2019年河北省中考数学试卷

一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分，1-10 小题各 3 分，11-16 小题各 2 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3 分）（2019•河北）下列图形为正多边形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3 分）（2019•河北）规定：（→2）表示向右移动 2 记作+2，则（←3）表示向左移动 3 记作（　　） A．+3B．﹣3C．﹣ D．+ 3．（3 分）（2019•河北）如图，从点 C 观测点 D 的仰角是（　　） A．∠DABB．∠DCEC．∠DCAD．∠ADC 4．（3 分）（2019•河北）语句“x 的 与 x 的和不超过 5”可以表示为（　　） A． +x≤5B． +x≥5C． ≤5D． +x＝5 5．（3 分）（2019•河北）如图，菱形 ABCD 中，∠D＝150°，则∠1＝（　　） A．30°B．25°C．20°D．15° 6．（3 分）（2019•河北）小明总结了以下结论： ①a（b+c）＝ab+ac； ②a（b﹣c）＝ab﹣ac； ③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）； ④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0） 其中一定成立的个数是（　　） A．1B．2C．3D．4 7．（3 分）（2019•河北）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（　　） A．◎代表∠FECB．@代表同位角 C．▲代表∠EFCD．※代表 AB 8．（3 分）（2019•河北）一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ，把 用科学记数法表 示为（　　） A．5×10﹣4B．5×10﹣5C．2×10﹣4D．2×10﹣5 9．（3 分）（2019•河北）如图，在小正三角形组成的网格中，已有 6 个小正三角形涂黑，还 需涂黑 n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴， 则 n 的最小值为（　　） A．10B．6C．3D．2 10．（3 分）（2019•河北）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A． B． C． D． 11．（2 分）（2019•河北）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的 统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是（　　） A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②一④→③D．②→④→③→①12．（2 分）（2019•河北）如图，函数 y＝ 的图象所在坐标系的原点是（　　） A．点 MB．点 NC．点 PD．点 Q 13．（2 分）（2019•河北）如图，若 x 为正整数，则表示 ﹣ 的值的点落在（　　） A．段①B．段②C．段③D．段④ 14．（2 分）（2019•河北）图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S 主＝x2+2x，S 左＝ x2+x，则 S 俯＝（　　） A．x2+3x+2B．x2+2C．x2+2x+1D．2x2+3x 15．（2 分）（2019•河北）小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了 a＝1， b＝4，解出其中一个根是 x＝﹣1．他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 2．则原方程的 根的情况是（　　） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是 x＝﹣1D．有两个相等的实数根 16．（2 分）（2019•河北）对于题目：“如图 1，平面上，正方形内有一长为 12、宽为 6 的矩 形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到 竖放，求正方形边长的最小整数 n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该 边长 x，再取最小整数 n． 甲：如图 2，思路是当 x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 n＝13． 乙：如图 3，思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 n＝14． 丙：如图 4，思路是当 x 为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去；结果取 n＝13． 下列正确的是（　　）A．甲的思路错，他的 n 值对 B．乙的思路和他的 n 值都对 C．甲和丙的 n 值都对 D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对 二、填空题（本大题有 3 个小题，共 11 分，17 小题 3 分：18～19 小题各有 2 个空，每空 2 分，把答案写在题中横线上） 17．（3 分）（2019•河北）若 7﹣2×7﹣1×70＝7p，则 p 的值为　 　． 18．（4 分）（2019•河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的 数． 