹角是 30°，BC 与水平线 BB1 的夹角是 60°.求：本次检修中， 检修人员上升的垂直高度 CA1 是多少米？(结果精确到 1 米，参考数据： 3≈1.732) 解：如图，过点 B 作 BH⊥AA1 于点 H.在 Rt△ABH 中，AB＝500，∠BAH＝30°，∴BH＝1 2AB＝ 1 2×500＝250(米)，∴A1B1＝BH＝250(米)，在 Rt△BB1C 中，BC＝800，∠CBB1＝60°， ∴B1퐶 퐵 퐶 ＝ 3 2 ，∴B1C＝ 3 2 BC＝ 3 2 ×800＝400 3(米)，∴检修人员上升的垂直高度 CA1＝CB1＋A1B1＝ 400 3＋250≈943(米)．答：检修人员上升的垂直高度 CA1 为 943 米 22．(10 分)(2019·宁夏)如图，在△ABC 中，AB＝BC，以 AB 为直径作⊙O 交 AC 于点 D，连接 OD. (1)求证：OD∥BC； (2)过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于点 E，若∠A＝30°，求CD BE的值． 解：(1)∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO，∴∠C＝∠ADO，∴OD∥BC  (2)如图，连接 BD，∵∠A＝30°，∠A＝∠C，∴∠C＝30°，∵DE 为⊙O 的切线，∴DE⊥OD，∵ OD∥BC，∴DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠BDA＝90°，∠CBD＝60°，∴BD CD ＝tanC＝tan30°＝ 3 3 ，∴BD＝ 3 3 CD，∴BE BD＝cos∠CBD＝cos60°＝1 2，∴BE＝1 2BD＝ 3 6 CD，∴CD BE＝ 2 3 23．(11 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB 于点 D.点 P 从点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为 每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到点 C 时，两点都停止．设运动时间为 t 秒． (1)求线段 CD 的长； (2)设△CPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻 t， 使得 S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由； (3)当 t 为何值时，△CPQ 为等腰三角形？ 解：(1)线段 CD 的长为 4.8 (2)过点 P 作 PH⊥AC，垂足为 H，由题意可知 DP＝t，CQ＝t，则 CP＝4.8 －t.由△CHP∽△BCA 得PH AC＝PC AB，∴PH 8 ＝4.8－t 10 ，∴PH＝96 25－4 5t，∴S△CPQ＝1 2CQ·PH＝1 2t(96 25－4 5t)＝－ 2 5t2＋48 25t.设存在某一时刻 t，使得 S△CPQ∶S△ABC＝9∶100.∵S△ABC＝1 2×6×8＝24，且 S△CPQ∶S△ABC＝ 9∶100，∴(－2 5t2＋48 25t)∶24＝9∶100，整理得 5t2－24t＋27＝0，即(5t－9)(t－3)＝0，解得 t＝9 5或 t＝3，∵ 0≤t≤4.8，∴当 t＝9 5或 t＝3 时，S△CPQ∶S△ABC＝9∶100 (3)①若 CQ＝CP，则 t＝4.8－t.解得 t＝2.4；② 若 PQ＝PC，作 PH⊥QC 于点 H，∴QH＝CH＝ 1 2QC＝ t 2，∵△CHP∽△BCA，∴ CH BC＝CP AB，∴ t 2 6＝ 4.8－t 10 ，解得 t＝144 55 ；③若 QC＝QP，过点 Q 作 QE⊥CP，垂足为 E，同理可得 t＝ 24 11.综上所述：当 t 为 2.4 或144 55 或Error!时，△CPQ 为等腰三角形