示例： 即 4+3＝7 则（1）用含 x 的式子表示 m＝　 　； （2）当 y＝﹣2 时，n 的值为　 　． 19．（4 分）（2019•河北）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了 A，B，C 三 地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过 A，B 两地． （1）A，B 间的距离为　 　km； （2）计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l，并在 l 上建一个维修站 D，使 D 到 A，C 的距离相等，则 C，D 间的距离为　 　km． 三、解答题（本大题有 7 个小题，共 67 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（8 分）（2019•河北）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入 +，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：1+2﹣6﹣9； （2）若 1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号； （3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小 数．21．（9 分）（2019•河北）已知：整式 A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式 B＞0． 尝试 化简整式 A． 发现 A＝B2，求整式 B． 联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当 n＞1 时，n2﹣1，2n，B 为直角三角形的三 边长，如图．填写下表中 B 的值： 直角三角形三边 n2﹣1 2n B 勾股数组Ⅰ / 8 　 　 勾股数组Ⅱ 35 / 　 　 22．（9 分）（2019•河北）某球室有三种品牌的 4 个乒乓球，价格是 7，8，9（单位：元）三 种．从中随机拿出一个球，已知 P（一次拿到 8 元球）＝ ． （1）求这 4 个球价格的众数； （2）若甲组已拿走一个 7 元球训练，乙组准备从剩余 3 个球中随机拿一个训练． ①所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由； ②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都 拿到 8 元球的概率． 又拿 先拿 23．（9 分）（2019•河北）如图，△ABC 和△ADE 中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30 °，边 AD 与边 BC 交于点 P（不与点 B，C 重合），点 B，E 在 AD 异侧，I 为△APC 的内 心． （1）求证：∠BAD＝∠CAE； （2）设 AP＝x，请用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值；（3）当 AB⊥AC 时，∠AIC 的取值范围为 m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出 m，n 的 值． 24．（10 分）（2019•河北）长为 300m 的春游队伍，以 v（m/s）的速度向东行进，如图 1 和 图 2，当队伍排尾行进到位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排 尾，甲的往返速度均为 2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s），排头与 O 的距离为 S 头（m）． （1）当 v＝2 时，解答： ①求 S 头与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围）； ②当甲赶到排头位置时，求 S 头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 O 的 距离为 S 甲（m），求 S 甲与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围） （2）设甲这次往返队伍的总时间为 T（s），求 T 与 v 的函数关系式（不写 v 的取值范 围），并写出队伍在此过程中行进的路程． 25．（10 分）（2019•河北）如图 1 和 2，▱ABCD 中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝ ．点 P 为 AB 延长线上一点，过点 A 作⊙O 切 CP 于点 P，设 BP＝x． （1）如图 1，x 为何值时，圆心 O 落在 AP 上？若此时⊙O 交 AD 于点 E，直接指出 PE 与 BC 的位置关系； （2）当 x＝4 时，如图 2，⊙O 与 AC 交于点 Q，求∠CAP 的度数，并通过计算比较弦 AP 与劣弧 长度的大小； （3）当⊙O 与线段 AD 只有一个公共点时，直接写出 x 的取值范围． 26．（12 分）（2019•河北）如图，若 b 是正数，直线 l：y＝b 与 y 轴交于点 A；直线 a：y＝x ﹣b 与 y 轴交于点 B；抛物线 L：y＝﹣x2+bx 的顶点为 C，且 L 与 x 轴右交点为 D． （1）若 AB＝8，求 b 的值，并求此时 L 的对称轴与 a 的交点坐标；（2）当点 C 在 l 下方时，求点 C 与 l 距离的最大值； （3）设 x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在 l，a 和 L 上，且 y3 是 y1，y2 的平均数，求点（x0，0）与点 D 间的距离； （4）在 L 和 a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”， 分别直接写出 b＝2019 和 b＝2019.5 时“美点”的个数． 2019 年河北省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分，1-10 小题各 3 分，11-16 小题各 2 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3 分）（2019•河北）下列图形为正多边形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】多边形．菁优网版权所有 【分析】根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可 得答案． 【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等， 故选：D． 2．（3 分）（2019•河北）规定：（→2）表示向右移动 2 记作+2，则（←3）表示向左移动 3 记作（　　） A．+3B．﹣3C．﹣ D．+ 【考点】正数和负数．菁优网版权所有 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正” 和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动 2 记作+2，则（←3）表示向左移动 3 记作﹣3． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动 2 记作+2，则（← 3）表示向左移动 3 记作﹣3． 故选：B． 3．（3 分）（2019•河北）如图，从点 C 观测点 D 的仰角是（　　）A．∠DABB．∠DCEC．∠DCAD．∠ADC 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有 【分析】根据仰角的定义进行解答便可． 【解答】解：∵从点 C 观测点 D 的视线是 CD，水平线是 CE， ∴从点 C 观测点 D 的仰角是∠DCE， 故选：B． 4．（3 分）（2019•河北）语句“x 的 与 x 的和不超过 5”可以表示为（　　） A． +x≤5B． +x≥5C． ≤5D． +x＝5 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．菁优网版权所有 【分析】x 的 即 x，不超过 5 是小于或等于 5 的数，按语言叙述列出式子即可． 【解答】解：“x 的 与 x 的和不超过 5”用不等式表示为 x+x≤5． 故选：A． 5．（3 分）（2019•河北）如图，菱形 ABCD 中，∠D＝150°，则∠1＝（　　） A．30°B．25°C．20°D．15° 【考点】菱形的性质．菁优网版权所有 【分析】由菱形的性质得出 AB∥CD，∠BAD＝2∠1，求出∠BAD＝30°，即可得出∠1＝ 15°． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠D＝150°， ∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°， ∴∠1＝15°； 故选：D． 6．（3 分）（2019•河北）小明总结了以下结论： ①a（b+c）＝ab+ac； ②a（b﹣c）＝ab﹣ac； ③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）； ④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0） 其中一定成立的个数是（　　） A．1B．2C．3D．4【考点】单项式乘多项式．菁优网版权所有 【分析】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案． 【解答】解：①a（b+c）＝ab+ac，正确； ②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确； ③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确； ④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算． 故选：C． 7．（3 分）（2019•河北）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 则回答正确的是（　　） A．◎代表∠FECB．@代表同位角 C．▲代表∠EFCD．※代表 AB 【考点】平行线的判定．菁优网版权所有 【分析】根据图形可知※代表 CD，即可判断 D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠ EFC，即可判断 A；利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断 C；根据图形已经内错角 定义可知@代表内错角． 【解答】证明：延长 BE 交 CD 于点 F， 则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC． 故 AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故选：C． 8．（3 分）（2019•河北）一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ，把 用科学记数法表 示为（　　） A．5×10﹣4B．5×10﹣5C．2×10﹣4D．2×10﹣5 【考点】科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定． 【解答】解： ＝0.00002＝2×10﹣5． 故选：D． 9．（3 分）（2019•河北）如图，在小正三角形组成的网格中，已有 6 个小正三角形涂黑，还 需涂黑 n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴， 则 n 的最小值为（　　）A．10B．6C．3D．2 【考点】利用轴对称设计图案．菁优网版权所有 【分析】由等边三角形有三条对称轴可得答案． 【解答】解：如图所示，n 的最小值为 3， 故选：C． 10．（3 分）（2019•河北）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A． B． C． D． 【考点】三角形的外接圆与外心；作图—基本作图．菁优网版权所有 【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基 本作图格选项进行判断． 【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到 C 选项作了两边 的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心． 故选：C． 11．（2 分）（2019•河北）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的 统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是（　　） A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②一④→③D．②→④→③→① 【考点】调查收集数据的过程与方法；频数（率）分布表；扇形统计图．菁优网版权所有 【分析】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题． 【解答】解：由题意可得，正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并 绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出 最受学生欢迎的种类， 故选：D． 12．（2 分）（2019•河北）如图，函数 y＝ 的图象所在坐标系的原点是（　　） A．点 MB．点 NC．点 PD．点 Q 【考点】反比例函数的图象．菁优网版权所有 【分析】由函数解析式可知函数关于 y 轴对称，即可求解； 【解答】解：由已知可知函数 y＝ 关于 y 轴对称， 所以点 M 是原点； 故选：A． 13．（2 分）（2019•河北）如图，若 x 为正整数，则表示 ﹣ 的值的点落在（　　） A．段①B．段②C．段③D．段④ 【考点】分式的加减法．菁优网版权所有 【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据 x 为正整数，从所 给图中可得正确答案． 【解答】解∵ ﹣ ＝ ﹣ ＝1﹣ ＝ 又∵x 为正整数， ∴ ≤x＜1 故表示 ﹣ 的值的点落在② 故选：B． 14．（2 分）（2019•河北）图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S 主＝x2+2x，S 左＝ x2+x，则 S 俯＝（　　）A．x2+3x+2B．x2+2C．x2+2x+1D．2x2+3x 【考点】几何体的表面积；由三视图判断几何体．菁优网版权所有 【分析】由主视图和左视图的宽为 x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答 案． 【解答】解：∵S 主＝x2+2x＝x（x+2），S 左＝x2+x＝x（x+1）， ∴俯视图的长为 x+2，宽为 x+1， 则俯视图的面积 S 俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2， 故选：A． 15．（2 分）（2019•河北）小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了 a＝1， b＝4，解出其中一个根是 x＝﹣1．他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 2．则原方程的 根的情况是（　　） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是 x＝﹣1D．有两个相等的实数根 【考点】解一元二次方程﹣公式法；根的判别式．菁优网版权所有 【分析】直接把已知数据代入进而得出 c 的值，再解方程求出答案． 【解答】解：∵小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了 a＝1，b＝4， 解出其中一个根是 x＝﹣1， ∴（﹣1）2﹣4+c＝0， 解得：c＝3， 故原方程中 c＝5， 则 b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0， 则原方程的根的情况是不存在实数根． 故选：A． 16．（2 分）（2019•河北）对于题目：“如图 1，平面上，正方形内有一长为 12、宽为 6 的矩 形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到 竖放，求正方形边长的最小整数 n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该 边长 x，再取最小整数 n． 甲：如图 2，思路是当 x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 n＝13． 乙：如图 3，思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 n＝14． 丙：如图 4，思路是当 x 为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去；结果取 n＝13． 下列正确的是（　　）A．甲的思路错，他的 n 值对 B．乙的思路和他的 n 值都对 C．甲和丙的 n 值都对 D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对 【考点】矩形的性质；正方形的性质；平移的性质；旋转的性质．菁优网版权所有 【分析】平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂 直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有 2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算 错误，应为 n＝14； 乙的思路与计算都正确； 丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长； 故选：B． 二、填空题（本大题有 3 个小题，共 11 分，17 小题 3 分：18～19 小题各有 2 个空，每空 2 分，把答案写在题中横线上） 17．（3 分）（2019•河北）若 7﹣2×7﹣1×70＝7p，则 p 的值为　﹣3　． 【考点】零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案． 【解答】解：∵7﹣2×7﹣1×70＝7p， ∴﹣2﹣1+0＝p， 解得：p＝﹣3． 故答案为：﹣3． 18．（4 分）（2019•河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的 数． 示例： 即 4+3＝7 则（1）用含 x 的式子表示 m＝　3x　； （2）当 y＝﹣2 时，n 的值为　1　． 【考点】列代数式；代数式求值．菁优网版权所有 【分析】（1）根据约定的方法即可求出 m； （2）根据约定的方法即可求出 n． 【解答】解：（1）根据约定的方法可得：m＝x+2x＝3x； 故答案为：3x； （2）根据约定的方法即可求出 n x+2x+2x+3＝m+n＝y． 当 y＝﹣2 时，5x+3＝﹣2． 解得 x＝﹣1． ∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1． 故答案为：1． 19．（4 分）（2019•河北）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了 A，B，C 三 地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过 A，B 两地． （1）A，B 间的距离为　20　km； （2）计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l，并在 l 上建一个维修站 D，使 D 到 A，C 的距离相等，则 C，D 间的距离为　13　km． 【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有 【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出 AB 的长度； （2）根据 A、B、C 三点的坐标可求出 CE 与 AE 的长度，设 CD＝x，根据勾股定理即可 求出 x 的值． 【解答】解：（1）由 A、B 两点的纵坐标相同可知：AB∥x 轴， ∴AB＝12﹣（﹣8）＝20； （2）过点 C 作 l⊥AB 于点 E，连接 AC，作 AC 的垂直平分线交直线 l 于点 D， 由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18， AE＝12， 设 CD＝x， ∴AD＝CD＝x， 由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122， ∴解得：x＝13， ∴CD＝13， 故答案为：（1）20；（2）13； 三、解答题（本大题有 7 个小题，共 67 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8 分）（2019•河北）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入 +，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：1+2﹣6﹣9； （2）若 1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号； （3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小 数． 【考点】有理数的混合运算．菁优网版权所有 【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号； （3）先写出结果，然后说明理由即可． 【解答】解：（1）1+2﹣6﹣9 ＝3﹣6﹣9 ＝﹣3﹣9 ＝﹣12； （2）∵1÷2×6□9＝﹣6， ∴1× ×6□9＝﹣6， ∴3□9＝﹣6， ∴□内的符号是“﹣”； （3）这个最小数是﹣20， 理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小， ∴1□2□6 的结果是负数即可， ∴1□2□6 的最小值是 1﹣2×6＝﹣11， ∴1□2□6﹣9 的最小值是﹣11﹣9＝﹣20， ∴这个最小数是﹣20． 21．（9 分）（2019•河北）已知：整式 A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式 B＞0． 尝试 化简整式 A． 发现 A＝B2，求整式 B． 联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当 n＞1 时，n2﹣1，2n，B 为直角三角形的三 边长，如图．填写下表中 B 的值： 直角三角形三边 n2﹣1 2n B 勾股数组Ⅰ / 8 　17　 勾股数组Ⅱ 35 / 　37　 【考点】幂的乘方与积的乘方；勾股数．菁优网版权所有 【分析】先根据整式的混合运算法则求出 A，进而求出 B，再把 n 的值代入即可解答． 【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2， ∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1， 当 2n＝8 时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17； 当 n2﹣1＝35 时，n2+1＝37． 故答案为：17；37 22．（9 分）（2019•河北）某球室有三种品牌的 4 个乒乓球，价格是 7，8，9（单位：元）三 种．从中随机拿出一个球，已知 P（一次拿到 8 元球）＝ ． （1）求这 4 个球价格的众数； （2）若甲组已拿走一个 7 元球训练，乙组准备从剩余 3 个球中随机拿一个训练． ①所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由； ②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都 拿到 8 元球的概率． 又拿 先拿 【考点】分式方程的应用；中位数；众数；概率公式；列表法与树状图法．菁优网版权所有 【分析】（1）由概率公式求出 8 元球的个数，由众数的定义即可得出答案； （2）①由中位数的定义即可得出答案； ②用列表法得出所有结果，乙组两次都拿到 8 元球的结果有 4 个，由概率公式即可得出 答案． 【解答】解：（1）∵P（一次拿到 8 元球）＝ ， ∴8 元球的个数为 4× ＝2（个），按照从小到大的顺序排列为 7，8，8，9， ∴这 4 个球价格的众数为 8 元； （2）①所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数相同；理由如下： 原来 4 个球的价格按照从小到大的顺序排列为 7，8，8，9， ∴原来 4 个球价格的中位数为 ＝8（元）， 所剩的 3 个球价格为 8，8，9， ∴所剩的 3 个球价格的中位数为 8 元， ∴所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数相同； ②列表如图所示：共有 9 个等可能的结果，乙组两次都拿到 8 元球的结果有 4 个， ∴乙组两次都拿到 8 元球的概率为 ．23．（9 分）（2019•河北）如图，△ABC 和△ADE 中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30 °，边 AD 与边 BC 交于点 P（不与点 B，C 重合），点 B，E 在 AD 异侧，I 为△APC 的内 心． （1）求证：∠BAD＝∠CAE； （2）设 AP＝x，请用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值； （3）当 AB⊥AC 时，∠AIC 的取值范围为 m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出 m，n 的 值． 【考点】圆的综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）由条件易证△ABC≌△ADE，得∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE． （2）PD＝AD﹣AP＝6﹣x，∵点 P 在线段 BC 上且不与 B、C 重合，∴AP 的最小值即 AP ⊥BC 时 AP 的长度，此时 PD 可得最大值． （3）I 为△APC 的内心，即 I 为△APC 角平分线的交点，应用“三角形内角和等于 180° “及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到 m，n 的值． 【解答】解：（1）在△ABC 和△ADE 中，（如图 1） ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠BAC＝∠DAE 即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE ∴∠BAD＝∠CAE． （2）∵AD＝6，AP＝x， ∴PD＝6﹣x 当 AD⊥BC 时，AP＝ AB＝3 最小，即 PD＝6﹣3＝3 为 PD 的最大值． （3）如图 2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°， ∵AB⊥AC∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α， ∵I 为△APC 的内心 ∴AI、CI 分别平分∠PAC，∠PCA， ∴∠IAC＝ ∠PAC，∠ICA＝ ∠PCA ∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA） ＝180°﹣ （∠PAC+∠PCA） ＝180°﹣ （90°﹣α+60°） ＝ α+105° ∵0＜α＜90°， ∴105°＜ α+105°＜150°，即 105°＜∠AIC＜150°， ∴m＝105，n＝150． 24．（10 分）（2019•河北）长为 300m 的春游队伍，以 v（m/s）的速度向东行进，如图 1 和 图 2，当队伍排尾行进到位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排 尾，甲的往返速度均为 2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s），排头与 O 的距离为 S 头（m）． （1）当 v＝2 时，解答： ①求 S 头与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围）； ②当甲赶到排头位置时，求 S 头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 O 的 距离为 S 甲（m），求 S 甲与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围） （2）设甲这次往返队伍的总时间为 T（s），求 T 与 v 的函数关系式（不写 v 的取值范 围），并写出队伍在此过程中行进的路程． 【考点】反比例函数的应用．菁优网版权所有 【分析】（1）①排头与 O 的距离为 S 头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长 300，而 排头行进的时间也是 t（s），速度是 2m/s，可以求出 S 头与 t 的函数关系式； ②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求 S 即可；在甲从排 头返回到排尾过程中，设甲与位置 O 的距离为 S 甲（m）是在 S 的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间（总时间 t 减去甲从排尾赶到排头的时间），于是可以求 S 甲与 t 的 函数关系式； （2）甲这次往返队伍的总时间为 T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排 尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的 过程中队伍行进的路程＝队伍速度×返回时间． 【解答】解：（1）①排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s），则排头也离开原排头 t （s）， ∴S 头＝2t+300 ②甲从排尾赶到排头的时间为 300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时 S 头＝ 2t+300＝600 m 甲返回时间为：（t﹣150）s ∴S 甲＝S 头﹣S 甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200； 因此，S 头与 t 的函数关系式为 S 头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求 S 的值为 600m， 在甲从排头返回到排尾过程中，S 甲与 t 的函数关系式为 S 甲＝﹣4t+1200． （2）T＝t 追及+t 返回＝ + ＝ ， 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v× ﹣＝400； 因此 T 与 v 的函数关系式为：T＝ ，此时队伍在此过程中行进的路程为 400m． 25．（10 分）（2019•河北）如图 1 和 2，▱ABCD 中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝ ．点 P 为 AB 延长线上一点，过点 A 作⊙O 切 CP 于点 P，设 BP＝x． （1）如图 1，x 为何值时，圆心 O 落在 AP 上？若此时⊙O 交 AD 于点 E，直接指出 PE 与 BC 的位置关系； （2）当 x＝4 时，如图 2，⊙O 与 AC 交于点 Q，求∠CAP 的度数，并通过计算比较弦 AP 与劣弧 长度的大小； （3）当⊙O 与线段 AD 只有一个公共点时，直接写出 x 的取值范围．【考点】圆的综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）由三角函数定义知：Rt△PBC 中， ＝tan∠PBC＝tan∠DAB＝ ，设 CP ＝4k，BP＝3k，由勾股定理可求得 BP，根据“直径所对的圆周角是直角”可得 PE⊥ AD，由此可得 PE⊥BC； （2）作 CG⊥AB，运用勾股定理和三角函数可求 CG 和 AG，再应用三角函数求∠CAP， 应用弧长公式求劣弧 长度，再比较它与 AP 长度的大小； （3）当⊙O 与线段 AD 只有一个公共点时，⊙O 与 AD 相切于点 A，或⊙O 与线段 DA 的延长线相交于另一点，此时，BP 只有最小值，即 x≥18． 【解答】解：（1）如图 1，AP 经过圆心 O，∵CP 与⊙O 相切于 P， ∴∠APC＝90°， ∵▱ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠PBC＝∠DAB ∴ ＝tan∠PBC＝tan∠DAB＝ ，设 CP＝4k，BP＝3k，由 CP2+BP2＝BC2， 得（4k）2+（3k）2＝152，解得 k1＝﹣3（舍去），k2＝3， ∴x＝BP＝3×3＝9， 故当 x＝9 时，圆心 O 落在 AP 上； ∵AP 是⊙O 的直径， ∴∠AEP＝90°， ∴PE⊥AD， ∵▱ABCD， ∴BC∥AD ∴PE⊥BC （2）如图 2，过点 C 作 CG⊥AP 于 G， ∵▱ABCD， ∴BC∥AD， ∴∠CBG＝∠DAB ∴ ＝tan∠CBG＝tan∠DAB＝ ， 设 CG＝4m，BG＝3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2＝152，解得 m＝3， ∴CG＝4×3＝12，BG＝3×3＝9，PG＝BG﹣BP＝9﹣4＝5，AP＝AB+BP＝3+4＝7， ∴AG＝AB+BG＝3+9＝12 ∴tan∠CAP＝ ＝ ＝1， ∴∠CAP＝45°； 连接 OP，OQ，过点 O 作 OH⊥AP 于 H，则∠POQ＝2∠CAP＝2×45°＝90°，PH＝ AP＝ ， 在 Rt△CPG 中， ＝ ＝13，∵CP 是⊙O 的切线， ∴∠OPC＝∠OHP＝90°，∠OPH+∠CPG＝90°，∠PCG+∠CPG＝90° ∴∠OPH＝∠PCG ∴△OPH∽△PCG ∴ ，即 PH×CP＝CG×OP， ×13＝12OP， ∴OP＝ ∴劣弧 长度＝ ＝ ， ∵ ＜2π＜7 ∴弦 AP 的长度＞劣弧 长度． （3）如图 3，⊙O 与线段 AD 只有一个公共点，即圆心 O 位于直线 AB 下方，且∠OAD≥ 90°， 当∠OAD＝90°，∠CPM＝∠DAB 时，此时 BP 取得最小值，过点 C 作 CM⊥AB 于 M， ∵∠DAB＝∠CBP， ∴∠CPM＝∠CBP ∴CB＝CP， ∵CM⊥AB ∴BP＝2BM＝2×9＝18， ∴x≥1826．（12 分）（2019•河北）如图，若 b 是正数，直线 l：y＝b 与 y 轴交于点 A；直线 a：y＝x ﹣b 与 y 轴交于点 B；抛物线 L：y＝﹣x2+bx 的顶点为 C，且 L 与 x 轴右交点为 D． （1）若 AB＝8，求 b 的值，并求此时 L 的对称轴与 a 的交点坐标； （2）当点 C 在 l 下方时，求点 C 与 l 距离的最大值； （3）设 x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在 l，a 和 L 上，且 y3 是 y1，y2 的平均数，求点（x0，0）与点 D 间的距离； （4）在 L 和 a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”， 分别直接写出 b＝2019 和 b＝2019.5 时“美点”的个数． 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）当 x＝0 吋，y＝x﹣b＝﹣b，所以 B （0，﹣b），而 AB＝8，而 A（0， b），则 b﹣（﹣b）＝8，b＝4．所以 L：y＝﹣x2+4x，对称轴 x＝2，当 x＝2 吋，y＝x﹣4 ＝﹣2，于是 L 的对称轴与 a 的交点为（2，﹣2 ）； （2）y＝﹣（x﹣ ）2+ ，顶点 C（ ）因为点 C 在 l 下方，则 C 与 l 的距 离 b﹣ ＝﹣ （b﹣2）2+1≤1，所以点 C 与 1 距离的最大值为 1； （3）由題意得 ，即 y1+y2＝2y3，得 b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0）解得 x0＝0 或 x0＝ b﹣ ．但 x0#0，取 x0＝b﹣ ，对于 L，当 y＝0 吋，0＝﹣x2+bx，即 0＝﹣x（x﹣b），解得 x1＝0，x2＝b，右交点 D（b，0）．因此点（x0，0）与点 D 间的距离 b﹣（b﹣ ）＝ （4）①当 b＝2019 时，抛物线解析式 L：y＝﹣x2+2019x 直线解析式 a：y＝x﹣2019，美 点”总计 4040 个点， ②当 b＝2019.5 时，抛物线解析式 L：y＝﹣x2+2019.5x，直线解析式 a：y＝x﹣2019.5， “美点”共有 1010 个． 【解答】解：（1）当 x＝0 吋，y＝x﹣b＝﹣b， ∴B （0，﹣b）， ∵AB＝8，而 A（0，b）， ∴b﹣（﹣b）＝8， ∴b＝4． ∴L：y＝﹣x2+4x， ∴L 的对称轴 x＝2， 当 x＝2 吋，y＝x﹣4＝﹣2， ∴L 的对称轴与 a 的交点为（2，﹣2 ）； （2）y＝﹣（x﹣ ）2+ ， ∴L 的顶点 C（ ） ∵点 C 在 l 下方， ∴C 与 l 的距离 b﹣ ＝﹣ （b﹣2）2+1≤1， ∴点 C 与 1 距离的最大值为 1； （3）由題意得 ，即 y1+y2＝2y3， 得 b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0） 解得 x0＝0 或 x0＝b﹣ ．但 x0#0，取 x0＝b﹣ ， 对于 L，当 y＝0 吋，0＝﹣x2+bx，即 0＝﹣x（x﹣b）， 解得 x1＝0，x2＝b， ∵b＞0， ∴右交点 D（b，0）． ∴点（x0，0）与点 D 间的距离 b﹣（b﹣ ）＝ （4）①当 b＝2019 时，抛物线解析式 L：y＝﹣x2+2019x 直线解析式 a：y＝x﹣2019 联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，∴可知每一个整数 x 的值 都对应的一个整数 y 值，且﹣1 和 2019 之间（包括﹣1 和﹣ 2019）共有 2021 个整数； ∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有 2021 个整数点 ∴总计 4042 个点， ∵这两段图象交点有 2 个点重复， ∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）； ②当 b＝2019.5 时， 抛物线解析式 L：y＝﹣x2+2019.5x， 直线解析式 a：y＝x﹣2019.5， 联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5， ∴当 x 取整数时，在一次函数 y＝x﹣2019.5 上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美 点”为 0， 在二次函数 y＝x2+2019.5x 图象上，当 x 为偶数时，函数值 y 可取整数， 可知﹣1 到 2019.5 之 间有 1009 个偶数，并且在﹣1 和 2019.5 之间还有整数 0，验证后可 知 0 也符合 条件，因此“美点”共有 1010 个． 故 b＝2019 时“美点”的个数为 4040 个，b＝2019.5 时“美点”的个数为 1010 个．